2003年高考数学文科试题及答案广东卷
2003年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数 学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的
1．在同一坐标系中，表示直线与正确的是（ ）
2． 已知 （ ）
A． B．－ C． D．－
3．圆锥曲线 （ ）
A． B． C． D．
4．等差数列中，已知，则n为 （ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
5．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
5．设函数若，则x0的取值范围是 （ ）
A．（－1，1） B．（－1，+∞）
C．（－∞，－2）∪（0，+∞） D．（－∞，－1）∪（1，+∞）
7．函数的最大值为 （ ）
A． B． C． D．2
8．已知圆
的弦长为时，则a= （ ）
A． B． C． D．
9．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10．函数 （ ）
A． B．
C． D．
11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2，P3和P4（入射角等于反射角）. 设P4的坐标为（x4，0），若
则的取值范围是 （ ）
A．（，1） B． C． D．
12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）
A．3π B．4π C． D．6π
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上
13．不等式的解集是
14．展开式中的系数是
15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2，
拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可
以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂
直，则
16．如图，一个地区分为5个行政区域，
现给地图着色，要求相邻区域不得
使用同一颜色，现有4种颜色可
供选择，则不同的着色方法共有
种.（以数字作答）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点.
（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；
（2）求点D1到面BDE的距离.
18．（本小题满分12分）
已知复数z的辐角为60°，且是和的等比中项. 求.
19．（本小题满分12分）
已知c>0，设P：函数在R上单调递减Q：不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围
20．（本小题满分12分）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
21．（本小题满分14分）
已知常数在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
22．（本小题满分14分）
设为常数，且
（1）证明对任意；
（2）假设对任意有，求的取值范围.
2003年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学试题参考答案
一、选择题：
1.D 2.D 3.C 4.C 5.B 6.D 7.A 8.C 9.B 10.D 11.C 12.A
二、填空题：
13． 14． 15．S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=2S△BCD 16．72
三、解答题：
（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM，
∵F为BD1中点， ∴FM∥D1D且FM=D1D
又EC=CC1，且EC⊥MC，
∴四边形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1
又CM⊥面DBD1 ∴EF⊥面DBD1
∵BD1面DBD1，
∴EF⊥BD1 故EF为BD1与CC1的公垂线.
（II）解：连结ED1，有
由（I）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的
距离为d，
则S△DBC·d=S△DBD·EF.………………9分
∵AA1=2·AB=1.
故点D1到平面BDE的距离为.
18． 解：设，则复数由题设
19．函数在R上单调递减
不等式
20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.
在时刻：（1）台风中心P（）的坐标为
此时台风侵袭的区域是
其中若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有
即
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.
按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设
由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直线OF的方程为：①
直线GE的方程为：②
从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程
整理得 当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.
当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长
当时，点P到椭圆两个焦点（的距离之和为定值
当时，点P 到椭圆两个焦点（0， 的距离之和为定值2.
22．本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.
（1）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=1－2a0，等式成立；
（ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，则
那么
也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成立.
证法二：如果设 用代入，可解出.
所以是公比为－2，首项为的等比数列.
即
（2）解法一：由通项公式
等价于 ……①
（i）当n=2k－1，k=1，2，…时，①式即为
即为 ……②
②式对k=1，2，…都成立，有
（ii）当n=2k，k=1，2，…时，①式即为
即为 ……③ ③式对k=1，2，…都成立，有
综上，①式对任意n∈N*，成立，有
故a0的取值范围为
解法二：如果（n∈N*）成立，特别取n=1，2有
因此 下面证明当时，对任意n∈N*，
由an的通项公式
（i）当n=2k－1，k=1，2…时，
（ii）当n=2k，k=1，2…时，
故a0的取值范围为本试卷来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn
2004年全国普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数 学
一、选择题（共12小题，每题5分，计60分）
1．已知平面向量=（3，1），=（x，–3），且，则x= （ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
2．已知则 （ ）
A． B．
C． D．
3．设函数在x=2处连续,则a= （ ）
A． B． C． D．
4． 的值为 （ ）
A．－1 B．0 C． D．1
5．函数f(x)是 （ ）
A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数
C． 周期为2的偶函数 D．.周期为2的奇函数
6．一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是 （ ）
A．0.1536 B． 0.1808 C． 0.5632 D． 0.9728
7．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 （ ）
A． B． C． D．
8．若双曲线的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （ ）
A． 6 B． 8 C． 1 D． 4
9．当时,函数的最小值是 （ ）
A． 4 B． C．2 D．
10．变量x、y满足下列条件：
则使z=3x+2y的值最小的（x，y）是 （ ）
A． ( 4.5 ,3 ) B． ( 3,6 ) C． ( 9, 2 ) D． ( 6, 4 )
11．若则 （ ）
A． B．
C． D．
12．如右下图,定圆半径为 ( b ,c ), 则直线ax+by+c=0
与直线 x–y+1=0的交点在( )
A． 第四象限
B． 第三象限
C．第二象限
D． 第一象限
二、填空题(共4小题，每题4分，计16分)
13．某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女生当选的概率是 (用分数作答)
14．已知复数z与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = .
15．由图(1)有面积关系: 则由(2) 有体积关系:
16． 函数的反函数
三、解答题(共6小题,74分)
17． (12分)已知成公比为2的等比数列(也成等比数列. 求的值.
18． 如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.
(1) 求二面角C—DE—C1的正切值;
(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.
19． (12分)设函数
(1) 证明: 当0< a < b ,且时,ab >1;
(2) 点P (x0, y0 ) (0< x0 <1 )在曲线上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用x0表达).
20． (12分)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)
21． (12分)设函数 其中常数m为整数.
(1) 当m为何值时,
(2) 定理: 若函数g(x) 在[a, b ]上连续,且g(a) 与g(b)异号,则至少存在一点x0∈(a,b),使g(x0)=0.
试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)= 0,在[e-ｍ-m ,e2ｍ-m ]内有两个实根.
22．(14分)设直线与椭圆相交于A、B两点，又与双曲线x2–y2=1相交于C、D两点， C、D三等分线段AB． 求直线的方程.
2004年普通高等学校招生全国统一考试
广东数学标准答案
一、 选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A卷
B
C
B
A
A
D
B
C
D
B
A
C
B卷
C
A
C
A
B
D
D
A
A
B
D
B
二、 填空题：（13） （14）－2i (15) (16)
三、 解答题17．解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α
∵sinα,sinβ,sinγ成等比数列
当cosα=1时，sinα=0,与等比数列的首项不为零，故cosα=1应舍去，
18．解：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是，
设向量与平面C1DE垂直，则有
（II）设EC1与FD1所成角为β，则
19．证明：（I）
故f(x)在（0，1上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0
|PA|,
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.
21．（I）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续，且
当x∈(-m,1-m)时,f ’（x）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m)
当x∈(1-m, +∞)时,f ’（x）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m)
根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且
对x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m
故当整数m≤1时，f(x) ≥1-m≥0
(II)证明：由（I）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0,
函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续减函数.
由所给定理知，存在唯一的而当整数m>1时，
类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数且 f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的
故当m>1时，方程f(x)=0在内有两个实根。
22．解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为
y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：
依题意有，由
若，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故
由
故l的方程为 (ii)当b=0时，由(1)得
由
故l的方程为再讨论l与x轴垂直的情况.
设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，
综上所述，故l的方程为、和
2005年高考数学（广东卷）试题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上用2B铅笔将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，并用2B铅笔将相应的试室号、座位号信息点涂黑
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合，则M∩N= （ ）
A．{3} B．{0} C．{0，2} D．{0，3}
2．若，其中a、b∈R，i是虚数单位，则= （ ）
A．0 B．2 C． D．5
3．= （ ）
A． B．0 C． D．
如图1
4．已知高为3的直棱柱ABC—A′B′C′的底面是边长为1的正三
角形（如图1所示），则三棱锥B′—ABC的体积为（ ）
A． B．
C． D．
5．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m=（ ）
A． B． C． D．
6．函数是减函数的区间为 （ ）
A． B． C． D．（0，2）
7．给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：
①若；
②若m、l是异面直线，；
③若；
④若
其中为假命题的是 （ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象关于直线对称. 现将的图象沿轴向左平移2个单位，再沿轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数的表达式为（ ）
如图2
A．
B．
C．
D．
10．已知数列（ ）
A． B．3 C．4 D．5
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
11．函数的定义域是 .
12．已知向量则x= .
13．已知的展开式中的系数与的展开式中x3的系数相等，则=
.
14．设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用表示这n条直线交点的个数，则= ；当n>4时，
= .（用n表示）
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分12分）
化简并求函数的值域和最小正周期.
16．（本小题满分14分）
如图3所示，在四面体P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=.F是线段PB上一点，，点E在线段AB上，且EF⊥PB.
如图3
（Ⅰ）证明：PB⊥平面CEF；
（Ⅱ）求二面角B—CE—F的大小.
17．（本小题满分14分）
如图4
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）.
（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
18．（本小题满分12分）
箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t.现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数.
（Ⅰ）求ξ的分布列；
（Ⅱ）求ξ的数学期望.
19．（本小题满分14分）
设函数，且在闭区间[0，7]上，只有
（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.
20．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使A点落在线段DC上.
（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；
（Ⅱ）求折痕的长的最大值.
如图5
2005年高考数学（广东卷）试题及答案
参考答案
一、 选择题
1B 2D 3A 4D 5B 6D 7C 8C 9A 10B
二、 填空题
11.{x|x<0} 12.4 13. 14. 5,
三、 解答题
15．解：
函数f(x)的值域为;
函数f(x)的周期；
16．（I）证明：∵
∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证
△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形
故PA⊥平面ABC
又∵
而
故CF⊥PB,又已知EF⊥PB
∴PB⊥平面CEF
（II）由（I）知PB⊥CE, PA⊥平面ABC
∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE
在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC，
EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC
故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角
二面角B—CE—F的大小为
17．解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 …（1）
∵OA⊥OB ∴,即，……(2)
又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得
∴
所以重心为G的轨迹方程为
（II）
由（I）得
当且仅当即时，等号成立
所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；
18．解：(I)ξ的可能取值为：0,1,2,…,n
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
…
n-1
n
p
…
(II) 的数学希望为
…(1)
…(2)
(1) －(2)得
19.解: 由
,
又,
，
故函数是非奇非偶函数;
(II)由
又
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,
从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,
所以函数在[-2005,2005]上有802个解
20.解(I) （1）当时,此时A点与D点重合, 折痕所在的直线方程
（2）当时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)
所以A与G关于折痕所在的直线对称，有
故G点坐标为
从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为
折痕所在的直线方程，即
由（1）（2）得折痕所在的直线方程为：
k=0时，；时
（II）(1)当时，折痕的长为2;
(1) 当时, 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为
令解得 ∴
所以折痕的长度的最大值2
2006年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数 学
本试卷分选择题和非选择题两部分..共4页，满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号写在答题卡上.用2B铅笔将答题卡试卷类型（B）涂黑。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
第一部分 选择题（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、函数的定义域是
A. B. C. D.
2、若复数满足方程，则
A. B. C. D.
3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
图1
A. B. C. D.
4、如图1所示，是的边上的中点，则向量
A. B.
C. D.
5、给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是
A.4 B. 3 C. 2 D. 1
6、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为
A.5 B.4 C. 3 D. 2
图2
7、函数的反函数的图像与轴交于点（如图2所示），则方程在上的根是
A.4 B.3 C. 2 D.1
8、已知双曲线，则双曲线右支上的点到右焦点的距离与点到右准线的距离之比等于
图3
A. B. C. 2 D. 4
9、在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是
A. B. C. D.
10、对于任意的两个实数对和，规定：，
当且仅当；运算“”为：
；运算“”为：，设，若，则
A. B. C. D.
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.
11、________.
12、棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.
13、在的展开式中，的系数为________.
图4
…
14、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）.
三解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、(本题14分)已知函数.
(I)求的最小正周期；
(II)求的的最大值和最小值；
(III)若，求的值.
16、(本题12分)某运动员射击一次所得环数的分布如下：
7
8
9
10
0
现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.
(I)求该运动员两次都命中7环的概率
(II)求的分布列
(III) 求的数学期望.
图5
17、(本题14分)如图5所示，、分别世、的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是的直径，,.
(I)求二面角的大小；
(II)求直线与所成的角.
18、(本题14分)设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点.求
(I)求点的坐标；
(II)求动点的轨迹方程.
19、(本题14分)已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为.
(I)求数列的首项和公比；
(II)对给定的，设是首项为，公差为的等差数列，求的前10项之和；
(III)设为数列的第项，，求，并求正整数，使得存在且不等于零.
（注：无穷等比数列各项的和即当时该无穷等比数列前项和的极限）
20、(本题12分)是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意的
，都有；②存在常数，使得对任意的，都有.
(I)设 ，证明：
(II)设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的；
(III) 设，任取，令，，证明：给定正整数，对任意的正整数，成立不等式
2006年高考数学参考答案广东卷(B)
第一部分 选择题（50分）
1、解：由，故选B.
2、由，故选D.
3、B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.
4、，故选A.
5、①②④正确，故选B.
6、，故选C.
7、的根是2，故选C
8、依题意可知 ，，故选C.
9、由交点为，
（1） 当时可行域是四边形OABC，此时，
（2） 当时可行域是△OA此时，
故选D.
10、由得,
所以,故选B.
第二部分 非选择题（100分）
二、填空题
11、
12、
13、
所以的系数为
14、10，
三、解答题
15解：
（Ⅰ）的最小正周期为;
（Ⅱ）的最大值为和最小值；
（Ⅲ）因为，即,即
16解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为；
(Ⅱ) 的可能取值为7、8、9、10
分布列为
7
8
9
10
P
0.04
0.21
0.39
0.36
(Ⅲ) 的数学希望为.
17、解：(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角，
依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.
即二面角B—AD—F的大小为450；
(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0）,D（0，，8），E（0，0，8），F（0，，0）
所以，
设异面直线BD与EF所成角为，则
直线BD与EF所成的角为
18解: (Ⅰ)令解得
当时,, 当时, ,当时,
所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,
所以, 点A、B的坐标为.
(Ⅱ) 设，，
，所以，又PQ的中点在上，所以
消去得
19解: (Ⅰ)依题意可知,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以数列的的首项为,公差,
,即数列的前10项之和为155.
(Ⅲ) ===，
，=
当m=2时，=－，当m>2时，=0，所以m=2
20、解：对任意,,,,所以
对任意的，，
，所以0<
,令=，，
所以
反证法:设存在两个使得,则
由，得，所以，矛盾，故结论成立。
，所以
+…
2007年广东省高考数学(文科)试题及详细解答
一、选择题:本大题共l0小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则=
A．{x|-1≤x＜1} B．{x |x>1} C．{x|-1＜x＜1} D．{x |x≥-1}
【解析】,故,选(C).
2.若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b=
A．-2 B． C. D．2
【解析】,依题意, 选(D).
3.若函数f(x)=x3(x∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是
A．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数
C．单凋递增的偶函数 D．单涮递增的奇函数
【解析】函数单调递减且为奇函数,选(B).
4．若向量满足,与的夹角为,则
A． B． C. D．2
【解析】,选(B).
5．客车从甲地以60km／h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km／h的速度匀速行驶l小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达 丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是
【解析】依题意的关键字眼“以80km／h的速度匀速行驶l小时到达丙地”选得答案(C).
6.若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是
【解析】逐一判除,易得答案(D).
7.图l是某县参加2007年高考的学 生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为4，、A：、…、A，。(如A：表示身高(单位：cm)在[150，155)内的学生人数)．图2是统计图l中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm(含160cm，不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是
A.i<9 B.i<8 C.i<7 D.i<6
【解析】身高在160～180cm(含160cm，不含180cm)的学生人数为,算法流程图实质上是求和,不难得到答案(B).
8.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是
【解析】随机取出2个小球得到的结果数有种(提倡列举).取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为共3种,故所求答案为(A).
9．已知简谐运动的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T 和初相分别为
【解析】依题意,结合可得,易得,故选(A).
10.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给
A、 B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将
A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件,
但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整,最少
的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为
A．18 B．17 C．16 D．15
【解析】很多同学根据题意发现n=16可行,判除A,B选项,但对于C,D选项则难以作出选择,事实上,这是一道运筹问题,需要用函数的最值加以解决.设的件数为(规定:当时,则B调整了件给A,下同!),的件数为,的件数为,的件数为,依题意可得,,,,从而,,,故调动件次,画出图像(或绝对值的几何意义)可得最小值为16,故选(C).
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是 ．
【解析】设所求抛物线方程为,依题意,故所求为.
12．函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是 ．
【解析】由可得,答案:.
13．已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，则其通项an= ；若它的第k项满足5β),是的导数,设 (1)求的值；(2)已知对任意的正整数有,记,求数列的前项和.
【解析】(1)求根公式得, …………3分
(2)………4分 ………5分 ……7分
……10分
∴数列是首项,公比为2的等比数列………11分
∴………………………………………………………14分21．(本小题满分l4分)
已知是实数,函数.如果函数在区间[-1,1]上有零点,求的取值范围.
【解析】若,则,令,不符题意, 故………2分
当在 [-1,1]上有一个零点时,此时或………6分
解得或 …………………………………………………………………8分
当在[-1,1]上有两个零点时,则………………………………10分
解得即………………12分
综上,实数的取值范围为. ……………………………………14分
(别解:,题意转化为知求的值域,令得转化为勾函数问题.)
2008年全国高考数学试题（文科）广东卷
一．选择题：共10个小题，每小题5分，满分50分，每小题只有一个答案是符合要求的
1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合，集合，集合，则下列关系正确的是
A．AB B．BC C．.A∩B=C D．.B∪C=A
2．已知0＜a＜2，复数z=a+i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是
A．(1,) B． (1,) C．(1,3) D．(1,5)
3．已知平面向量,,且,则
A． B． C． D．
4．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S1=4,S4=20,则该数列的公差d=
A．7 B．6 C．3 D．2
5．已知函数，x∈R,则是
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
6．经过圆x2+2x+y2=0的圆心G，且与直线x+y=0垂直的直线方程是
A． B．
C． D．
7．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△CHI
三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为
8．命题“若函数(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则＜0”的逆否命题是
A．若＜0，则函数（a＞0,a≠1）在其定义域内不是减函数
B．若≥0，则函数（a＞0,a≠1）在其定义域内不是减函数
C．若＜0，则函数（a＞0,a≠1）在其定义域内是减函数
D．若≥0，则函数（a＞0,a≠1）在其定义域内是减函数
9．设a∈R，若函数y=e5+ax,x∈R有大于零的极值点，则
A．a＜ B．a＞ C．a＞ D．a＜
10．设a, b∈R，若＞0，则下列不等式中正确的是
A．＞0 B．a3+b3＜0 C．b+a＞0 D．＜0
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.
（一）必做题（11-13题）
11．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为，，由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是 .
图3
12.若变量x，y满足则z=3x+2y的最大值是________。
13.阅读图4的程序框图，若输入m=4,n=3,则输出a=_______,i=________。
（注：框图中的赋值符号“＝”，也可以写成“←”或“：＝”）
（二）选择题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C1与C2的极坐标方向分别为，（≥0，0≤θ<），则曲线C1与C2交点的极坐标为________.
15.（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切点，切点为A，PA＝2.AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1，则圆O的半径R=________.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分13分）
已知函数f(x)=Asin(x+)(A>0,0<<),xR的最大值是1，其图像经过点M.
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 已知，且f()=，f()=，求f()的值.
17.（本小题满分12分）
某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）
18.（本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP～△BAD.
(1)求线段PD的长；
(2)若PC=R，求三棱锥P-ABC的体积.
图5
19.（本小题满分13分）
某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
（1） 求x的值；
（2） 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
（3） 已知y245,z245,求初三年级中女生比男生多的概率.
20.（本小题满分14分）
设，椭圆方程为=1，抛物线方程为x 2=8(y-b).
如图6所示，过点F（0,b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点，
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； 图6
（2）设分别是椭圆的左右端点，试探究在抛物线上是否存在点,使为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必求出这些点的坐标）。
21．（本小题满分14分）设数列满足， ，数列满足b1=1,bn(n=2,3,…)是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有
（1）求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和Sn.
2008年全国高考数学试题（文科）
广东卷参考答案
一．选择题 DBCCD AABAC
二．填空题 11．13； 12．70； 13．12，3； 14．； 15．
三．解答题：
16．解：（1）依题意知，，又
所以 即，因此
（2）因为，且
所以
。
17．解：设楼房每平方米的平均综合费为元，则
，令得
当时，，当时，
因此，当时，取最小值
答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。
18．解：（1）因为是园的直径，所以
又△ADP～△BAD.
所以
（2）在中，
因为
所以 又
所以底面
三棱锥体积为
19.解：（1）因为，所以
（2）初三年级人数为
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为
名
（3）设初三年级女生比男生多的事件为,初三年级女生男生数记为
，由（2）知，且
基本事件共有共11个，
事件包含的基本事件有
共5个，所以
20.解：（1）由得，当时，，
所以点坐标为
，过点的切线方程为
即，令得，所以 坐标为
由椭圆方程得坐标为，所以
因此所求椭圆和抛物线的方程分别为
（2）因为过作轴的垂线与抛物线的交点只有一个,所以以为直角的直角三角形只有一个，同理以为直角的直角三角形也只有一个；
若以为直角，设，而
由得，即
关于的一元二次方程只有一解，所以有两解，即以为直角的直角三角形有两个，
因此抛物线上共存在4个点使为直角三角形。
21.解：（1）由得
又，所以是以1为首项，为公比的等比数列
所以，
由，得，由得 ……
同理可得，为偶数时，，为奇数时，
所以
（2）
当n为奇数时，
当n为偶数时，
令 …………①
①得…………②
①②得
所以
因此
绝密☆启用前 试卷类型：A
2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5分，满分50分.每小题给出得四个选项中，只有一项十符合题目要求得.
1.已知全集U=R，则正确表示集合M= {－1，0，1} 和N= { x |x+x=0}
关系的韦恩（Venn）图是
2.下列n的取值中，使=1(i是虚数单位）的是
A. n=2 B. n=3 C. n=4 D. n=5
3.已知平面向量a= ，b=， 则向量
A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线
4.若函数是函数的反函数，且，则
A． B． C． D．2
5.已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=
A. B. C. D.2
6.给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中，为真命题的是
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
7.已知中，的对边分别为a,b,c若a=c=且，则b=
A.2 B．4＋ C．4— D．
8.函数的单调递增区间是
A. B.(0,3) C.(1,4) D.
9．函数是
A．最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数
10．广州2010年亚运会火炬传递在A、B、C、D、E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见下表.若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是
A. B.21 C.22 D.23
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
（一）必做题（11－13题）
11.某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：
队员i
1
2
3
4
5
6
三分球个数
图1是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填 ，输出的s=
(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”)
图1
12．某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人.
图 2
13．以点（2，）为圆心且与直线相切的圆的方程是 .
(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）若直线（t为参数）与直线垂直，则常数= .
15.(几何证明选讲选做题)如图3，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，，则圆O的面积等于 .
图3
三、解答题，本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16.（本小题满分12分）
已知向量与互相垂直，其中
（1）求和的值
（2）若，,求的值
17.（本小题满分13分）
某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.
（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图
（2）求该安全标识墩的体积
（3）证明:直线BD平面PEG
18.（本小题满分13分）
随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;
(2)计算甲班的样本方差
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.
19.（本小题满分14分）
已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.
(1)求椭圆G的方程
(2)求的面积
(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.
20.（本小题满分14分）
已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前n项和为,数列的首项为c，且前n项和满足－=+（n2）.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列{前n项和为，问>的最小正整数n是多少?
21.（本小题满分14分）
已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在
=－1处取得最小值m－1(m).设函数
(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值
(2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点.
参考答案
一、
1. B 2. C 3. C 4. A 5. B 6. D 7.A 8. D 9．A 10．B
二、
11.,
12． 37, 20
13．
14．
15.
16.
【解析】（１）,,即
又∵, ∴,即,∴
又 ,
(2) ∵
, ,即
又 , ∴
17.
【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.
（２）该安全标识墩的体积为：
（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.
由正四棱锥的性质可知,平面EFGH ,
又 平面PEG
又 平面PEG；
18.
【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于 之间。因此乙班平均身高高于甲班;
(2)
甲班的样本方差为
＝57
（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173） （181，176）
（181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173）
(178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；
；
19.【解析】（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c;
则 , 解得 ,
所求椭圆G的方程为：.
(2 )点的坐标为
（3）若，由可知点（6，0）在圆外，
若，由可知点（-6，0）在圆外；
不论K为何值圆都不能包围椭圆G.
20.【解析】（1）,
,,
.
又数列成等比数列， ，所以 ；
又公比，所以 ；
又,, ；
数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ，
当， ；
()；
（2）
；
由得，满足的最小正整数为112.
21.【解析】（1）设，则；
又的图像与直线平行
又在取极小值， ，
， ；
， 设
则
；
（2）由，
得
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，若，，
函数有两个零点；若，
，函数有两个零点；
当时，方程有一解, , 函数有一零点本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn 提供！
2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时．请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的．答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式V=sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A=｛0，1，2，3｝，B=｛1，2，4｝，则集合AB=
A．｛0，1，2，3，4｝ B．｛1，2，3，4｝ C．｛1，2｝ D．｛0｝
2．函数，f(x)=lg(x-1)的定义域是
A．(2，+∞) B．(1,+∞) C．[1，+∞) D．[2，+∞)
3．若函数f(x)=+与g(x)=的定义域均为R，则
A．f(x)与g(x)均为偶函数 B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为偶函数．g(x)为奇函数
4．已知数列{}为等比数列，是它的前n项和．若*=2a1，且与2的等差中项为，则=
A．35 B．33 C．31 D．29
5．若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，x)满足条件(8—)·=30，则x=
A．6 B．5 C．4 D．3
6．若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是
A． B．
C． D．
7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是
A． B． C． D．
8．“>0”是“>0”成立的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．非充分非必要条件 D．充要条件
9． 如图1，为正三角形，，，则多面体的正视图(也称主视图)是
10．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下：
那么d
A．a B．b C．c D．d
二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．
（一）必做题(11～13题)
11．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，
对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为，…， (单位：吨)．根据图2所示的程序框图，若，，，分别为1，，，，则输出的结果s为 .
12．某市居民2005～2009年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出Y（单位：万元）的统计资料如下表所示：
根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 ，家庭年平均收入与年平均支出有 线性相关关系.
13．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinA= .
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=，点E，F分别为线段AB，CD的中点，则EF= .
15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（）中，曲线与的交点的极坐标为
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（本小题满分l4分）
设函数，，，且以为最小正周期．
（1）求；（2）求的解析式；（3）已知，求的值．
17．（本小韪满分12分）
某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
（1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关?
（2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名?
（3）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．
18.(本小题满分14分)
如图4，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足平面，=.
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离.
19.（本小题满分12分）
某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
20.（本小题满分14分）
已知函数对任意实数均有，其中常数为负数，且在区间上有表达式.
（1）求，的值；
（2）写出在上的表达式，并讨论函数在上的单调性；
（3）求出在上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.
21.（本小题满分14分）
已知曲线，点是曲线上的点.
（1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标
（2）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求试点的坐标；
（3）设与为两个给定的不同的正整数，与是满足（2）中条件的点的坐标，
证明：
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.
1． A 2． B 3． D 4． C 5． C
6． D 7． B 8． A 9． D 10． A
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
11．1.5 12．13；正（或正的） 13．
14． . 15．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17．（本小题满分12分）
解：（1）因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目。所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的。
（2）应抽取大于40岁的观众的人数为：（名）
（3）用分层抽样方法抽取的5名观众中，20至30岁有2名（记为），大于40岁有3名（记为），5名观众中任取2名，共有10中不同取法；
设表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有一名观众年龄为20至40岁”，则中的基本事件有6中
故所求概率为
18．（本小题满分14分）
（1）证明 ： ∵点E为的中点，且为直径
∴
，且
∴
∵FC∩AC=C
∴BE⊥平面FBD
∵FD∈平面FBD
∴EB⊥FD
（2）解：∵，且
∴
又∵
∴
∴
∵
19．（本小题满分12分）
解：法（一）设需要预定满足要求的午餐和晚餐分别为个单位和个单位，所花的费用为元，则依题意得：，且满足
即
在可行域的四个顶点
处的值分别是
比较之，最小，因此，应当为该儿童预定4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
法（二）设需要预定满足要求的午餐和晚餐分别为个单位和个单位，所花的费用为元，则依题意得：，且满足
即
让目标函数表示的直线在可行域上平移，由此可知在处取得最小值．
因此，应为该儿童预定4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
在与上为增函数，在上为减函数；
（3）由函数在上的单调性可知，
在或处取得最小值或，而在或处取得最大值或．
故有
①而在处取得最小值，在处取得最大值．
②时，在与处取得最小值，在与处取得最大值．
③时，在处取得最小值，在处取得最大值．
，即时，取得最大值．
故所求点的坐标为．
（3）由（2）知，于是
．
现证明．
，
故问题得证．
2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东B卷）数学（文科）
参考公式：锥体体积公式V=Sh,其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。
线性回归方程中系数计算公式
样本数据的标准差
其中表示样本均值。
N是正整数，则
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设复数z满足iz=1，其中i为虚数单位，则
A.-i B.i C.-1 D.1
（2）已知集合，则的元素个数为
A.4 B.3 C.2 D.1
（3）已知向量，若为实数，，则=
A. B. C.1 D.2
（4）函数的定义域是
A. B.(1，+） C. D.（-，+）
（5）不等式的解集是
A. B.（1，+） C.（-，1）∪（2，+） D.
（6）已知平面直角坐标系上的区域由不等式组 给定为D上的动点，点A的坐标为，则z=·的最大值为
A.3 B.4 C.3 D.4
7.正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有
A.20 B.15 C.12 D.10
8.设圆C与圆外切，与直线相切，则C的圆心轨迹为
A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆
9.如图1-3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形等腰三角形和菱形，则该几何体体积为
A. B.4 C. D.2
10.
图1
,
图2
则下列恒等式成立的是
A.
图3
B.
C.
D.
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
11.已知是递增等比数列，则此数列的公比 __2____
12.设函数,若 ___-9___.
13.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系：
时间x
1
2
3
4
5
命中率y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
小李这5天的平均投篮命中率为____0.5___;用线性回归分析的方法，预测小李每月6号打篮球6小时的投篮命中率为__0.55___.
（二）选择题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为（0<）和
(t)，它们的交点坐标为
15.（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，
AB∥CD，AB=4，CD=2.E,F分别为AD，BC上点，且EF=3，
图4
EF∥AB，则梯形ABCD与梯形EFCD的面积比为 12:5
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分为12分）
已知函数，R.
（1） 求的值；
（2） 设，.求sin(+)的值
(1).
17.（本小题满分13分）
在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分.用表示编号为 (=1,2,…,6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号
1
2
3
4
5
成绩
70
76
72
70
72
(1)求第6位同学的成绩，及这6位同学成绩的标准差s;
(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率。
18.（本小题13分）
如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的. ,分别是
（1）
（2）,
证明:
解略.
19.（本小题满分14分）
.
20.（本小题满分14分）
(1)
(2)证明：对于一切正整数
综上可知，对任意正整数，
（21）（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，直线：交轴于点A，设是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足.
(1)当点在上运动时，求点的轨迹的方程；
(2)已知，设是 上动点,求+的最小值，并给出此时点的坐标；
(3)过点且不平行于轴的直线与轨迹有且只有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围.
