各地高考理科数学试题分类汇编圆锥曲线

各地高考理科数学试题分类汇编圆锥曲线

‎2014年全国及各省市高考理科数学分类汇编：圆锥曲线 ‎1（新课标1卷）.10已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若，则= C ‎. . .3 .2‎ ‎2. （新课标1卷）20. (本小题满分12分) 已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.‎ ‎(Ⅰ)求的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ ……5分 ‎ ‎ ‎ ……9分 ‎ ‎ ‎3. （新课标2卷）10.设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）D A. B. C. D. ‎ ‎4. （新课标2卷）20. （本小题满分12分）‎ 设,分别是椭圆C:的左,右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.‎ ‎（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.‎ 解：（I）根据及题设知 ‎ 将代入，解得（舍去）‎ ‎ 故C的离心率为.‎ ‎ （Ⅱ）由题意，原点为的中点，∥轴，所以直线与轴的交点 是线段的中点，故，即 ‎ ①‎ 由得。‎ 设，由题意知，则 ‎，即 代入C的方程，得。‎ 将①及代入②得 解得，‎ 故.‎ ‎5. （全国大纲卷）6.已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A．‎ ‎6. （全国大纲卷）9.已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A．‎ ‎7. （全国大纲卷）21. （本小题满分12分）‎ 已知抛物线C：的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.‎ ‎（I）求C的方程；‎ ‎（II）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程.‎ 解：（I）设，代入，得．由题设得，解得（舍去）或，∴C的方程为；（II）由题设知与坐标轴不垂直，故可设的方程为，代入得．设则 ‎．故的中点为．又的斜率为的方程为．将上式代入，并整理得．设则．故的中点为．‎ 由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，从而即，化简得，解得或．所求直线的方程为或．‎ ‎8. （山东卷）10.已知,椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为 ‎（A）（B）（C）（D）‎ 答案：A ‎9（山东卷）21.（本小题满分14分）‎ ‎ 已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有|，学科网当点的横坐标为3时，为正三角形。‎ ‎（I）求的方程；‎ ‎（II）若直线，且和有且只有一个公共点，‎ ‎ （i）证明直线过定点，并求出定点坐标；‎ ‎ （ii）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。‎ ‎10．(江苏卷) 17．(本小题满分14 分)如图，在平面直角坐标系xOy中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点B的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结．‎ ‎（1）若点C的坐标为，且，求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，求椭圆离心率e的值．‎ ‎【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运 ‎ 算求解能力. 满分14分.‎ ‎（1）∵，∴‎ ‎∵，∴，∴‎ ‎∴椭圆方程为 ‎（2）设焦点 ‎∵关于x轴对称，∴‎ ‎∵三点共线，∴，即①‎ ‎∵，∴，即②‎ ‎①②联立方程组，解得 ∴‎ ‎∵C在椭圆上，∴，‎ 化简得，∴, 故离心率为 ‎11. （安徽卷）14．设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若轴，则椭圆的方程为______ ____。‎ 答案：，‎ 解析：由题意得通径，∴点B坐标为 将点B坐标带入椭圆方程得，又，解得 ‎∴椭圆方程为。‎ ‎12. （安徽卷）19．(本小题满分13分)如图，已知两条抛物线和，‎ 过原点的两条直线和，与分别交于两点，与分别交于两点。‎ ‎（Ⅰ）证明：‎ ‎（Ⅱ）过原点作直线（异于，）与分别交于两点。‎ 记与的面积分别为与,求的值。‎ ‎（Ⅰ）证：设直线的方程分别为，则 ‎ 由得；由得 同理可得，‎ 所以 故，所以。‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，同理可得，‎ ‎ 所以，因此 ‎ 又由（Ⅰ）中的知，故。‎ ‎13.（浙江卷）16设直线与双曲线（）两条渐近线分别交于点，若点满足,则该双曲线的离心率是__________ ‎ ‎ ‎ ‎14（浙江卷）21．(本题满分15分)如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限.‎ ‎（１）已知直线的斜率为，用表示点的坐标；‎ （２） 若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为.‎ ‎21. 本题主要考查椭圆的 几何性质、点到直线距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力。满分15分。‎ ‎（I）设直线的方程为，由，消去得，，‎ 由于直线与椭圆只有一个公共点，故，即，‎ 解得点的坐标为，‎ 由点在第一象限，故点的坐标为；‎ ‎（II）由于直线过原点，且与垂直，故直线的方程为，所以点到直线 的距离，‎ 整理得，‎ 因为，所以，‎ 当且仅当时等号成立，‎ 所以点到直线的距离的最大值为.‎ ‎15.（北京卷）11设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________； 渐近线方程为________.， ‎ ‎16.（北京卷）（本小题14分）19.已知椭圆，‎ （1） 求椭圆的离心率.‎ （2） 设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明学科网你的结论.‎ 解：（I）由题意，椭圆C的标准方程为。‎ ‎ 所以，从而。因此。‎ 故椭圆C的离心率。‎ ‎（Ⅱ） 直线AB与圆相切。证明如下：‎ 设点A,B的坐标分别为，，其中。‎ 因为，所以，即，解得。‎ ‎ 当时，，代入椭圆C的方程，得，‎ ‎ 故直线AB的方程为。圆心O到直线AB的距离。‎ ‎ 此时直线AB与圆相切。‎ ‎ 当时，直线AB的方程为，‎ ‎ 即，‎ ‎ 圆心0到直线AB的距离 ‎ ‎ ‎ 又，故 ‎ ‎ ‎ 此时直线AB与圆相切。‎ ‎17.（天津卷）（5）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（　　）A ‎（A）　　 （B）‎ ‎（C）　 　（D）‎ ‎18.（天津卷）（18）（本小题满分13分）‎ 设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为.已知.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率.‎ ‎（Ⅰ）解：设椭圆的右焦点的坐标为.由，可得，又，则.‎ 所以，椭圆的离心率.‎ ‎，所以，解得，.‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，.故椭圆方程为.‎ 设.由，，有，.‎ 由已知，有，即.又，故有 ‎. ①‎ 又因为点在椭圆上，故 ‎. ②‎ 由①和②可得.而点不是椭圆的顶点，故，代入①得，即点的坐标为.‎ 设圆的圆心为，则，，进而圆的半径.‎ 设直线的斜率为，依题意，直线的方程为.学科网 由与圆相切，可得，即，‎ 整理得，解得.‎ 所以，直线的斜率为或.‎ ‎19（福建卷）9.设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ）D A. ‎ B. C. D.‎ ‎20. （福建卷）19.（本小题满分13分）‎ ‎ 已知双曲线的两条渐近线分别为.‎ ‎ （1）学科网求双曲线的离心率；‎ ‎ （2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，‎ ‎ 四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公 ‎ 共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由。‎ 解法一：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.‎ 所以,‎ 从而双曲线E的离心率.‎ ‎(2)由(1)知,双曲线E的方程为. ‎ 设直线与x轴相交于点C.‎ 当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,‎ 则,‎ 又因为的面积为8,‎ 所以.‎ 此时双曲线E的方程为.‎ 若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.‎ 以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件. ‎ 设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.‎ 则，记.‎ 由,得,同理得.由得, 即.‎ 由得, .因为,‎ 所以,‎ 又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.‎ 因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.‎ ‎21.(辽宁卷) 10.已知点在抛物线C：的准线上，学 科网过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）D A． B． C． D．‎ ‎22.(辽宁卷) 15.已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 .12‎ ‎23.(辽宁卷) 20. （本小题满分12分）圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.‎ ‎（Ⅰ）设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值，即S有最小值，因此点P得坐标为 ，‎ 由题意知 解得，故方程为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中.‎ 由在上，得，‎ 解得b12=3，因此C2方程为 显然，l不是直线y=0.设l的方程为x=my+，点 由 得，又是方程的根，因此 ‎ ，由得 因由题意知，所以 ，将①，②，③，④代入⑤式整理得，解得或，因此直线l的方程为，或.‎ ‎24．（陕西卷）20（本小题满分13分）‎ 如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.‎ （1） 求的值；‎ （2） 过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.‎ 解：（1）在，方程中，令，可得b=1,且得是上半椭圆的左右顶点，‎ 设的半焦距为，由及，解得 所以，‎ （1） 由（1）知，上半椭圆的方程为，‎ 易知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为 代入的方程中，整理得：‎ ‎ （*）‎ 设点的坐标 由韦达定理得 又，得，从而求得 所以点的坐标为 同理，由得点的坐标为 ‎，‎ ‎,即 ‎，，解得 经检验，符合题意，‎ 故直线的方程为 ‎25.（湖南卷）15．如图4，正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过 ‎ ‎26.（湖南卷）21． （本小题满分13分）‎ 如图7，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．已知且 （1） 求的方程；‎ （2） 过作的不垂直于轴的弦的中点．当直线与交于两点时，求四边形面积的最小值．‎ 解（I）因为，所以，即，因此，从而，于是，所以，。故的方程分别为，.‎ ‎（Ⅱ）因AB不垂直于y轴，且过点,故可设直线AB的方程为 ‎.‎ 由 得 ‎ ‎ 易知此方程的判别式大于0.设，则是上述方程的两个实根，所以 因此，于是AB的中点为 ‎，故直线PQ的斜率为，PQ的方程为，即。‎ 由得，所以，且，，从而。‎ 设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以 ‎ 。‎ 因为点A、B在直线的异侧，所以，于是，‎ 从而 又因为，所以 ‎ 。‎ 故四边形APBQ的面积 ‎ .‎ 而，故当时，S取得最小值2.‎ 综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.‎ ‎27.（江西卷）15.过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 ‎ ‎28.（江西卷）20（本小题满分13分）如图，已知双曲线的右焦点,点分别在的两条渐近线上，轴，∥(为坐标原点）.‎ （1） 求双曲线的方程；‎ （2） 过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值 ‎（1）设，因为，所以 直线OB方程为，直线BF的方程为，解得 又直线OA的方程为，则 又因为ABOB，所以，解得，故双曲线C的方程为 ‎（2）由（1）知，则直线的方程为，即 因为直线AF的方程为，所以直线与AF的交点 直线与直线的交点为 则 因为是C上一点，则，代入上式得 ‎，所求定值为 ‎29.（湖北卷）9.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A A. B. C.3 D.2‎ ‎30.（湖北卷）21（满分14分）在平面直角坐标系中，点M到点的距离比它到轴的距离多1，记点M的轨迹为C.‎ (1) 求轨迹为C的方程 (2) 设斜率为k的直线过定点，求直线与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围。‎ 解：‎ ‎（I）设点，依题意，，即，‎ 整理的，‎ 所以点的轨迹的方程为.‎ ‎（II）在点的轨迹中，记，，‎ 依题意，设直线的方程为，‎ 由方程组得 ①‎ 当时，此时，把代入轨迹的方程得，‎ 所以此时直线与轨迹恰有一个公共点.‎ 当时，方程①的判别式为 ②‎ 设直线与轴的交点为，则由，令，得③‎ ‎（i）若，由②③解得或.‎ 即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，‎ 故此时直线与轨迹恰有一个公共点.‎ ‎（ii）若或，由②③解得或，‎ 即当时，直线与有一个共点，与有一个公共点.‎ 当时 ，直线与有两个共点，与没有公共点.‎ 故当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点.‎ ‎（iii）若，由②③解得或，‎ 即当时，直线与有两个共点，与有一个公共点.‎ 故此时直线与轨迹恰有三个公共点.‎ 综上所述，当时直线与轨迹恰有一个公共点；‎ ‎ 当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点；‎ ‎ 当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.‎ ‎31.（四川卷）10．已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎32.（四川卷）20．已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q。‎ ‎（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；‎ ‎（ii）当最小时，求点T的坐标。‎ 解：（1）依条件 所以椭圆C的标准方程为 ‎（2）设，，，又设中点为 ‎（i）因为，所以直线的方程为：‎ 所以 于是，‎ 所以。因为 所以，，三点共线 即OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）‎ ‎（ii），‎ 所以，令（）‎ 则（当且仅当时取“”）‎ 所以当最小时，即或，此时点T的坐标为或 ‎33.（重庆卷）8.设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为（ ）B A. ‎ B. C. D.3‎ ‎34.（重庆卷）21.如题（21）图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.‎ （1） 求该椭圆的标准方程；‎ （2） 是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）设，其中，‎ 由得 从而故.‎ 从而，由得，因此.‎ 所以，故 因此，所求椭圆的标准方程为：‎ ‎（Ⅱ）如答（21）图，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，，,是圆的切线，且由圆和椭圆的对称性，易知，， ‎ 由（Ⅰ）知，所以，再由得，由椭圆方程得，即，‎ 解得或.‎ 当时，重合，此时题设要求的圆不存在.‎ 当时，过分别与,垂直的直线的交点即为圆心.‎ 由,是圆的切线，且，知，又故圆的半径 ‎34.（广东卷）4．若实数k满足，则曲线与曲线的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等 答案：A ‎35.（广东卷）20．（本小题满分14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。‎ ‎20.解：（１）可知，又，，，‎ 椭圆C的标准方程为；‎ ‎（２）设两切线为，‎ ‎①当轴或轴时，对应轴或轴，可知 ‎②当与轴不垂直且不平行时，，设的斜率为，则，的斜率为，‎ 的方程为，联立，‎ 得，‎ 因为直线与椭圆相切，学科网所以，得，‎ ‎，‎ 所以是方程的一个根，‎ 同理是方程的另一个根，‎ ‎，得，其中，‎ 所以点P的轨迹方程为（），‎ 因为满足上式，综上知：点P的轨迹方程为．‎