2020版高中数学 第三章 概率 3

2020版高中数学 第三章 概率 3

‎2.1　古典概型的特征和概率计算公式 ‎2.2　建立概率模型 课后篇巩固提升 A组 ‎1.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是(　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ 解析随机选取的a,b组成实数对(a,b),有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共15种,其中b>a的有(1,2),(1,3),(2,3),共3种,所以b>a的概率为.‎ 答案D ‎2.从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为(　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ 解析从甲、乙等5名学生中选2人有10种方法,其中2人中包含甲的有4种方法,故所求的概率为.‎ 答案B ‎3.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b,c,则方程x2+bx+c=0有相等的实根的概率为 (　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ 解析基本事件总数为6×6=36,若方程有相等的实根,则b2‎-4c=0,满足这一条件的b,c的值只有两种:b=2,c=1;b=4,c=4,故所求概率为.‎ 答案D ‎4.20名高一学生、25名高二学生和30名高三学生在一起座谈,如果任意抽其中一名学生讲话,抽到高一学生的概率是　　　,抽到高二学生的概率是　　　,抽到高三学生的概率是　　　. ‎ 解析任意抽取一名学生是等可能事件,基本事件总数为75,记事件A,B,C分别表示“抽到高一学生”“抽到高二学生”和“抽到高三学生”,则它们包含的基本事件的个数分别为20,25和30.‎ 故P(A)=,P(B)=,P(C)=.‎ 答案 ‎5.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差‎0.3 m的概率为　　　　. ‎ 解析“从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿”的所有可能结果为(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9),(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.9),共10种等可能出现的结果,又“它们的长度恰好相差‎0.3 m”包括(2.5,2.8),(2.6,2.9),共2种结果,由古典概型的概率计算公式可得所求事件的概率为.‎ 答案 ‎6.若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为　　　　　. ‎ 解析甲、乙、丙三人随机地站成一排有:(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共6种排法,其中甲、乙相邻有:(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共4种排法.‎ 所以甲、乙两人相邻而站的概率为.‎ 答案 4‎ ‎7.(2018陕西榆林高一测验)某汽车站每天均有3辆开往省城的分上、中、下等级的客车.某天王先生准备在该汽车站乘车去省城办事,但他不知道客车的车况,也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车,他采取如下策略:先不上第一辆,如果第二辆比第一辆好则上第二辆,否则上第三辆,那么他乘上上等车的概率为　　　　　. ‎ 解析共有6种发车顺序:①上、中、下;②上、下、中;③中、上、下;④中、下、上;⑤下、中、上;⑥下、上、中(其中画线的表示王先生所乘的车),所以他乘上上等车的概率为.‎ 答案 ‎8.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖(所有的球除颜色外都相同).‎ ‎(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果.‎ ‎(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.‎ 解(1)所有可能的摸出结果是(A1,a1),(A1,a2),(A1,b1),(A1,b2),(A2,a1),(A2,a2),(A2,b1),(A2,b2),(B,a1),(B,a2),(B,b1),(B,b2).‎ ‎(2)不正确.理由如下:‎ 由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为(A1,a1),(A1,a2),(A2,a1),(A2,a2),共4种,所以中奖的概率为,不中奖的概率为1-.故这种说法不正确.‎ ‎9.导学号36424065为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进高等教育教学改革,教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛,选拔出甲、乙、丙三支队伍参加决赛.‎ ‎(1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率;‎ ‎(2)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率.‎ 解三支队伍所有可能的出场顺序的基本事件为:(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共6种.‎ ‎(1)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A,事件A包含的基本事件有:(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),共2种,所以P(A)=.‎ 所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为.‎ ‎(2)设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B,事件B包含的基本事件有:(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共4种,所以P(B)=.‎ 所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为.‎ B组 ‎1.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{1,2,3,4},若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为(　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ 解析甲、乙所猜数字的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16种情况,其中满足|a-b|≤1的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)共10种情况,故所求概率为.‎ 答案A ‎2.若A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+b=0,a∈A,b∈A},则A∩B=B的概率是(　　)‎ A. B. C. D.1‎ 4‎ 解析随着a, b的取值变化,集合B有32=9种可能,如表,经过验证很容易知道其中有8种满足A∩B=B,所以概率是.故选C.‎ ‎　B　　　a　‎ b　　　　‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎⌀‎ ‎{1}‎ ‎2‎ ‎⌀‎ ‎⌀‎ ‎{1,2}‎ ‎3‎ ‎⌀‎ ‎⌀‎ ‎⌀‎ 答案C ‎3.连续抛掷质地均匀的骰子两次,得到的点数分别记为a和b,则使直线3x-4y=0与圆(x-a)2+(y-b)2=4相切的概率为(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析连续抛掷质地均匀的骰子两次的所有试验结果有36种,要使直线3x-4y=0与圆(x-a)2+(y-b)2=4相切,则应满足=2,即满足|‎3a-4b|=10,符合题意的(a,b)有(6,2),(2,4),一共2个.所以由古典概型得所求概率为,故选D.‎ 答案D ‎4.第1,2,5,7路公共汽车都在一个车站停靠,有一位乘客等候着1路或5路公共汽车,假定各路公共汽车首先到站的可能性相等,那么首先到站的正好为这位乘客所要乘的车的概率是　　　　　. ‎ 解析因为4种公共汽车先到站共有4种结果,且每种结果出现的可能性相等,所以“首先到站的车正好是所乘车”的结果有2种,故所求概率为.‎ 答案 ‎5.有6根细木棒,长度分别为1,2,3,4,5,6,从中任取3根首尾相接,能搭成三角形的概率是　　　　　. ‎ 解析从这6根细木棒中任取3根首尾相接,共有 ‎(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6),(1,3,4),(1,3,5),(1,3,6),(1,4,5),( 1,4,6),(1,5,6),(2,3,4),(2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6)20种,能构成三角形的取法有(2,3,4),(2,4,5),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共有7种情况,所以由古典概型概率公式可得所求概率为P=.‎ 答案 ‎6.小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计一个游戏,规则如下:将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上,背面朝上,洗匀后抽出一张,放回洗匀后再抽出一张,若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”)则小敏获胜,否则小慧获胜.你认为这个游戏对谁有利?请用列表的方法进行分析,并对构成的汉字进行说明.‎ 解这个游戏对小慧有利.‎ 每次游戏时,所有可能出现的结果如下:‎ ‎　　　　第二张卡片 第一张卡片　　　　‎ 土 口 木 土 ‎(土,土)‎ ‎(土,口)‎ ‎(土,木)‎ 口 ‎(口,土)‎ ‎(口,口)‎ ‎(口,木)‎ 4‎ 木 ‎(木,土)‎ ‎(木,口)‎ ‎(木,木)‎ 总共有9种结果,且每种结果出现的可能性相同,其中能组成上下结构的汉字的结果有4种:(土,土)“圭”,(口,口)“吕”,(木,口)“杏”或“呆”,(口,木)“呆”或“杏”.所以小敏获胜的概率为,小慧获胜的概率为.所以这个游戏对小慧有利.‎ ‎7.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:‎ ‎①若xy≤3,则奖励玩具一个;‎ ‎②若xy≥8,则奖励水杯一个;‎ ‎③其余情况奖励饮料一瓶.‎ 假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.‎ ‎(1)求小亮获得玩具的概率;‎ ‎(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.‎ 解用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.‎ 因为S中元素的个数是4×4=16,‎ 所以基本事件总数n=16.‎ ‎(1)记“xy≤‎3”‎为事件A,则事件A包含的基本事件数共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).‎ 所以P(A)=,‎ 即小亮获得玩具的概率为.‎ ‎(2)记“xy≥‎8”‎为事件B,“3

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