2020版高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 专题对点练7 导数与不等式及参数范围 文
专题对点练7 导数与不等式及参数范围
1.已知函数f(x)= x2+(1-a)x-aln x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设a<0,若对∀x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范围.
2.设函数f(x)=(1-x2)ex.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.
3.(2018北京,文19)设函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex.
(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a;
(2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.
4.已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a<0时,证明f(x)≤--2.
4
专题对点练7答案
1.解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x+1-a-,
若a≤0,则f'(x)>0,此时f(x)在(0,+∞)内单调递增;
若a>0,则由f'(x)=0得x=a,当0
a时,f'(x)>0,
此时f(x)在(0,a)内单调递减,在(a,+∞)内单调递增.
(2)不妨设x1≤x2,而a<0,由(1)知,f(x)在(0,+∞)内单调递增,∴f(x1)≤f(x2),
|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|⇔4x1-f(x1)≥4x2-f(x2),
令g(x)=4x-f(x),则g(x)在(0,+∞)内单调递减,
∵g'(x)=4-f'(x)=4--x+3+a,
∴g'(x)= -x+3+a≤0对∀x∈(0,+∞)恒成立,
∴a≤对∀x∈(0,+∞)恒成立,
∴a≤.
又=x+1+-5
≥2-5=-1,
当且仅当x+1=,即x=1时,等号成立.
∴a≤-1,
故a的取值范围为(-∞,-1].
2.解 (1)f'(x)=(1-2x-x2)ex.
令f'(x)=0得x=-1-,x=-1+.
当x∈(-∞,-1-)时,f'(x)<0;
当x∈(-1-,-1+)时,f'(x)>0;
当x∈(-1+,+∞)时,f'(x)<0.
所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)内单调递减,在(-1-,-1+)内单调递增.
(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.
当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h'(x)=-xex<0(x>0),
因此h(x)在[0,+∞)内单调递减,
而h(0)=1,故h(x)≤1,
所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.
当00(x>0),
所以g(x)在[0,+∞)内单调递增,
而g(0)=0,
故ex≥x+1.
当0(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=,则x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,
故f(x0)>ax0+1.
当a≤0时,取x0=,则x0∈(0,1),f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1.
综上,a的取值范围是[1,+∞).
3.解 (1)因为f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex,
所以f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex.
所以f'(2)=(2a-1)e2.
由题设知f'(2)=0,即 (2a-1)e2=0,解得a=.
(2)(方法一)由(1)得f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex=(ax-1)(x-1)ex.
4
若a>1,则当x∈时,f'(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在x=1处取得极小值.
若a≤1,则当x∈(0,1)时,ax-1≤x-1<0,所以f'(x)>0.
所以1不是f(x)的极小值点.
综上可知,a的取值范围是(1,+∞).
(方法二)由(1)得f'(x)=(ax-1)(x-1)ex.
当a=0时,令f'(x)=0,得x=1.
f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x
(-∞,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
+
0
-
f(x)
↗
极大值
↘
∴f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.
当a>0时,令f'(x)=0,
得x1=,x2=1.
①当x1=x2,即a=1时,
f'(x)=(x-1)2ex≥0,
∴f(x)在R上单调递增,
∴f(x)无极值,不合题意.
②当x1>x2,即01时,f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x
1
(1,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f(x)在x=1处取得极小值,即a>1满足题意.
当a<0时,令f'(x)=0,得x1=,x2=1.
f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x
1
(1,+∞)
f'(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
∴f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.
综上所述,a的取值范围为(1,+∞).
4.(1)解 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= +2ax+2a+1=.
若a≥0,则当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)单调递增.
若a<0,则当x∈时,f'(x)>0;
当x∈时,f'(x) <0.
4
故f(x)在单调递增,在单调递减.
(2)证明 由(1)知,当a<0时,f(x)在x=-取得最大值,最大值为f=ln-1-.
所以f(x)≤--2等价于ln-1-≤--2,
即ln+1≤0.
设g(x)=ln x-x+1,则g'(x)= -1.
当x∈(0,1)时,g'(x)>0;
当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.
所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.
故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.
所以当x>0时,g(x)≤0.
从而当a<0时,ln+1≤0,
即f(x)≤--2.
4