我的高考椭圆知识点总结

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我的高考椭圆知识点总结

椭圆知识点 一、椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.‎ 注意:若,则动点的轨迹为线段;      若,则动点的轨迹无图形.‎ 二、椭圆的标准方程   1.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中 ‎2.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中;‎ 注:1.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程;   2.在椭圆的两种标准方程中,都有和;   3.椭圆的焦点总在长轴上.‎ 当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,;‎ 当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,‎ 三、椭圆的简单几何性质   椭圆:的简单几何性质 (1)对称性:对于椭圆标准方程说明:把换成、或把换成、或把、 ‎ 同时换成、、原方程都不变,所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。‎ ‎(2)范 围:椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足,。‎ ‎(3)顶 点:① 椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ② 椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为 ‎ ‎,,,  ‎ ‎③ 线段,分别叫做椭圆的长轴和短轴,,。‎ 和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。‎ ‎(4)离心率:① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用表示,记作。    ② 因为,所以的取值范围是。越接近1,则就越接近,从而 ‎ 越小,因此椭圆越扁;反之,越接近于0,就越接近0,从而越接近于,这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时,,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为。‎ 注:椭圆的图像中线段的几何特征(如右图):‎ ‎(1);‎ ‎; (椭圆的第二定义)‎ ‎; ‎ ‎(2); ; ;   (3); ; ;‎ 四、椭圆 与 的区别和联系 标准方程 ‎ ‎ ‎ ‎ 图形 性质 焦点 ‎,‎ ‎,‎ 焦距 ‎ ‎ 范围 ‎,‎ ‎,‎ 对称性 关于轴、轴和原点对称 顶点 ‎,‎ ‎,‎ 轴长 长轴长=,短轴长= ‎ 离心率 准线方程 焦半径 ‎,‎ ‎,‎ 注:关于椭圆与的说明:‎ 相同点:形状、大小都相同;参数间的关系都有和,;‎ 不同点:两种椭圆的位置不同;它们的焦点坐标也不相同。‎ 规律方法: ‎ ‎1、如何确定椭圆的标准方程?   任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标 ‎ 轴,椭圆的方程才是标准方程形式。此时,椭圆焦点在坐标轴上。‎ 确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:‎ ‎2、椭圆标准方程中的三个量的几何意义   椭圆标准方程中,三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示 ‎ 椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:,,且。‎ 可借助右图理解记忆:       显然:恰构成一个直角三角形的三条边,其中a是斜边,b、c为两条 ‎ 直角边。‎ ‎3、如何由椭圆标准方程判断焦点位置 ‎ 椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看,的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。‎ ‎4、方程是表示椭圆的条件 方程可化为,即,所以只有A、B、C同号,且AB时,方程表示椭圆。当时,椭圆的焦点在轴上;当时,椭圆的焦点在轴上。‎ ‎5、求椭圆标准方程的常用方法: ‎ ‎① 待定系数法:由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型,再定量”;‎ ‎② 定义法:由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。‎ ‎6.共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 共焦点,则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为,此类问题常用待定系数法求解。‎ ‎7.判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据: ① 若把曲线方程中的换成,方程不变,则曲线关于轴对称;‎ ‎② 若把曲线方程中的换成,方程不变,则曲线关于轴对称;‎ ‎③ 若把曲线方程中的、同时换成、,方程不变,则曲线关于原点对称。‎ ‎8.如何求解与焦点三角形△PF‎1F2(P为椭圆上的点)有关的计算问题? ‎ 思路分析:与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。将有关线段,有关角 ()结合起来,建立、之间的关系. ‎ ‎ 焦点三角形面积公式: (P为椭圆上任一一点)‎ ‎9.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系? 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率,因为,,用表示为。‎ 显然:当越小时,越大,椭圆形状越扁;‎ 当越大,越小,椭圆形状越趋近于圆。‎ ‎(一)椭圆及其性质 ‎1、椭圆的定义 ‎(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1 F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。‎ ‎(2)一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数,那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数就是离心率 ‎2、椭圆的标准方程: ‎ ‎3、椭圆的参数方程 ‎4、离心率: 椭圆焦距与长轴长之比 ‎ ‎5、椭圆的准线方程:左准线 右准线 ‎(二)、椭圆的焦半径椭圆的焦半径公式:‎ 焦点在x轴上的椭圆的焦半径公式: ( 其中分别是椭圆的左右焦点)‎ 焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式: ( 其中分别是椭圆的下上焦点)‎ ‎(三)、直线与椭圆问题(韦达定理的运用)‎ ‎1、弦长公式:若直线与圆锥曲线相交与、两点,‎ 则:弦长 ‎ ‎ ‎ 例1. 已知椭圆及直线y=x+m。‎ ‎(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。‎ ‎2、已知弦AB的中点,研究AB的斜率和方程AB是椭圆+=1(a>b>0)的一条弦,中点M坐标为(x0,y0),‎ 则AB的斜率为-.‎ 运用点差法求AB的斜率,设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ A、 B都在椭圆上,∴ 两式相减得: +=0,‎ ‎∴+=0,‎ 即:=-=-.‎ 故:kAB=-.‎ 例2、过椭圆内一点引一条弦,使弦被点平分,求这条弦所在直线的方程。‎ ‎(四)、四种题型与三种方法 四种题型 ‎1、已知椭圆C:内有一点A(2,1),F是椭圆C的左焦点,P为椭圆C上的动点.‎ 求:|PA|+|PF|的最小值。‎ ‎2、已知椭圆内有一点A(2,1),F为椭圆的左焦点,P是椭圆上动点.‎ 求:|PA|+|PF|的最大值与最小值。‎ ‎3、已知椭圆外一点A(5,6),l为椭圆的左准线,P为椭圆上动点,点P到l的距离为d,求:|PA|+的最小值。‎ ‎4、定长为d()的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动.‎ 求:AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。‎ 三种方法 ‎1、椭圆的切线与两坐标轴分别交于A,B两点, 求:三角形OAB的最小面积 。‎ ‎2、已知椭圆 和直线 l:x-y+9=0 ,在l上取一点M ,经过点M且以椭圆的焦 ‎ 点为焦点作椭圆,求M在何处时所作椭圆的长轴最短,并求此椭圆方程 。‎ ‎3、过椭圆的焦点的直线交椭圆A,B两点 ,求面积的最大值 。‎ ‎ ‎ 课后同步练习 ‎1. 椭圆的焦点坐标是 , 离心率是________,准线方程是_________.‎ ‎2. 已知F1、F2是椭圆的两个焦点,过F1的直线与椭圆交于M、N两点,则△MNF2的周长为( ) A.8 B.‎16 C.25 D.32‎ ‎3. 椭圆上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为( )‎ A. 5 B. 6 C. 4 D. 10‎ ‎4. 已知椭圆方程为,那么它的焦距是 ( ) ‎ A. 6 B. 3 C. 3 D. ‎ ‎5. 如果方程表示焦点在轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是 ‎ A.(0,+∞) B. (0,2) C. (1,+∞) D. (0,1) ‎ ‎6.设为定点,||=6,动点M满足,则动点M的轨迹是( )‎ A. 椭圆 B. 直线 C. 圆 D. 线段 ‎ ‎7. 已知方程+=1,表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围为 .‎ ‎8. 已知椭圆的两个焦点坐标是F1(-2,0),F2(2,0),并且经过点P(),则椭圆标准方程是__ ___‎ ‎9. 过点A(-1,-2)且与椭圆的两个焦点相同的椭圆标准方程是__ __ ‎ ‎10. 过点P(,-2),Q(-2,1)两点的椭圆标准方程是_ __ ___‎ ‎11. 若椭圆的离心率是,则k的值等于 .‎ ‎12. 已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是 .‎ ‎13. F1、F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2的值是 ‎ ‎14. 设M是椭圆上一点,F1、F2为焦点,,则 ‎ ‎15. 在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎16. 设是右焦点为的椭圆上三个不同的点,则“成等差数列”是“”的( )‎ ‎(A)充要条件 (B)必要不充分条件 ‎ ‎(C)充分不必要条件 (D)既非充分也非必要 ‎17. 如图,把椭圆的长轴分成8等份,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点,是椭圆的一个焦点,则 ‎ .‎ ‎18、已知定点A(a,0),其中,它到椭圆上的点的距离的最小值为1,求a的值。‎ ‎19、已知F1、F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任一点.‎ ‎(1) 若∠F1PF2=,求△F1PF2的面积。‎ ‎(2) 求:|PF1|·|PF2|的最大值。‎
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