高考专题基本初等函数

高考专题基本初等函数

专题1：基本初等函数（两课时）‎ 班级 姓名 ‎ 一、前测训练 ‎1．已知函数f(x)＝，①若f(x)≥2，则x的取值范围为 ．②f(x)在区间[－1，3]的值域为 ．‎ 答案：①[－，＋∞)；②[2，4].‎ ‎2．①若f(x2＋1)＝x2，则f(x)＝ ．②已知f[f(x)]＝9＋4x，且f(x)是一次函数，则f(x)＝ ．‎ ‎③已知函数满足‎2f(x)＋f()＝x，则f(2)＝ ；f(x)＝ ．‎ 答案：①x－1(x≥1)；②2x＋3或－2x－9；③，x－．‎ ‎3．①若二次不等式f(x)＜0的解集为(1，2)，且函数y＝f(x)的图象过点(－1，2)，则f(x)＝ ．‎ ‎②已知f(x)＝－x2＋2x－2，x∈[t，t＋1]，若f(x)的最小值为h(t)，则h(t)＝ ．‎ 答案：①x2－x＋；②．‎ ‎4．①已知2≤()，则函数y＝()的值域为 ．‎ ‎②设loga＜2，则实数a的取值范围为 ．‎ 答案：①[，81]；②(0，)∪(1，＋∞).‎ ‎5． ①lg25＋lg2lg50＝ ．②已知函数y＝log(x2－2x＋2)，则它的值域为 ．‎ ‎③已知函数y＝log(2－ax)在区间[0，1]上为单调递减，则实数a的取值范围为 ．‎ 答案：①1；②(－∞，0]；③(－∞，0).‎ ‎6．①函数f(x)＝lgx－sinx零点的个数为 ．‎ ‎②函数f(x)＝2x＋x－4零点所在区间为(k，k＋1 )，k∈N，则k＝ ．‎ 答案：①3；②1.‎ 二、方法联想 ‎1．分段函数 方法1：分段函数，分类处理；方法2：分段函数整体处理．‎ ‎2．解析式求法 方法1 换元法、配凑法；方法2 待定系数法；方法3 方程组法．‎ ‎3．二次函数 二次函数解析式求法 一般设为三种形式：(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．‎ 二次函数最值求法 求二次函数最值，考虑对称轴与区间的相对位置关系，即左、中偏左、中偏右、右，再根据具体问题对四种情况进行合并(或取舍)． ‎ ‎4．指数函数 ‎ (1)指数方程与不等式问题关键是两边化同底．‎ ‎(2)与指数函数有关的值域问题，方法一：复合函数法，转化为利用指数函数的单调性；方法二：换元法．‎ ‎5．对数函数 ‎(1)对数式化简可利用公式logbn＝logab将底数和真数均化成最简形式．‎ ‎(2) 对数方程与不等式问题关键是两边化同底．‎ ‎6．零点问题 方法1 数形结合法；‎ 方法2 ‎ 连续函数y＝f(x)在区间(a，b)上有f(a)f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上至少存在一个零点．反之不一定成立．‎ 二次函数y＝f(x)在区间(a，b)上有f(a)f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上存在唯一一个零点． ‎ 三、例题分析 第一层次 例1.已知函数f(x)＝loga(8－2x)(a＞0，且a≠1).‎ ‎（1）当a＝2时，求满足不等式f(x)≤2的实数x的取值范围；‎ ‎（2）当a＞1时，求函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值.‎ 解：（1）实数x的取值范围为[2，3).‎ ‎（2）函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值为loga49.‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．解指(对)数不等式问题：‎ 方法:①利用指(对)数函数的单调性，将不等式转化为代数不等式来解．‎ ‎ ②换元法：转化为代数不等式．‎ ‎2．与指(对)数有关的函数值域：‎ 方法：①考察对应函数(复合函数)的单调性，利用单调性处理．‎ ‎ ②用换元法，转化为几个基本函数的值域问题．‎ ‎ (2)方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，学生一般会选择方法①，因为本题既含对数，也含有指数，用换元不能一次转化为代数不等式，所以选择方法①．‎ 对于问题2，学生一般会选择方法②，因为用换元法转化为几个基本函数的值域，处理比较方便，所以选择方法①．‎ 指数函数、对数函数的单调性受底数a的影响，解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时，首先要看底数的范围.‎ 本题的易错点有两个，一是第一问中的“8－2x＞‎0”‎的定义域部分；二是第二问中函数y＝f(x)＋f(－x)的定义域.‎ 例2.已知函数f(x)＝(a∈R)的定义域为R，求关于x的方程＝|a－1|＋1的根的取值范围.‎ 解： 取值范围为[，18].‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．已知函数的定义域，求参数的范围：‎ 方法 ‎:与求函数的定义域的处理方法一致，将问题转化为已知不等式的解集，再利用对应方程的根已知，求参数的范围．‎ ‎2．分段函数的值域：‎ 方法：①利用函数的图象，求值域．‎ ‎ ②分别求每个区间的值域，再求并集．‎ ‎ (2)方法选择与优化建议：‎ 对于问题2，学生一般会选择方法②，在解答题中，需要解题过程，所以选择方法②．‎ 本题的易错点是最后求得的x的取值范围应该两段函数的值域的并集.‎ 例3.已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.‎ ‎（1）若ab＞0，判断函数f(x)的单调性；‎ ‎（2）若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)时x的取值范围．‎ 解：（1）当a＞0，b＞0时，函数f(x)在R上是增函数．‎ 同理，当a＜0，b＜0时，函数f(x)在R上是减函数．‎ ‎（2）当a＜0，b＞0时，x的取值范围为(log1.5，＋∞)；‎ 当a＞0，b＜0时，x的取值范围为(－∞，log1.5).‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．讨论函数的单调性问题：‎ 方法:①利用函数的图象；‎ ‎ ②复合函数的单调性；‎ ‎③利用函数单调性的定义．‎ ‎④利用导函数来求函数的单调区间．‎ ‎2．与指(对)数有关的解不等式问题：‎ 方法：①利用函数的单调性，转化为代数不等式．‎ ‎ ②用换元法，依次解几个代数不等式．‎ ‎ (2)方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，学生一般会选择方法③或④，因为本题不仅要求判断还需要证明结论，方法①②不能用作证明，所以选择方法③或④．‎ 对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题函数的单调性比较明确，便于转化，所以选择方法①．‎ 本题的易错点是第二问中忽视字母a的符号对不等号的方向的影响.‎ 本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的，“ab＞‎0”‎和“ab＜‎0”‎的含义是字母a、b同号或异号，因此需要具体到a、b各自的符号.‎ 第二层次 例1.已知函数f(x)＝loga(8－2x)(a＞0，且a≠1).‎ ‎（1）当a＝2时，求满足不等式f(x)≤2的实数x的取值范围；‎ ‎（2）当a＞1时，求函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值.‎ 解：（1）实数x的取值范围为[2，3).‎ ‎（2）函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值为loga49.‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．解指(对)数不等式问题：‎ 方法:①利用指(对)数函数的单调性，将不等式转化为代数不等式来解．‎ ‎ ②换元法：转化为代数不等式．‎ ‎2．与指(对)数有关的函数值域：‎ 方法：①考察对应函数(复合函数)的单调性，利用单调性处理．‎ ‎ ②用换元法，转化为几个基本函数的值域问题．‎ ‎ (2)方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，学生一般会选择方法①，因为本题既含对数，也含有指数，用换元不能一次转化为代数不等式，所以选择方法①．‎ 对于问题2，学生一般会选择方法②，因为用换元法转化为几个基本函数的值域，处理比较方便，所以选择方法①．‎ 指数函数、对数函数的单调性受底数a的影响，解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时，首先要看底数的范围.‎ 本题的易错点有两个，一是第一问中的“8－2x＞‎0”‎的定义域部分；二是第二问中函数y＝f(x)＋f(－x)的定义域.‎ 例2.已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.‎ ‎（1）若ab＞0，判断函数f(x)的单调性；‎ ‎（2）若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)时x的取值范围．‎ 解：（1）当a＞0，b＞0时，函数f(x)在R上是增函数．‎ 当a＜0，b＜0时，函数f(x)在R上是减函数．‎ ‎（2）当a＜0，b＞0时，x的取值范围为(log1.5，＋∞)；‎ 当a＞0，b＜0时，x的取值范围为(－∞，log1.5).‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．讨论函数的单调性问题：‎ 方法:①利用函数的图象；‎ ‎ ②复合函数的单调性；‎ ‎③利用函数单调性的定义．‎ ‎④利用导函数来求函数的单调区间．‎ ‎2．与指(对)数有关的解不等式问题：‎ 方法：①利用函数的单调性，转化为代数不等式．‎ ‎ ②用换元法，依次解几个代数不等式．‎ ‎ (2)方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，学生一般会选择方法③或④，因为本题不仅要求判断还需要证明结论，方法①②不能用作证明，所以选择方法③或④．‎ 对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题函数的单调性比较明确，便于转化，所以选择方法①．‎ 本题的易错点是第二问中忽视字母a的符号对不等号的方向的影响.‎ 本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的，“ab＞‎0”‎和“ab＜‎0”‎的含义是字母a、b同号或异号，因此需要具体到a、b各自的符号.‎ 例3.设命题p：函数f(x)＝的定义域为R；命题q：不等式3x－9x＜a－1对一切正实数x均成立.‎ ‎（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）如果命题p且q为真命题，求实数a的取值范围.‎ 解：（1）实数a的取值范围为[0，4).‎ ‎（2）实数a的取值范围为[1，4).‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．已知函数的定义域，求参数的范围：‎ 方法:与求函数的定义域的处理方法一致，将问题转化为已知不等式的解集，再利用对应方程的根已知，求参数的范围．‎ ‎2．不等式恒成立问题：‎ 方法：①分离变量转化为求函数的最值．‎ ‎ ②直接求函数的最值，再解不等式；‎ ‎ ③利用函数的图象，观察临界情况，再进行相应的计算．‎ ‎3．复合命题的真假判断：‎ 方法：转化为判断构成复合命题的简单命题的真假，再根据逻辑联结词，来判断．‎ ‎ (2)方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，因为它是二次不等式对于任意实数恒成立，只需研究判定式及二次项系数的符号即可；‎ 对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题分离变量较容易，而且对应函数的值域比较容易求，所以选择方法①．‎ 在考查命题p是真命题时，容易漏掉a＝0的情况，另外容易出现因为忽视“ax2－ax＋‎1”‎出现的位置，在限制条件中将“△＞0”错写为“△≥‎0”‎.‎ 第三层次 例1.已知函数f(x)＝loga(8－2x)(a＞0，且a≠1).‎ ‎（1）当a＝2时，求满足不等式f(x)≤2的实数x的取值范围；‎ ‎（2）当a＞1时，求函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值.‎ 解：（1）实数x的取值范围为[2，3).‎ ‎（2）函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值为loga49.‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．解指(对)数不等式问题：‎ 方法:①利用指(对)数函数的单调性，将不等式转化为代数不等式来解．‎ ‎ ②换元法：转化为代数不等式．‎ ‎2．与指(对)数有关的函数值域：‎ 方法：①考察对应函数(复合函数)的单调性，利用单调性处理．‎ ‎ ②用换元法，转化为几个基本函数的值域问题．‎ ‎ (2)方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，学生一般会选择方法①，因为本题既含对数，也含有指数，用换元不能一次转化为代数不等式，所以选择方法①．‎ 对于问题2，学生一般会选择方法②，因为用换元法转化为几个基本函数的值域，处理比较方便，所以选择方法①．‎ 指数函数、对数函数的单调性受底数a的影响，解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时，首先要看底数的范围.‎ 本题的易错点有两个，一是第一问中的“8－2x＞‎0”‎的定义域部分；二是第二问中函数y＝f(x)＋f(－x)的定义域.‎ 例2.已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.‎ ‎（1）若ab＞0，判断函数f(x)的单调性；‎ ‎（2）若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)时x的取值范围．‎ 解：（1）当a＞0，b＞0时，函数f(x)在R上是增函数．‎ 当a＜0，b＜0时，函数f(x)在R上是减函数．‎ ‎（2）当a＜0，b＞0时，x的取值范围为(log1.5，＋∞)；‎ 当a＞0，b＜0时，x的取值范围为(－∞，log1.5).‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．讨论函数的单调性问题：方法:①利用函数的图象； ②复合函数的单调性；③利用函数单调性的定义．‎ ‎④利用导函数来求函数的单调区间．‎ ‎2．与指(对)数有关的解不等式问题：‎ 方法：①利用函数的单调性，转化为代数不等式． ②用换元法，依次解几个代数不等式．‎ ‎ (2)方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，学生一般会选择方法③或④，因为本题不仅要求判断还需要证明结论，方法①②不能用作证明，所以选择方法③或④．‎ 对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题函数的单调性比较明确，便于转化，所以选择方法①．‎ 本题的易错点是第二问中忽视字母a的符号对不等号的方向的影响.‎ 本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的，“ab＞‎0”‎和“ab＜‎0”‎的含义是字母a、b同号或异号，因此需要具体到a、b各自的符号.‎ 例3.已知函数f(x)＝a－.‎ ‎（1）求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；‎ ‎（2）若f(x)＜2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）若函数y＝f(x)在[m，n]上的值域是[m，n](m≠n)，求实数a的取值范围．‎ 解：（1）f(x)在(0，＋∞)上为增函数．‎ ‎（2）a的取值范围为(－∞，3]．‎ ‎（3）a的取值范围为{0}∪(2，＋∞)．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．讨论函数的单调性问题：‎ 方法:①利用函数的图象；‎ ‎ ②复合函数的单调性；‎ ‎③利用函数单调性的定义．‎ ‎④利用导函数来求函数的单调区间．‎ ‎2．不等式恒成立问题：‎ 方法：①分离变量转化为求函数的最值． ②直接求函数的最值，再解不等式；‎ ‎ ③利用函数的图象，观察临界情况，再进行相应的计算．‎ ‎ 3．已知函数的值域，求参数的取值：‎ ‎ 方法：借助函数的图象了解函数单调性，再根据函数的单调性找最值来处理．‎ ‎(2)方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，学生一般会选择方法③或④，因为本题是证明函数的单调性，方法①②不能用作证明，所以选择方法③或④．‎ 对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题分离变量较容易，而且对应函数的值域比较容易求，所以选择方法①．‎