数学五年高考荟萃 必看 空间向量在立体几何中的应用详解绝对知识无价

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第八章 第三节 空间向量在立体几何中的应用 第三节 空间向量在立体几何中的应用 一、 填空题 ‎1.若等边的边长为，平面内一点满足，则_________ ‎ ‎2．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________。‎ ‎【解析】设由可得故 ‎【答案】(0,-1，0) ‎ 二、解答题 ‎3.（本小题满分12分）‎ 如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD ‎ ‎(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；‎ ‎(II) 证明平面AMD平面CDE；‎ ‎（III）求二面角A-CD-E的余弦值。 ‎ 如图所示，建立空间直角坐标系，‎ 点为坐标原点。设依题意得 ‎ ‎（I） ‎ 所以异面直线与所成的角的大小为.‎ ‎（II）证明： ，‎ 37‎ ‎ ‎ ‎（III）‎ 又由题设，平面的一个法向量为 ‎ ‎ ‎4．（本题满分15分）如图，平面平面，‎ 是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，‎ ‎，的中点，，．‎ ‎ （I）设是的中点，证明：平面；‎ ‎ （II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．‎ 证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O， ‎ 则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面 ‎6.（本小题满分12分）‎ 如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点 。‎ ‎（I）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；‎ ‎（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。 ‎ 37‎ ‎ 设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.‎ 则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得=(-1,1,2). ‎ 又=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，‎ 可得cos(,)=· ‎ 所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为 cos· ……6分 ‎(Ⅱ)假设直线ME与BN共面， ……8分 则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN 由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。‎ 又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，‎ 所以AB//EN。‎ 又AB//CD//EF，‎ 所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。‎ 所以ME与BN不共面，它们是异面直线. ……12分 ‎7.（13分）‎ 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，，‎ ‎，且MD=NB=1，E为BC的中点 （1） 求异面直线NE与AM所成角的余弦值 （2） 在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由 ‎ ‎17.解析：（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标 依题意，得。‎ 37‎ ‎，‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为.A ‎（2）假设在线段上存在点，使得平面.‎ ‎,‎ 可设 又.‎ 由平面，得即 故，此时.‎ 经检验，当时，平面.‎ 故线段上存在点，使得平面，此时.‎ ‎8.（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面 ‎ ‎（I）证明：‎ ‎（II）设二面角为60°，求与平面所成的角的大小。‎ 分析一：求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。‎ ‎19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）‎ 如题（19）图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，．求：‎ ‎（Ⅰ）点到平面的距离；‎ 37‎ ‎（Ⅱ）二面角的大小． ‎ ‎（Ⅰ）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面 即点A在xoz平面上，因此 又 因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS与平面 yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为.‎ ‎(Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E为BS的中点.‎ ΔBCS为直角三角形 ,‎ 知 ‎ 设B(0,2, )，＞0，则＝2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1） .‎ 在CD上取点G，设G（），使GE⊥CD .‎ 由故 ‎ ①　‎ 又点G在直线CD上，即，由=（），则有　②‎ 联立①、②，解得G＝　,‎ 故=.又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角为向量与向量所成的角，记此角为 .‎ 因为=，,所以 ‎ ‎ 故所求的二面角的大小为 .‎ 37‎ 作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得.‎ ‎ 设点到面的距离为，与平面所成的角为。利用，可求得，又可求得 ‎ 即与平面所成的角为 分析二：作出与平面所成的角再行求解。如图可证得，所以面。由分析一易知：四边形为正方形，连，并设交点为，则，为在面内的射影。。以下略。‎ 分析三：利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。‎ 总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。‎ ‎9．（本小题共14分）‎ 如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面； ‎ ‎（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与 平面PDB所成的角的大小.‎ ‎【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，‎ ‎ 设 则 37‎ ‎，‎ ‎（Ⅰ）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，‎ ‎∴平面.‎ ‎（Ⅱ）当且E为PB的中点时，，‎ ‎ 设AC∩BD=O，连接OE， ‎ ‎ 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，‎ ‎ ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，‎ ‎ ∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.‎ ‎10.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）‎ ‎ 如题（18）图，在五面体ABCDEF中，AB//DC，∠BAD=，CD=AD=2.，四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，FC=3，ED=，求：‎ ‎ （Ⅰ）直线AB到平面EFCD的距离： ‎ ‎ （Ⅱ）二面角F-AD-E的平面角的正切值，‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图4，在正三棱柱中，‎ D是的中点，点E在上，且。‎ （I） 证明平面平面 （II） 求直线和平面所成角的正弦值。 ‎ 37‎ 解 （I） 如图所示，由正三棱柱的性质知平面 又DE平面ABC，所以DEAA.‎ 而DEAE。AAAE=A 所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。‎ 解法2 如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设 A A=，则AB=2，相关各点的坐标分别是 A(0,-1,0)， B（，0，0）， C（0，1，）， D（，-，）。‎ 易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，） ‎ 设平面ABC的法向量为n=（x，y，z）,则有 解得x=-y， z=-，‎ 故可取n=(1，-，)。‎ 所以，(n·)===。‎ 由此即知，直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。‎ 37‎ ‎11.（本小题满分12分）‎ ‎ 如图3，在正三棱柱ABC-中，AB=4, A=,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE ‎（Ⅰ）证明：平面平面; ‎ ‎（Ⅱ）求直线AD和平面所成角的正弦值。‎ 解法2 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各 点的坐标分别是A(2,0,0,), .(2,0, ), D(-1, ), E(-1,0.0)‎ 易知=（-3，，-），=（0，-，0），=（-3，，0）‎ 设n=（x，y，z）是平面DE的一个法向量，则 ‎ ‎ 37‎ 解得 故可取n=（,0,-3，）于是 ‎ ‎= ‎ 由此即知，直线AD和平面DE所成的角是正弦为 ‎12．（本小题满分12分）‎ 在四棱锥中，底面是矩形，平面，，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.‎ ‎（1）求证：平面⊥平面； ‎ ‎（2）求直线与平面所成的角的大小；‎ ‎（3）求点到平面的距离.‎ 方法二：‎ ‎（1）同方法一；‎ ‎（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，， ，，；设平面的一个法向量，由可得：，令，则 ‎。设所求角为，则，‎ ‎ 所以所求角的大小为。‎ ‎（3）由条件可得，.在中，,所以,则, ，所以所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为则，所以所求距离为。‎ 37‎ ‎19（本小题满分12分）‎ 如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互 相垂直，△是等腰直角三角形，‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；‎ ‎（III）求二面角的大小。‎ ‎(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,‎ 所以AE⊥AB.‎ 又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,‎ 平面ABEF∩平面ABCD=AB,‎ 所以AE⊥平面ABCD.‎ 所以AE⊥AD.‎ 因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.‎ 设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,‎ E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).‎ 因为FA=FE, ∠AEF = 45°,‎ 所以∠AFE= 90°.‎ 从而，.‎ 所以,,.‎ ‎,.‎ 所以EF⊥BE, EF⊥BC.‎ 因为BE平面BCE,BC∩BE=B ,‎ 所以EF⊥平面BCE.‎ ‎ (Ⅱ)存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE.‎ ‎ M ( 0,0, ), P ( 1, ,0 ).‎ ‎ 从而=,‎ 于是·=·=0‎ ‎ 所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，‎ ‎ 故PMM∥平面BCE. ………………………………8分 37‎ ‎(Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为，并设=（x,y,z）.‎ ‎ ， ‎ ‎ 即 ‎ 取y=1，则x=1，z=3。从而。‎ 取平面ABD的一个法向量为。‎ ‎。‎ 故二面角F—BD—A的大小为arccos。……………………………………12分 ‎14.（本题满分14分）‎ 如图，在直三棱柱中，,‎ ‎,求二面角的大小。 ‎ 简答：‎ 第一部分 五年高考荟萃 ‎2009年高考题 ‎2005—2008年高考题 解答题 ‎1. A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ （2008全国Ⅱ19）（本小题满分12分）‎ 如图，正四棱柱中，，点在上且．‎ 37‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小．‎ 以为坐标原点，射线为轴的正半轴，‎ A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ y x z 建立如图所示直角坐标系．依题设，．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（Ⅰ）证明 因为，，‎ 故，．‎ 又，‎ 所以平面．‎ ‎（Ⅱ）解 设向量是平面的法向量，则 ‎，．‎ 故，．‎ 令，则，，．‎ 等于二面角的平面角，‎ ‎． ‎ 所以二面角的大小为．‎ ‎2. （2008安徽）如图，在四棱锥中，底面四边长 为1的菱形，, , ,为 的中点，为的中点 ‎（Ⅰ）证明：直线；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小； ‎ ‎（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。‎ 37‎ 作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为 轴建立坐标系 ‎,‎ ‎(1)证明 ‎ 设平面OCD的法向量为,则 即 ‎ 取,解得 ‎(2)解 设与所成的角为,‎ ‎ , 与所成角的大小为.‎ ‎(3)解 设点B到平面OCD的距离为，‎ 则为在向量上的投影的绝对值,‎ ‎ 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为 ‎3. （2008湖南17 ）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面 ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD 的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.‎ ‎ （Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;‎ ‎（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.‎ 如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的 坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），‎ 37‎ P（0，0，2）,‎ ‎（Ⅰ）证明 因为，‎ 平面PAB的一个法向量是，‎ 所以共线.从而BE⊥平面PAB.‎ 又因为平面PBE，‎ 故平面PBE⊥平面PAB.‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)解 易知 ‎ ‎ 设是平面PBE的一个法向量，则由得 所以 ‎ 设是平面PAD的一个法向量，则由得所以故可取 ‎ ‎ 于是，‎ ‎ 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是 ‎4. （2008福建18）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面 ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，‎ 其中BC∥ AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；‎ 37‎ ‎（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出　的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎（Ⅰ）证明 在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,‎ 又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，‎ 所以PO⊥平面ABCD.‎ ‎(Ⅱ)解 以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、‎ z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得 A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),‎ 所以 所以异面直线PB与CD所成的角是arccos，‎ ‎(Ⅲ)解 假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，‎ 由(Ⅱ)知 设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).‎ 则所以即，‎ 取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).‎ 设由，得 解y=-或y=(舍去)，‎ 此时，所以存在点Q满足题意，此时.‎ ‎5. （2007福建理•18）如图，正三棱柱ABC－A1B‎1C1的所有 棱长都为2，D为CC1中点。‎ ‎（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小；‎ ‎（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离；‎ ‎（Ⅰ）证明 取中点，连结．‎ 为正三角形，．‎ 在正三棱柱中，平面平面，‎ 平面．‎ 37‎ 取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，‎ ‎，，．‎ ‎，，‎ x z A B C D O F y ‎，．‎ 平面．‎ ‎（Ⅱ）解 设平面的法向量为．‎ ‎，．‎ ‎，，‎ 令得为平面的一个法向量．‎ 由（Ⅰ）知平面，‎ 为平面的法向量．‎ ‎，．‎ 二面角的大小为．‎ ‎（Ⅲ）解 由（Ⅱ），为平面法向量，‎ ‎．‎ 点到平面的距离．‎ ‎6.（2006广东卷）如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直 径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，‎ AB＝AC＝6，OE//AD.‎ ‎(Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小；‎ 37‎ ‎(Ⅱ)求直线BD与EF所成的角.‎ 解 (Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,‎ ‎∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角，‎ 依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.‎ 即二面角B—AD—F的大小为450.‎ ‎(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0）,D（0，，8），E（0，0，8），F（0，，0）‎ 所以，‎ ‎.‎ 设异面直线BD与EF所成角为，‎ 则 直线BD与EF所成的角为 ‎7.（2005江西）如图，在长方体ABCD—A1B‎1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.‎ ‎（1）证明：D1E⊥A1D；‎ ‎（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；‎ ‎（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为.‎ 以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x, y, z轴，建 立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），‎ E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）‎ ‎（1）证明 ‎ ‎（2）解 因为E为AB的中点，则E（1，1，0），‎ 从而，‎ ‎，‎ 设平面ACD1的法向量为，‎ 37‎ 则 也即，得，从而，所以点E到平面AD‎1C的距离为 ‎（3）解 设平面D1EC的法向量，‎ ‎∴‎ 由 令b=1, ∴c=2,a=2－x，‎ ‎∴‎ 依题意 ‎∴（不合，舍去）， .‎ ‎∴AE=时，二面角D1—EC—D的大小为.‎ 第二部分 三年联考汇编 ‎2009年联考题 解答题 ‎1.(湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题)如图，P—ABCD是正四棱锥，是正方体，其中 ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求平面PAD与平面所成的锐二面角的余弦值；‎ ‎（3）求到平面PAD的距离 以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系 ‎（1）证明 设E是BD的中点，P—ABCD是正四棱锥，∴ ‎ 37‎ 又， ∴ ∴∴ ‎ ‎∴ ， 即。‎ ‎（2）解 设平面PAD的法向量是， ‎ ‎ ‎ ‎∴ 取得，又平面的法向量是∴ ， ∴。‎ M P D C B A ‎（3）解 ∴到平面PAD的距离。‎ ‎2. (陕西省西安铁一中2009届高三12月月考)如图，边长为2的等 边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，‎ M为BC的中点 ‎(Ⅰ)证明：AM⊥PM ；‎ ‎(Ⅱ)求二面角P－AM－D的大小；‎ z y x M P D C B Á ‎(Ⅲ)求点D到平面AMP的距离。‎ ‎(Ⅰ) 证明 以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 依题意，可得 ‎ ‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎∴ ‎ 即,∴AM⊥PM . ‎ ‎ (Ⅱ)解 设，且平面PAM，则 ‎ 即 37‎ ‎∴ ， ‎ 取，得 ‎ 取，显然平面ABCD， ∴‎ 结合图形可知，二面角P－AM－D为45°； ‎ ‎(Ⅲ) 设点D到平面PAM的距离为，由(Ⅱ)可知与平面PAM垂直，则 ‎=‎ 即点D到平面PAM的距离为 ‎ ‎3.(厦门市第二外国语学校2008—2009学年高三数学第四次月考)已知点H在正方体的对角线上，∠HDA=．‎ A B C D x y z H ‎（Ⅰ）求DH与所成角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求DH与平面所成角的大小．‎ 解：以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．‎ 设 则，．连结，．‎ 设，由已知，‎ 由 可得．解得，‎ 所以．（Ⅰ）因为，‎ 所以．即DH与所成的角为．‎ ‎（Ⅱ）平面的一个法向量是．‎ 37‎ 因为， 所以．‎ 可得DH与平面所成的角为．‎ A C D O B E y z x ‎4.(广东省北江中学2009届高三上学期12月月考)如图，‎ 在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，‎ ‎（1）求证：平面BCD；‎ ‎（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；‎ ‎（3）求点E到平面ACD的距离．‎ ‎ ⑴ 证明 连结OC ‎，． ‎ 在中，由已知可得 ‎ 而， ‎ A C D O B E y z x 即 ‎ ‎ ∴平面． ‎ ‎ (2)解 以O为原点，如图建立空间直角坐标系，‎ 则 ‎， ‎ ‎∴ 异面直线AB与CD所成角的余弦值为．‎ ‎⑶解 设平面ACD的法向量为则 37‎ ‎，‎ ‎∴，令得是平面ACD的一个法向量．‎ 又 ∴点E到平面ACD的距离 ．‎ A B C D E F ‎5.(广东省高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，‎ 已知平面，平面，△为 等边三角形，，为的中点.‎ ‎(1) 求证：平面；‎ ‎(2) 求证：平面平面；‎ ‎(3) 求直线和平面所成角的正弦值.‎ 设，建立如图所示的坐标系，则 ‎.‎ ‎∵为的中点，∴. ‎ ‎ (1) 证明 ， ‎ ‎∵，平面，∴平面. ‎ ‎ (2) 证明 ∵， ‎ ‎∴，∴. ‎ ‎∴平面，又平面，‎ ‎∴平面平面. ‎ ‎ (3) 解 设平面的法向量为，由可得：‎ ‎ ，取. ‎ ‎ 又，设和平面所成的角为，则 ‎ .‎ ‎∴直线和平面所成角的正弦值为. ‎ 37‎ ‎6. (2009年广东省广州市高三年级调研测试)如图，已知 等腰直角三角形，其中∠=90º，．‎ 点A、D分别是、的中点，现将△沿着边 折起到△位置，使⊥，连结、．‎ ‎（1）求证：⊥；‎ ‎（2）求二面角的平面角的余弦值．‎ ‎（1）证明 ∵点A、D分别是、的中点，‎ ‎∴. ‎ ‎∴∠=90º.‎ ‎∴.‎ ‎∴ , ‎ ‎∵,‎ ‎∴⊥平面. ‎ ‎∵平面,‎ ‎∴. ‎ ‎（2）解 建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 则（－1，0，0），（－2，1，0），（0，0，1）.‎ ‎∴=（－1，1，0），=（1，0，1）, ‎ 设平面的法向量为=（x，y，z），则：‎ ‎， ‎ 令，得，‎ ‎∴=（1，1，－1）.‎ 显然，是平面的一个法向量，=（）． ‎ ‎∴cos<，>=． ‎ ‎∴二面角的平面角的余弦值是. ‎ ‎9月份更新 ‎1. 连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2‎ 37‎ ‎、4，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：‎ ‎①弦AB、CD可能相交于点M ②弦AB、CD可能相交于点N　　③MN的最大值为5 ④MN的最小值为l，其中真命题的个数为　　　 ‎ ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案 C ‎2.某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）A.　B.　C.　D.‎ 答案 C ‎3.等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于 ‎ A C B D P 答案 .‎ ‎4.如图，在三棱锥中，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离．‎ 解法一：（Ⅰ）取中点，连结．，．，．‎ A C B E P ‎，平面．平面，．‎ ‎（Ⅱ），，．又，．‎ 又，即，且，平面．取中点．连结．‎ ‎，．是在平面内的射影，．‎ A C B D P H 是二面角的平面角．在中，，，，．二面角的大小为．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，平面平面．过作，垂足为．‎ 平面平面，平面．的长即为点到平面 37‎ 的距离．‎ A C B P z x y H E 由（Ⅰ）知，又，且，平面．平面，．‎ 在中，，，‎ ‎．． 点到平面的距离为．‎ 解法二：（Ⅰ），，．又，．‎ ‎，平面．平面，．‎ ‎（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．则．‎ 设．，，．取中点，连结．‎ ‎，，，．是二面角的平面角．‎ ‎，，，‎ ‎．二面角的大小为．‎ ‎（Ⅲ），在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．‎ 如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．，点的坐标为．．‎ 点到平面的距离为．‎ ‎5.如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且．‎ 37‎ ‎（1）求证：四点共面；（4分）；（2）若点在上，，点在上，，垂足为，求证：平面；（4分）；（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求．‎ 证明：（1）建立如图所示的坐标系，则，，，‎ 所以，故，，共面．又它们有公共点，所以四点共面．‎ ‎（2）如图，设，则，而，由题设得，‎ 得．因为，，有，又，，所以，，从而，．故平面．‎ ‎（3）设向量截面，于是，．‎ 而，，得，，解得，，所以．又平面，所以和的夹角等于或（为锐角）．‎ 于是． 故．‎ ‎2007—2008年联考题 ‎1. (江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰为的中点,又知.‎ ‎ (Ⅰ)求证：平面； ‎ ‎(Ⅱ)求到平面的距离；‎ 37‎ ‎ (Ⅲ)求二面角的大小.‎ ‎(Ⅰ)证明 如图,取的中点,则,∵,∴,‎ 又平面,以为轴建立空间坐标系,‎ 则,,,,,,‎ ‎,,由,知,‎ 又,从而平面.‎ ‎ (Ⅱ)解 由,得.设平面的法向量 为,,,,‎ 设,则 ‎∴点到平面的距离.‎ ‎ (Ⅲ)解 设面的法向量为,,,‎ ‎∴‎ 设,则,故,‎ 根据法向量的方向可知二面角的大小为.‎ ‎2. (山西大学附中2008届二月月考)正三棱柱所有棱长都是，是棱的中点，是棱的中点，交于点 ‎ （1）求证：；‎ ‎ （2）求二面角的大小（用反三角函数表示）；‎ ‎ （3）求点到平面的距离.‎ ‎（1）证明 建立如图所示， ‎ ‎ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ， 即AE⊥A1D， AE⊥BD ， ∴AE⊥面A1BD ‎（2）解 设面DA1B的法向量为 由 ， ∴取 37‎ 设面AA1B的法向量为 ， ‎ 由图可知二面角D—BA1—A为锐角，∴它的大小为arcos .‎ ‎（3）解 ，平面A1BD的法向量取,‎ 则B1到平面A1BD的距离d= .‎ ‎3. (安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知斜三棱柱 ‎，，，‎ 在底面上的射影恰为的中点，‎ 又知。‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（II）求到平面的距离；‎ ‎（III）求二面角的大小。‎ ‎（I）证明 如图，取的中点，则，因为，‎ ‎ 所以，又平面，‎ ‎ 以为轴建立空间坐标系，‎ ‎ 则，，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，由，知，‎ ‎ 又，从而平面；‎ ‎（II）解 由，得。‎ ‎ 设平面的法向量为，，，‎ 所以，设，则 37‎ ‎ 所以点到平面的距离。‎ ‎ （III）解 再设平面的法向量为，，，‎ ‎ 所以，设，则，‎ ‎ 故，根据法向量的方向，‎ ‎ 可知二面角的大小为。‎ ‎4. ( 四川省成都市2008一诊) 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝2，E为PA的中点，过E作平行于底面的平面EFGH，分别与另外三条侧棱相交于点F、G、H. 已知底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，∠BCD=135°.‎ （1） 求异面直线AF与BG所成的角的大小；‎ （2） 求平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小.‎ 解 由题意可知：AP、AD、AB两两垂直，可建立空间直角坐标系A-xyz 由平面几何知识知：AD＝4, D (0, 4, 0), B (2 , 0 , 0 ), C ( 2, 2, 0 ), P (0, 0, 2), E (0, 0, 1), F (1 ,0, 1), G (1 ,1 ,1) (1)＝(1,0,1),＝(－1,1,1) ∴·＝0， ∴AF与BG所成角为 . (2) 可证明AD⊥平面APB， ∴平面APB的法向量为n＝(0,1,0) 设平面CPD的法向量为m＝(1，y，z) 由 Þ 故m＝(1,1,2) ∵cos＝ ∴平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小为arccos.‎ 37‎ ‎5. (安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)如图，正三棱柱ABC－的底面边长是2，D是侧棱C的中点，直线AD与侧面所成的角为45°.‎ ‎( 1 )求二面角A-BD-C的大小；‎ ‎（2）求点C到平面ABD的距离.‎ 解 （1）如图，建立空间直角坐标系．‎ 则．‎ 设为平面的法向量．‎ 由 得．‎ 取 ‎ 又平面的一个法向量 ‎ ‎． ‎ 结合图形可知，二面角的大小为． ‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知 D A1‎ D1‎ C1‎ B1‎ E1‎ B A C P O 点到平面的距离＝．‎ ‎6. (安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)如图，‎ 37‎ ‎、分别是正四棱柱上、下底面的中 心，是的中点，. ‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）当时，求直线与平面所成角的大小； ‎ z x y D A1‎ D1‎ C1‎ B1‎ E1‎ B A C P O ‎(Ⅲ) 当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心? ‎ ‎ ‎ 以点为原点，直线所在直线分别为轴，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，‎ 则得、、、、 ‎ ‎(Ⅰ)证明 由上得、、‎ ‎，设得 解得， ∴‎ ‎， ∴∥平面 ‎ ‎_‎ ‎（Ⅱ）解 当时，由、得、、‎ 设平面的法向量为，则由，得， ，∴直线与平面所成角的大小为.‎ ‎(Ⅲ) 解 由(Ⅰ)知的重心为，则，‎ 若在平面内的射影恰好为的重心，则有，解得 ‎∴当时，在平面内的射影恰好为的重心. ‎ ‎7. (北京市东城区2008年高三综合练习二)如图，在四棱锥P—ABCD中，‎ 37‎ 平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，‎ ‎△PAB等边三角形. ‎ ‎（1）求二面角B—AC—P的大小；‎ ‎（2）求点A到平面PCD的距离.‎ 解 （1）建立如图的空间直角坐标系O—xyz，‎ 则A（－1，0，0），B（1，0，0），‎ 则P（0，0，），C（1，2，0）‎ 设为平面PAC的一个法向量，‎ 则 又 令z=1，得 ‎ 得 又是平面ABC的一个法向量，‎ ‎ 设二面角B—AC—P的大小为，‎ 则 ‎（2）设为平面PCD的一个法向量.‎ 则 由D（－1，2，0），可知），可得a=0，令，则c=2.‎ 得，‎ 设点A到平面PCD的距离为d，则 ‎∴点A到平面PCD的距离为 ‎8. (北京市十一学校2008届高三数学练习题)如图，‎ 37‎ 在正四棱锥中，,点在 棱上． ‎ ‎(Ⅰ)问点在何处时，，并加以证明；‎ ‎(Ⅱ)当时,求点到平面的距离；‎ ‎(Ⅲ)求二面角的大小.‎ 解 (Ⅰ)当E为PC中点时，．‎ 连接AC，且，由于四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴O为AC的中点，又E为中点，‎ ‎∴OE为△ACP的中位线，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴.‎ ‎(Ⅱ)作,依题意是正方形的中心,如图建立空间坐标系.‎ 则, , ，，．‎ ‎∴ ， ，‎ ‎，，‎ 设面的法向量为 ‎ , ‎ 点到平面的距离为. ‎ ‎ (Ⅲ)设二面角的平面角为，平面的法向量为. 设平面的法向量为, .‎ 37‎ ‎. ‎ ‎9. (北京市西城区2008年4月高三抽样测试)如图，在三棱锥中，，，平面平面. ‎ ‎（Ⅰ）求证：； ‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求异面直线和所成角的大小. ‎ 作于点，‎ ‎ 平面平面，‎ 平面.‎ 过点作的平行线，交于点.‎ 如图，以为原点，直线分别为轴，‎ 轴，轴，建立空间直角坐标系 . ‎ ‎. ‎ ‎.‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）证明 ‎ ‎ . ‎ 又. ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）解 作于点，连结.‎ 平面， 根据三垂线定理得 ，‎ 是二面角的平面角. ‎ 在中， ，‎ 37‎ ‎ 从而，‎ ‎， ‎ 即二面角的大小是. ‎ ‎（Ⅲ）解，‎ ‎，‎ E O1‎ O D1‎ C1‎ B1‎ D C B A A1‎ ‎ 异面直线和所成角的大小为arccos.‎ ‎10.(广东地区2008年01月份期末试题) 如图，直四棱柱 ABCD—A1B‎1C1D1的高为3，底面是边长为4‎ 且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=O，A‎1C1∩B1D1=O1，‎ E是O‎1A的中点.‎ ‎（1）求二面角O1－BC－D的大小；‎ ‎（2）求点E到平面O1BC的距离.‎ 解 (1）∵OO1⊥平面AC，‎ ‎∴OO1⊥OA，OO1⊥OB，又OA⊥OB，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系（如图）‎ ‎∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，‎ ‎∴OA=2，OB=2，‎ 则A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），‎ O1（0，0，3）‎ 设平面O1BC的法向量为=（x，y，z），‎ 则⊥，⊥，‎ 37‎ ‎∴，则z=2，则x=－，y=3，‎ ‎∴=（－，3，2），而平面AC的法向量=（0，0，3）‎ ‎∴cos<，>=，‎ 设O1－BC－D的平面角为α， ∴cosα=∴α=60°.‎ 故二面角O1－BC－D为60°. ‎ ‎（2）设点E到平面O1BC的距离为d，‎ ‎ ∵E是O‎1A的中点，∴=（－，0，），‎ 则d=，∴点E到面O1BC的距离等于.‎ 37‎