新课标高考真题汇编之空间向量与立体几何理科

新课标高考真题汇编之空间向量与立体几何理科

1．（2007年新课标第 8题）已知某个几何体的三视图如下，根据图 中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ） Ａ． 34000 cm 3 Ｂ． 38000 cm 3 Ｃ． 32000cm Ｄ． 34000cm 2．（2007年新课标第 12题）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接 成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长 相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱 锥、三棱柱的高分别为 1h ， 2h ，h，则 1 2: :h h h （ ） Ａ． 3 :1:1 Ｂ． 3 : 2 : 2 Ｃ． 3 : 2 : 2 Ｄ． 3 : 2 : 3 3．（2007年新课标第 18题）如图，在三棱锥 S ABC 中，侧面 SAB与侧面 SAC均为等边三角形， 90BAC  °， O为 BC中点． （Ⅰ）证明： SO 平面 ABC； （Ⅱ）求二面角 A SC B  的余弦值． 4．（2008年新课标第 12题）某几何体的一条棱长为 7 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6 的线段， 在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a和 b的线段，则 a + b的最大值为（ ） A. 22 B. 32 C. 4 D. 52 5．（2008年新课标第 13题）已知向量 (0, 1,1)a   r ， (4,1,0)b  r ， | | 29a b   r r 且 0  ，则 = __________． 6．（2008年新课标第 15题）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球 面上，且该六棱柱的体积为 9 8 ，底面周长为 3，那么这个球的体积为 _________． 7．（2008年新课标第 18题）如图，已知点 P在正方体 ABCD－A1B1C1D1的对角线 BD1上，∠PDA=60°． (1)求 DP与 CC1所成角的大小； (2)求 DP与平面 AA1D1D所成角的大小． 20 20 正视图 20 侧视图 10 10 20 俯视图 O S B A C B 1 C1 D1 A1 CD A B P 8．（2009年新课标第8题）如图，正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱线长为1，线段 1 1B D 上有两个动点E，F，且 2 2 EF  ， 则下列结论中错误的是（ ） （A） AC BE （B） / /EF ABCD平面 （C）三棱锥 A BEF 的体积为定值 （D）异面直线 ,AE BF 所成的角为定值 9．（2009年新课标第 11题）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c 2m ）为（ ） （A）48+12 2 （B）48+24 2 （C）36+12 2 （D）36+24 2 10．（2009年新课标第 19题）如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的 2 倍，P为 侧棱 SD上的点． （Ⅰ）求证：AC⊥SD； （Ⅱ）若 SD⊥平面 PAC，求二面角 P-AC-D的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱 SC 上是否存在一点 E，使得 BE∥平面 PAC。若存在，求 SE：EC的值；若不存在， 试说明理由． 11．（2010年新课标第 10题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面 积为（ ） (A) 2a (B) 27 3 a (C) 211 3 a (D) 25 a 12．（2010年新课标第 14题）正视图为一个三角形的几何体可以是____________________________．（写出三种） 13．（2010 年新课标第 18 题）如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB  CD,AC BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高 ，E为 AD中点． （1） 证明：PE BC； （2） 若APB=ADB=60°，求直线 PA与平面 PEH所成角的正弦值． 14．（2011年新课标第 6题）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的侧视图可以为（ ） 15．（2011年新课标第 15题）已知矩形 ABCD的顶点都在半径为 4的球O的球面上，且 6, 2 3AB BC  ,则棱 锥O ABCD 的体积为 ． 16．（2011年新课标第 18题）如图，四棱锥 P—ABCD中，底面 ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥ 底面 ABCD． (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若 PD=AD，求二面角 A-PB-C的余弦值． 17．（2012年新课标第 7题）如图，网格纸上小正方形的边长为1， 粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） ( )A 6 ( )B 9 ( )C  ( )D  18．（2012年新课标第 11题）已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都 在球O的求面上， ABC 是边长为1的正三角形， SC为球O的 直径，且 2SC  ；则此棱锥的体积为（ ） ( )A 2 6 ( )B 3 6 ( )C 2 3 ( )D 2 2 19．（2012年新课标第 19题）如图，直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1 1 2 AC BC AA  ，D是棱 1AA 的中点， .1 BDDC  （1）证明： BCDC 1 ； （2）求二面角 11 CBDA  的大小． 20．（2013年新课标 1第 6题）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一个球放在容器 口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( ) A. 3500 3 cm B. 3866 3 cm C. 31372 3 cm D. 32048 3 cm 21．（2013年新课标 1第 8题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．16 8 B．8 8 C．16 16 D．8 16 22．（2013年新课标 1第 18题）如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°． （Ⅰ）证明 AB⊥A1C； （Ⅱ）若平面 ABC⊥平面 AA1B1B，AB=CB=2，求直线 A1C 与平面 BB1C1C所成角的正弦值． 23．（2013年新课标 2第 4题）已知m，n为异面直线，m⊥平面 ，n⊥平面  ，直线 l满足 l⊥m，l⊥ n，l   ， l   ，则（ ） （A）  ∥  且 l∥ （B） ⊥  且 l⊥  （C） 与  相交，且交线垂直于 l （D） 与  相交，且交线平行于 l 24．（2013年新课标 2第 7题）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz 中的坐标分别是 (1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)， (0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（ ） (A) (B) (C) (D) 25．（2013年新课标 2第 18题）如图，直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，D，E分别是 AB， 1BB 的中点。 1 2AA AC CB   2 2 AB. （Ⅰ）证明： 1 / /BC 平面 1 1ACD ； （Ⅱ）求二面角 ECAD  1 的正弦值. 26．（2014年新课标 1第 12题）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多 面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ） A．6 2 B．6 C．4 2 D．4 27．（2014年新课标 1第 19题）如图三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，侧面 1 1BBC C为菱形， 1AB BC ． (Ⅰ) 证明： 1AC AB ； （Ⅱ）若 1AC AB ， o 1 60CBB  ， AB BC= ，求二面角 1 1 1A A B C  的余弦值． 28．（2014年新课标 2第 6题）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1 （表示 1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面 半径为 3cm，高为 6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积 与原来毛坯体积的比值为（ ） A. 17 27 B. 5 9 C. 10 27 D. 1 3 29．（2014年新课标 2第 11题）直三棱柱 ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°， M，N分别是 A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则 BM与 AN所成的角 的余弦值为（ ） A. 1 10 B. 2 5 C. 30 10 D. 2 2 30．（2014年新课标 2 第 18题）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD为矩形，PA⊥平面 ABCD，E为 PD 的中 点． （Ⅰ）证明：PB∥平面 AEC； （Ⅱ）设二面角 D-AE-C为 60°，AP=1，AD= 3， 求三棱锥 E-ACD 的体积． 31．（2015 年新课标 1 第 6 题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依 垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分 之一)，米堆底部的弧长为 8尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有（ ） A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 32．（2015 年新课标 1 第 11 题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个几何体，该几何体三视图 中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则 r =（ ） （A）1 （B）2 （C）4 （D）8 33．（2015 年新课标 1 第 18 题）如图，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE⊥ 平面 ABCD，DF⊥平面 ABCD，BE=2DF，AE⊥EC． （1）证明：平面 AEC⊥平面 AFC； （2）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值． 34．（2015年新课标 2第 6题）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积 与剩余部分体积的比值为（ ） （A） 8 1 （B） 7 1 （C） 6 1 （D） 5 1 35．（2015年新课标 2第 9题）已知 A,B是球 O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O的表面积为（ ） A．36π B.64π C.144π D.256π 36．（2015年新课标 2第 19题）如图，长方体 ABCD—A1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点 E，F分别在 A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，过点 E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线 AF与平面α所成的角的正弦值． 37．（2016新课标 1第 6题）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何 体的体积是 28 3  ,则它的表面积是（ ） （A）17 （B）18 （C） 20 （D） 28 38．（2016新课标 1第 11题）平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A, //平面 CB1D1, I平面 ABCD=m, I平 面 AB B1A1=n,则 m、n所成角的正弦值为（ ） (A) 3 2 (B) 2 2 (C) 3 3 (D) 1 3 39．（2016年新课标 1第 18题）如图,在以 A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面 ABEF为正方形,AF=2FD, 90AFD   , 且二面角 D-AF-E与二面角 C-BE-F都是60． （I）证明：平面 ABEF平面 EFDC； （II）求二面角 E-BC-A的余弦值． C   D  F 40．（2016年新课标 2第 6题）右图是由圆柱与圆锥组合而 成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） （A）20π （B）24π （C）28π （D）32π 41．（2016年新课标 2第 14题） α、β是两个平面，m、n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果 m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. （2）如果 m⊥α，n∥α，那么 m⊥n. （3）如果α∥β，mα，那么 m∥β. （4）如果 m∥n，α∥β，那么 m与α所成的角和 n与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号） 42．（2016 年新课标 2 第 19 题）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB=5，AC=6，点 E,F 分别在 AD,CD 上，AE=CF= 5 4，EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△D EF 的位置， 10OD  ． （I）证明：DH 平面 ABCD； （II）求二面角 B D A C  的正弦值． 43．（2016年新课标 3 第 9题）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多 面体的表面积为（ ） （A）18 36 5 （B）54 18 5 （C）90 （D）81 44．（2016年新课标 3第 10题）在封闭的直三棱柱 1 1 1ABC ABC 内有一个体积为V 的球，若 AB BC ， 6AB  ， 8BC  ， 1 3AA  ，则V 的最大值是（ ） （A）4π （B） 9 2  （C）6π （D） 32 3  45．（2016年新课标 3第 19题）如图，四棱锥 P ABC 中，PA 地面 ABCD，AD BC ， 3AB AD AC   ， 4PA BC  ，M 为线段 AD上一点， 2AM MD ， N 为 PC的中点． （I）证明MN  平面 PAB； （II）求直线 AN与平面 PMN 所成角的正弦值． 46．（2017年新课标 1第 7题）某多面体的三视图如图所示，学*科网其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三 角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之 和为（ ） A．10 B．12 C．14 D．16 47．（2017年新课标 1第 16题）如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC的中心为 O.D，E，F为圆 O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以 BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开 后，分别以 BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的 边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 ． 48．（2017年新课标 1第 18题）如图，在四棱锥 P−ABCD中，AB//CD，且 90BAP CDP     ． （1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC， 90APD   ，求二面角 A−PB−C的余弦值． 49．（2017年新课标 2第 4题）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是 某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的 体积为（ ） A．90 B．63 C． 42 D．36 50．（2017 年新课标 2 第 10 题）已知直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 120ABC  ， 2AB  ， 1 1BC CC  ，则异面直线 1AB 与 1BC 所成角的余弦值为（ ） A． 3 2 B． 15 5 C． 10 5 D． 3 3 51．（2017 年新课标 2 第 19 题）如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD， o1 , 90 , 2 AB BC AD BAD ABC      E 是 PD 的中点． （1）证明：直线CE∥平面 PAB； （2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 o45 ，求二面角M AB D  的余弦值． 52．（2017年新课标 3第 8题）已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上，则该圆 柱的体积为（ ） A． π B． 3π 4 C． π 2 D． π 4 53．（2017年新课标 3第 16题）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC的直角边 AC所在直线 与 a，b都垂直，斜边 AB以直线 AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线 AB与 a成 60°角时，AB与 b成 30°角； ②当直线 AB与 a成 60°角时，AB与 b成 60°角； ③直线 AB与 a所成角的最小值为 45°； ④直线 AB与 a所成角的最大值为 60°. 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 54．（2017年新课标 3第 19题）如图，四面体 ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠ CBD，AB=BD． （1）证明：平面 ACD⊥平面 ABC； （2）过 AC的平面交 BD于点 E，若平面 AEC把四面体 ABCD分成体积相等的两部分，求二面角 D–AE–C的余弦 值． 55．（2018年新课标 1第 7题）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图 所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N在左视 图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从M 到 N的路径中，最短路径的长度 为（ ）21·cn·jy·com A． 2 17 B． 2 5 C． 3 D．2 56．（2018年新课标 1第 12题）已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方 体所得截面面积的最大值为（ ）21·世纪*教育网 A． 3 3 4 B． 2 3 3 C． 3 2 4 D． 3 2 57．（2018年新课标 1第 18题）如图，四边形 ABCD为正方形，E，F 分别为 AD，BC的中点，以DF为折痕把 DFC△ 折起，使点C到达点 P的位置，且 PF BF⊥ ．21*cnjy*com （1）证明：平面 PEF⊥平面 ABFD； （2）求 DP与平面 ABFD所成角的正弦值． 58．（2018 年新课标 2 第 9 题）在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 1AB BC  ， 1 3AA  ，则异面直线 1AD 与 1DB 所成角的余弦 值为 A． 1 5 B． 5 6 C． 5 5 D． 2 2 59．（2018年新课标 2第 16题）已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB所成角的余弦值为 7 8 ， SA与圆锥底面所成角 为 45°，若 SAB△ 的面积为 5 15 ，则该圆锥的侧面积为__________． 60．（2018年新课标 2第 20题）如图，在三棱锥 P ABC 中， 2 2AB BC  ， 4PA PB PC AC    ，O为 AC 的中点． （1）证明： PO 平面 ABC； （2）若点M 在棱 BC上，且二面角M PA C  为 30，求 PC与平面 PAM 所成角的正弦值． P A O C B M 61．（2018年新课标 3第 3题）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼， 图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的 木构件的俯视图可以是（ ） 62．（2018年新课标 3第 10题）设 A B C D， ， ， 是同一个半径为 4的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且其面 积为 9 3，则三棱锥 D ABC 体积的最大值为（ ）21cnjy.com A．12 3 B．18 3 C． 24 3 D．54 3 63．（2018年新课标 3第 19题）如图，边长为 2的正方形 ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M 是CD上 异于C，D的点． ⑴证明：平面 AMD⊥平面 BMC； ⑵当三棱锥M ABC 体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．