高考双曲线题

高考双曲线题

‎1、设双曲线=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.‎ ‎(1) 证明：无论P点在什么位置，总有||2 = |·| ( O为坐标原点)；‎ ‎(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；‎ 解：(1) 设OP：y = k x, 又条件可设AR: y = (x – a ), ‎ ‎ 解得：= (,), 同理可得= (,), ‎ ‎∴|·| =|+| =. ‎ ‎ 设 = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP方程联立解得:‎ m2 =, n2 = , ‎ ‎∴ ||2 = :m2 + n2 = + = ,‎ ‎∵点P在双曲线上，∴b2 – a2k2 > 0 . ‎ ‎ ∴无论P点在什么位置，总有||2 = |·| . ‎ ‎（2）由条件得：= 4ab, ‎ 即k2 = > 0 , ∴ 4b > a, 得e > ‎ ‎2、已知以向量v=(1, )为方向向量的直线l过点(0, )，抛物线C：(p>0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线上．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若(O为原点，A、B异于原点)，试求点N的轨迹方程．‎ 解：（Ⅰ）由题意可得直线l： ①‎ 过原点垂直于l的直线方程为 ②‎ 解①②得． ‎ ‎∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．‎ ‎∴， ‎∴抛物线C的方程为． ‎ ‎（Ⅱ）设，，，‎ 由，得．‎ 又，．‎ 解得 ③‎ 直线ON：，即 ④‎ 由③、④及得，‎ 点N的轨迹方程为． ‎ ‎3、已知双曲线的一条渐近线方程为，两条准线的距离为l.‎ ‎ （1）求双曲线的方程；‎ ‎ （2）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N，点P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPM·kPN的值.‎ ‎（1）解：依题意有： 可得双曲线方程为 ‎ ‎ （2）解：设 所以 ‎ ‎4、已知点分别是射线，上的动点，为坐标原点，且的面积为定值2．‎ ‎（I）求线段中点的轨迹的方程；‎ ‎（II）过点作直线，与曲线交于不同的两点，与射线分别交于点，若点恰为线段的两个三等分点，求此时直线的方程．‎ 解：（I）由题可设，，，其中.‎ 则 1分 ‎∵的面积为定值2，‎ ‎∴. 2分 ，消去，得：． 4分 由于，∴，所以点的轨迹方程为（x＞0）．‎ ‎5分 ‎（II）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为．‎ 由消去得：， 6分 设点、、、的横坐标分别是、、、，‎ ‎∴由得 8分 解之得：．‎ ‎∴. 9分 由消去得：，‎ 由消去得：，‎ ‎∴. 10分 由于为的三等分点，∴. 11分 解之得. ‎ ‎5、设双曲线C：的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。‎ ‎ （Ⅰ）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标；‎ ‎ （Ⅱ）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；‎ ‎ （Ⅲ）过点F（1，0）作直线l与（Ⅱ）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设，若（T为（Ⅰ）中的点）的取值范围。‎ 解：（Ⅰ）由题，得，设 则 由 …………①‎ 又在双曲线上，则 …………②‎ 联立①、②，解得 ‎ 由题意， ‎∴点T的坐标为（2，0） …………3分 ‎（Ⅱ）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y）‎ 由A1、P、M三点共线，得 …………③ …………1分 由A2、Q、M三点共线，得 ‎ …………④ …………1分 联立③、④，解得 …………1分 ‎∵在双曲线上，‎ ‎∴ ‎∴轨迹E的方程为 …………1分 ‎（Ⅲ）容易验证直线l的斜率不为0。‎ 故可设直线l的方程为 中，得 ‎ 设 则由根与系数的关系，得 ……⑤‎ ……⑥ …………2分 ‎∵ ∴有 将⑤式平方除以⑥式，得 …………1分 由 …………1分 ‎∵ 又 故 令 ∴，即 ‎∴ 而 ， ∴ ‎∴ ‎6、已知中心在原点，左、右顶点A1、A2在x轴上，离心率为的双曲线C经过点P（6,6），动直线l经过△A1PA2的重心G与双曲线C交于不同两点M、N，Q为线段MN的中点。‎ ‎（1）求双曲线C的标准方程 ‎（2）当直线l的斜率为何值时，。‎ 本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系，以及直线与双曲线的位置关系。‎ 解（1）设双曲线C的方程为 ‎①‎ ‎②②‎ 又P（6,6）在双曲线C上， 由①、②解得 所以双曲线C的方程为。‎ ‎（2）由双曲线C的方程可得 所以△A1PA2的重点G（2,2）‎ 设直线l的方程为代入C的方程，整理得 ‎③③②‎ 整理得 ‎④③②‎ 解得 由③，可得 ‎⑤③②‎ 解得 由④、⑤，得 ‎7、已知，点满足，记点的轨迹为.‎ ‎（Ⅰ）求轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线过点且与轨迹交于、两点.‎ ‎ （i）设点，问：是否存在实数，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎（ii）过、作直线的垂线、，垂足分别为、，记，求的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支，由，∴，故轨迹E的方程为…（3分）‎ ‎（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消得，设、，‎ ‎∴， 解得 ………………………………………（5分）‎ ‎（i）∵ ‎ ……………………（7分）‎ ‎ 假设存在实数，使得，‎ ‎ 故得对任意的恒成立，‎ ‎ ∴，解得 ‎ ∴当时，.‎ ‎ 当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立，‎ ‎ 综上，存在，使得. …………………………………………（8分）‎ ‎ （ii）∵，∴直线是双曲线的右准线，…………………………（9分）‎ ‎ 由双曲线定义得：，，‎ ‎ 方法一：∴ ‎ …………………………………………（10分）‎ ‎ ∵，∴，∴………………………………………（11分）‎ ‎ 注意到直线的斜率不存在时，，‎ 综上， ………………………………………………………………（12分）‎ ‎8、已知双曲线的离心率e＝2，且、分别是双曲线虚轴的上、下端点 ‎ ‎（Ⅰ）若双曲线过点（，），求双曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若、是双曲线上不同的两点，且，求直线的方程 ‎ 解：（Ⅰ）∵双曲线方程为 ‎∴，‎ ‎∴双曲线方程为 ，又曲线C过点Q（2，），‎ ‎∴ ‎∴双曲线方程为 ………………5分 ‎（Ⅱ）∵，∴M、B2、N三点共线 ‎ ‎∵, ∴ ‎（1）当直线垂直x轴时，不合题意 ‎ ‎（2）当直线不垂直x轴时，由B1（0，3），B2（0，－3），‎ 可设直线的方程为，①‎ ‎∴直线的方程为 ②‎ 由①，②知 代入双曲线方程得 ，得，‎ 解得 , ∴，‎ 故直线的方程为 ‎40、(广东省四校联合体第一次联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为且过点(4，-)‎ ‎ （1）求双曲线方程；‎ ‎ （2）若点M(3,m)在双曲线上，求证：点M在以F‎1F2为直径的圆上；‎ ‎ （3）求△F1MF2的面积.‎ 解：（1） ∵离心率e= ‎∴设所求双曲线方程为x2-y2=(≠0)‎ 则由点(4，-)在双曲线上 知=42-(-)2=6‎ ‎∴双曲线方程为x2-y2=6‎ ‎ （2）若点M(3,m)在双曲线上 ‎ 则32-m2=6 ∴m2=3‎ ‎ 由双曲线x2-y2=6知F1(2,0),F2(-2,0)‎ ‎ ∴ ‎ ∴,故点M在以F‎1F2为直径的双曲线上.‎ ‎（3）=×‎2C×|M|=C|M|=2×=6‎ ‎9、已知平面上一定点C（4，0）和一定直线为该平面上一动点，作，垂足为Q，且.‎ ‎ （1）问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；‎ ‎ （2）设直线与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.‎ 解：（1）设P的坐标为，由得 （2分） ∴（（4分）‎ 化简得 ∴P点在双曲线上，其方程为（6分）‎ ‎ （2）设A、B点的坐标分别为、，‎ 由 得（7分）‎ ，（8分）‎ ‎∵AB与双曲线交于两点，∴△>0，即 解得（9分）‎ ‎∵若以AB为直径的圆过D（0，－2），则AD⊥BD，∴，‎ 即，（10分）‎ ‎∴ ‎∴ 解得，故满足题意的k值存在，且k值为.‎ ‎10、过双曲线的上支上一点作双曲线的切线交两条渐近线分别于点.‎ ‎ （1）求证：为定值；‎ ‎ （2）若，求动点的轨迹方程.‎ 解：（1）设直线AB： 由得 …………………………………….3分 ‎…………………………………………………………………………………………….7分 ‎（2），所以四边形BOAM是平行四边形 ……………………………………………………………….9分 　　　①‎ 　　②‎ 由①②及……………………………………………..13分 …………14分 ‎11、双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，点A在双曲线的右支上，点B在双曲线左准线上，‎ ‎ （1）求双曲线的离心率e；‎ ‎ （2）若此双曲线过C（2，），求双曲线的方程；‎ ‎ （3）在（2）的条件下，D1、D2分别是双曲线的虚轴端点（D2在y轴正半轴上），过D1的直线l交双曲线M、N，的方程。‎ 解：（1）四边形F2ABO是平行四边形 ‎∴四边 形F2ABO是菱形.‎ ‎∴ 由双曲线定义得 ‎（2） ，双曲线方程为 把点C代入有 ‎∴双曲线方程 ‎（3）D1（0，－3），D2（0，3），设l的方程为 则由 因l与与双曲线有两个交点，‎ 故所求直线l方程为