历年高考物理重点——带电粒子在复合场中运动经典题型汇总

历年高考物理重点——带电粒子在复合场中运动经典题型汇总

‎ 高二物理讲义 带电粒子在复合场中的运动经典题型 一、选择题 第1题图 O B M N A ‎1.如图所示，真空中有两个等量异种点电荷A、B， M、N、O是AB连线的垂线上的点，且AO＞OB．一带负电的试探电荷仅受电场力作用，运动轨迹如图中实线所示，设M、N两点的场强大小分别EM、EN，电势分别为φM、φN．下列判断中正确的是 （ ）dysz A．B点电荷一定带正电 B．EM小于EN ‎ C．φM大于φN ‎-q1‎ P ‎-q2‎ O ‎ +Q 图2‎ D．此试探电荷在M处的电势能小于N处的电势能 ‎2. 如图2所示，某点O处固定点电荷+Q，一个带电为-q1的点电荷以O点为圆心做匀速圆周运动，另一带电为-q2的点电荷以O为焦点做椭圆轨道运动，两个轨道相切于P点，两个电荷的质量相等且q1 > q2，它们之间的静电引力和万有引力均可忽略，设-q1、-q2先后经过P点时速度大小分别为V1、V2，加速度大小分别为a1、a2，下述关系式正确的是 （ ）dysz A．a1=a2 B．a1V2 D．V1=V2‎ ‎3. 如图所示，两个等量同种点电荷分别固定于光滑绝缘水平面上A、B两点。一个带电粒子由静止释放，仅受电场力作用，沿着AB中垂线从C点运动到D点（C、D是关于AB对称的两点）。下列关于粒子运动的v-t图像中可能正确的是 （ ）dyszww w.ks5 u.co m A B C D 第8题图 v v v v t t t t O O O O A B C D M N A B V ‎4.如图所示，A、B带等量异种电荷，MN为A、B连线的中垂线，现有一带电粒子从M点以一定的初速度V射入，开始一段时间内的轨迹如图中实线所示，不考虑粒子所受的重力。则：( ) dysz A．该粒子带负电 ‎ B．该粒子的速率先增大后减小 C．该粒子的电势能先增大后减小 D．该粒子做的是匀变速运动 ‎5.我国第21次南极科考队在南极观看到了美丽的极光，极光是由来自太阳的高能量带电粒子流高速冲进高空稀薄大气层时，被地球磁场俘获，从而改变原有运动方向，向两极做螺旋运动，如图所示．这些高能粒子在运动过程中与大气分子或原子剧烈碰撞或摩擦从而激发大气分子或原子，使其发出有一定特征的各种颜色的光．地磁场的存在，使多数宇宙粒子不能达到地面而向人烟稀少的两极偏移，为地球生命的诞生和维持提供了天然的屏障，科学家发现并证实，向两极做螺旋运动的这些高能粒子的旋转半径是不断减小的，这主要与下列哪些因素有关（ ）‎ A．洛伦兹力对粒子做负功，使其动能减小 B．空气阻力做负功，使其动能减小 C．南北两极的磁感应强度增强 D．太阳对粒子的引力做负功 二、计算题 ‎6..真空中有一匀强电场，方向沿Ox正方向，若一带电粒子质量为m，电荷量为q，从O点以初速度v0沿Oy方向进入电场，经Δt时间到达A点.此时速度大小也为v0，方向为Ox轴正方向，如图所示，试求：‎ ‎（1）从O到A的时间Δt及OA连线与Ox轴的夹角θ； （2）该匀强电场的电场强度E； （3）若设O点为零电势，则A点电势为多少？(已知当地的重力加速度为g)‎ ‎7. 如图（a）所示, 水平放置的平行金属板AB间的距离d=‎0.1m，板长L=‎0.3m,在金属板的左端竖直放置一带有小孔的挡板,小孔恰好位于AB板的正中间.距金属板右端x=‎0.5m处竖直放置一足够大的荧光屏．现在AB板间加如图（b）所示的方波形电压，已知U0=1.0×102V．在挡板的左侧，有大量带正电的相同粒子以平行于金属板方向的速度持续射向挡板，粒子的质量m=1.0×10‎-7kg，电荷量q=1.0×10‎-2C，速度大小均为v0=1.0×‎104m/s．带电粒子的重力不计．求：（1）在t=0时刻进入的粒子射出电场时竖直方向的速度；（2）荧光屏上出现的光带长度；‎ ‎（3）若撤去挡板，同时将粒子的速度均变为v=2.0×‎104m/s，则荧光屏上出现的光带又为多长?‎ U U0‎ ‎-U0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ t/×10-5 s ‎（b）‎ d x L A B O v0‎ v0‎ ‎（a）‎ ‎8.如图甲所示的平面坐标系，整个区域内存在匀强磁场，磁感应强度随时间t的变化关系如图乙所示，开始时刻磁场的方向垂直于纸面向内，t =0时刻，有一个带正电的粒子（不计重力）从坐标原点0沿轴正方向进入磁场，初速度为，已知带电粒子的比荷为，试求： ‎ ‎（1）时刻，粒子的位置坐标；‎ ‎（2）粒子从开始时刻起经过多长时间到达轴；‎ ‎（3）粒子能否返回坐标原点？若可以则经过多长时间返回坐标原点？‎ ‎9. 如图所示，K与虚线MN之间是加速电场。虚线MN与PQ之间是匀强电场，虚线PQ与荧光屏之间是匀强磁场，且MN、PQ与荧光屏三者互相平行.电场和磁场的方向如图所示。图中A点与O点的连线垂直于荧光屏。一带正电的粒子从A点离开加速电场，速度方向垂直于偏转电场方向射入偏转电场，在离开偏转电场后进入匀强磁场，最后恰好垂直地打在荧光屏上。已知电场和磁场区域在竖直方向足够长，加速电场电压与偏转电场的场强关系为U=Ed，式中的d是偏转电场的宽度，磁场的磁感应强度B与偏转电场的电场强度E和带电粒子离开加速电场的速度v0关系符合表达式v0=，若题中只有偏转电场的宽度d为已知量，求：（1）磁场的宽度L为多少？‎ K A M N P Q O B E L v0‎ d U ‎（2）带电粒子在电场和磁场中垂直于v0方向的偏转距离分别是多少？‎ ‎10.如图所示，在直角坐标系的原点O处有一放射源，向四周均匀发射速度大小相等、方向都平行于纸面的带电粒子。在放射源右边有一很薄的挡板，挡板与xoy平面交线的两端M、N与原点O正好构成等腰直角三角形。已知带电粒子的质量为m，带电量为q，速度为υ，MN的长度为L。‎ ‎（1）若在y轴右侧加一平行于x轴的匀强电场，要使y轴右侧所有运动的粒子都能打到挡板MN上，则电场强度E0的最小值为多大？在电场强度为E0时，打到板上的粒子动能为多大?‎ ‎（2）若在整个空间加一方向垂直纸面向里的匀强磁场，要使板右侧的MN连线上都有粒子打到，磁场的磁感应强度不能超过多少(用m、υ、q、L表示)?若满足此条件，放射源O向外发射出的所有带电粒子中有几分之几能打在板的左边?‎ ‎11.如图所示，在0≤x≤a、o≤y≤范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～范围内.己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一.求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的(1)速度大小；(2)速度方向与y轴正方向夹角正弦。‎ ‎ ‎ 答案 ‎1. AB 2. C 3. CD 4. AB 5. BC ‎6. （1）粒子从O到A的运动 Oy方向 0-v2=-gΔt；0-v02=2（-g）y① Ox方向 v0=② 而Y/X=tanθ③ 联立①②③可得θ=45°，Δt=Y0/g （2）据①②得qE/m=g 该匀强电场的电场强度E=mg/q. （3）若设O点为零电势，则A点电势为φA，在水平方向上只受电场力作用，则电场力做功电势能减少，动能增加. 由WQA=‎ ‎7. 解：（1）从t=0时刻进入的带电粒子水平方向速度不变。‎ 在电场中运动时间t=L/v0=3×10-5s ，正好等于一个周期 （1分）‎ 竖直方向先加速后减速，加速度大小 （1分）‎ 射出电场时竖直方向的速度 （2分）‎ ‎（2）无论何时进入电场，粒子射出电场时的速度均相同。‎ 偏转最大的粒子偏转量 （2分）‎ 反方向最大偏转量 （2分）‎ 形成光带的总长度l=4.0×10‎-2m （2分）‎ d d1‎ d2‎ x L A B O 图（c）‎ ‎（3）带电粒子在电场中运动的时间为T/2，打在荧光屏上的范围如图c所示。‎ ‎ （2分）‎ ‎ （2分）‎ 形成的光带长度l=d1+ d+ d2=‎0.15m （2分）‎ ‎8. 解：（1）粒子进入磁场后在磁场中作匀速圆周运动，设半径为，周期为，由洛伦兹力提供向心力得：‎ ‎（4分） ‎ ‎（4分）‎ 在磁场变化的第一段时间内粒子运动个周期，对应转过的圆心角为到达A点，如图甲所示，则A点的坐标为 ‎ （4分）‎ ‎（2）根据（1）中的解析，粒子在第一段磁场变化时间内，运动了个周期，对应转过的圆心角为到达A点；第二段时间内运动个周期,对应转过的圆心角为到达B点，第三段时间内运动了个周期，对应转过的圆心角为到达C点，且粒子恰垂直通过轴，轨迹如图甲所示，故粒子从开始到经过轴的时间为：‎ ‎ （5分）‎ ‎（3）粒子在磁场中作周期性运动，根据对称性和周期性，画出粒子运动的轨迹如图乙所示，其中构成一个正三角形，故粒子从开始到返回坐标原点的总时间为： ‎ ‎ s （5分）‎ ‎9.1）粒子在加速电场中由动能定理有 ①‎ 粒子在匀强电场中做类平抛运动，设偏转角为，有 K A M N P Q O B E d L U v0‎ v θ θ Δy v ‎ ②‎ ‎ ③‎ ‎ ④‎ ‎ ⑤‎ U=Ed ⑥‎ 由①②③④⑤⑥解得：θ=45º 由几何关系得：带电粒子离开偏转电场速度为 粒子在磁场中运动，由牛顿第二定律有：qvB=m ‎ 在磁场中偏转的半径为 ‎ ，由图可知，磁场宽度L=Rsinθ=d ‎ ‎（2）带电粒子在偏转电场中距离为 在磁场中偏转距离为 ‎8.解析：（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得： ‎ 带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得： ‎ 由以上两式，可得 。‎ 可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图所示，三段圆弧的圆心组成的三角形ΔO1O2O3是等边三角形，其边长为2R。所以中间磁场区域的宽度为 O O3‎ O1‎ O2‎ ‎600‎ ‎（2）在电场中 ，‎ 在中间磁场中运动时间 在右侧磁场中运动时间，‎ 则粒子第一次回到O点的所用时间为 ‎10. 解：⑴由题意知，要使y轴右侧所有运动粒子都能打在MN板上，其临界条件为：沿y轴方向运动的粒子作类平抛运动，且落在M或N点。‎ υ1‎ υ2‎ x y O M N Ｏ′‎ M O′=L=υt ① ‎ a= ②‎ OO′=L =at2 ③‎ 解①②③式得 E0= ④‎ 由动能定理知 υ1‎ υ2‎ x y O M N O1‎ O2‎ qE0×L =Ek－ ⑤‎ 解④⑤式得 Ek= ⑥‎ ‎⑵由题意知，要使板右侧的MN连线上都有粒子打到，粒子轨迹直径的最小值为MN板的长度L。‎ R0=L= ⑦‎ B0= ⑧‎ 放射源O发射出的粒子中，打在MN板上的粒子的临界径迹如图所示。‎ ‎∵OM=ON，且OM⊥ON ‎∴OO1⊥OO2‎ ‎∴υ1⊥υ2‎ ‎∴放射源O放射出的所有粒子中只有打在MN板的左侧。‎ ‎11. ‎ 带电粒子在场中的运动 ‎1．如图所示，在x轴上方有匀强电场，场强为E；在x轴下方有匀强磁场，磁感应强度为B，方向如图，在x轴上有一点M，离O点距离为L．现有一带电量为十q的粒子，使其从静止开始释放后能经过M点．如果把此粒子放在y轴上，其坐标应满足什么关系？（重力忽略不计）‎ ‎2．如图，在直角坐标系的第Ⅱ象限和第Ⅳ象限中的直角三角形区域内，分布着为B＝5.0×10－3T的匀强磁场，方向分别垂直纸面向外和向里．质量为m＝6.64×10－27㎏、电荷量为q＝＋3.2×10－‎19C的α粒子（不计α粒子重力），由静止开始经加速电压为U＝1205V的电场（图中未画出）加速后，从坐标点M（－4，）处平行于x轴向右运动，并先后通过两个匀强磁场区域．(1)请你求出α粒子在磁场中的运动半径；(2)你在图中画出α粒子从直线x＝－4到直线x＝4之间的运动轨迹，并在图中标明轨迹与直线x＝4交点的坐标；(3)求出α粒子在两个磁场区域偏转所用的总时间．‎ ‎3．如图所示，图中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外。O是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电量为+q、质量为m、速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向。已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，P到O的距离为L，不计重力及粒子间的相互作用。（1）求所考察的粒子在磁场中的轨道半径；（2）求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔。‎ t/10-4s ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ O ‎1．56‎ U/V ‎4．如图所示，水平放置的平行金属板，长为l=‎140cm，两板之间的距离d=‎30cm，板间有图示方向的匀强磁场，磁感应强度的大小为B=1.3×10-3T．两板之间的电压按图所示的规律随时间变化（上板电势高为正）．在t=0时，粒子以速度v=4×‎103m/s从两板（左端）正中央平行于金属板射入，已知粒子质量m=6.64×10‎-27kg，带电量q=3.2×10‎-19C．试通过分析计算，看粒子能否穿越两块金属板间的空间，如不能穿越，粒子将打在金属板上什么地方？如能穿越，则共花多少时间？‎ ‎5．.如图所示，在坐标系Oxy的第一象限中存在沿y轴正方向的匀强电场，场强大小为E。在其他象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。A是y轴上的一点，它到坐标原点O的距离为h；C是x轴上的一点，到O的距离为l。一质量为m、电荷量为q的带负电的粒子以某一初速度沿x轴方向从A点进入电场区域，继而同过C点进入磁场区域，并在此通过A点，此时速度与y轴正方向成锐角。不计重力作用。试求：‎ ‎（1）粒子经过C点是速度的大小和方向；‎ ‎（2）磁感应强度的大小B。‎ 参考答案 ‎1．解析：由于此带电粒子是从静止开始释放的，要能经过M点，其起始位置只能在匀强电场区域．物理过程是：静止电荷位于匀强电场区域的y轴上，受电场力作用而加速，以速度v进入磁场，在磁场中受洛仑兹力作用作匀速圆周运动，向x轴偏转．回转半周期过x轴重新进入电场，在电场中经减速、加速后仍以原速率从距O点2R处再次超过x轴，在磁场回转半周后又从距O点4R处飞越x轴如图所示（图中电场与磁场均未画出）故有L＝2R，L＝2×2R，L＝3×2R 即 R＝L/2n，（n=1、2、3……） 设粒子静止于y轴正半轴上，和原点距离为h，由能量守恒得mv2／2=qEh 对粒子在磁场中只受洛仑兹力作用而作匀速圆周运动有：R＝mv／qB 解①②③式得：h＝B2qL2／8n2mE （n＝l、2、3……）‎ ‎2．解析：(1) α粒子在磁场中偏转，则牛顿第二定律得 联立解得（m）‎ O M ‎2‎ ‎－2‎ ‎2‎ ‎－4‎ ‎4‎ x/m y/m ‎－2‎ v B B ‎（4，）‎ ‎(2)由几何关系可得，α粒子恰好垂直穿过分界线，故正确图象为 ‎(3)带电粒子在磁场中的运动周期 α粒子在两个磁场中分别偏转的弧度为，运动总时间 ‎（s）‎ ‎3．解：（1）设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律得 ‎，则 ‎（2）如图2所示，以OP为弦可以画两个半径相同的圆，分别表示在P点相遇的两个粒子的轨迹。圆心分别为O1、O2，过O点的直径分别为OO1Q1、OO2Q2，在O点处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，用θ表示它们之间的夹角。由几何关系可知，，从O点射入到相遇，粒子1的路程为半个圆周加弧长Q1P=Rθ，粒子2的路程为半个圆周减弧长PQ2=Rθ 粒子1的运动时间为 ，其中T为圆周运动的周期。‎ 粒子2运动的时间为 两粒子射入的时间间隔为 ‎ 因为 所以 有上述算式可解得 ‎ ‎4．根据题意可知，两金属板间的匀强电场是间断存在的．有电场时，电场方向由上板指向下板，场强大小为E=U/d=1.56V/‎0.3m=5.2V/m．‎ 粒子进入板间在0～1.0×104s内受向下的电场力Eq和向下的磁场力Bqv作用，由于电场力与磁场力之比 可见在这段时间里粒子作匀速直线运动，它的位移在接着的1.0×10s～2.0×10－4s时间内，电场撤消，α粒子只受磁场力作用，将作匀速圆周运动，轨道半径为 s s s s/2‎ 轨道直径d′＝2R=‎12.76cm 0，0 < x < a 的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，在 y > 0，x > a 的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为 B。在 O 点处有一小孔，一束质量为 m、带电量为 q（q >0）的粒子沿 x 轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值.已知速度最大的粒子在 0 < x < a 的区域中运动的时间与在 x > a 的区域中运动的时间之比为 ‎ 2:5，在磁场中运动的总时间为 7T/12，其中 T为该粒子在磁感应强度为 B 的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。‎ 解：粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动半径为 ： ①‎ 速度小的粒子将在xa的区域中运动的时间，由题意可知 ‎ 由此解得：……② …… ③‎ 由②③式和对称性可得 ⑤‎ ‎ …… ⑥ 所以 …… ⑦‎ 即弧长AP为1/4圆周。因此，圆心在x轴上。‎ 设速度为最大值粒子的轨道半径为R，有直角可得 ⑧‎ 由图可知OP=‎2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标 ‎ ⑨‎ ‎4、带电粒子在有界磁场中的极值问题 寻找产生极值的条件：①直径是圆的最大弦；②同一圆中大弦对应大的圆心角；③由轨迹确定半径的极值。‎ 有一粒子源置于一平面直角坐标原点O处，如图所示相同的速率v0向第一象限平面内的不同方向发射电子，已知电子质量为m，电量为e。欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场后，都能平行于x轴沿+x方向运动，求该磁场方向和磁场区域的最小面积s。‎ 解：由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径R＝mv0/Be是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图所示，因为电子只能向 第一象限平面内发射，所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆O1，它就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O为圆心，以R为半径的圆弧O1O2On。由于要求所有电子均平行于x轴向右飞出磁场，故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。如对图中任一轨迹圆O2而言，要使电子能平行于x轴向右飞出磁场，过O2作弦的垂线O‎2A，则电子必将从点A飞出，相当于将此轨迹的圆心O2沿y方向平移了半径R即为此电子的出场位置。由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧O1O2On沿y方向向上平移了半径R后所在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧OAP示。综上所述，要求的磁场的最小区域为弧OAP与弧OBP所围。利用正方形OO1PC的面积减去扇形OO1P的面积即为OBPC的面积；即R2-πR2/4。根据几何关系有最小磁场区域的面积为S＝2（R2-πR2/4）＝（π/2 -1）（mv0/Be）2。‎ ‎5、带电粒子在复合场中运动问题 复合场包括：磁场和电场，磁场和重力场，或重力场、电场和磁场。有带电粒子的平衡问题，匀变速运动问题，非匀变速运动问题，在解题过程中始终抓住洛伦兹力不做功这一特点。粒子动能的变化是电场力或重力做功的结果。‎ ‎（07四川）如图所示，在坐标系Oxy的第一象限中存在沿y轴正方形的匀强电场，场强大小为E。在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。A是y轴上的一点，它到座标原点O的距离为h；C是x轴上的一点，到O点的距离为l ，一质量为m、电荷量为q的带负电的粒子以某一初速度沿x轴方向从A点进入电场区域，继而通过C点进入大磁场区域，并再次通过A点。此时速度方向与y轴正方向成锐角。不计重力作用。试求：‎ y y E A C O ‎（1）粒子经过C点时速度的大小合方向；‎ ‎（2）磁感应强度的大小B。‎ ‎（1）以a表示粒子在电场作用下的加速度，有 ‎ ①‎ 加速度沿y轴负方向。设粒子从A点进入电场时的初速度为v0，由A点运动到C点经历的时间为t，则有、 ②‎ ‎ ③‎ 由②③式得 ④‎ 设粒子从点进入磁场时的速度为v，v垂直于x轴的分量 v1＝ ⑤ 由①④⑤式得 v1＝＝ ⑥‎ 设粒子经过C点时的速度方向与x轴的夹角为α，则有 tanα＝ ⑦‎ 由④⑤⑦式得 ⑧‎ ‎（2）粒子经过C点进入磁场后在磁场中作速率为v的圆周运动。若圆周的半径为R，则有 ‎ ⑨‎ 设圆心为P，则PC必与过C点的速度垂且有＝＝R。用β表示与y轴的夹角，由几何关系得 ⑩‎ ‎ ⑾‎ 由⑧⑩⑾式解得 R＝ ⑿‎ 由⑥⑨⑿式得 B＝ ⒀‎ ‎6、带电粒子在磁场中的周期性和多解问题 多解形成原因：带电粒子的电性不确定形成多解；磁场方向不确定形成多解；临界状态的不唯一形成多解，在有界磁场中运动时表现出来多解，运动的重复性形成多解。‎ 在半径为r的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B；一质量为m带电+q的粒子以速度V从筒壁A处沿半径方向垂直于磁场射入筒中；若它在筒中只受洛伦兹力作用且与筒壁发生弹性碰撞，欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周后仍从A处射出；则B必须满足什么条件？‎ 带电粒子在磁场中的运动时间分析：由于粒子从A处沿半径射入磁场后必作匀速圆周运动，要使粒子又从A处沿半径方向射向磁场，且粒子与筒壁的碰撞次数未知，故设粒子与筒壁的碰撞次数为n（不含返回A处并从A处射出的一次），由图可知 其中n为大于或等于2的整数（当n＝1时即粒子必沿圆O的直径作直线运动，表示此时B＝0）；由图知粒子圆周运动的半径R，再由粒子在磁场中的运动半径可求出 ‎。‎ 粒子在磁场中的运动周期为，粒子每碰撞一次在磁场中转过的角度由图得，粒子从A射入磁场再从A沿半径射出磁场的过程中将经过n+1段圆弧，故粒子运动的总时间为： ，将前面B代入T后与共同代入前式得。‎