新课标高考数学难点突破集合思想及应用

新课标高考数学难点突破集合思想及应用

难点1 集合思想及应用 集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.‎ ‎●难点磁场 ‎(★★★★★)已知集合A={(x,y)|x2+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠,求实数m的取值范围.‎ ‎●案例探究 ‎［例1］设A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=，证明此结论.‎ 命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目.‎ 知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C=转化为A∩C=且B∩C=，这样难度就降低了.‎ 错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手.‎ 技巧与方法：由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b、k的范围，又因b、k∈N,进而可得值.‎ 解：∵(A∪B)∩C=，∴A∩C=且B∩C=‎ ‎∵ ∴k2x2+(2bk－1)x+b2－1=0‎ ‎∵A∩C=‎ ‎∴Δ1=(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0‎ ‎∴4k2－4bk+1<0,此不等式有解，其充要条件是16b2－16>0,即b2>1 ①‎ ‎∵‎ ‎∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)=0‎ ‎∵B∩C=,∴Δ2=(1－k)2－4(5－2b)<0‎ ‎∴k2－2k+8b－19<0,从而8b<20,即b<2.5 ②‎ 由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得 ‎∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=.‎ ‎［例2］向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？‎ 命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.‎ 知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来.‎ 错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.‎ 技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.‎ 解：赞成A的人数为50×=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B.‎ 设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x.‎ 依题意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21.‎ 所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.‎ ‎●锦囊妙计 ‎1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P ‎；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.‎ ‎2.注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论.‎ ‎●歼灭难点训练 一、选择题 ‎1.(★★★★)集合M={x|x=,k∈Z},N={x|x=,k∈Z},则( )‎ A.M=N B.MN C.MN D.M∩N=‎ ‎2.(★★★★)已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+10,b>0},当A∩B只有一个元素时，a,b的关系式是_________.‎ 三、解答题 ‎5.(★★★★★)集合A={x|x2－ax+a2－19=0},B={x|log2(x2－5x+8)=1}，C={x|x2+2x－8=0},求当a取什么实数时，A∩B 和A∩C=同时成立.‎ ‎6.(★★★★★)已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)| x2－y2=1,x,y∈R}.‎ 试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.‎ ‎(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；‎ ‎(2)A∩B至多有一个元素；‎ ‎(3)当a1≠0时，一定有A∩B≠.‎ ‎7.(★★★★)已知集合A={z||z－2|≤2,z∈C},集合B={w|w=‎ zi+b,b∈R},当A∩B=B时，求b的值.‎ ‎8.(★★★★)设f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f［f(x)］=x}.‎ ‎(1)求证：AB;‎ ‎(2)如果A={－1，3}，求B.‎ 参考答案 难点磁场 解：由得x2+(m－1)x+1=0 ①‎ ‎∵A∩B≠‎ ‎∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.‎ 首先，由Δ=(m－1)2－4≥0,得m≥3或m≤－1,当m≥3时，由x1+x2=－(m－1)＜0及x1x2=1>0知，方程①只有负根，不符合要求.‎ 当m≤－1时，由x1+x2=－(m－1)>0及x1x2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.‎ 故所求m的取值范围是m≤－1.‎ 歼灭难点训练 一、1.解析：对M将k分成两类：k=2n或k=2n+1(n∈Z),M={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=‎ nπ+,n∈Z},对N将k分成四类，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),N={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}.‎ 答案：C ‎2.解析：∵A∪B=A，∴BA,又B≠,‎ ‎∴即2＜m≤4.‎ 答案：D 二、3.a=0或a≥‎ ‎4.解析：由A∩B只有1个交点知，圆x2+y2=1与直线=1相切，则1=,即ab=.‎ 答案：ab=‎ 三、5.解：log2(x2－5x+8)=1,由此得x2－5x+8=2，∴B={2,3}.由x2+2x－8=0，∴C={2,－4},又A∩C=，∴2和－4都不是关于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，而A∩B ,即A∩B≠,‎ ‎∴3是关于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，∴可得a=5或a=－2.‎ 当a=5时，得A={2，3}，∴A∩C={2}，这与A∩C=不符合，所以a=5(舍去)；当a=－2时，可以求得A={3，－5}，符合A∩C=，A∩B ，∴a=－2.‎ ‎6.解：(1)正确.在等差数列{an}中，Sn=,则(a1+an),这表明点(an,）的坐标适合方程y(x+a1),于是点(an, )均在直线y=x+a1上.‎ ‎(2)正确.设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解，由方程组消去y得：‎2a1x+a12=－4(*)，当a1=0时，方程(*)无解，此时A∩B=；当a1≠0时，方程(*)只有一个解x=,此时，方程组也只有一解,故上述方程组至多有一解.‎ ‎∴A∩B至多有一个元素.‎ ‎(3）不正确.取a1=1,d=1,对一切的x∈N*,有an=a1+(n－1)d=n>0, >0,这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0.如果A∩B≠,那么据(2）的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0）,而x0=＜0,y0=＜0,这样的(x0,y0）A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B=，所以a1≠0时，一定有A∩B≠是不正确的.‎ ‎7.解：由w=zi+b得z=,‎ ‎∵z∈A,∴|z－2|≤2,代入得|－2|≤2,化简得|w－(b+i)|≤1.‎ ‎∴集合A、B在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A表示以点(2，0）为圆心，半径为2的圆面，集合B表示以点(b,1)为圆心，半径为1的圆面.‎ 又A∩B=B，即BA，∴两圆内含.‎ 因此≤2－1,即(b－2)2≤0，∴b=2.‎ ‎8.(1)证明：设x0是集合A中的任一元素，即有x0∈A.‎ ‎∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0).‎ 即有f［f(x0)］=f(x0)=x0,∴x0∈B,故AB.‎ ‎(2)证明：∵A={－1,3}={x|x2+px+q=x},‎ ‎∴方程x2+(p－1)x+q=0有两根－1和3，应用韦达定理，得 ‎∴f(x)=x2－x－3.‎ 于是集合B的元素是方程f［f(x)］=x,也即(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3=x(*)的根.‎ 将方程(*)变形，得(x2－x－3）2－x2=0‎ 解得x=1,3,,－.‎ 故B={－，－1，，3}.‎