高考物理总复习专题十一临界与极值问题训练题

高考物理总复习专题十一临界与极值问题训练题

2008 高考物理总复习 专题十一 临界与极值问题训练题 【方法与规律】 在一定的条件下，当物体的运动从一种形式或性质转变为另一种形式或性质时，往往存在一种状态向另 一状态过渡的转折眯，这个转折点常称为临界点，物体的物理状态和过程的性质特点在达到临界状态时将发 生转变，因而常使一些物理量的值取得极大或极小。 临界状态总是在一定条件下出现。临界问题的分析是中学物理中较为常见，也是很多同学感到困难的问 题之一，这就要求我们在教学中能不断探索这类问题的分析方法。 分析临界问题的关键是找准临界点，中心是分析临界趋势或特征，发现临界条件，而临界条件往往是极 值条件，或是解决极值问题的关键之处。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 求解临界与极值问题的方法 求解临界与极值问题需要有较高的综合分析能力及相关的数学知识功底，高中物理有多处涉及临界问题， 现已成为高中物理的热点之一，并不时地出现在高考题中，应引起我们足够的重视。 极限法分析临界问题，是通过分析把关键物理量同时推向极大和极小时的物理现象，从而找出解决问题 的突破口的一种方法。下面通过几种情况的分析来体会： 【经典例题】 一、关键物理量“力 F” 【例 1】如图 1 所示，物体 A 的质量为 2kg，两轻绳 AB 和 AC(LAB=2LAC)的一端连接在竖直墙上，另一 端系在物体 A 上，今在物体 A 上另施加一个与水平方向成α=600 角的拉力 F。要使两绳都能伸直，试求拉力 F 的大小范围。(g=10m/s2) 【解析】如果 F 很小，由竖直方向平衡知轻绳 AB 中必有张力，当 AC 中张力恰为零时，F 最小；如果 F 很 A B C F 600 图 1 数学方法 物理方法 算术几何平均数：两数和为定值积有 最大值；两数积为定值和有是小值 判别式法 二次函数极值法 三角函数法 画矢量图法 图像法 极限分析法或结合对物理原理的分 析，直接推断出有关极值条件 大，由竖直方向平衡知轻绳 AC 中必有张力，当 AB 中张 力恰好为零时，F 最大。 设物体的质量为 m，轻绳 AB 中的张力为 TAB，AC 中的张力为 TAC，F 的最小值为 F1，最大值为 F2 LAB=2LAC，有∠CAB=600 由平衡条件有： F1sin600+TABsin600=mg , F1cos600=TABcos600 F2sin600=mg 以上各式代入数据得：F1=20√3/3N，F2=40√3/3N 因此，拉力 F 的大小范围：20√3/3N ＜F＜40√3/3N 此题也可由平衡条件直接列方程，结合不等式关系 TAB＞0，TAC＞0 求解。 二、关键物理量“加速度 a” 【例 2】质量为 0.2kg 的小球用细绳吊在倾角θ=600 的斜面体的顶端，斜面体静止时，小球紧靠在斜面上， 线与斜面平行，如图 2 所示，不计摩擦，求当斜面体分别以（1）2√3m/s2，（2）4√3m/s2 的加速度向右加速 时，线对小球的拉力。 【解析】 很多同学看到题目就会不加分析的列方程 求解，从而出现解出的结果不符合实际。其实，如果我们 仔细审题就会发现题目设问的着眼点是加速度。当小球向 右加速运动时，如果加速度 a 很小，小球压紧斜面，受力 分析如图 2—1；如果加速度 a 很大，小球将离开斜面，受 力分析如图 2—2。 设小球对斜面的压力为零时，斜面体的加速度为 a0 （即临界加速度），受力分析得：a0=gcotθ=10√3/3（m/s2） （1）因为 a=2√3（m/s2）＜a0，因此小球仍压紧斜面， 由牛顿第二定律和平衡条件列方程有： Tcosθ-Nsinθ=ma , Tsinθ+Ncosθ=mg 代入数据解得：T=m（gsinθ+acosθ）=1.2√3 N （2）因为 a=4√3 m/s2＞a0，因此小球已飘离斜面， T=m√g2+a2=0.4√37 N （此处也可按（1）的列式 方法求解）。 三、关键物理量“速度 v /ω” 【例 3】如图 3 所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过 O 点的水平轴自由转动。现给小球一初速度， 使它做圆周运动，图中 a、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（ ） A、a 处为拉力，b 处为拉力 B、a 处为拉力，b 处为推力 C、a 处为推力，b 处为拉力 D、a 处为推力，b 处为推力 【解析】 a 处的分析很容易，只能为拉力；而 b 处则有两种 可能。当 v 或ω很小时，小球的重力大于所需的向心力，杆对球 T θG θ G TN θ T G 图 2—1 图 2—2 图 2—3 a b o 图 3 的作用力为推力；v 或ω很大时，小球的重力不足以提供小球所需 的向心力，杆对小球的作用力为拉力。故正确答案为 AB 【例 4】如图 4—1 所示，在互相垂直的匀强电场和匀强磁场中，一个质量为 m、带电量为+q 的有孔小球沿着 穿过它的竖直长杆下滑，小球与杆之间的滑动摩擦系数为μ，设电场场强为 E，磁感应强度为 B，电场、磁场 范围足够大，求：（1）当小球有最大加速度时的速度为多大？（2）当小球有最小加 速度时的速度为多大？ 【解析】对小球受力分析，如图 4—2，开始 速度很小，所受的杆的弹力向右，大小 N=qE-qvB， 随着速度的增大，N 减小，f=μN 减小，加速度 a=（G-f）/m 增大；小球速度很大时，所受弹力向左， 大小为 N= qvB –qE，随着速度的增大，N 增大， f=μN 增大，加速度 a=（G-f）/m 减小，直至为零。 （1）当 N= qvB –qE =0 时，小球有最大加速度 v=E/B。 （2）小球的最小加速度为 a=0，则有 mg=f ，f=μN ，N= qvB –qE 由以上各式解得：v=mg/μqB+E/B 四、关键物理量“动量 / 冲量” 【例 5】宇航员在某一星球上以速度 v0 竖直向上抛出一个小球，经过时间 t，小球又落回到原抛出点。然 后他用一根长为 l 的细绳把一个质量为 m 的小球悬挂在 O 点，使小球处于静止状态，如图 5 所示，现在最低 点给小球一个水平向右的冲量 I，使小球能在竖直平面内运动，若小球在运动的过程中始终对 细绳有力的作用，则冲量 I 应满足什么条件？ 【解析】 如果给小球的冲量 I 很小，小球在竖直平面 内摆动，细绳中必有张力；如果给小球的冲量 I 很大，小球 在竖直平面内做圆周运动，只要过最高点时的速度大于临界 速度，细绳中也有张力。 宇航员所在星球的重力加速度：g=2v0/t 设使小球在竖直平面内摆动的最大冲量为 I1，小球获得 的初速度的最大值为 v1，由机械能守恒定律： （1/2）mv12=mgl 解得 I1=m v1=2m√v0l/t 设使小球在竖直平面内做圆周运动的最小冲量为 I2，小球获得的初速度的最小值为 v2，小球过最高点的 临界速度为 v 临 由机械能守恒定律：（1/2）mv 临 -（1/2）mv22= - mg2l 由牛顿第二定律与向心力公式：mg=mv 临 2/l 解得 I2=m v2=m√10v0l/t 所以，要使小球在运动过程中始终对细绳有力的作用，给小球的冲量： E B G f F1=qE F2=qv B 图 4—1 图 4—2 ·O 图 5 I＜2m√v0l/t 或 I＞m√10v0l/t 五、关键物理量“磁感强度 B” 【例 6】M、N 两板间相距为 d，板长均为 5d，两板未带电， 板间有垂直纸面的匀强磁场，如图 6—1 所示，一大群电子沿 平行于板的方向从各处位置以速度 v 射入板间，为了使电子都 不从板间穿出，磁感强度 B 的范围应为多少？ 【解析】 根据左手定则，电子受洛仑兹力向下， 只要从板的最上端进入的电子不从板间穿出，则所有 电子都不会从板间穿出。如果 B 很小，电子运动的轨 道半径很大，将会从板的右端穿出，当电子恰好从 N 板的右边缘穿出时，B 最小（如图 6—2）；如果 B 很 大，电子运动的轨道半径很小，将会从板的左端穿出， 当电子恰好从 N 板的左边缘穿出时，B 最大。（如图 6—3） 设电子不从板间穿出，磁感应强度最小值为 B1， 轨道半径为 R1，电子的质量为 m，带电量为 e，则有： mv2/R1=evB1， R12=（5d）2 +（R1-d）2 解得 B1=mv/13de 设电子不从板间穿出，磁感应强度最大值为 B2， 轨道半径为 R2，电子的质量为 m，带电量为 e，则有： m v2/R2=evB2 ， 2R2=d 解得 B2=2mv/de 因此，电子不从板间穿出，磁感强度 B 的范围是 mv/13de＜B＜2mv/de 六、关键物理量“厚度 d” 【例 7】如图 7—1 所示、宽为 a 的平行光束从空气斜向射入到两个面平行的玻璃板表面，入射角为 450， 光束中包含两种波长的波，玻璃对这两种波长的光的折射率分别为 n1=1.5,n2=√3 。 （1）求每种波长的光入射玻璃板上表面后的折射角； （2）为了使光束从玻璃板下表面出射时能分成不交叠的两束，玻璃板的厚度 d 至少为多少？ 【解析】 两种波长的光射到玻璃板表面后， 如果玻璃板的厚度 d 较小，光束从下表面出射时， 仍相互交叠，如图 7—2；如果玻璃板的厚度 d 较 大，光束从下表面出射时，将分成不交叠的两束， 如图 7—3，临界厚度如图 7—4。 M N M N M N 图 6—1 图 6—2 图 6—3 图 7—1 r1r2 图 7—3图 7—2 图 7—4 （1）设入射角为 i，经玻璃板折射后，折射率为 n1 的光的折射角为 r1，折射率为 n2 的光的折射角为 r2， 根据折射定律：n1=sini/sinr1 ，n2=sini/sinr2 代入数据解得：r1=arcsin√2/3 ，r2=arcsin√6/6 （2）如图 9—3，由几何关系有：dtanr1 – dtanr2 = √2 a 又 tanr1=√14/7 ，tanr2 =√5/5 代入数据解得：d= 70a/（10√7 – 7√10） 七、关键物理量“电源的电动势” 　【例 8】图中电源电动势为ε，内阻为 r，两电阻 R1=10Ω，R2=8Ω。当电键 S 接 1 时，电压表示数为 2V；则当 S 接 2 时，电压表示数可能值的变化范围为 。 【解析】根据闭合电路的欧姆定律 U=εR/（R+r）当电键 S 接 1 时，电压表示 数 U=ε×10/（10+r）=2V 当电键 S 接 2 时，电压表示数 U＇=ε×8（8+r）=1.6（10+r）/（8+r）。 分析电压 U＇的表达式可知： 1.6V< U＇<2V(分别讨论 r→0 和 r→∞两种极端情况). [点评]求解本题要正确运用闭合电路欧姆定律的表达式,并根据题述条件进行合理推理,再巧用比例式求出 电流的变化范围。 极限法分析临界问题在解题中的应用远不止这些，只要我们用心体会，定会收益匪浅，深感其妙。 【专题训练】 1、用细绳将球体悬挂在竖直光滑的墙壁上如图 1 所示，当绳变长时下列说法正确的是（ ） A.绳子的拉力变小，墙对球的弹力变大 B.绳子的拉力变大，墙对球的弹力变大 C.绳子的拉力变大，墙对球的弹力变小 D. 绳子的拉力变小，墙对球的弹力变小 2、在光滑水平面上，放着两个长度相同，质量分别为 M1 和 M2 的 木 板 ， 在两个木板的左端各放一个相同质量为 的物块，如图 2、图 3 所示。今 在两物块上分别用一水平恒力 F1 和 F2 拉两个物块。当物块和木 板分离时， 两个木板的速度分别是 V1 和 V2，物块和木板之间的动摩擦因数相同，下列说法正确是（ ） A.若 F1＝F2，M1＞M2，则 v1＞v2 B.若 F1＝F2，M1＜M2，则 v1＞v2 3、如图 3 所示，在水平面上放着 A、B 两个物体，质量分别为 M、m（M＞m），它们与地面之间的动摩擦因数分 别为 、 ，用一细线连结 A、B，线与水平方向成 角，在 A 物体上加一水平拉力 F，使它们做匀速直 线运动，则下列正确的是（ ） A. ＜ 时， 越小，F 越大 B. ＜ 时， 越小，F 越小 C. ＞ 时， 越大，F 越大 D. ＞ 时， 越大，F 越小 4、甲、乙两人都从跑道的一端前往另一端，甲在一半时间内跑，在另一半时间内走；而乙在一半路程上跑， 在另一半路程上走，他们跑和走的速度分别相同，问谁先到达终点？（ ） A.甲先到终点 B.乙先到终点 C．甲、乙同时到达终点 D．无法判断 5、一只小船在静水中的速度是 ，水流的速度是 。若小船从上游 A 点到下游 B 点，又从 B 点到上游 A 点的 时间是 ；若水是静止的，小船从 A 点到 B 点，又从 B 点到 A 点所用的时间是 。则 和 大小是（ ） A. ＝ B. ＜ C. ＞ D. 无法判断 6、在地面上以初速度 竖直上抛一质量为 的小球，设上升和下降过程中，球所受到的空气阻力 大小不 变。则上升和下降过程中，合外力对小球的冲量 和 的关系正确的是（ ） A. ＝ ，方向相反 B. ＝ ，方向相同 C. ＞ ，方向相同 D. ＜ ，方向相同 7、 如图所示，一根轻质弹簧上端固定，下端挂一质量为 M 的平盘，盘中有物体质量为 m ，当盘静止时，弹簧 伸长了 L ，今向下拉盘使弹簧再伸长 L 后停止，然后松手放开，设弹簧总处在弹性限度内，则刚松开手时 盘对物体的支持力等于( ) A. B. m Aµ Bµ θ Aµ Bµ θ Aµ Bµ θ Aµ Bµ θ Aµ Bµ θ 1v 2v 1t 2t 1t 2t 1t 2t 1t 2t 1t 2t 0v m 阻F 上I 下I 上I 下I 上I 下I 上I 下I 上I 下I ∆ mgL LL ∆+ gMmL LL )( +∆+ C. D. 8、一物体被竖直上抛，已知抛起的初速度与回到抛出点时的速度的大小之比为 k，物体在运动过程中所 受的空气阻力大小不变，则空气阻力与重力之比为( ) A.k B. C. D. 9、如图所示，在静止的电梯里放一桶水，将一个用弹簧固连在桶底的软木塞浸没在水中，当电梯以加速度 a 下降时（a＜g＝ A.弹簧伸长量将比静止时减小 B.弹簧伸长量将比静止时增大 C.弹簧伸长量将和静止时相等 D.弹簧伸长量为零。 10、物体从粗糙斜面的底端，以平行于斜面的初速度 0 沿着斜面向上运动，则 下面说法正确的是（ ） A.斜面的倾角越小，上升的高度越大 B.斜面的倾角越大，上升的高度越大 C.物体的质量越小，上升的高度越大 D.物体的质量越大，上升的高度越大 11、如图所示,一质量为M、长为l的长方形木板B放在光滑的水平地面上, 在其右端放一质量为m的小木块A,m

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