高考讲坛极值点偏移问题的处理策略及探究

高考讲坛极值点偏移问题的处理策略及探究

极值点偏移问题的处理策略及探究 ‎ 所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线交于,两点，则的中点为，而往往.如下图所示.‎ ‎ 极值点没有偏移 此类问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策。而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的。不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决，参数如何来处理？是否有更方便的方法来解决？其实，处理的手段有很多，方法也就有很多，我们先来看看此类问题的基本特征，再从几个典型问题来逐一探索！‎ ‎【问题特征】‎ ‎【处理策略】‎ 一、 不含参数的问题.‎ 例1.（2010天津理）已知函数 ，如果，且 ，‎ 证明：‎ ‎【解析】法一：，易得在上单调递增，在上单调递减，时，，，时，， 函 数在处取得极大值，且,如图所示.‎ 由，不妨设，则必有，‎ 构造函数，‎ 则，所以在上单调递增，，也即对恒成立.‎ 由，则，‎ 所以，即，又因为，且在上单调递减，‎ 所以，即证 法二：欲证，即证，由法一知，故，又因为在上单调递减，故只需证，又因为，‎ 故也即证，构造函数，则等价于证明对恒成立.‎ 由，则在上单调递增，所以，即已证明对恒成立，故原不等式亦成立.‎ 法三：由，得，化简得…，‎ 不妨设，由法一知，.令，则，代入式，得，反解出，则，故要证：，即证：，又因为，等价于证明：…‚，‎ 构造函数，则，‎ 故在上单调递增，，从而也在上单调递增，，即证‚式成立，也即原不等式成立.‎ 法四：由法三中式，两边同时取以为底的对数，得，也即，从而，‎ 令，则欲证：，等价于证明：…ƒ，‎ 构造，则，‎ 又令，则，由于对恒成立，故，在上单调递增，所以，从而，故在上单调递增，由洛比塔法则知：，即证，即证ƒ式成立，也即原不等式成立.‎ ‎【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的.‎ 一、 含参数的问题.‎ 例2.已知函数有两个不同的零点，求证：.‎ ‎【解析】思路1：函数的两个零点，等价于方程的两个实根，从而这一问题与例1完全等价，例1的四种方法全都可以用；‎ 思路2：也可以利用参数这个媒介去构造出新的函数.解答如下：‎ 因为函数有两个零点，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 由得：，‎ 要证明，只要证明，‎ ‎ 由得：，即，‎ ‎ 即证：，‎ ‎ 不妨设，记，则，‎ ‎ 因此只要证明：，‎ 再次换元令，即证 构造新函数，‎ 求导，得在递增，‎ 所以，因此原不等式获证.‎ ‎【点评】含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。‎ 例3.已知函数，为常数，若函数有两个零点，‎ 试证明：‎ ‎【解析】法一：消参转化成无参数问题：‎ ‎，是方程的两根，也是方 程的两根，则是，设，，则，从而，此问题等价转化成为例1，下略.‎ 法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数：‎ ‎ 不妨设，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，欲证明，即证.‎ ‎∵，∴即证，‎ ‎∴原命题等价于证明，即证：，令，构造，此问题等价转化成为例2中思路二的解答，下略.‎ 法三：直接换元构造新函数：‎ 设，‎ 则，‎ 反解出：，‎ 故，转化成法二，下同，略.‎ 例4.设函数，其图像与轴交于两点，且.证明：.‎ ‎【解析】由，易知：的取值范围为，在上单调递减，在上单调递增.‎ 法一：利用通法构造新函数，略；‎ 法二：将旧变元转换成新变元：‎ ‎∵两式相减得：，‎ 记，则，‎ 设，则，所以在 上单调递减，故,而，所以，‎ 又∵是上的递增函数，且，∴.‎ 容易想到，但却是错解的过程：‎ 欲证：，即要证：，亦要证，也即证：，很自然会想到：对两式相乘得：，即证：.考虑用基本不等式，也即只要证：.由于.当取将得到，从而.而二元一次不等式对任意不恒成立，故此法错误.‎ ‎【迷惑】此题为什么两式相减能奏效，而变式相乘却失败？两式相减的思想基础是什么？其他题是否也可以效仿这两式相减的思路? ‎ ‎【解决】此题及很多类似的问题，都有着深刻的高等数学背景.‎ 拉格朗日中值定理：若函数满足如下条件：‎ （1） 函数在闭区间上连续；‎ （2） 函数在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得.‎ 当时，即得到罗尔中值定理.‎ 上述问题即对应于罗尔中值定理，‎ 设函数图像与轴交于两点，因此 ‎，∴，……‎ 由于，显然与，与已知 不是充要关系，转化的过程中范围发生了改变.‎ 例5.（11年，辽宁理）‎ 已知函数 ‎（I）讨论的单调性；‎ ‎（II）设，证明：当时，；‎ ‎（III）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：.‎ ‎【解析】（I）易得：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（II）法一：构造函数，利用函数单调性证明，方法上同，略；‎ 法二：构造以为主元的函数，设函数，则，，由，解得，当时，，而， 所以，故当时，.‎ ‎（III）由（I）知，只有当时，且的最大值，函数才会有两个零点，不妨设，则，故，由（II）得：，又由在上单调递减，所以，于是，由（I）知，.‎ ‎【问题的进一步探究】‎ 对数平均不等式的介绍与证明 两个正数和的对数平均定义：‎ 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：‎ ‎（此式记为对数平均不等式）‎ 取等条件：当且仅当时，等号成立.‎ 只证：当时，.不失一般性，可设.证明如下：‎ ‎（I）先证：…… 不等式 构造函数，则.因为时，，所以函数在上单调递减，故，从而不等式成立；‎ ‎（II）再证：……‚ 不等式‚ 构造函数，则.因为时，，所以函数在上单调递增，故，从而不等式‚成立；‎ 综合（I）（II）知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立.‎ 前面例题用对数平均不等式解决 例1.（2010天津理）已知函数 ，如果，且 ，‎ 证明：‎ ‎【解析】法五：由前述方法四，可得，利用对数平均不等式得：，即证：，秒证.‎ 说明：由于例2，例3最终可等价转化成例1的形式，故此处对数平均不等式的方法省略.‎ 例4.设函数，其图像与轴交于两点，且.证明：.‎ ‎【解析】法三：由前述方法可得：，等式两边取以 为底的对数，得，化简得：，由对数平均不等式知：，即，故要证 ‎∵ ∴，‎ 而 ‎∴显然成立，故原问题得证.‎ 例5.（11年，辽宁理）‎ 已知函数 ‎（I）讨论的单调性；‎ ‎（II）设，证明：当时，；‎ ‎（III）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：.‎ ‎【解析】（I）（II）略，‎ ‎（III）由 故要证 ‎.根据对数平均不等，此不等式显然成立，故原不等式得证.‎ ‎【挑战今年高考压轴题】‎ ‎（2016年新课标I卷理数压轴21题）已知函数有两个零点.证明：.‎ ‎【解析】由，得，可知在上单调递减，在上单调递增.要使函数有两个零点，则必须.‎ 法一：构造部分对称函数 不妨设，由单调性知，所以，又∵在单调递减，故要证：，等价于证明：，‎ 又∵，且 ‎∴，构造函数，由单调性可证，此处略.‎ 法二：参变分离再构造差量函数 由已知得：，不难发现，，‎ 故可整理得：‎ 设，则 那么，当时，，单调递减；当时，，单调递增．‎ 设，构造代数式：‎ 设，‎ 则，故单调递增，有．‎ 因此，对于任意的，．‎ 由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有 令，则有 而，，在上单调递增，因此：‎ 整理得：．‎ 法三：参变分离再构造对称函数 由法二，得，构造，利用单调性可证，此处略.‎ 法四：构造加强函数 ‎【分析说明】由于原函数的不对称，故希望构造一个关于直线对称的函数，使得当时，，当时，，结合图像，易证原不等式成立.‎ ‎【解答】由，，故希望构造一个函数，使得，从而在上单调递增，在上单调递增，从而构造出（为任意常数），又因为我们希望，而，故取，从而达到目的.故，设的两个零点为，结合图像可知：，所以，即原不等式得证.‎ 法五：利用“对数平均”不等式 ‎ ‎,‎ ‎,‎ 由对数平均不等式得：‎ ‎，‎ ‎，‎ 从而 ‎ ‎ ‎ ‎ 等价于：‎ ‎ ‎ 由，故，证毕.‎ 说明：谈谈其它方法的思路与困惑。‎