高考数学考点归纳之 空间几何体的结构特征、三视图和直观图

高考数学考点归纳之 空间几何体的结构特征、三视图和直观图

高考数学考点归纳之 空间几何体的结构特征、三视图和直观图 一、基础知识 1.简单几何体 1多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且相等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点，但不一定 相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 ①特殊的四棱柱 四棱柱 ――――→底面为 平行四边形 平行 六面体 ――――→侧棱垂直 于底面 直平行 六面体 ――→底面为 矩形 长方体 ――――→底面 边长相等 正四棱柱 ――――→侧棱与底面 边长相等 正方体 上述四棱柱有以下集合关系：{正方体} {正四棱柱} {长方体} {直平行六面 体} {平行六面体} {四棱柱}． ②多面体的关系： 棱柱 ――→一个底面退化 为一个点 棱锥 ――→平行于底面的 平面截得 棱台 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球▲ 图形 母线 互相平行且相等，垂 直于底面 长度相等且相交 于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角 全等的等腰梯形 圆 形 侧面展 开图 矩形 扇形 扇环 ▲球的截面的性质 (1)球的任何截面是圆面； (2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面； (3)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 的关系为 r＝ R2－d2. 2．直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则： ①原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为 45°(或 135°)， z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于 x 轴和 z 轴的线段 在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 3．三视图 几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方和正 上方观察几何体画出的轮廓线. 二、常用结论 1．常见旋转体的三视图 (1)球的三视图都是半径相等的圆． (2)底面与水平面平行放置的圆锥的正视图和侧视图为全等的等腰三角形． (3)底面与水平面平行放置的圆台的正视图和侧视图为全等的等腰梯形． (4)底面与水平面平行放置的圆柱的正视图和侧视图为全等的矩形． 2．斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变” 坐标轴的夹角改变， 与 y 轴平行的线段的长度变为原来的一半， 图形改变. “三不变” 平行性不改变， 与 x 轴和 z 轴平行的线段的长度不改变， 相对位置不改变. 考点一 空间几何体的结构特征 [典例] 下列结论正确的是( ) A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．六条棱长均相等的四面体是正四面体 C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 [解析] 底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，所以 A 错；斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形，所以 C 错；截面平行于底面时，底面与截面之 间的部分才叫圆台，所以 D 错． [答案] B [题组训练] 1．下列结论中错误的是( ) A．由五个面围成的多面体只能是三棱柱 B．正棱台的对角面一定是等腰梯形 C．圆柱侧面上的直线段都是圆柱的母线 D．各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体 解析：选 A 由五个面围成的多面体也可以是四棱锥，所以 A 选项错误．B、C、D 说 法均正确． 2．下列命题正确的是( ) A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转 体是圆台 D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 解析：选 C 如图所示，可排除 A、B 选项．只要有截面与圆柱的母线平 行或垂直，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分． 考点二 空间几何体的直观图 [典例] 已知等腰梯形 ABCD，CD＝1，AD＝CB＝ 2，AB＝3，以 AB 所在直线为 x 轴，则由斜二测画法画出的直观图 A′B′C′D′的面积为 ________． [解析] 法一：如图，取 AB 的中点 O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，y 轴交 DC 于点 E，O，E 在斜二测画法中的对应点为 O′，E′，过 E′作 E′F′⊥x′轴，垂足为 F′， 因为 OE＝  22－12＝1， 所以 O′E′＝1 2 ，E′F′＝ 2 4 . 所以直观图 A′B′C′D′的面积为 S′＝1 2 ×(1＋3)× 2 4 ＝ 2 2 . 法二：由题中数据得等腰梯形 ABCD 的面积 S＝1 2 ×(1＋3)×1＝2. 由 S 直观图＝ 2 4 S 原图形的关系，得 S 直观图＝ 2 4 ×2＝ 2 2 . [答案] 2 2 [题组训练] 1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正 方形，则原来的图形是( ) 解析：选 A 由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为 2，所以原图 形为平行四边形，位于 y 轴上的对角线长为 2 2.故选 A. 2．已知正三角形 ABC 的边长为 2，那么△ABC 的直观图△A′B′C′的面积为________． 解析：如图，图①、图②分别表示△ABC 的实际图形和直观图． 从图②可知，A′B′＝AB＝2， O′C′＝1 2OC＝ 3 2 ，C′D′＝O′C′sin 45°＝ 3 2 × 2 2 ＝ 6 4 . 所以 S△A′B′C′＝1 2A′B′·C′D′＝1 2 ×2× 6 4 ＝ 6 4 . 答案： 6 4 考点三 空间几何体的三视图 考法(一) 由几何体识别三视图 [典例] (2019·长沙模拟)如图是一个正方体，A，B，C 为三个顶点，D 是棱的中点，则 三棱锥 ABCD 的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)( ) [解析] 正视图和俯视图中棱 AD 和 BD 均看不见，故为虚线，易知选 A. [答案] A 考法(二) 由三视图判断几何体特征 [典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三 视图如图所示．圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面 上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的 路径中，最短路径的长度为( ) A．2 17 B．2 5 C．3 D．2 (2)(2019·武汉调研)已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中最小的 面积为________． [解析] (1)先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点 M，N 的位置如图①所示． 圆柱的侧面展开图及 M，N 的位置(N 为 OP 的四等分点)如图②所示，连接 MN，则图 中 MN 即为 M 到 N 的最短路径．ON＝1 4 ×16＝4，OM＝2， ∴MN＝ OM2＋ON2＝ 22＋42＝2 5. (2)由三视图知，该几何体是在长、宽、高分别为 2,1,1 的长方体中，截去一个三棱柱 AA1D1BB1C1 和一个三棱锥 CBC1D 后剩下的几何体，即如图所示的四棱锥 DABC1D1，其中 侧面 ADD1 的面积最小，其值为1 2. [答案] (1)B (2)1 2 考法(三) 由三视图中的部分视图确定剩余视图 [典例] (2018·唐山五校联考)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图 为( ) [解析] 由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正 视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为 A，故选 A. [答案] A [题组训练] 1．如图 1 所示，是一个棱长为 2 的正方体被削去一个角后所得到的几何体，其中 DD1 ＝1，AB＝BC＝AA1＝2，若此几何体的俯视图如图 2 所示，则可以作为其正视图的是( ) 解析：选 C 根据该几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对角 线长，宽应为正方体的棱长，故排除 B、D；而在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除 A.故选 C. 2.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视 图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等 腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积 之和为( ) A．10 B．12 C．14 D．16 解析：选 B 由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形 的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为 2，直 三棱柱的高为 2，三棱锥的高为 2，易知该多面体有 2 个面是梯形，这些梯形的面积之和为 2＋4×2 2 ×2＝12，故选 B. [课时跟踪检测] 1．对于用“斜二测画法”画平面图形的直观图，下列说法正确的是( ) A．等腰三角形的直观图仍为等腰三角形 B．梯形的直观图可能不是梯形 C．正方形的直观图为平行四边形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形 解析：选 C 根据“斜二测画法”的定义可得正方形的直观图为平行四边形． 2．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( ) A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 解析：选 D 球、正方体的三视图的形状都相同，大小都相等，首先排除选项 A 和 C. 对于三棱锥，考虑特殊情况，如三棱锥 COAB，当三条棱 OA，OB，OC 两两垂直，且 OA ＝OB＝OC 时，正视图方向为 AO 方向，其三视图的形状都相同，大小都相等，故排除选项 B.选项 D，不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不可能完全相同． 3．(2019·福州模拟)一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直 观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为 2 的正方形，则原平面图形的面 积为( ) A．2 3 B．2 2 C．4 3 D．8 2 解析：选 D 由斜二测画法可知，原平面图形是一个平行四边形，且平行四边形的一组 对边长为 2，在斜二测画法画出的直观图中，∠B′O′A′＝45°且 O′B′＝2 2，那么在 原图形中，∠BOA＝90°且 OB＝4 2.因此，原平面图形的面积为 2×4 2＝8 2，故选 D. 4．给出下列几个命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正 多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似， 但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 B ①错误，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台 的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相 等． 5．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( ) 解析：选 D 由三视图知该几何体的上半部分是一个三棱柱，下半部分是一个四棱柱．故 选 D. 6．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该 几何体需要的小正方体的块数是( ) A．8 B．7 C．6 D．5 解析：选 C 画出直观图可知，共需要 6 块． 7．(2018·南宁二中、柳州高中联考)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的 是某几何体的正视图和侧视图，且该几何体的体积为8 3 ，则该几何体的俯视图可以是( ) 解析：选 C 若俯视图为选项 C 中的图形，则该几何体为正方体截去 一部分后的四棱锥 PABCD，如图所示，该四棱锥的体积 V＝1 3 ×(2×2)×2 ＝8 3 ，符合题意．若俯视图为其他选项中的图形，则根据三视图易判断对应 的几何体不存在，故选 C. 8.如图，在底面边长为 1，高为 2 的正四棱柱 ABCDA1B1C1D1(底面 ABCD 是正方形，侧棱 AA1⊥底面 ABCD)中，点 P 是正方形 A1B1C1D1 内 一点，则三棱锥 PBCD 的正视图与俯视图的面积之和的最小值为( ) A.3 2 B．1 C．2 D.5 4 解析：选 A 由题图易知，三棱锥 PBCD 的正视图面积为1 2 ×1×2＝1.当顶点 P 的投影 在△BCD 内部或其边上时，俯视图的面积最小，为 S△BCD＝1 2 ×1×1＝1 2.所以三棱锥 PBCD 的正视图与俯视图的面积之和的最小值为 1＋1 2 ＝3 2.故选 A. 9．设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点． 其中真命题的序号是________． 解析：命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的 侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故 命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的． 答案：①④ 10．一个圆台上、下底面的半径分别为 3 cm 和 8 cm，若两底面圆心的连线长为 12 cm， 则这个圆台的母线长为________cm. 解析：如图，过点 A 作 AC⊥OB，交 OB 于点 C. 在 Rt△ABC 中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5 (cm)． ∴AB＝ 122＋52＝13(cm)． 答案：13 11．已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，在 该几何体上任意选择 4 个顶点，以这 4 个点为顶点的几何体的形状给出下列命题：①矩形； ②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；③两个面都是等腰直角三角形 的四面体． 其中正确命题的序号是________． 解析：由三视图可知，该几何体是正四棱柱，作出其直观图为如 图所示的四棱柱 ABCDA1B1C1D1，当选择的 4 个点是 B1，B，C，C1 时，可知①正确；当选择的 4 个点是 B，A，B1，C 时，可知②正确； 易知③不正确． 答案：①② 12.如图，三棱锥 ABCD 中，AB⊥平面 BCD，BC⊥CD，若 AB＝BC ＝CD＝2，则该三棱锥的侧视图(投影线平行于 BD)的面积为________． 解析：因为 AB⊥平面 BCD，投影线平行于 BD， 所以三棱锥 ABCD 的侧视图是一个以△BCD 的 BD 边上的高为底， 棱锥的高为高的三角形， 因为 BC⊥CD，AB＝BC＝CD＝2， 所以△BCD 中 BD 边上的高为 2， 故该三棱锥的侧视图的面积 S＝1 2 × 2×2＝ 2. 答案： 2