函数与导数2009年高考原题
2009年高考数学试题分类汇编——函数
一、选择题
1.(2009年广东卷文)若函数是函数的反函数，且，则
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】函数的反函数是,又,即,
所以,,故,选A.
2.(2009年广东卷文)函数的单调递增区间是
A. B.(0,3) C.(1,4) D.
【答案】D
【解析】,令,解得,故选D
3.（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为( B )
(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2
解:设切点，则,又
.故答案选B
4.（2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( D
)
(A) 是偶函数 (B) 是奇函数
(C) (D)是奇函数
解:与都是奇函数，，
函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D
5.（2009浙江理）对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有
．下列结论中正确的是 ( )
A．若，，则
B．若，，且，则
C．若，，则
D．若，，且，则
答案：C
【解析】对于，即有，令，有，不妨设，，即有，因此有，因此有．
6.（2009浙江文）若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．，在上是增函数
B．，在上是减函数
C．，是偶函数
D．，是奇函数
C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇设问．
【解析】对于时有是一个偶函数
7.（2009北京文）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 （ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
【答案】C
【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.
A．，
B．，
C．，
D．.
故应选C.
8.（2009北京理）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 （ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
【答案】C
【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.
A．，
B．，
C．，
D．.
故应选C.
9. (2009山东卷理)函数的图像大致为( ).
1
x
y
1
O
A
x
y
O
1
1
B
x
y
O
1
1
C
x
y
1
1
D
O
【解析】:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A.
答案:A.
【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.
10.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为( )
A.-1 B. 0 C.1 D. 2
【解析】:由已知得,,,
,,
,,,
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.
答案:C.
【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.
11.(2009山东卷文)函数的图像大致为( ).
1
x
y
1
O
A
x
y
O
1
1
B
x
y
O
1
1
C
x
y
1
1
D
O
【解析】:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A.
答案:A.
【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.
12. (2009山东卷文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（3）的值为( )
A.-1 B. -2 C.1 D. 2
【解析】:由已知得,,,
,,故选B.
答案:B.
【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程.
13.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).
A. B.
C. D.
【解析】:因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 则,,,又因为在R上是奇函数，,得,,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,故选D.
答案:D.
【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题.
14.（2009全国卷Ⅱ文）函数y=(x0)的反函数是
（A）（x0） （B）（x0）
（B）（x0） （D）（x0）
答案：B
解析：本题考查反函数概念及求法，由原函数x0可知AC错,原函数y0可知D错，选B.
15.（2009全国卷Ⅱ文）函数y=的图像
（A） 关于原点对称 （B）关于主线对称
（C） 关于轴对称 （D）关于直线对称
答案：A
解析：本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。
16.（2009全国卷Ⅱ文）设则
（A） （B） （C） （D）
答案：B
解析：本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=lge, 作商比较知c>b,选B。
17.（2009广东卷理）若函数是函数的反函数，其图像经过点，则
A.B. C. D.
【解析】，代入，解得，所以，选B.
18.（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是
A. 在时刻，甲车在乙车前面
B. 时刻后，甲车在乙车后面
C. 在时刻，两车的位置相同
D. 时刻后，乙车在甲车前面
【解析】由图像可知，曲线比在0～、0～与轴所围成图形面积大，则在、时刻，甲车均在乙车前面，选A.
19.（2009安徽卷理）设＜b,函数的图像可能是
[解析]：，由得，∴当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负。故选C。
或当时，当时，选C
20.（2009安徽卷理）已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是
（A） （B） （C） （D）
[解析]：由得，
即，∴∴，∴切线方程为
，即选A
21.（2009安徽卷文）设，函数的图像可能是
【解析】可得的两个零解.
当时,则
当时,则当时,则选C。
【答案】C
22.（2009江西卷文）函数的定义域为
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由得或,故选D.
23.（2009江西卷文）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为
A．B．C．D．
答案：C
【解析】,故选C.
24.（2009江西卷文）如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为
答案：B
【解析】由图可知，当质点在两个封闭曲线上运动时，投影点的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故错误；质点在终点的速度是由大到小接近0，故错误；质点在开始时沿直线运动，故投影点的速度为常数，因此是错误的，故选.
25.（2009江西卷文）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于
A．或B．或C．或D．或
答案：A
【解析】设过的直线与相切于点，所以切线方程为
即，又在切线上，则或，
当时，由与相切可得，
当时，由与相切可得，所以选.
26.（2009江西卷理）函数的定义域为
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由.故选C
27.（2009江西卷理）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由已知，而，所以故选A
28.（2009江西卷理）设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为
A．B．C．D．不能确定
答案：B
【解析】，，，，选B
29.（2009天津卷文）设，则
A a
x,x下面的不等式在R内恒成立的是
A B C D
【答案】A
【解析】由已知，首先令 ，排除B，D。然后结合已知条件排除C,得到A
【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力。
32.(2009湖北卷理)设a为非零实数，函数
A、 B、
C、 D、
【答案】D
【解析】由原函数是，从中解得即原函数反函数是
，故选择D
32.(2009湖北卷理)设球的半径为时间t的函数。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径
A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C
C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C
9.【答案】D
【解析】由题意可知球的体积为，则，由此可得，而球的表面积为，
所以，
即，故选D
33.（2009四川卷文）函数的反函数是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，又因原函数的值域是，
∴其反函数是
34.（2009四川卷文）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有
，则的值是
A. 0 B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】若≠0，则有，取，则有：
（∵是偶函数，则 ）
由此得
于是，
35.（2009全国卷Ⅱ理）曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
解：,
故切线方程为,即 故选B.
36.（2009全国卷Ⅱ理）设，则
A. B. C. D.
解：
.故选A.
37.（2009湖南卷文）的值为【 D 】
A． B． C． D．
解:由,易知D正确.
38.（2009湖南卷文）若函数的导函数在区间上是增函数，
则函数在区间上的图象可能是【 A 】
y
a
b
a
b
a
o
x
o
x
y
b
a
o
x
y
o
x
y
b
A ． B． C． D．
解: 因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上
各点处的斜率是递增的，由图易知选A. 注意C中为常数噢.
39.（2009湖南卷文）设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数
取函数。当=时，函数的单调递增区间为【 C 】
A ． B． C ． D ．
解: 函数，作图易知，
故在上是单调递增的，选C.
40.（2009福建卷理）下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，都有>
的是
A．= B. = C .= D
【答案】：A
[解析]依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确。
41.（2009福建卷理）函数的图象关于直线对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程的解集都不可能是
A. B C D
【答案】：D
[解析]本题用特例法解决简洁快速，对方程中分别赋值求出代入求出检验即得.
42.（2009辽宁卷文）已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时＝，则＝
（A） （B） （C） （D）
【解析】∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)
且3＋log23＞4
∴＝f(3＋log23)
＝
43.（2009辽宁卷文）已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是
（A）（，） (B) ［，） (C)（，） (D) ［，）
【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|)
∴得f(|2x－1|)＜f(),再根据f(x)的单调性
得|2x－1|＜ 解得＜x＜
【答案】A
44.（2009辽宁卷理）若满足2x+=5,满足2x+2(x－1)=5,+＝
（A） (B)3 (C) (D)4
【解析】由题意①
②
所以,
即2
令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)
∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2 于是2x1＝7－2x2
【答案】C
45.（2009宁夏海南卷理）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值
设f（x）=min{, x+2,10-x} (x 0),则f（x）的最大值为
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
解析：选C
46.（2009陕西卷文）函数的反函数为
（A） (B)
（C） (D)
答案：D. 解析:令原式 则
故 故选D.
47.（2009陕西卷文）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则
(A) (B)
(C) (D)
答案:A.
解析:由等价，于则在上单调递增, 又是偶函数,故在单调递减.且满足时, , ,得,故选A.
48.（2009陕西卷文）设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为
(A) (B) (C) (D)1
答案:B
解析:对,令得在点（1，1）处的切线的斜率,在点
（1，1）处的切线方程为,不妨设,则, 故选 B.
49.(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数满足：对任意
的，有.
则当时,有
(A) (B)
(C) (C) (D)
答案：C
50.（2009四川卷文）函数的反函数是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，又因原函数的值域是，
∴其反函数是
51.（2009四川卷文）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有
，则的值是
A. 0 B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】若≠0，则有，取，则有：
（∵是偶函数，则 ）
由此得
于是，
52.（2009全国卷Ⅰ文）已知函数的反函数为，则
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
【解析】本小题考查反函数，基础题。
解：由题令得，即，又，所以，故选择C。
53.（2009湖北卷文）函数的反函数是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】可反解得且可得原函数中y∈R、y≠-1所以且x∈R、x≠-1选D
54.(2009湖南卷理)若a＜0，＞1，则 (D)
A．a＞1,b＞0 B．a＞1,b＜0 C. 0＜a＜1, b＞0 D. 0＜a＜1, b＜0
【答案】：D
【解析】由得由得，所以选D项。
55.(2009湖南卷理)如图1，当参数时，连续函数 的图像分别对应曲线和 , 则 [ B]
A B
C D
【答案】：B
【解析】解析由条件中的函数是分式无理型函数，先由函数在是连续的，可知参数，即排除C，D项，又取
，知对应函数值，由图可知所以，即选B项。
56.(2009湖南卷理)设函数在（，+）内有定义。对于给定的正数K，定义函数
取函数=。若对任意的，恒有=，则
A．K的最大值为2 B. K的最小值为2
C．K的最大值为1 D. K的最小值为1 【D】
【答案】：D
【解析】由知，所以时，，当时，，所以即的值域是，而要使在上恒成立，结合条件分别取不同的值，可得D符合，此时。故选D项。
57.（2009天津卷理）设函数则
A在区间内均有零点。 B在区间内均无零点。
C在区间内有零点，在区间内无零点。
D在区间内无零点，在区间内有零点。
【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。
解析：由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D。
58.（2009天津卷理）已知函数若则实数的取值范围是
A B C D
【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。
解析：由题知在上是增函数，由题得，解得，故选择C。
59.（2009四川卷理）已知函数连续，则常数的值是
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５
【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。
解析：由题得，故选择B。
解析2：本题考查分段函数的连续性．由，，由函数的连续性在一点处的连续性的定义知，可得．故选B．
60.（2009四川卷理）已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是
A.0 B.C.1 D.
【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。（同文12）
解析：令，则；令，则
由得，所以
，故选择A。
61.（2009福建卷文）下列函数中，与函数 有相同定义域的是
A . B. C. D.
解析 解析 由可得定义域是的定义域；的定义域是≠0；的定义域是定义域是。故选A.
62.（2009福建卷文）定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示，则在上，下列函数中与的单调性不同的是
A．
B.
C.
D．
解析 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在上单调递减，注意到要与的单调性不同，故所求的函数在
上应单调递增。而函数在上递减；函数在时单调递减；函数在（上单调递减，理由如下y’=3x2>0(x<0),故函数单调递增，显然符合题意；而函数，有y’=-<0(x<0),故其在（上单调递减，不符合题意，综上选C。
63.（2009福建卷文）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是
A. B.
C. D.
解析 的零点为x=,的零点为x=1,的零点为x=0,的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0,),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。
64.19.（2009重庆卷文）把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图像．若对任意的，曲线与至多只有一个交点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解析根据题意曲线C的解析式为则方程，即，即对任意恒成立，于是的最大值，令则由此知函数
在（0，2）上为增函数，在上为减函数，所以当时，函数取最大值，即为4，于是。
二、填空题
1.（2009辽宁卷文）若函数在处取极值，则
【解析】f’(x)＝
f’(1)＝＝0 Þ a＝3
【答案】3
2.（2009重庆卷理）若是奇函数，则．
【答案】
【解析】解法1
3.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .
解析 解析：由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。
解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填
或是。
解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得
4.（2009上海卷文） 函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_____________.
【答案】
【解析】由y＝x3+1，得x＝，将y改成x，x改成y可得答案。
5.（2009北京文）已知函数若，则.
【答案】
【解析】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值. 属于基础知识、基本运算的考查.
由，无解，故应填.
6.（2009北京理）若函数 则不等式的解集为____________.
【答案】
【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.
（1）由.
（2）由.
∴不等式的解集为，∴应填.
7.（2009江苏卷）函数的单调减区间为.
【解析】考查利用导数判断函数的单调性。
，
由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。
8.（2009江苏卷）在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为.
【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。
，又点P在第二象限内，点P的坐标为（-2，15）
9.（2009江苏卷）已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为.
【解析】考查指数函数的单调性。
，函数在R上递减。由得：m0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .
【解析】: 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是
答案:
【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.
12.(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则
【解析】:因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
y
x
f(x)=m (m>0)
答案:-8
【命题立意】:本题综合考查了函数的
奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由
函数图象解答方程问题,运用数形结合
的思想和函数与方程的思想解答问题.
13.(2009山东卷文)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .
【解析】: 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是.
答案:
【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答.
14.（2009四川卷文）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：
①设是平面上的线性变换，，则
②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换；
③对，则是平面上的线性变换；
④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有。
其中的真命题是（写出所有真命题的编号）
【答案】①③④
【解析】①：令，则故①是真命题
同理，④：令，则故④是真命题
③：∵，则有
是线性变换，故③是真命题
②：由，则有
∵是单位向量，≠0，故②是假命题
【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。
15.（2009福建卷理）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.
【答案】：
解析：由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，
所以。
16.(2009陕西卷理)设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 .
答案：-2
17.（2009四川卷文）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：
①设是平面上的线性变换，，则
②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换；
③对，则是平面上的线性变换；
④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有。
其中的真命题是（写出所有真命题的编号）
【答案】①③④
【解析】①：令，则故①是真命题
同理，④：令，则故④是真命题
③：∵，则有
是线性变换，故③是真命题
②：由，则有
∵是单位向量，≠0，故②是假命题
【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。
18.（2009宁夏海南卷文）曲线在点（0,1）处的切线方程为 。
【答案】
【解析】，斜率k＝＝3，所以，y－1＝3x，即
19.（2009重庆卷文）记的反函数为，则方程的解．
【答案】2
解法1由，得，即，于是由，解得
解法2因为，所以
三、解答题
1.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）
已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=－1处取得最小值m－1(m).设函数
(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值
(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点.
【解析】（1）设，则；
又的图像与直线平行
又在取极小值，，
，；
，设
则
；
（2）由，
得
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，若，，
函数有两个零点；若，
，函数有两个零点；
当时，方程有一解, , 函数有一零点
2.（2009全国卷Ⅰ理）本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效）
设函数在两个极值点，且
（I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；
(II)证明：
分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。
大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根
则有
故有
右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。
(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得
进而求解，有较强的技巧性。
解： 由题意有．．．．．．．．．．．．①
又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②
消去可得．
又，且
www.ks5u.com
3.（2009浙江理）（本题满分14分）已知函数，，
其中．
（I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；
（II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一
的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存
在，请说明理由．
解析：（I）因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得
，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以；
（II）当时有；
当时有，因为当时不合题意，因此，
下面讨论的情形，记A，B=（ⅰ）当时，在
上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（ⅰ）（ⅱ）；
当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；
同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意．
4.（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数．
（I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；
（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．
解析：（Ⅰ）由题意得
又 ，解得，或
（Ⅱ）函数在区间不单调，等价于
导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数
即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有
， 即：
整理得：，解得
5.（2009北京文）（本小题共14分）
设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.
【解析】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．
（Ⅰ）,
∵曲线在点处与直线相切，
∴
（Ⅱ）∵,
当时，，函数在上单调递增，
此时函数没有极值点.
当时，由，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
∴此时是的极大值点，是的极小值点.
6.（2009北京理）（本小题共13分）
设函数
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.
【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．
（Ⅰ）,
曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）由，得，
若，则当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
若，则当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，
即时，函数内单调递增，
若，则当且仅当，
即时，函数内单调递增，
综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.
7.（2009江苏卷）(本小题满分16分)
设为实数，函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)求的最小值；
(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.
【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分
（1）若，则
（2）当时，
当时，
综上
（3）时，得，
当时，；
当时，△>0,得：
讨论得：当时，解集为;
当时，解集为;
当时，解集为.
8.(2009山东卷理)（本小题满分12分）
两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.
（1）将y表示成x的函数；
（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。
A
B
C
x
解法一:（1）如图,由题意知AC⊥BC,,
其中当时，y=0.065,所以k=9
所以y表示成x的函数为
（2）,,令得,所以,即,当时,,即所以函数为单调减函数,当时,,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.
解法二: （1）同上.
（2）设,
则,,所以
当且仅当即时取”=”.
下面证明函数在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.
设04×240×240
9 m1m2<9×160×160所以,
所以即函数
在(0,160)上为减函数.
同理,函数在(160,400)上为增函数,设1609×160×160
所以,
所以即函数在(160,400)上为增函数.
所以当m=160即时取”=”,函数y有最小值,
所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.
【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.
9.(2009山东卷文)（本小题满分12分）
已知函数,其中
（1） 当满足什么条件时,取得极值?
（2） 已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.
解: (1)由已知得,令,得,
要取得极值,方程必须有解,
所以△,即, 此时方程的根为
,,
所以
当时,
x
(-∞,x1)
x 1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f’(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.
当时,
x
(-∞,x2)
x 2
(x2,x1)
x1
(x1,+∞)
f’(x)
－
0
＋
0
－
f (x)
减函数
极小值
增函数
极大值
减函数
所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.
综上,当满足时,取得极值.
(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.
即恒成立, 所以
设,,
令得或(舍去),
当时,,当时,单调增函数;
当时,单调减函数,
所以当时,取得最大,最大值为.
所以
当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以
综上,当时,; 当时,
【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.
10.设函数，其中常数a>1
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。
解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。
解： （I）
由知，当时，，故在区间是增函数；
当时，，故在区间是减函数；
当时，，故在区间是增函数。
综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。
（II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。
由假设知
即 解得 11时,
当x变化时，与的变化情况如下表：
x
+
－
+
单调递增
单调递减
单调递增
由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。
②当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R
③当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为
综上：
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为R；
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.
(Ⅱ)由得令得
由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。
观察的图象，有如下现象：
①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。
②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－的m正负有着密切的关联；
③Kmp－=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；
线段MP的斜率Kmp
当Kmp－=0时，解得
直线MP的方程为
令
当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。
当时，.
所以存在使得
即当MP与曲线有异于M,P的公共点
综上，t的最小值为2.
（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为
解法二：
（1）同解法一.
（2）由得，令，得
由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N()
(Ⅰ)直线MP的方程为
由
得
线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数
上有零点.
因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.
又.因此,在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.
等价于 即
又因为,所以m 的取值范围为(2,3)
从而满足题设条件的r的最小值为2.
22.（2009辽宁卷文）（本小题满分12分）
设，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。
（I） 求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（II） 证明：当
解：（Ⅰ）.有条件知，
，故. ………2分
于是.
故当时，＜0；
当时，＞0.
从而在，单调减少，在单调增加. ………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在单调增加，故在的最大值为，
最小值为.
从而对任意，，有. ………10分
而当时，.
从而 ………12分
23.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）
已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。
解：(1)的定义域为。
2分
（i）若即,则
故在单调增加。
(ii)若,而,故,则当时，;
当及时，
故在单调减少，在单调增加。
(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.
(II)考虑函数
则
由于11,证明对任意的c,都有M>2:
(Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。
本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和份额类讨论的思想（满分14分）
（I）解：，由在处有极值
可得
解得或
若，则，此时没有极值；
若，则
当变化时，，的变化情况如下表：
1
0
+
0
极小值
极大值
当时，有极大值，故，即为所求。
（Ⅱ）证法1：
当时，函数的对称轴位于区间之外。
在上的最值在两端点处取得
故应是和中较大的一个
即
证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，
在上的最值在两端点处取得。
故应是和中较大的一个
假设，则
将上述两式相加得：
，导致矛盾，
（Ⅲ）解法1：
（1）当时，由（Ⅱ）可知；
（2）当时，函数）的对称轴位于区间内，
此时
由有
①若则，
于是
②若，则
于是
综上，对任意的、都有
而当时，在区间上的最大值
故对任意的、恒成立的的最大值为。
解法2：
（1）当时，由（Ⅱ）可知；
（2）当时，函数的对称轴位于区间内，
此时
，即
下同解法1
29.（2009宁夏海南卷文）（本小题满分12分）
已知函数.
(1) 设，求函数的极值；
(2) 若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
（21）解：
（Ⅰ）当a=1时，对函数求导数，得
令
列表讨论的变化情况：
（-1，3）
3
+
0
—
0
+
极大值6
极小值-26
所以，的极大值是，极小值是
（Ⅱ）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.
若上是增函数，从而
上的最小值是最大值是
由于是有
由
所以
若a>1,则不恒成立.
所以使恒成立的a的取值范围是
30.(2009湖南卷理)（本小题满分13分）
某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。
（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；
（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？
解 （Ⅰ）设需要新建个桥墩，
所以
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，
令，得，所以=64
当0<<64时<0， 在区间（0，64）内为减函数；
当时，>0. 在区间（64，640）内为增函数，
所以在=64处取得最小值，此时，
故需新建9个桥墩才能使最小。
31.（2009天津卷理）（本小题满分12分）
已知函数其中
（1） 当时，求曲线处的切线的斜率；
（2） 当时，求函数的单调区间与极值。
本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。
（I）解：
（II）
以下分两种情况讨论。
（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：
+
0
—
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：
+
0
—
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
32.（2009四川卷理）（本小题满分12分）
已知函数。
（I）求函数的定义域，并判断的单调性；
（II）若
（III）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。
本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。
解：（Ⅰ）由题意知
当
当
当….（4分）
（Ⅱ）因为
由函数定义域知>0,因为n是正整数，故00……..3分
故单调递减
当，掌握程度的增长量总是下降……………..6分
（2）由题意可知0.1+15ln=0.85……………….9分
整理得
解得…….13分
由此可知，该学科是乙学科……………..14分
35.（2009年上海卷理）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
已知函数的反函数。定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与
互为反函数，则称满足“积性质”。
（1） 判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3） 设函数对任何，满足“积性质”。求的表达式。
解：（1）函数的反函数是
而其反函数为
故函数不满足“1和性质”
（2）设函数满足“2和性质”，
…….6分
而得反函数………….8分
由“2和性质”定义可知=对恒成立
即所求一次函数为………..10分
（3）设，，且点在图像上，则在函数图象上，
故，可得， ．．．．．．12分
，
令，则。，即。 ．．．．．．14分
综上所述，，此时，其反函数就是，
而，故与互为反函数 。 ．．．．．．16分
36.（2009上海卷文）（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分 .有时可用函数
描述学习某学科知识的掌握程度.其中表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.
（1）证明：当x 7时，掌握程度的增长量f（x+1）- f(x)总是下降；
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121］,(121,127］,
(127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.
证明（1）当时，
而当时，函数单调递增，且
故函数单调递减
当时，掌握程度的增长量总是下降
(2)有题意可知
整理得
解得…….13分
由此可知，该学科是乙学科……………..14分
37.（2009重庆卷理）（本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分）
设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数，讨论的单调性．
解（Ⅰ）因
又在x=0处取得极限值，故从而
由曲线y=在（1，f（1））处的切线与直线相互垂直可知
该切线斜率为2，即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
令
（1）当
（2）当
K=1时，g（x）在R上为增函数
（3）方程有两个不相等实根
当函数
当时，故上为减函数
时，故上为增函数
38.（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问5分）
已知为偶函数，曲线过点，．
（Ⅰ）求曲线有斜率为0的切线，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若当时函数取得极值，确定的单调区间．
解: （Ⅰ）为偶函数,故即有
解得
又曲线过点,得有
从而,曲线有斜率为0的切线，故有有实数解.即有实数解.此时有解得
所以实数的取值范围:
（Ⅱ）因时函数取得极值,故有即,解得
又 令,得
当时,,故在上为增函数
当时,,故在上为减函数
当时,,故在上为增函数
