2018高考数学理科模拟考试题一含答案及解析

2018高考数学理科模拟考试题一含答案及解析

‎2018年高考数学(理科)模拟试卷(一)‎ ‎(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)‎ 第Ⅰ卷(选择题　满分60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．　　　　　　 　　　　　　　　 ‎ ‎1．(2016年四川)设集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是(　　)‎ A．6 B. 5 C．4 D．3‎ ‎1.B　解析：由题意，A∩Z＝{1,2,3,4,5}，故其中的元素的个数为5.故选B.‎ ‎2．(2016年山东)若复数z满足2z＋＝3－2i, 其中i为虚数单位，则z＝(　　)‎ A．1＋2i B．1－2i ‎ C．－1＋2i D．－1－2i ‎2．B　解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2z＋＝3a＋bi＝3－2i，故a＝1，b＝－2，则z＝1－2i.故选B.‎ ‎3．(2015年北京)某四棱锥的三视图如图M11，该四棱锥最长棱的棱长为(　　)‎ 图M11‎ A．1 B. C. D．2‎ ‎3．C　解析：四棱锥的直观图如图D188：由三视图可知，SC⊥平面ABCD，SA是四棱锥最长的棱，SA＝＝＝.故选C.‎ 图D188‎ ‎4．曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为(　　)‎ A. B. C. D. ‎4．C　解析：f′(x)＝3x2－2，f′(1)＝1，所以切线的斜率是1，倾斜角为.‎ ‎5．设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数. 若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝n同时成立，则正整数n的最大值是(　　)‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎5．B　解析：因为[x]表示不超过x的最大整数．由[t]＝1，得1≤t<2，由[t2]＝2，得2≤t2<3.由[t3]＝3，得3≤t3<4.由[t4]＝4，得4≤t4<5.所以2≤t2<.所以6≤t5<4 .由[t5]＝5，得5≤t5<6，与6≤t5<4 矛盾，故正整数n的最大值是4.‎ ‎6．(2016年北京)执行如图M12所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为(　　)‎ 图M12‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6．B　解析：输入a＝1，则k＝0，b＝1；‎ 进入循环体，a＝－，否，k＝1，a＝－2，否，k＝2，a＝1，‎ 此时a＝b＝1，输出k，则k＝2.故选B.‎ ‎7．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M13，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m＋n的值是(　　)‎ 图M13‎ A．10 B．11 C．12 D．13‎ ‎7．C　解析：由题意，得＝88，n＝9.所以m＋n＝12.故选C.‎ ‎8．(2015年陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知分别生产1吨甲、乙产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(　　)‎ 项目 甲 乙 原料限额 A/吨 ‎3‎ ‎2‎ ‎12‎ B/吨 ‎1‎ ‎2‎ ‎8‎ A.12万元 B．16万元 ‎ C．17万元 D．18万元 ‎8．D　解析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，则利润z＝3x＋4y.‎ 由题意可得其表示如图D189阴影部分区域：‎ 图D189‎ 当直线3x＋4y－z＝0过点A(2,3)时，z取得最大值，所以zmax＝3×2＋4×3＝18.故选D.‎ ‎9．(2016年新课标Ⅲ)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(　　)‎ A．18个 B．16个 C．14个 D．12个 ‎9．C　解析：由题意，必有a1＝0，a8＝1，则具体的排法列表如下：‎ ‎10．(2016年天津)已知函数f(x)＝sin2＋sin ωx－(ω>0)，x∈R.若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是(　　)‎ A. B.∪ C. D.∪ ‎10.D　解析：f(x)＝＋－＝sin，f(x)＝0⇒sin＝0，‎ 所以x＝(π，2π)，(k∈Z)．‎ 因此ω∪∪∪…＝∪⇒ω∈∪.故选D.‎ ‎11．四棱锥PABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB＝2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则PA＝(　　)‎ A．3 B. ‎ C．2 D. ‎11．B　解析：如图D190，连接AC，BD交于点E，取PC的中点O，连接OE，则OE∥PA，所以OE⊥底面ABCD，则O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O为球心，PC＝＝，所以由球的体积可得π3＝，解得PA＝.故选B.‎ 图D190‎ ‎12．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴两侧，若·＝6(O为坐标原点)，则△ABO与△AOF面积之和的最小值为(　　)‎ A．4 B. C. D. ‎12．B　解析：设直线AB的方程为x＝ty＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB与x轴的交点为M(m,0)，‎ 将直线方程与抛物线方程联立，可得y2－ty－m＝0，根据韦达定理有y1·y2＝－m，因为·＝6，所以x1·x2＋y1·y2＝6，从而(y1·y2)2＋y1·y2－6＝0，因为点A，B位于x轴的两侧，所以y1·y2＝－3，故m＝3，不妨令点A在x轴上方，则y1>0，又F，所以S△ABO＋S△AFO＝×3×(y1－y2)＋×y1＝y1＋≥2＝，当且仅当＝，即y1＝时取等号，故其最小值为.故选B.‎ 第Ⅱ卷(非选择题　满分90分)‎ 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.‎ ‎13．2　解析：a＝(1,2)，b＝(4,2)，则c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝，|b|＝2 ，a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.∵c与a的夹角等于c与b的夹角，∴＝.∴＝.解得m＝2.‎ ‎14．设F是双曲线C：－＝1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为__________．‎ ‎14.　解析：根据双曲线的对称性，不妨设F(c,0)，虚轴端点为(0，b ‎)，从而可知点(－c,2b)在双曲线上，有－＝1，则e2＝5，e＝.‎ ‎15．(2016年北京)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________．(用数字作答)‎ ‎15．60　解析：根据二项展开的通项公式Tr＋1＝C·(－2)rxr可知，x2的系数为C(－2)2＝60，故填60.‎ ‎16．在区间[0，π]上随机地取一个数x，则事件“sin x≤”发生的概率为________．‎ ‎16.　解析：由正弦函数的图象与性质知，当x∈∪时，sin x≤.‎ 所以所求概率为＝.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分12分)已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7.‎ ‎(1)求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．‎ ‎17．解：(1)设{an}的公比为q，{bn}的公差为d，由题意知q>0.由已知，有消去d，得q4－2q2－8＝0.解得q＝2，d＝2.‎ 所以{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*，‎ ‎ {bn}的通项公式为bn＝2n－1，n∈N*.‎ ‎(2)由(1)有cn＝(2n－1)2n－1，设{cn}的前n项和为Sn，‎ 则Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，‎ ‎2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)×2n.‎ 两式相减，得－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3.‎ 所以Sn＝(2n－3)·2n＋3，n∈N*.‎ ‎18．(本小题满分12分)(2014年大纲)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．‎ ‎(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；‎ ‎(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．‎ ‎18．解：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0,1,2.‎ B表示事件：甲需使用设备．‎ C表示事件：丁需使用设备．‎ D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．‎ ‎(1)因为P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝C×0.52，i＝0,1,2，‎ 所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2··C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2··C)‎ ‎＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P()P(C)＝0.31.‎ ‎(2)X的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为 P(X＝0)＝P(·A0·)‎ ‎＝P()P(A0)P()‎ ‎＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)‎ ‎＝0.06，‎ P(X＝1)＝P(B·A0·＋·A0·C＋·A1·)‎ ‎＝P(B)P(A0)P()＋P()P(A0)P(C)＋P()P(A1)P()‎ ‎＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，‎ P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)‎ ‎＝0.52×0.6×0.4＝0.06，‎ P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，‎ P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)‎ ‎＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，‎ 所以E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)‎ ‎＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.‎ ‎19．(本小题满分12分)(2016年四川)如图M14，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.‎ ‎(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；‎ ‎(2)若二面角PCDA的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．‎ 图M14‎ ‎19．解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．‎ 延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点．理由如下：‎ 由已知，BC∥ED，且BC＝ED，‎ 所以四边形BCDE是平行四边形．‎ 所以CD∥EB.‎ 从而CM∥EB.‎ 又EB⊂平面PBE，CM平面PBE，‎ 所以CM∥平面PBE.‎ ‎(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)‎ ‎(2)方法一，由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，‎ 所以CD⊥平面PAD.‎ 从而CD⊥PD.‎ 所以∠PDA是二面角PCDA的平面角．‎ 所以∠PDA＝45°.‎ 设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.‎ 如图D191，过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.‎ 易知PA⊥平面ABCD，‎ 从而PA⊥CE.‎ 于是CE⊥平面PAH.‎ 所以平面PCE⊥平面PAH.‎ 过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.‎ 所以∠APH是PA与平面PCE所成的角．‎ 在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1，‎ 所以AH＝.‎ 在Rt△PAH中，PH＝＝，‎ 所以sin∠APH＝＝.‎ ‎ ‎ 图D191 图D192‎ 方法二，由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，‎ 所以CD⊥平面PAD.‎ 于是CD⊥PD.‎ 从而∠PDA是二面角PCDA的平面角．‎ 所以∠PDA＝45°.‎ 由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.‎ 设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.‎ 作Ay⊥AD，以A为原点，以 ，的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图D192所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，‎ 所以＝(1,0，－2)，＝(1,1,0)，＝(0,0,2)‎ 设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 由 得 设x＝2，解得n＝(2，－2,1)．‎ 设直线PA与平面PCE所成角为α，‎ 则sin α＝＝＝ .‎ 所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.‎ ‎20．(本小题满分12分)(2016年新课标Ⅲ)设函数f(x)＝ln x－x＋1.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1<1，证明当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x>cx.‎ ‎20．解：(1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.‎ 当00，f(x)单调递增；‎ 当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．‎ ‎(2)由(1)知，f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0.‎ 所以当x≠1时，ln x1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，‎ 则g′(x)＝c－1－cxln c.‎ 令g′(x)＝0，解得x0＝.‎ 当x0，g(x)单调递增；‎ 当x>x0时，g′(x)<0，g(x)单调递减．‎ 由(2)知，1<0.‎ 所以x∈(0,1)时，1＋(c－1)x>cx.‎ ‎21．(本小题满分12分)(2016年广东广州综合测试一)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1(－2, 0)，点B(2，)在椭圆C上，直线y＝kx(k≠0)与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．‎ ‎21．解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 因为椭圆的左焦点为F1(－2,0)，所以a2－b2＝4.①‎ 因为点B(2，)在椭圆C上，所以＋＝1.②‎ 由①②，解得a＝2 ，b＝2.‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为(－2 ，0)．‎ 因为直线y＝kx(k≠0)与椭圆＋＝1交于两点E，F，‎ 设点E(x0，y0)(不妨设x0>0)，则点F(－x0，－y0)．‎ 联立方程组消去y，得x2＝.‎ 所以x0＝，则y0＝.‎ 所以直线AE的方程为y＝(x＋2 )．‎ 因为直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，‎ 令x＝0得y＝，即点M.‎ 同理可得点N.‎ 所以|MN|＝＝.‎ 设MN的中点为P，则点P的坐标为P.‎ 则以MN为直径的圆的方程为x2＋2＝2，即x2＋y2＋y＝4.‎ 令y＝0，得x2＝4，即x＝2或x＝－2.‎ 故以MN为直径的圆经过两定点P1(2,0)，P2(－2,0)，‎ 请考生在第(22)(23)两题中任选一题作答．注意：只能作答在所选定的题目上．如果多做，则按所做的第一个题目计分．‎ ‎22．(本小题满分10分)选修44：极坐标与参数方程 已知曲线C的参数方程是(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A、B的极坐标分别为A(2，π)、B.‎ ‎(1)求直线AB的直角坐标方程；‎ ‎(2)设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值．‎ ‎22．解：(1)将A、B化为直角坐标为A(2cos π，2sin π)，B，即A，B的直角坐标分别为A(－2,0)，B(－1，－)，‎ kAB＝＝－，‎ ‎∴直线AB的方程为y－0＝－(x＋2)，‎ 即直线AB的方程为x＋y＋2 ＝0.‎ ‎(2)设M(2cos θ，sin θ)，它到直线AB的距离 d＝＝，‎ ‎∴dmax＝.‎ ‎23．(本小题满分10分)选修45：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x－2|－|2x－a|，a∈R.‎ ‎(1)当a＝3时，解不等式f(x)>0；‎ ‎(2)当x∈(－∞，2)时，f(x)<0恒成立，求a的取值范围．‎ ‎23．解：(1)当a＝3时，f(x)>0，即|x－2|－|2x－3|>0，‎ 等价于或或 解得12－x，　①‎ 即2x－a>2－x，或2x－aa或(x＋2)max

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