创新方案高考数学一轮复习第九篇解析几何双曲线教案理新人教版
第6讲 双曲线
【2013年高考会这样考】
1．考查利用基本量求双曲线的标准方程，考查双曲线的定义、几何图形．
2．考查求双曲线的几何性质及其应用．
【复习指导】
本讲复习时，应紧扣双曲线的定义，熟练掌握双曲线的标准方程、几何图形以及简单的几何性质、近几年高考多以选择题．填空题进行考查．
基础梳理
1．双曲线的概念
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；
(1)当a
c时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图 形
性 质
范 围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2
叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
一条规律
双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
两种方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a、2b或2c，从而求出a2、b2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2、b2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
三个防范
(1)区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．
(3)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±x.
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)双曲线－＝1的焦距为( )．
A．3 B．4 C．3 D．4
解析 由已知有c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2，故双曲线的焦距为4.
答案 D
2．(2011·安徽)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )．
A．2 B．2 C．4 D．4
解析 双曲线2x2－y2＝8的标准方程为－＝1，所以实轴长2a＝4.
答案 C
3．(2012·烟台调研)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )．
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
解析 由题意得b＝1，c＝.∴a＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
答案 C
4．(2011·山东)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为
( )．
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay＝0，根据已知得＝2，即＝2，解得b＝2，则a2＝5，故所求的双曲线方程是－＝1.
答案 A
5．(2012·银川质检)设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于________．
解析 由渐近线方程y＝x，且b＝3，得a＝2，由双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝4，又|PF1|＝3，∴|PF2|＝7.
答案 7
考向一 双曲线定义的应用
【例1】►(2011·四川)双曲线－＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是________．
[审题视点] 利用双曲线的第一定义和第二定义解题．
解析 由已知，双曲线中，a＝8，b＝6，所以c＝10，由于点P到右焦点的距离为4,4＜a＋c＝18，所以点P在双曲线右支上．由双曲线定义，可知点P到左焦点的距离为2×8＋4＝20，设点P到双曲线左准线的距离为d，再根据双曲线第二定义，有＝＝，故d＝16.
答案 16
由双曲线的第一定义可以判断点P
的位置关系，在利用第二定义解题时，要注意左焦点与左准线相对应，右焦点与右准线相对应．
【训练1】 (2012·太原重点中学联考)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
解析 由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，)或(3，－)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.
答案 4
考向二 求双曲线的标准方程
【例2】►(2012·东莞调研)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )．
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[审题视点] 抓住C2上动点满足的几何条件用定义法求方程．
解析 由题意知椭圆C1的焦点坐标为：F1(－5,0)，F2(5,0)．
设曲线C2上的一点P.则||PF1|－|PF2||＝8.
由双曲线的定义知：a＝4，b＝3.
故曲线C2的标准方程为－＝1.
答案 A
(1)当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，求方程时应分类讨论，或者将方程设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
(2)已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．根据其他条件确定λ的值．若求得λ＞0，则焦点在x轴上；若求得λ＜0，则焦点在y轴上．
【训练2】 (2012·郑州模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同．则双曲线的方程为________．
解析 ∵双曲线的渐近线为y＝x，∴＝， ①
∵双曲线的一个焦点与y2＝16x的焦点相同．
∴c＝4. ②
∴由①②可知a2＝4，b2＝12.
∴双曲线的方程为－＝1.
答案 －＝1.
考向三 双曲线的几何性质的应用
【例3】►(2011·浙江)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )．
A．a2＝ B．a2＝13 C．b2＝ D．b2＝2
[审题视点] 取一条C2的渐近线，将其与C1联立求得弦长|AB|，令|AB|＝a，方可得出结论．
解析 依题意a2－b2＝5，根据对称性，不妨取一条渐近线y＝2x，由，解得x＝±，故被椭圆截得的弦长为，又C1把AB三等分，所以＝，两边平方并整理得a2＝11b2，代入a2－b2＝5得b2＝.
答案 C
在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容：
(1)已知双曲线方程，求它的渐近线； (2)求已知渐近线的双曲线的方程； (3)渐近线的斜率与离心率的关系，
如k＝＝＝＝.
【训练3】 (2010·辽宁)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )．
A. B. C. D.
解析 设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，F(c,0)，B(0，b)，则kBF＝－，双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴－·＝－1，即b2＝ac，c2－a2＝ac，∴e2－e－1＝0，解得e＝.又e＞1，∴e＝.
答案 D
难点突破21——高考中椭圆与双曲线的离心率的求解问题
离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆或双曲线的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表达，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆和双曲线的离心率问题难点的根本方法．
【示例1】► (2010·广东)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )．
A. B. C. D.
【示例2】► (2011·福建)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )．
A.或 B.或2
C.或2 D.或
