圆锥曲线在高考数学中的地位

圆锥曲线在高考数学中的地位

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B. C. D.‎ 分析 设双曲线的焦点在轴上，则由图易知双曲线的离心率必须满足，所以，即有.又双曲线的离心率为，所以。‎ 易错认为就满足条件了，从而错求为，错选C；或者错认为，从而错选B.属于难题。‎ ‎(2011年重庆文9)设双曲线的左准线与两条渐近线交于 两点，左焦点为在以才为之直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ 分析 双曲线的渐近线，准线联立解得，。所以=，根据题意得，＜，即，即，即，即，即，又＞1，1＜＜，故选B。‎ 本题考查双曲线的准线、渐近线方程形式、考查园内的点满足的不等条件、注意双曲线离心率本身要大于1。难度较大。‎ ‎(2010年重庆理20文21)已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率。‎ ‎（1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；‎ ‎（2）已知过点的直线：与过点（其中）的直线：的交点在双曲线上，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，求的面积。‎ x y l2‎ l1‎ 分析 （1）设的标准方程为，由题意知，由此可求出的标准方程和渐近线方程。‎ （2） 由题意知，点在直线和上，因此直线的方程为．设分别是直线与渐近线及 的交点，则，设与轴的交战为，则，由此可求的面积。‎ 本题考查圆锥曲线的性质和应用，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，仔细解答.属于难题。‎ ‎3.2 高考对椭圆的主要考查点及难易程度分析 ‎（2013年重庆理21）如题（21）图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点，。‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点，过作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外。若，求圆的标准方程。‎ ‎ ‎ 分析 （1）利用点在椭圆上，结合椭圆的离心率，求出几何量，即可求得椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设出圆的圆心坐标及半径，由得到的坐标，写出圆的方程后和椭圆联立，化为关于的二次方程后由判别式等于0得到关于与的方程，把点坐标代入椭圆方程得到关于与的另一方程，联立可求出与的值，经验证满足椭圆上的其余点均在圆外，结合对称性即可求得圆的标准方程。‎ 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的计算能力，属于中档题。‎ ‎（2013年重庆文21）（1）同2013年重庆理21（1）；（2）取平行于轴的直线与椭圆相较于不同的两点，过作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外．求的面积的最大值，并写出对应的圆的标准方程。‎ 分析 （2）设 ，圆的半径为，直线方程为： ，则圆的方程为：联立圆与椭圆方程消掉得的二次方程，则①，易求点坐标，代入圆的方程得等式②，由①②消掉得，则 ‎，变为关于的函数，利用基本不等式可求其最大值及此时 值，由对称性可得圆心在轴左侧的情况。‎ 本题考查圆、椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的计算能力[6]，难度较大。‎ ‎（2012年重庆文21）已知椭圆的中心为原点，长轴在 轴上，上顶点为，左、右焦点分别为，线段的中点分别为，且是面积为的直角三角形。‎ ‎（1）求该椭圆的离心率和标准方程；‎ ‎（2）过作直线交椭圆于，，求的面积。‎ 分析 （1）设椭圆的方程为，， 因为是的直角三角形，， 所以为直角，从而，即； 因为，所以，所以 在中，，所以， 因为，所以，所以 所以椭圆标准方程为 （2）由（1）知，‎ ‎ 由题意，直线的倾斜角不为， 故可设直线的方程为代入椭圆方程， 消元可得， ①设， ，‎ ‎，‎ ‎（*）‎ ‎ ‎ 由，知，即，解得 当 时，方程（*）化为：‎ 故 ，，‎ 的面积， 当 时，同理可得（或由对称性可得） 的面积 综上所述， 的面积为 。‎ 本题考查了椭圆的标准方程及几何性质[5]，考查直线与椭圆的位置关系以及向量知识的运用，考查三角形的性质及其面积的计算，综合性强，属于中高档题。‎ ‎（2012年重庆理20）（1）同2012年重庆文21（1）；‎ ‎（2）过作直线交椭圆于，两点，使，求直线的方程。‎ 分析 （2）由（1）知， 由题意，直线的倾斜角不为， 故可设直线的方程为代入椭圆方程， 消元可得 ‎ ‎①设， ，‎ ‎， ∴ ‎ 直线的方程为：或。‎ 本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，考查直线与椭圆的位置关系以及向量知识的运用，考查直线方程的计算，综合性强，属于中高档题。‎ ‎（2011年重庆文21）如图，椭圆的中心为原点，离心率=，一条准线的方程是=。‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)设动点满足:，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为。问:是否存在定点，使得与点到直线：=的距离之比为定值？若存在，求的坐标;若不存在，说明理由。‎ 分析 (1) ∵==，=，解得=2，=，‎ ‎∴==2，‎ ‎∴椭圆的标准方程为；‎ ‎(2)设，，，则由，得 ‎==，‎ ‎∴=，=，‎ ‎∵，在椭圆上，∴，，‎ ‎∴==‎ ‎==‎ 设，分别表示直线，的斜率，由题设条件知 ‎ ‎ 点在椭圆上，该椭圆的右焦点为，离心率，右准线为，‎ 根据椭圆的第二定义，存在定点，使得与点到直线的距离之比为定值。 ‎ 本题考查了用待定系数法求椭圆标准方程，两个向量坐标形式的运算[7]，椭圆的第二定义[4]，考查学生综合运用知识解决问题能力、运算求解能力和探究问题能力，难度较大。‎ ‎（2011年重庆理20）（1）同 2011年重庆文21（1）；（2）设动点满足，其中，是椭圆上的点．直线与的斜率之积为．问：是否存在两个定点，，使得为定值．若存在，求，的坐标；若不存在，说明理由。‎ 分析 （2）设，，，则由得 即，‎ 点，在椭圆上，所以， 故 设，分别为直线，的斜率， 根据题意可知 所以在椭圆上 设该椭圆的左，右焦点为， 由椭圆的定义可推断出为定值， 则这两个焦点坐标是，‎ 本题考查了椭圆的定义及简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，计算量大，属于难题。‎ 由此看来，高考对圆锥曲线的考查多以中等难度的题目为主，但对学生的综合只是能力要求较高，在掌握基础知识的同时，还必须将其灵活运用起来，在考试中才能得心应手。‎ 圆锥曲线能力题一直是高考中区分度较大的题目，以圆锥曲线性质为背景的题目已经成为近几年高考命题的热点.试题的综合性非常大，解题综合了函数与方程、坐标变换、参数 变换等数学思想与方法，所以也是广大考生的失分点，在平时的学习和中一定要予以足够的重视，花大力气和时间突破它。‎ 参考文献:‎ ‎[1] 曹炳友.高考圆锥曲线的内容与研究方法.《山东教育：中学刊》,2005.44-46.‎ ‎[2] 郑兴明,周继.高考圆锥曲线基础试题考点解析[J].《数学教学通讯》,2004.33-36.‎ ‎[3] 姜建平.新课程高考专题复习（圆锥曲线）.《上海中学数学》,2005.7-9.‎ ‎[4] 何 垒.用圆锥曲线定义解决高考解析几何题.《中学生理科月刊》,2003.22-23.‎ ‎[5] 王 勇.离心率--经久不衰的高考热点.中学教研（数学）,2003.47-49‎ ‎[6] 耿昌瑞.高考圆锥曲线能力题的解题策略.考试（高考文科版）,2007.21-22.‎ ‎[7] 王海霞.从向量视角看高考中圆锥曲线试题.《数学教学》,2007.31-33.‎ ‎[8]　高慧明.高考复习《圆锥曲线方程》专题系列讲座.《数学大世界.高中版》 ,2005.37-40.‎ 附录：‎ ‎1. 以客观题的形式考查圆锥曲线的高考题 ‎（2012年重庆文14）设为直线与双曲线 左支的交点，是左焦点，垂直于轴，则双曲线的离心率 。‎ ‎（2012年重庆理14）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两 点，若则 。‎ ‎（2011年重庆理15）设圆位于抛物线与直线所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆的半径能取到的最大值为 。‎ ‎（2010年重庆文13）已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，，则 。‎ ‎ （2010年重庆理14) 已知以为焦点的抛物线上的两点满足，则弦的中点到准线的距离为 。‎ ‎（2013年重庆文10）设双曲线的中心为点，若有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和，使，其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎(2011年重庆文9)设双曲线的左准线与两条渐近线交于 两点，左焦点为在以才为之直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 以主观题的形式考查圆锥曲线的高考题 ‎（2013年重庆理21）如题（21）图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点、，。‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点，，过，作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外。若，求圆的标准方程。‎ ‎（2013年重庆理21）如题（21）图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点、，。‎ （1） 求该椭圆的标准方程；‎ ‎ （2）取平行于轴的直线与椭圆相较于不同的两点，，过，作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外．求的面积的最大值，并写出对应的圆的标准方程。‎ ‎（2012年重庆文21）已知椭圆的中心为原点，长轴在 轴上，上顶点为，左、右焦点分别为，线段的中点分别为，且是面积为的直角三角形。‎ ‎（1）求该椭圆的离心率和标准方程；‎ ‎（2）过作直线交椭圆于、，，求的面积。‎ ‎（2012年重庆理20）如图，已知椭圆的中心为原点，长轴在 轴上，上顶点为，左、右焦点分别为，线段的中点分别为，且是面积为的直角三角形。‎ ‎（1）求该椭圆的离心率和标准方程；‎ ‎ （2）过作直线交椭圆于、两点，使，求直线的方程。‎ ‎（2011年重庆文21）如图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程是。‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)设动点满足：，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为。问：是否存在定点，使得与点到直线：的距离之比为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由。‎ ‎（2011年重庆理20）如图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程是。‎ (1) 求椭圆的标准方程； ‎ ‎（2）设动点满足，其中，是椭圆上的点．直线与的斜率之积为。问：是否存在两个定点，使得为定值．若存在，求的坐标；若不存在，说明理由。‎ ‎(2010年重庆理20文21)已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率。‎ ‎（1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；‎ ‎（2）已知过点的直线：与过点（其中）的直线：的交点在双曲线上，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，求的面积。‎ x y l2‎ l1‎