2020年天津市中考数学真题试卷（含答案）

2020年天津市中考数学真题试卷（含答案）

2020 年天津市中考数学真题试卷（含答案） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1.计算  30 20 的结果等于（ ） A. 10 B. 10 C. 50 D. 50 【答案】A 【解析】 【分析】 根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】解：   3030 00 2102  故选：A． 【点睛】本题考查有理数的加法运算法则，熟记有理数的加法运算法则是解题的关键． 2.2sin45°的值等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】解：2sin45°=2× 2 22  故选 B 3.据 2020 年 6 月 24 日《天津日报》报道，6 月 23 日下午，第四届世界智能大会在天津开幕．本届大会采取 “云上”办会的全新模式呈现，40 家直播网站及平台同时在线观看云开幕式暨主题峰会的总人数最高约为 58600000 人．将 58600000 用科学记数法表示应为（ ） A. 80 58610． B. 75.8610 C. 658 610． D. 5586 10 【答案】B 【解析】 【分析】 把小数点向左移动 7 位，然后根据科学记数法的书写格式写出即可． 【详解】解： 758600000=5.86 10 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为 10 na  的形式，其中 1 | | 1 0a „ ， n 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相 同．当原数绝对值 10… 时， 是正数；当原数的绝对值 1 时， 是负数． 4.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面 4 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、不是轴对称图形； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形 的 知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可 重合． 5.右图是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 从正面看所得到的图形是主视图，画出从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：从正面看第一层有两个小正方形，第二层在右边有一个小正方形，第三层在右边有一个小正 方形，即： 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看 的 方向． 6.估计 22 的值在（ ） A. 3 和 4 之间 B. 4 和 5 之间 C. 5 和 6 之间 D. 6 和 7 之间 【答案】B 【解析】 【分析】 因为 224225，所以 在 4 到 5 之间，由此可得出答案. 【详解】解：∵ ， ∴ 4225． 故选：B 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 7.方程组 24 1 xy xy      的解是（ ） A. 1 2 x y    B. 3 2 x y    C. 2 0 x y    D. 3 1 x y    【答案】A 【解析】 【分析】 利用加减消元法解出 ,xy的值即可． 【详解】解： 24 1 xy xy      ① ② ①+②得： 33x  ，解得： 1x  ， 把 代入②中得： 11y   ，解得： 2y  ， ∴方程组的解为： 1 2 x y    ； 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法——加减消元法和代入消元法，根据具体的方程组选取合适的 方法是解决本类题目的关键． 8.如图，四边形OBCD是正方形，O，D 两点的坐标分别是  0 ,0 ，  0 ,6 ，点 C 在第一象限，则点 C 的坐 标是（ ） A.  6,3 B.  3 ,6 C. D.  6 ,6 【答案】D 【解析】 【分析】 利用 O，D 两点的坐标，求出 OD 的长度，利用正方形的性质求出ＯB，BC 的长度，进而得出 C 点的坐标 即可． 【详解】解：∵O，D 两点的坐标分别是 ， ， ∴OD＝6， ∵四边形 是正方形， ∴OB⊥BC，OB=BC=6 ∴C 点的坐标为： 6,6 ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了点的坐标和正方形的性质，正确求出 OB，BC 的长度是解决本题的关键． 9.计算 22 1 ( 1) ( 1) x xx的结果是（ ） A. 1 1x  B. 2 1 ( 1)x  C. 1 D. 1x  【答案】A 【解析】 【分析】 本题可先通分，继而进行因式约分求解本题． 【详解】 22 1 (1)(1) x xx 2 1 ( 1) x x   ， 因为 10x ，故 2 11=( 1 ) 1 x xx  ． 故选：A． 【点睛】本题考查分式的加减运算，主要运算技巧包括通分，约分，同时常用平方差、完全平方公式作为 解题工具． 10.若点      123,5,,2,,5AxBxCx 都在反比例函数 10y x 的图象上，则 1 2 3,,x x x 的大小关系是（ ） A. 123xxx B. 231xxx C. 132xxx D. 312xxx 【答案】C 【解析】 【分析】 因为 A，B，C 三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解 ，然后直接比较大小即可． 【详解】将 A，B，C 三点分别代入 ，可求得 123 2,5,2xxx  ，比较其大小可得： 132xxx＜ ＜ ． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数比较大小，解答本类型题可利用画图并结合图像单调性判别，或者直接代入 对应数值求解即可． 11.如图，在 ABC 中， 90ACB ，将 绕点 C 顺时针旋转得到 DEC ，使点 B 的对应点 E 恰 好落在边 AC 上，点 A 的对应点为 D，延长 DE 交 AB 于点 F，则下列结论一定正确的是（ ） A. AC DE B. B C E F C. AEF D   D. AB DF 【答案】D 【解析】 【分析】 本题可通过旋转的性质得出△ABC 与△DEC 全等，故可判断 A 选项；可利用相似的性质结合反证法判断 B， C 选项；最后根据角的互换，直角互余判断 D 选项． 【详解】由已知得：△ABC  △DEC，则 AC=DC，∠A=∠D，∠B=∠CED，故 A 选项错误； ∵∠A=∠A，∠B=∠CED=∠AEF， 故△AEF △ABC，则 E F A E B C A B = ， 假设 BC=EF，则有 AE=AB， 由图显然可知 AE  AB，故假设 BC=EF 不成立，故 B 选项错误； 假设∠AEF=∠D，则∠CED=∠AEF=∠D， 故△CED 为等腰直角三角形，即△ABC 为等腰直角三角形， 因为题干信息△ABC 未说明其三角形性质，故假设∠AEF=∠D 不一定成立，故 C 选项错误； ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°． 又∵∠A=∠D， ∴∠B+∠D=90°． 故 AB⊥DF，D 选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，证明过程常用角的互换、直角互余作为解题工具， 另外证明题当中反证法也极为常见，需要熟练利用． 12.已知抛物线 2y ax bx c   （ ,,abc是常数， 0, 1ac）经过点 2,0 ，其对称轴是直线 1 2x  ．有 下列结论： ① 0abc  ； ②关于 x 的方程 2axbxca 有两个不等的实数根； ③ 1 2a  ． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据对称轴和抛物线与 x 轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可判断①根据根的判 别式 2 40b ac，即可判断②；根据 1c  以及 c=-2a，即可判断③． 【详解】∵抛物线 2y a x b x c   经过点 2,0 ，对称轴是直线 1 2x  ， ∴抛物线经过点 ( 1,0 ) ，b=-a 当 x= -1 时，0=a-b+c，∴c=-2a;当 x=2 时，0=4a+2b+c， ∴a+b=0，∴ab<0，∵c＞1， ∴abc＜0，由此①是错误的， ∵ 2 2 2 2 24 = 4 ( 2 ) 8 9 0b ac a a a a a a       ，而 0a  ∴关于 x 的方程 2a x b x c a   有两个不等的实数根，②正确； ∵ ，c=-2a>1， ∴ 1 2a  ，③正确 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数 a 决定抛 物线的开口方向和大小：当 a＞0 时，抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次 项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab ＜0），对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点位置：抛物线与 y 轴交于（0，c）；抛物线与 x 轴 交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；△=b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； △=b2-4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13.计算 75xxx的结果等于_______． 【答案】3x 【解析】 【分析】 根据合并同类项法则化简即可． 【详解】解：原式=(1+7-5)x =3x 故答案为：3x 【点睛】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变． 14.计算 ( 7 1 ) ( 7 1 )的结果等于_______． 【答案】6 【解析】 【分析】 根据平方差公式计算即可． 【详解】解：原式= 22( 7) 1  =7-1=6 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 15.不透明袋子中装有 8 个球，其中有 3 个红球、5 个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率是_______． 【答案】 3 8 ． 【解析】 【分析】 用红球的个数除以总球的个数即可得出取出红球的概率． 【详解】解：∵不透明袋子中装有 8 个球，其中有 3 个红球、5 个黑球， ∴从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率为 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 的概率  A mP n ． 16.将直线 2yx 向上平移 1 个单位长度，平移后直线的解析式为________． 【答案】 21yx 【解析】 【分析】 根据直线 的 平移规律是上加下减的原则进行解答即可． 【详解】解：∵直线的平移规律是“上加下减”， ∴将直线 向上平移 1 个单位长度所得到的的直线的解析式为： ； 故答案为： ． 【点睛】本题考查的是一次函数的图像与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解决本题目的关键． 17.如图， A B C D 的顶点C在等边 BEF 的边 BF 上，点E在 AB 的延长线上，G为 DE 的中点，连接 CG ．若 3AD  ， 2A B C F，则 的长为_______． 【答案】 3 2 【解析】 【分析】 延长 DC 交 EF 于点 M（图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM 是等边三角形， BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出 CF=CM=MF=2，可得 C、G 是 DM 和 DE 的中点，根据中位线的性质，可得 出 CG= 1 2 EM ，代入数值即可得出答案． 【详解】解：如下图所示，延长 DC 交 EF 于点 M， ， ， 平行四边形 A B C D 的顶点 C 在等边 的边 上， //DMAE ， C M F 是等边三角形， 2ABCFCMMF  ． 在平行四边形 中， 2ABCD， 3ADBC， 又 是等边三角形， 325BFBEEFBCCF ， 523EMEFMF   ． G 为 的中点， 2CDCM， C 是 DM 的中点，且 是 D E M△ 的中位线， 13 22CGEM  ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长 DC 交 EF 于点 M，利 用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出 CG 是 D E M△ 的中位线是解题的关键． 18.如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中， ABC 的顶点 ,AC均落在格点上，点 B 在网格线上，且 5 3AB  ． （Ⅰ）线段 AC 的长等于___________； （Ⅱ）以 BC 为直径的半圆与边 相交于点 D，若 ,PQ分别为边 ,A C B C 上的动点，当 B P P Q 取得最 小值时，请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出点 ，并简要说明点 的位置是如何找到的 （不要求证明）_______． 【答案】 (1). 13 (2). 详见解析 【解析】 【分析】 （1）将 AC 放在一个直角三角形，运用勾股定理求解； （2）取格点 M，N，连接 MN，连接 BD 并延长，与 MN 相交于点 B  ；连接 BC ，与半圆相交于点 E，连 接 BE，与 AC 相交于点 P，连接 BP 并延长，与 BC 相交于点 Q，则点 P，Q 即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）如图，在 Rt△AEC 中，CE=3,AE=2,则由勾股定理，得 AC= 2222 32CEAE = ； （Ⅱ）如图，取格点 M，N，连接 MN，连接 BD 并延长，与 MN 相交于点 ；连接 ，与半圆相交于点 E，连接 BE，与 AC 相交于点 P，连接 并延长，与 BC 相交于点 Q，则点 P，Q 即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，轴对称-最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是学会 利用轴对称，根据垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19.解不等式组 3 2 1 , 2 5 1 . xx x    ① ② „ … 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得_______________； （Ⅱ）解不等式②，得_____________； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为_______________． 【答案】（Ⅰ） 1x  ；（ Ⅱ） 3x  ；（ Ⅲ）详见解析；（Ⅳ） 31x ． 【解析】 【分析】 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定 不等式组的解集． 【详解】解： （Ⅰ）解不等式①，得 ； （Ⅱ）解不等式②，得 ； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为 ． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取 小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20.农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位： cm ）进行了测量．根据统 计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）本次抽取的麦苗的株数为__________，图①中 m 的值为__________； （Ⅱ）求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数． 【答案】（Ⅰ）25，24；（ II）平均数是 15.6，众数为 16，中位数为 16． 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由图②中条形统计图即可求出麦苗的株数；用 17cm 的麦苗株数 6 除以总株数 24 即可得到 m 的值； (Ⅱ)根据平均数、众数、中位数的概念逐一求解即可． 【详解】解：(Ⅰ)由图②可知： 本次抽取的麦苗株数为：2+3+4+10+6=25(株)， 其中 17cm 的麦苗株数为 6 株，故其所占的比为 6÷25=0.24=24%，即 m=24． 故答案为：25,24． (Ⅱ)观察条形统计图， 这组麦苗得平均数为： 13214315416 10176 15.6234106 x ， 在这组数据中，16 出现了 10 次，出现的次数最多， 这组数据的众数为 16． 将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是 16， 这组数据的中位数为 16． 故答案为：麦苗高的平均数是 15.6，众数是 16，中位数是 16． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的 信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的 百分比大小． 21.在 O 中，弦 CD 与直径 AB 相交于点 P， 63ABC   ． （Ⅰ）如图①，若 100APC   ，求 BAD 和 CDB 的大小； （Ⅱ）如图②，若CD AB ，过点 D 作 的切线，与 的延长线相交于点 E，求 E 的大小． 【答案】（I） 37BAD   ， 27  C D B ；（ II） 36E o ． 【解析】 【分析】 (Ⅰ)先由△ CPB 中外角定理求出∠C 的大小，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠BAD 的值；且 ∠ADC=∠ABC，再由直径 AB 所对的圆周角等于 90°求出∠ADB=90°，最后∠ADB-∠ADC 即可得到∠CDB 的值； (Ⅱ)连接 OD，由 CD⊥AB 先求出∠DCB，再由圆周角定理求出∠BOD，最后由切线的性质可知∠ODE=90°， 进而求出∠E 的度数． 【详解】解：（Ⅰ） APC 是 PBC 的一个外角， ， ， 37CAPCPBC  ． 在 中， BADC  ， 37BAD  ． ABQ 为 的直径， 90ADB ． 在 中， 63ADCABC  ， 又 CDB ADB ADC    ， 27CDB ． 故答案为： ， ． （Ⅱ）如下图所示，连接 OD， C D A B ， 90C P B   ． 9027PCBPBC ． 在 O 中，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知： 2B O D B C D   ， ∴ 227=54BOD ， DE 是 的切线， O D D E ．即 90ODE   ， 90905436EBOD ， 36E   ． 故答案为： 36E ． 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论、切线的性质、三角形的外角定理等知识点，熟练掌握圆周角定理 及其推论是解决本题的关键． 22.如图， ,AB两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C，连接 ,A C B C ．测得 221mBC  ， 45ACB ， 58ABC ．根据测得的数据，求 的长（结果取整数）． 参考数据：sin580 85 ． ，cos580 53 ． ， tan58160 ． ． 【答案】AB 的长约为 160m． 【解析】 【分析】 过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：如图，过点 A 作 AH CB ，垂足为 H． 根据题意， 45ACB   ， 58ABC   ， 221BC  ． 在 Rt CAH 中， tan AHACH CH， tan 45 AHCH AH ． 在 R t B A H△ 中， tan AHABH BH， sin AHABH AB， ta n 5 8 AHBH   ， sin 58 AHAB   ． 又 C B C H B H， 221 tan58 AHAH   ．可得 221 tan 58 1 tan 58AH   ．     221tan582211.60 1601tan58sin5811.600.85AB   ． 答：AB 的长约为 160m． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型． 23.在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍 0 . 7 k m ，图 书馆离宿舍 1km ．周 末，小亮从宿舍出发，匀速走了 7 m i n 到食堂；在食堂停留 1 6 m i n 吃早餐后，匀速走了 5 m i n 到图书馆；在 图书馆停留30min 借书后，匀速走了10min 返回宿舍，给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离 kmy 与离开宿舍的时间 minx 之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表： 离开宿舍的时间/ min 2 5 20 23 30 离宿舍的距离/ km 0.2 0.7 （Ⅱ）填空： ①食堂到图书馆的距离为_______ km ． ②小亮从食堂到图书馆 的 速度为_______ k m / m i n ． ③小亮从图书馆返回宿舍的速度为_______ ． ④当小亮离宿舍的距离为0.6km 时，他离开宿舍的时间为_______ min ． （Ⅲ）当 0 2 8 x 时，请直接写出 y 关于 x 的函数解析式． 【答案】（Ⅰ）0.5，0.7，1；（ Ⅱ）①0.3；②0.06；③0.1；④6 或 62；（ Ⅲ）当 07x时， 0 . 1yx ；当 7 2 3 x 时， 0 . 7y  ；当 23 28x 时， 0 . 0 6 0 . 6 8yx． 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据函数图象分析计算即可； （Ⅱ）①结合题意，从宿舍出发，根据图象分析即可； ②结合图像确定路程与时间，然后根据速度等于路程除以时间进行计算即可； ③据速度等于路程除以时间进行计算即可； ④需要分两种情况进行分析，可能是从学校去食堂 过程，也有可能是从学校回宿舍； （Ⅲ）分段根据函数图象，结合“路程=速度  时间”写出函数解析式. 【详解】解：（Ⅰ）从宿舍到食堂的速度为 0.2  2=0.1， 0.1 5=0.5； 离开宿舍的时间为 23min 时，小亮在食堂，故离宿舍的距离为 0.7km； 离开宿舍的时间为 30min 时，小亮在图书馆，故离宿舍的距离为 1km 故答案依次为：0.5，0.7，1， （Ⅱ）①1-0.7=0.3， ∴食堂到图书馆的距离为 0.3 ； 故答案为：0.3； ②（1-0.7） （28-23）=0.06km/min, ∴小亮从食堂到图书馆的速度为 0.06 故答案为：0.06； ③1 （68-58）=0.1km/min, ∴小亮从图书馆返回宿舍的速度为 0.1 ； 故答案为：0.1； ④当是小亮从宿舍去食堂的过程中离宿舍的距离为 0 6 k m． ， 则此时的时间为 0.6  0.1=6min. 当是小亮从图书馆回宿舍，离宿舍的距离为 0.6km, 则从学校出发回宿舍已经走了 1-0.6=0.4(km)， 0.4 0.1=4(min) 58+4=62(min) 故答案为：6 或 62． （Ⅲ）当 07x时， 0 . 1yx ； 当 7 2 3 x 时， 0 . 7y  当 23 28x 时，设 y k x b，将（23，0.7）（ 28，1）代入解析式 23 k b 0.7 28k b 1 ì +=ïí +=ïî ，解得 k 0. 06 b 0. 68 ì =ïí =-ïî ∴ 0.060.68yx． 【点睛】本题考查的是函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类 型和所需要的条件，结合题意正确计算是解题的关键． 24.将一个直角三角形纸片 O A B 放置在平面直角坐标系中，点  0 ,0O ，点  2,0A ，点 B 在第一象限， 90OAB ， 30B ，点 P 在边 OB 上（点 P 不与点 ,OB重合）． （1）如图①，当 1OP  时，求点 P 的坐标； （2）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点 P，并与 x 轴的正半轴相交于点 Q，且OQOP ，点 O 的对 应点为O ，设OP t ． ①如图②，若折叠后 O PQ 与 OAB 重叠部分为四边形， ,O P O Q分别与边 AB 相交于点 ,CD，试用含 有 t 的式子表示OD 的长，并直接写出 t 的取值范围； ②若折叠后 O P Q 与 O A B 重叠部分的面积为 S，当 13t 时，求 S 的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）点 P 的坐标为 13,22   ；（ 2）① 34O D t ，t 的取值范围是 4 23 t ；② 3 4 3 87S ． 【解析】 【分析】 （1）过点 P 作 P H x 轴，则 90OHP   ，因为 90O A B   ， 30B   ，可得 60B O A   ，进而 得 30O P H   ，由 30°所对的直角边等于斜边的一半可得 11 22O H O P，进而用勾股定理可得 223 2HPOPOH ，点 P 的坐标即求出； （2）①由折叠知， O P Q O P Q ≌ ，所以 O P O P  ， O Q O Q  ；再根据 O Q O P ，即可根据菱形的 定义“四条边相等的四边形是菱形”可证四边形 O Q O P 为菱形，所以 //Q O O B ，可得 30ADQB ； 根据点 A 的坐标可知 2OA  ，加之 O P t ，从而有 2QAOAOQt ；而在 R t Q A D 中， 242QDQAt ， 又因为O D O Q QD，所以得 ，由 和 2QAt的取值范围可得 t 的范围是 ； ②由①知， 'P O Q 为等边三角形，由（1）四边形 为菱形，所以 'ABPQ⊥ ,三角形 DCQ 为直角三 角形，∠Q=60°，从而 11(3 4)22CQ DQ t   ， 33(3 4)22CD DQ t   ,进而可得 222 '' 337 3124 3(34)()48877POQCDQSSSttt  ，又已知 t 的取值范围是 ， 即可得 ． 【详解】解：（1）如图，过点 P 作 轴，垂足为 H，则 ． 90OAB ， 90 60BOA B    ． 9030OPHPOH ． 在 Rt OHP△ 中， 1OP  ， 11 22OHOP  ， 223 2HPOPOH ．  点 P 的坐标为 13,22   ． （2）①由折叠知， O P Q O P Q ≌ ， O P O P， O Q O Q  ． 又 O Q O P t， O POPOQO Qt ． 四边形OQO P 为菱形． //QOOB ．可得 30ADQB  ． 点  2 ,0A ， 2OA．有 2QAOAOQt ． 在 RtQAD 中， 242QDQAt ． O D O Q QD， 34O Dt ，其中 t 的取值范围是 4 23 t ． ②由①知， 'POQ 为等边三角形， ∵四边形 为菱形， ∴ 'ABPQ⊥ ,三角形 DCQ 为直角三角形，∠Q=60°， ∴ 11(3 4)22CQ DQ t   ， 33(3 4)22CD DQ t   , ∴ 222 '' 33731243(34)()48877POQCDQSSSttt  ， ∵ 13t ， ∴ 3 4 3 87S ． ， 【点睛】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定与性质，求不规则四边形的面积等知识． 25.已知点 ( )1,0A 是抛物线 2y a x b x m   （ ,,a b m 为常数， 0 , 0am）与 x 轴的一个交点． （1）当 1 , 3am   时，求该抛物线的顶点坐标； （2）若抛物线与 x 轴的另一个交点为  ,0Mm ，与 y 轴的交点为 C，过点 C 作直线 l 平行于 x 轴，E 是直 线 l 上的动点，F 是 y 轴上的动点， 22EF  ． ①当点 E 落在抛物线上（不与点 C 重合），且 AEEF 时，求点 F 的坐标； ②取 EF 的中点 N，当 m 为何值时， MN 的最小值是 2 2 ？ 【答案】（1）抛物线的顶点坐标为  1 , 4 ；（ 2）①点 F 的坐标为  0,27 或  0,27 ；②当 m 的 值为 3 2 或 1 2 时，MN 的最小值是 ． 【解析】 【分析】 （1）根据 ，则抛物线的解析式为 2 3y x bx   ，再将点 A（1，0）代入 ， 求出 b 的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标； （2）①首先用含有 m 的代数式表示出抛物线的解析式，求出  0,Cm，点  1,E m m . 过点 A 作 AH l 于点 H,在 Rt EAH 中，利用勾股定理求出 AE 的值，再根据 ， ， 可求出 m 的值，进一步求出 F 的坐标； ②首先用含 m 的代数式表示出 MC 的长，然后分情况讨论 MN 什么时候有最值. 【详解】解：（ 1）当 1a  ， 3m  时，抛物线的解析式为 2 3y x b x   ． ∵抛物线经过点 ( )1,0A ， 0 1 3 b    ．解得 2b  ． 抛物线的解析式为 2 23y x x   ．  22 2314yxxxQ ， 抛物线的顶点坐标为  1, 4 ． （2）①∵抛物线 2y a x b x m   经过点 和  ,0Mm ， 0m  ， 0 a b m    ， 20 a m b m m   ，即 10a m b   ． 1a=， 1bm   ． 抛物线的解析式为  2 1yxmxm ． 根据题意，得点  0,Cm，点  1,Emm ． 过点 A 作 AH l 于点 H． 由点 ，得点  1,Hm． 在 Rt EAH 中，  11EHmm  ， 0HAmm  ， 222AEEHHAm  ． 22AEEF ， 2 2 2m．解得 2m  ． 此时，点  1, 2E  ，点  0, 2C  ，有 1EC  ． 点 F 在 y 轴上， 在 Rt EFC 中， 227CFEFEC ． 点 F 的坐标为 0,27 或 0,27 ． ②由 N 是 EF 的中点，得 1 22CN EF． 根据题意，点 N 在以点 C 为圆心、 2 为半径的圆上． 由点  ,0Mm ，点  0,Cm，得 M O m=- ， C O m ．  在 R t M C O 中， 222MCMOCOm ． 当 2MC  ，即 1m  时，满足条件的点 N 落在线段 MC 上， MN 的最小值为 2222MCNCm ，解得 3 2m  ； 当 2MC  ， 10m   时，满足条件的点 N 落在线段 CM 的延长线上， MN 的最小值为   2222NC MC m     ，解得 1 2m  ． 当 m 的值为 3 2 或 1 2 时，MN 的最小值是 2 2 ． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题的关键是学会利 用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．．