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文档介绍
高考数学真题湖南卷数学文
2007年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(文史类) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.不等式的解集是 A. B. C. D. 2.若、、是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 A. B. C. D. 3.设(),关于的方程()有实数,则是的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 4.在等比数列()中,若,,则该数列的前10项和为 A. B. C. D. 5.在()的二次展开式中,若只有的系数最大,则 A.8 B.9 C.10 D.11 A B C F 6.如图1,在正四棱柱中,分别是,的中点,则以下结论中不成立的是 A.与垂直 B.与垂直 C.与异面 D.与异面 7.根据某水文观测点的历史统计数据,得到某条河流水位的频率分布直方图(如图2).从图中可以看出,该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是 A.48米 B.49米 C.50米 D.51米 0.5% 1% 2% 水位(米) 30 31 32 33 48 49 50 51 图2 8.函数的图象和函数的图象的交点个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 9.设、分别是椭圆()的左、右焦点,是其右准线上纵坐标为(为半焦距)的点,且,则椭圆的离心率是 A. B. C. D. 10.设集合, 都是的含两个元素的子集,且满足:对任意的,(,),都有(表示两个数中的较小者),则的最大值是 A.10 B.11 C.12 D.13 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在横线上. 11.圆心为且与直线相切的圆的方程是 . 12.在中,角、、所对的边分别为、、,若,, ,则 . 13.若,,则 . 14.设集合,,, (1)的取值范围是 ; (2)若,且的最大值为9,则的值是 . 15.棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上,则球的表面积是 ;设分别是该正方体的棱、的中点,则直线被球截得的线段长为 . 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知函数.求: (1)函数的最小正周期; (2)函数的单调增区间. 17.(本小题满分12分) 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的有75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响. (1)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率; (2)任选3名下岗人员,求这3人中至少有2人参加过培养的概率. 18.(本小题满分12分) A B C Q P 如图3,已知直二面角,,,,,,直线和平面所成的角为. (1)证明; (2)求二面角的大小. 19.(本小题满分13分) 已知双曲线的右焦点为,过点的动直线与双曲线相交于两点,点的坐标是. (1)证明,为常数; (2)若动点满足(其中为坐标原点),求点的轨迹方程. 20.(本小题满分13分) 设是数列()的前项和,,且,,. (1)证明:数列()是常数数列; (2)试找出一个奇数,使以18为首项,7为公比的等比数列()中的所有项都是数列中的项,并指出是数列中的第几项. 21.(本小题满分13分) 已知函数在区间,内各有一个极值点. (1)求的最大值; (2)当时,设函数在点处的切线为,若在点处穿过函数的图象(即动点在点附近沿曲线运动,经过点时,从的一侧进入另一侧),求函数的表达式. 2007年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(文史类)参考答案 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.D 2.B 3.A 4.B 5.C 6.D 7.C 8.C 9.D 10.B 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在横线上. 11. 12. 13.3 14.(1)(2) 15., 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解:. (1)函数的最小正周期是; (2)当,即()时,函数是增函数,故函数的单调递增区间是(). 17.解:任选1名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件,“该人参加过计算机培训”为事件,由题设知,事件与相互独立,且,. (1)解法一: 任选1名下岗人员,该人没有参加过培训的概率是 所以该人参加过培训的概率是. 解法二: 任选1名下岗人员,该人只参加过一项培训的概率是 该人参加过两项培训的概率是. 所以该人参加过培训的概率是. (2)解法一: 任选3名下岗人员,3人中只有2人参加过培训的概率是 . 3人都参加过培训的概率是. 所以3人中至少有2人参加过培训的概率是. 解法二: 任选3名下岗人员,3人中只有1人参加过培训的概率是. 3人都没有参加过培训的概率是. 所以3人中至少有2人参加过培训的概率是. A B C Q P O H 18.解:(1)在平面内过点作于点,连结. 因为,,所以, 又因为,所以. 而,所以,,从而, 又,所以平面. 因为平面,故. (2)解法一:由(1)知,,又,,,所以. 过点作于点,连结,由三垂线定理知,. 故是二面角的平面角. 由(1)知,,所以是和平面所成的角,则, 不妨设,则,. 在中,,所以, 于是在中,. 故二面角的大小为. 解法二: 由(1)知,,,,故可以为原点,分别以直 线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系(如图). 因为,所以是和平面所成的角,则. A B C Q P O x y z 不妨设,则,. 在中,, 所以. 则相关各点的坐标分别是,,,. 所以,. 设是平面的一个法向量,由得 取,得.易知是平面的一个法向量. 设二面角的平面角为,由图可知,. 所以. 故二面角的大小为. 19.解:由条件知,设,. (1)当与轴垂直时,可设点的坐标分别为,, 此时. 当不与轴垂直时,设直线的方程是. 代入,有. 则是上述方程的两个实根,所以,, 于是 . 综上所述,为常数. (2)解法一: 设,则,,,, 由得:即 于是的中点坐标为. 当不与轴垂直时,,即. 又因为两点在双曲线上,所以,, 两式相减得, 即. 将代入上式,化简得. 当与轴垂直时,,求得,也满足上述方程. 所以点的轨迹方程是. 解法二: 同解法一得……………………………………① 当不与轴垂直时,由(1)有.…………………② .………………………③ 由①②③得.…………………………………………………④ .……………………………………………………………………⑤ 当时,,由④⑤得,, 将其代入⑤有.整理得. 当时,点的坐标为,满足上述方程. 当与轴垂直时,,求得,也满足上述方程. 故点的轨迹方程是. 20.解:(1)当时,由已知得. 因为,所以. …………………………① 于是. …………………………………………………② 由②-①得:.……………………………………………③ 于是.……………………………………………………④ 由④-③得:.…………………………………………………⑤ 即数列()是常数数列. (2)由①有,所以. 由③有,所以, 而⑤表明:数列和分别是以,为首项,6为公差的等差数列. 所以,,. 由题设知,.当为奇数时,为奇数,而为偶数,所以不是数列中的项,只可能是数列中的项. 若是数列中的第项,由得,取,得,此时,由,得,,从而是数列中的第项. (注:考生取满足,的任一奇数,说明是数列中的第项即可) 21.解:(1)因为函数在区间,内分别有一个极值点, 所以在,内分别有一个实根, 设两实根为(),则,且. 于是,,且当,即,时等号成立.故的最大值是16. (2)解法一: 由知在点处的切线的方程是, 即, 因为切线在点处穿过的图象, 所以在两边附近的函数值异号, 则不是的极值点. 而, 且. 若,则和都是的极值点. 所以,即, 又由,得,故. 解法二: 同解法一得. 因为切线在点处穿过的图象, 所以在两边附近的函数值异号,于是存在(). 当时,,当时,; 或当时,,当时,. 设,则 当时,,当时,; 或当时,,当时,. 由知是的一个极值点,则,所以, 又由,得,故.查看更多