07高考文科数学真题直线与圆锥曲线

07高考文科数学真题直线与圆锥曲线

‎【考点24】直线与圆锥曲线 ‎1．(2007山东文9)设O是坐标原点，F是抛物线的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则为( ) ‎ ‎ （A） （B）[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ ‎ （C） （D）‎ ‎2．(2007海南宁夏文21)（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆的圆心为Q，过点且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.‎ ‎（Ⅰ）求k的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.‎ ‎3．(2008天津文22)（14分）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是一条渐近线的方程是 ‎ （Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎ （Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.‎ ‎4.（2009浙江21）已知椭圆的右顶点为A（1，0），过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C1 的方程； ‎ ‎（Ⅱ）设点P在抛物 线上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N，当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值.‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎5.（2009天津21）以知椭圆 的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且 ‎ （I）求椭圆的离心率；‎ ‎ （Ⅱ）求直线AB的斜率；‎ ‎ （III）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点在的外接圆上，求的值 ‎6.（2009山东22） 设椭圆过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎ （Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由 ‎7．（2009辽宁20）已知，椭圆C经过点 ‎ （I）求椭圆C的方程；‎ ‎ （II）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.‎ ‎8. (2009安徽20)点在椭圆， ．直线l2‎ 与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为 ‎．‎ ‎ （Ⅰ）证明：点P是椭圆与直线 的唯一交点；‎ ‎（Ⅱ）证明：构成等比数列．‎ ‎9.（2009上海文22）已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F，一条渐近线m:,设过点A的直线l的方向向量。‎ ‎ （1）求双曲线C的方程；‎ ‎ （2）若过原点的直线，且a与l的距离为，求K的值；‎ ‎ （3）证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.‎ ‎10.(2009安徽文18)（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线相切．‎ ‎ （Ⅰ）求与；‎ ‎ （Ⅱ）设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P．求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型．‎ ‎ ‎ 版权所有：高考资源网(www.k s 5 u.com)‎ 版权所有：高考资源网(www.ks5u.com)‎ 高考真题答案与解析 数 学（文）‎ ‎【考点24】 直线与圆锥曲线 ‎1．答案：B ‎【解析】设则 又解得 故选B.‎ ‎2.【解析】‎ ‎（Ⅰ）圆的方程可写成，所以圆心为. 过且斜率为k的直线方程为 ‎，代入圆方程得 ‎，‎ 整理得 . ①（3分）‎ 直线与圆交于两个不同的点A、B等价于 解得，即k的取值范围为.（6分）‎ ‎（Ⅱ）设，则，‎ 由方程①，‎ ‎. ②‎ 又 . ③（8分）‎ 而.‎ 所以与共线等价于，‎ 将②③代入上式，解得. （11分）‎ 由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数k.（12分）‎ ‎3.本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.满分14分.‎ ‎（Ⅰ）解：设双曲线C的方程为由题设得 ‎ 解得 ‎ 所以双曲线C的方程为 ‎（Ⅱ）解：设直线l方程为点M，N的坐标满足方程组 ‎①‎ ‎②‎ ‎ ‎ 将①式代入②式，得整理得 此方程有两个不等实根，于是，且 整理得 ‎ . ③‎ 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（）满足 ‎ ‎ 从而线段MN的垂直平分线的方程为 ‎ [来源:Zxxk.Com]‎ 此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为由题设可得 ‎ ‎ 整理得 ‎ ‎ 将上式代入③式得，‎ 整理得 ‎ ‎ 解得 所以k的取值范围是 ‎4.【解析】 （I）解：由题意，得 ‎ ‎ ‎ 从而 ‎ 因此，所求的椭圆方程为 ‎ ‎ ‎ （Ⅱ）解：如图，设 ‎ 则抛物线C2在点P处的切线斜率为 ‎ 直线MN的方程为：‎ ‎ ‎ ‎ 将上式代入椭圆C1的方程中，得 ‎ ‎ ‎ 即 ①‎ ‎ 因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，‎ ‎ 所以①式中的 ‎ ②‎ ‎ 设线段MN的中点的横坐标是，则 ‎ ‎ ‎ 设线段PA的中点的横坐标是，则 ‎ ‎ ‎ 由题意，得 ‎ 即 ‎ 由③式中的 ‎ ，得 ‎ ‎ ‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ 则不等式②不成立，‎ ‎ 所以 ‎ 当时，代入方程③得 ‎ [来源:Zxxk.Com]‎ ‎ 将代入不等式②，检验成立。‎ ‎ 所以，的最小值为1。‎ ‎5.[解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力。满分14分。‎ ‎ （I）解：由且 ‎ 得 ‎ 从而 ‎ 整理，得 ‎ 故离心率 ‎ （Ⅱ）解：由（I），得 ‎ 所以椭圆的方程可写为 ‎ 设直线AB的方程为 ‎ 即 ‎ 由已知设，‎ ‎ 则它们的坐标满足方程组 ‎ 消去并整理，‎ ‎ 得 ‎ 依题意，‎ ‎ 得 ‎ 而 ①‎ ‎ ②‎ ‎ 由题设知，点B为线段AE的中点，所以 ‎ ③‎ ‎ 联立①③解得 ‎ 将代入②中，解得 ‎ （III）解法一：由（Ⅱ）可知 ‎ 当时，得 ‎ 由已知得 ‎ 线段AF1的垂直平分线的方程为 ‎ 直线与x轴的交点是的外接圆的圆心，‎ ‎ 因此外接圆的方程为 ‎ 直线F2B的方程为，‎ ‎ 于是点的坐标满足方程组 ‎ ‎ ‎ 由 ‎ 故 ‎ 当 ‎ 解法二：由（Ⅱ）可知 ‎ 当时，得，‎ ‎ 由已知得 ‎ 由椭圆的对称性知B，F2，C三点共线。‎ ‎ 因为点在的外接圆上，且 ‎ 所以四边形AF1CH的等腰梯形。‎ ‎ 由直线F2B的方程为 ‎ 知点H的坐标为 ‎ 因为 ‎ 所以 ‎ 解得（舍），或[来源:Zxxk.Com]‎ ‎ 则 ‎ 所以 ‎ 当时，同理可得 ‎6.【解析】：（Ⅰ）将的坐标代入椭圆E的方程得 ‎ 解得 ‎ 所以椭圆E的方程为 ‎ （Ⅱ）证明：假设满足题意的圆存在，其方程为 ‎ ，其中 ‎ 设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，‎ ‎ 当直线AB的斜率存在时，‎ 令直线AB的方程为，①‎ ‎ 将其代入椭圆E的方程并整理得 ‎ ‎ ‎ 由韦达定理得 ‎ ②‎ ‎ 因为 ，[来源:学科网]‎ ‎ 所以 ③‎ ‎ 将①代入③并整理得 ‎ ‎ ‎ 联立②得 ‎ ④‎ ‎ 因为直线AB和圆相切，‎ ‎ 因此 ‎ 由④得 ‎ 所以 存在圆满足题意.‎ ‎ 当切线AB的斜率不存在时，‎ 易得 由椭圆方程得 ‎ 显然，‎ ‎ 综上所述，存在圆满足题意.‎ ‎ 解法一：‎ ‎ 当切线AB的斜率存在时，由①②④得[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 令，则，‎ ‎ 因此 ‎ 所以 ‎ 即.‎ ‎ 当切线AB的斜率不存在时，易得，[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ ‎ 所以 ‎ 综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意，‎ ‎ 且.[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ 解法二：‎ ‎ 过原点O作⊥，垂足为D，‎ 则D为切点，‎ ‎ 设∠，‎ ‎ 且为锐角，且 ‎ ， ‎ 所以 ‎ 因为 ‎ 所以[来源:学科网]‎ ‎ 令，易证：‎ 当时， 单调递减 ‎ 当时，单调递增.‎ ‎ 所以 ‎.‎ ‎7.【解析】：‎ ‎ （I）由题意，c=1，可设椭圆方程为 因为A在椭圆上，所以（舍去）‎ 所以椭圆方程为 ‎ ‎ （II）设直线AE方程为：得 设因为点在椭圆上，所以 ‎ ‎ 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以可得 ‎ ‎ 所以直线EF的斜率 即直线EF的斜率为定值，其值为 ‎8.【解析】： （Ⅰ）（方法一）由 得，‎ 代入椭圆方程，‎ 得 将代入上式，得 从而 因此，方程组，即l1与椭圆有唯一交点P.‎ ‎（方法二）显然P是椭圆与l1的交点，若，‎ 是椭圆与l1的交点，代入l1的方程 ‎，得，‎ 即故P与Q重合.‎ ‎（方法三）在第一象限内，由 可得，‎ 椭圆在点P处切线的斜率，‎ 切线方程为 因此，l1就是椭圆在点P处的切线 根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线l2的唯一交点。‎ ‎（Ⅱ）的斜率为 ‎ 的斜率为，‎ 由此得构成等比数列.‎ ‎9．【解析】（1）设双曲线C的方程为，‎ 解得=2，双曲线C的方程为 ‎（2）直线 直线l的点方向式方程为：，即：‎ 由题意，得， 解得 ‎（3）[证法一]设过原点且平行于l的直线 则直线l与b的距离 又双曲线C的渐近为 ‎ ‎ 双曲线C右支在直线D的右下方 ‎ ∴双曲线右支上的任意点到的距离大于 ‎ 故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线的距离为 ‎ ‎ [证法二]假设双曲线C右支上存在点到直线的距离为 ‎ 则 ‎ 由（1）得 ‎ ‎ 设 ‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 将代入（2）得 ‎ （*）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 方程（*）不存在正根，即假设不成立，‎ ‎ 故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线的距离为 ‎10.【解析】‎ ‎（I）由 ‎ 又由原点到直线的距离等于圆的半径，得 ‎ （II）（方法一）由 ‎ 设M（x，y），则P（1，y）‎ ‎ 由 ‎ 此轨迹是抛物线.‎ ‎ （方法二）因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以即M到F1的距离等于M到的距离.‎ ‎ 此轨迹是以F1（-1，0）为焦点为准线的抛物线，轨迹方程为 ‎[来源:学_科_网]‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎