高考数学人教A版本立体几何一轮过关测试题

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高考数学人教A版本立体几何一轮过关测试题

阶段性测试题九(立体几何)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.(2014·抚顺二中期中)已知a,b,c是三条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,下述命题中真命题的是(  )‎ A.若a⊥c,b⊥c,则a∥b或a⊥b B.若α⊥β,β⊥γ,则α∥β C.若a⊂α,b⊂β,c⊂β,a⊥b,a⊥c,则α⊥β D.若a⊥α,b⊂β,a∥b,则α⊥β ‎[答案] D ‎[解析] 由a⊥c,b⊥c知,a与b可平行可相交,也可异面,故A错;由直棱柱相邻两个侧面与底面都垂直知B错;当α∩β=l,a⊥l,b∥c∥l时,可满足C的条件,故C错;∵a∥b,a⊥α,∴b⊥α,又b⊂β,∴α⊥β,∴D正确.‎ ‎2.(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知不重合的两条直线l,m和不重合的两个平面α,β,下列命题正确的是(  )‎ A.l∥m,l∥β,则m∥β B.α∩β=m,l⊂α,则l∥β C.α⊥β,l⊥α,则l∥β D.l⊥m,m⊥β,l⊥α,则α⊥β ‎[答案] D ‎[解析] l⊄β,l∥m,m⊂β时,l∥β,故A错;α∩β=m,当l⊂α且l∥m时,l∥β,当l与m相交时,l与β相交,故B错;α⊥β,当l⊂β,l与α和β的交线垂直,l⊥α时,但l∥β不成立,故C错;∵l⊥m,l⊥α,∴m⊂α或m∥α,又m⊥β,‎ ‎∴α⊥β,故D正确.‎ ‎3.(2014·山东省博兴二中质检)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积值最大的是(  )‎ A.8           B.6 C.8 D.10‎ ‎[答案] D ‎[解析] 由三视图知,该几何体直观图如图,其中△ABC为以B为直角的直角三角形,AB=4,BC=3,高PA=4,‎ ‎∴S△ABC=×4×3=6,S△PAB=×4×4=8,S△PBC=PB·BC=×4×3=6,S△PAC=AC·PA=×5×4=10,故选D.‎ ‎4.(2014·河南淇县一中模拟)将正方体(如图(a)所示)截去两个三棱锥,得到图(b)所示的几何体,则该几何体的侧视图为(  )‎ ‎[答案] B ‎[解析] 在侧视图中,D1的射影为C1,A的射影为B,D的射影为C,AD1的射影BC1为实线(右下到左上),B‎1C为虚线,故选B.‎ ‎5.(文)(2014·浙北名校联盟联考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )‎ A.4 B.8‎ C.4 D.8 ‎[答案] B ‎[解析] 作出几何体的直观图如图,这是一个三棱锥P-ABC,其中P在底面射影为D点,PD=2,AD=3,CD=1,E为AC的中点,BE⊥AC,BE=2,故几何体的体积V=S△ABC·PD=×(·AC·BE)·PD=8,故选B.‎ ‎(理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )‎ A.1    B.‎2 ‎   C.3    D.4‎ ‎[答案] A ‎[解析] 由三视图知,该几何体是一个三棱锥P-ABC,其中底面△ABC为直角三角形,∠A为直角,顶点P到A,C的距离相等,P点在底面的射影D,满足AC∥BD,且BD=AC=1,PD=3,画出其直观图如图所示,其体积V=S△ABC·PD=×(×2×1)×3=1.‎ ‎6.(2014·辽宁师大附中期中)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  )‎ A.24+6π B.24+4π C.28+6π D.28+4π ‎[答案] A ‎[解析] 由三视图知,该几何体为组合体,其上部为半球,半球的直径为2,下部为长方体,长、宽、高为2,2,3,其表面积为2×4×3 +×4π·()2+π·()2=24+6π,故选A.‎ ‎7.(2014·高州四中质量监测)已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图中半圆的直径为2,则该几何体的体积为(  )‎ A.24- B.24- C.24-π D.24-π ‎[答案] C ‎[解析] ‎ 由三视图知,该几何体是由长、宽、高分别为3、4、2的长方体内挖去一个底半径为1,高为3的半圆柱后剩余部分,其体积V=3×4×2-(π×12×3)=24-π.‎ ‎8.(2014·山西曲沃中学期中)已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=2.∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥S-ABC的体积为(  )‎ A. B. C. D. ‎[答案] C ‎[解析] 设球心为O,△ABO所在平面截球O得截面如图,‎ ‎∵OA=OB=AB=OS=OC=2,∠ASC=∠BSC=45°,‎ ‎∴SC⊥平面ABO,VS-ABC=VS-ABO+VC-ABO=2VS-ABO=2××(×22)×2=,故选C.‎ ‎9.(文)(2014·陕西工大附中四模)如下图,某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形,且体积为,则该几何体的俯视图可以是(  )‎ ‎[答案] C ‎[解析] 若俯视图为A,则该几何体是棱长为1的正方体,体积V ‎=1;若俯视图为B,则该几何体是底半径为,高为1的圆柱,其体积V=π·()2·1=;若俯视图为D,则该几何体是底半径为1,高为1的圆柱的,其体积V=·π·12·1=;若俯视图为C,则该几何体是直三棱柱,底面直角三角形两直角边长为1,棱柱高为1,体积为V=(×1×1)×1=,因此选C.‎ ‎(理)(2014·开滦二中期中)如图,在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,AB=1,AC=2,BC=,D、E分别是AC1和BB1的中点,则直线DE与平面BB‎1C1C所成的角为(  )‎ A. B. C. D. ‎[答案] A ‎[解析] 取AC中点F,则DF綊BE,∴DE∥BF,‎ ‎∴BF与平面BB‎1C1C所成的角为所求,‎ ‎∵AB=1,BC=,AC=2,∴AB⊥BC,‎ 又AB⊥BB1,∴AB⊥平面BCC1B1,作GF∥AB交BC于G,则GF⊥平面BCC1B1,∴∠FBG为直线BF与平面BCC1B1所成的角,由条件知BG=BC=,GF=AB=,‎ ‎∴tan∠FBG==,∴∠FBG=.‎ ‎10.(2014·绵阳市南山中学检测)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,有下列四个命题:‎ ‎①若m⊂β,α⊥β,则m⊥α;‎ ‎②若α∥β,m⊂α,则m∥β;‎ ‎③若n⊥α,n⊥β,m⊥α,则m⊥β;‎ ‎④若α⊥γ,β⊥γ,m⊥α,则m⊥β.‎ 其中正确命题的序号是(  )‎ A.①③ B.①②‎ C.③④ D.②③‎ ‎[答案] D ‎[解析] 由两个平面平行的性质知②正确;∵n⊥α,n⊥β,∴α∥β,又m⊥α,∴m⊥β,∴③正确,故选D.‎ ‎11.(文)(2014·云南景洪市一中期末)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是1的圆,则这个几何体的体积是(  )‎ A. B.π C. D. ‎[答案] B ‎[解析] 由三视图知,这是一个半径为1的球,截去,故其体积为V=·(·13)=π.‎ ‎(理)(2014·吉林延边州质检)正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,E为棱BB1的中点(如图),用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为(  )‎ ‎[答案] C ‎[解析] 由条件知AE∥平面DD‎1C1C,平面AEC1与平面DD‎1C1C相交,故交线与AE平行,∵E为BB1的中点,故取DD1的中点F,∴AE綊C‎1F,故截面为AEC‎1F(如图1),截去正方体的上半部分后,剩余部分几何体直观图如图2,故其左视图形状与直角梯形FD‎1A1A相同,且C1E的射影为虚线,由于B1E=AA1,故E点射影在直角梯形下底的中点,故选C.‎ ‎12.(文)(2014·吉林省实验中学一模)已知正三棱锥P-ABC,点P、A、B、C都在半径为的球面上,若PA、PB、PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离为(  )‎ A. B. C. D. ‎[答案] C ‎[解析] 由条件知,以PA、PB、PC为三棱作长方体PADB-CA1D1B1,则该长方体内接于球,体对角线PD1为球的直径,由于三棱锥P-ABC为正三棱锥,∴AB=AC=BC,∴PA=PB=PC,‎ 设PA=a,则a=2,∴a=2.‎ 设球心到截面的距离为h,则由VA-PBC=VP-ABC得,‎ (×2×2)×2=××(2)2×(-h),‎ ‎∴h=.‎ ‎(理)(2014·成都七中模拟)平面四边形ABCD中,AD=AB=,CD=CB=,且AD⊥AB ‎,现将△ABD沿着对角线BD翻折成△A′BD,则在△A′BD折起至转到平面BCD内的过程中,直线A′C与平面BCD所成的最大角的正切值为(  )‎ A.1 B. C. D. ‎[答案] C ‎[解析] 如下图,OA=1,OC=2,在△ABD绕直线BD旋转过程中,OA绕点O旋转形成半圆,显然当A′C与圆相切时,直线A′C与平面BCD所成角最大,最大角为30°,其正切值为,选C.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上.)‎ ‎13.‎ ‎(2014·山西省太原五中月考)如图,在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC=,BC=CC1=,P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 由题意可知,△BCC1为等腰直角三角形,‎ ‎∵AC=,BC=CC1=,∠ACB=90°,∴∠A1B=,BC1=2,∵A1B2=A‎1C+BC,‎ ‎∴∠AC1B为直角,‎ 将△BCC1与△A1BC1所在平面铺平如图,‎ 设A‎1C交BC1于Q,则当点P与Q重合时,CP+PA1取到最小值,最小值为A‎1C.‎ A‎1C= ‎==.‎ ‎14.(文)(2014·抚顺市六校联合体期中)已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为________.‎ ‎[答案] 12π ‎[解析] 由V=Sh=×()2·h=知,h=,设正方形ABCD的中心为M,则MA=,∴OA2=OM2+MA2=()2+()2=3,∴S球=4π·OA2=12π.‎ ‎(理)(2014·抚顺二中期中)右图是一个空间几何体的三视图,如果主视图和左视图都是边长为2的正三角形,俯视图为正方形,那么该几何体的体积为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] ‎ 由三视图知,几何体是正四棱锥,底面正方形边长为2,棱锥的斜高为2,故高h==,∴体积V=×4×=.‎ ‎15.(文)(2014·西安市长安中学期中)一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 根据三视图,该几何体是一个组合体,其中左侧是半个圆锥,右侧是底面为正方形的四棱锥,由于侧视图是一个边长为2的等边三角形,所以高为.‎ 所以其体积为V=·(π·12+22)·=.‎ ‎(理)(2014·浙江台州中学期中)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起,形成三棱锥C-ABD,它的主视图与俯视图如图所示,则二面角C-AB-D的正切值为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 三棱锥C-ABD直观图如图,由主视图与俯视图知,平面CBD⊥平面ABD,CO⊥平面ABD,作OE∥AD,∵AD⊥AB,∴OE⊥AB,连结CE,则CE⊥AB,∴∠CEO为二面角C-AB-D的平面角,在Rt△COE中,OE=AD=,CO=,∴tan∠CEO==.‎ ‎16.(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中,龙海二中六校联考)点P在正方体ABCD-A1B‎1C1D1的面对角线BC1上运动,则下列四个命题:‎ ‎①三棱锥A-D1PC的体积不变;‎ ‎②A1P∥平面ACD1;‎ ‎③DP⊥BC1;‎ ‎④平面PDB1⊥平面ACD1.‎ 其中正确的命题序号是________.‎ ‎[答案] ①②④‎ ‎[解析] ①VA-D1PC=VP-AD‎1C,∵BC1∥AD1,AD1⊂平面AD‎1C,∴BC1∥平面AD‎1C,∴无论P在BC1上任何位置,P到平面AD‎1C的距离为定值,∴三棱锥A-D1PC的体积不变,∴①正确;‎ ‎②∵A‎1C1∥AC,BC1∥AD1,A‎1C1∩BC1=C1,AC∩AD1=A,∴平面A1BC1∥平面AD‎1C,∵A1P⊂平面A1BC1,∴A1P∥平面ACD1,∴②正确;‎ ‎③假设DP⊥BC1,∵DC⊥平面BCC1B1,∴DC⊥BC1,‎ ‎∴BC1⊥平面ABCD,与正方体ABCD-A1B‎1C1D1矛盾,‎ ‎∴③错误;‎ ‎④∵B1B⊥AC,BD⊥AC,∴AC⊥平面B1BD,∴AC⊥B1D,同理可证AD1⊥B1D,∴B1D⊥平面ACD1,∵B1D⊂平面PDB1,∴平面PDB1⊥平面ACD1,∴④正确.‎ ‎(理)(2014·成都七中模拟)已知正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为1,点M是BC1的中点,P是BB1一动点,则(AP+MP)2的最小值为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 将平面ABB‎1A1展开到与平面CBB‎1C1共面,如下图,易知当A、P、M三点共线时(AP+MP)2最小.‎ AM2=AB2+BM2-2AB×BMcos135°=12+()2-2×1××(-)=.‎ 三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(本小题满分12分)(2014·天津市六校联考)在三棱柱ABC-A1B‎1C1中,AB⊥侧面BB‎1C1C,已知BC=1,∠BCC1=,AB=CC1=2.‎ ‎(1)求证:BC1⊥平面ABC;‎ ‎(2)试在棱CC1(不包含端点C,C1)上确定一点E的位置,使得EA⊥EB1;‎ ‎(3)(理)在(2)的条件下,求AE和平面ABC1所成角正弦值的大小.‎ ‎[解析] (1)∵BC=1,∠BCC1=,CC1=2,‎ ‎∴BC1=,∴BC2+BC=CC,∴BC1⊥BC,‎ ‎∵AB⊥侧面BB‎1C1C,BC1⊂平面BB‎1C1C,‎ ‎∴BC1⊥AB且BC∩AB=B,‎ ‎∴BC1⊥平面ABC.‎ ‎(2)E为C‎1C的中点.连接BE,‎ ‎∵BC=CE=1,∠BCC1=,‎ 等边△BEC中,∠BEC=,‎ 同理:B‎1C1=C1E=1,∠B‎1C1E=,∴∠B1EC1=,‎ ‎∴∠BEB1=,∴EB1⊥EB,‎ ‎∵AB⊥侧面BB‎1C1C,EB1⊂平面BB‎1C1C,‎ ‎∴EB1⊥AB且EB∩AB=B,‎ ‎∴B1E⊥平面ABE,EA⊂平面ABE,∴EA⊥EB1.‎ ‎(3)∵AB⊥侧面BB‎1C1C,AB⊂平面ABC1,‎ ‎∵平面BCC1B1⊥平面ABC1,‎ 过E作BC1的垂线交BC1于F,则EF⊥平面ABC1,‎ 连接AF,则∠EAF为所求,‎ ‎∵BC⊥BC1,EF⊥BC1,∴BC∥EF,‎ ‎∵E为C‎1C的中点,∴F为C1B的中点,‎ ‎∴EF=,由(2)知AE=,∴sin∠EAF==.‎ ‎18.(本小题满分12分)(文)(2014·长沙市重点中学月考)如图所示,圆柱的高为2,底面半径为,AE、DF是圆柱的两条母线,过AD作圆柱的截面交下底面于BC,四边形ABCD是正方形.‎ ‎(1)求证BC⊥BE;‎ ‎(2)求四棱锥E-ABCD的体积.‎ ‎[解析] (1)∵AE是圆柱的母线,‎ ‎∴AE⊥底面EBC,又BC⊂底面EBC,∴AE⊥BC,‎ 又∵截面ABCD是正方形,所以BC⊥AB,‎ 又AB∩AE=A,∴BC⊥平面ABE,‎ 又BE⊂平面ABE,∴BC⊥BE.‎ ‎(2)∵母线AE⊥底面EBC,∴AE是三棱锥A-BCE的高,‎ 由(1)知BC⊥平面ABE,BC⊂平面ABCD,‎ ‎∴平面ABCD⊥平面ABE,‎ 过E作EO⊥AB,交AB于O,‎ 又∵平面ABCD∩平面ABE=AB,EO⊂平面ABE,‎ ‎∴EO⊥平面ABCD,即EO就是四棱锥E-ABCD的高,‎ 设正方形ABCD的边长为x,则AB=BC=x,‎ BE==,‎ 又∵BC⊥BE,∴EC为直径,即EC=2,‎ 在Rt△BEC中,EC2=BE2+BC2,‎ 即(2)2=x2+x2-4,∴x=4,‎ ‎∴S四边形ABCD=4×4=16,‎ OE===,‎ ‎∴VE-ABCD=·OE·S四边形ABCD=××16=.‎ ‎(理)(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在三棱柱ABC-A1B‎1C1中,侧面ABB‎1A1,ACC‎1A1均为正方形,∠BAC=90°,点D是棱B‎1C1的中点.‎ ‎(1)求证:A1D⊥平面BB‎1C1C;‎ ‎(2)求证:AB1∥平面A1DC;‎ ‎(3)求二面角D-A‎1C-A的余弦值.‎ ‎[解析] (1)证明:因为侧面ABB‎1A1,ACC‎1A1均为正方形,‎ 所以AA1⊥AC,AA1⊥AB,所以AA1⊥平面ABC,‎ 所以AA1⊥平面A1B‎1C1.‎ 因为A1D⊂平面A1B‎1C1,所以AA1⊥A1D,‎ 又因为CC1∥AA1,所以CC1⊥A1D,‎ 又因为A1B1=A‎1C1,D为B‎1C1中点,‎ 所以A1D⊥B‎1C1.‎ 因为CC1∩B‎1C1=C1,‎ 所以A1D⊥平面BB‎1C1C.‎ ‎(2)证明:连结AC1,交A‎1C于点O,连结OD,‎ 因为ACC‎1A1为正方形,所以O为AC1中点,‎ 又D为B‎1C1中点,所以OD为△AB‎1C1中位线,‎ 所以AB1∥OD,‎ 因为OD⊂平面A1DC,AB1⊄平面A1DC,‎ 所以AB1∥平面A1DC.‎ ‎(3)因为侧面ABB‎1A1,ACC‎1A1均为正方形,∠BAC=90°,‎ 所以AB,AC,AA1两两互相垂直,如图所示建立直角坐标系A-xyz.‎ 设AB=1,则C(0,1,0),B(1,0,0),A1(0,0,1),D(,,1).‎ =(,,0),=(0,1,-1),‎ 设平面A1DC的法向量为n=(x,y,z),则有 ∴ 取x=1,得n=(1,-1,-1).‎ 又因为AB⊥平面ACC‎1A1,所以平面ACC‎1A1的法向量为=(1,0,0),‎ 设二面角D-A‎1C-A的平面角为θ,则θ=π-〈n,〉,‎ ‎∴cosθ=cos(π-〈n,〉)‎ ‎=-=-=-,‎ 所以,二面角D-A‎1C-A的余弦值为-.‎ ‎19.(本小题满分12分)(文)(2014·黄石二中检测)如图,在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,AA1=AC=2AB=2,且BC1⊥A‎1C.‎ ‎(1)求证:平面ABC1⊥平面A1ACC1;‎ ‎(2)设D是A‎1C1的中点,判断并证明在线段BB1上是否存在点E,使DE∥平面ABC1;若存在,求三棱锥E-ABC1的体积.‎ ‎[解析] (1)证明:在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,有A‎1A⊥平面ABC.∴A‎1A⊥AC,又A‎1A=AC,∴A‎1C⊥AC1.‎ 又BC1⊥A‎1C,∴A‎1C⊥平面ABC1,∵A‎1C⊂平面A1ACC1,∴平面ABC1⊥平面 A1ACC1.‎ ‎(2)存在,E为BB1的中点.‎ 取A‎1A的中点F,连EF,FD,当E为B1B的中点时,EF∥AB,DF∥AC1,‎ ‎∴平面EFD∥平面ABC1,则有ED∥平面ABC1.‎ 当E为BB1的中点时,VE-ABC1=VC1-ABE=×2××1×1=.‎ ‎(理)(2014·保定市八校联考)如图,在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中,∠DAB=90°,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=3,梯形上底AD=1.‎ ‎(1)求证:BC⊥平面PAB;‎ ‎(2)在PC上是否存在一点E,使得DE∥平面PAB?若存在,请找出;若不存在,说明理由;‎ ‎(3)求平面PCD与平面PAB所成锐二面角的正切值.‎ ‎[解析] (1)证明:∵BC∥AD且∠DAB=90°,‎ ‎∴BC⊥AB,‎ 又PA⊥平面ABCD,∴BC⊥PA,‎ 而PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.‎ ‎(2)延长BA、CD相交于Q点,假若在PC上存在点E,满足DE∥平面PAB,则由平面PCQ经过DE与平面PAB相交于PQ知DE∥PQ,‎ ‎∵AD∥BC且AD=1,BC=3,‎ ‎∴===,‎ 故E为CP的三等分点,PE=CE.‎ ‎(3)过A作AH⊥PQ,垂足为H,连DH,‎ 由(1)及AD∥BC知:AD⊥平面PAQ,‎ ‎∴AD⊥PQ,又AH⊥PQ,‎ ‎∴PQ⊥平面HAD,∴PQ⊥HD.‎ ‎∴∠AHD是平面PCD与平面PBA所成的二面角的平面角.‎ 易知AQ=,PQ=,‎ ‎∴AH==,‎ ‎∴tan∠AHD==,‎ 所以平面PCD与平面PAB所成二面角的正切值为.‎ ‎20.(本小题满分12分)(文)(2014·北京朝阳区期末)如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,PA⊥AC,AB⊥BC.设D、E分别为PA、AC中点.‎ ‎(1)求证:DE∥平面PBC;‎ ‎(2)求证:BC⊥平面PAB;‎ ‎(3)试问在线段AB上是否存在点F,使得过三点D,E,F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行?若存在,指出点F的位置并证明;若不存在,请说明理由.‎ ‎[解析] (1)证明:因为点E是AC中点,点D为PA的中点,‎ 所以DE∥PC.‎ 又因为DE⊄平面PBC,PC⊂平面PBC,‎ 所以DE∥平面PBC.‎ ‎(2)证明:因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,又PA⊂平面PAC,PA⊥AC,所以PA⊥平面ABC.所以PA⊥BC.‎ 又因为AB⊥BC,且PA∩AB=A,‎ 所以BC⊥平面PAB.‎ ‎(3)当点F是线段AB中点时,过点D,E,F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行.‎ 取AB中点F,连EF,DF.‎ 由(1)可知DE∥平面PBC.‎ 因为点E是AC中点,点F为AB的中点,‎ 所以EF∥BC.‎ 又因为EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,‎ 所以EF∥平面PBC.‎ 又因为DE∩EF=E,所以平面DEF∥平面PBC,‎ 所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行.‎ 故当点F是线段AB中点时,过点D,E,F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行.‎ ‎(理)(2014·山东省博兴二中质检)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点.‎ ‎(1)若PA=PD,求证:平面PQB⊥平面PAD;‎ ‎(2)设点M在线段PC上,=,求证:PA∥平面MQB;‎ ‎(3)在(2)的条件下,若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,求二面角M-BQ-C的大小.‎ ‎[解析] (1)连接BD,∵四边形ABCD为菱形,∠BAD=60°,∴△ABD为正三角形,‎ 又Q为AD中点,∴AD⊥BQ.∵PA=PD,Q为AD的中点,AD⊥PQ,‎ 又BQ∩PQ=Q,∴AD⊥平面PQB,∵AD⊂平面PAD,‎ ‎∴平面PQB⊥平面PAD.‎ ‎(2)连接AC交BQ于点N,‎ 由AQ∥BC可得,△ANQ∽△CNB,∴==.‎ 又=,∴=.∴PA∥MN.‎ ‎∵MN⊂平面MQB,PA⊄平面MQB,∴PA∥平面MQB.‎ ‎(3)∵PA=PD=AD=2,Q为AD的中点,∴PQ⊥AD.‎ 又平面PAD⊥平面ABCD,∴PQ⊥平面ABCD.‎ 以Q为坐标原点,分别以QA、QB、QP所在的直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标为A(1,0,0),B(0,,0),P(0,0,).‎ 设平面MQB的法向量n=(x,y,z),可得 ∵PA∥MN,∴∴ 取z=1,得n=(,0,1).‎ 取平面ABCD的法向量m=(0,0,1).‎ cos〈m,n〉==.‎ 故二面角M-BQ-C的大小为60°.‎ ‎21.(本小题满分12分)(文)如图,E是以AB为直径的半圆弧上异于A,B的点,矩形 ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面,且AB=2AD=2.‎ ‎(1)求证:EA⊥EC;‎ ‎(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.‎ ‎①求证:EF∥AB;‎ ‎②若EF=1,求三棱锥E-ADF的体积.‎ ‎[解析] (1)∵E是半圆上异于A,B的点,∴AE⊥EB,‎ 又∵平面ABCD⊥平面ABE,且CB⊥AB,‎ 由面面垂直性质定理得CB⊥平面ABE,‎ 又AE⊂平面ABE,∴CB⊥AE,‎ ‎∵BC∩BE=B,∴AE⊥平面CBE,‎ 又EC⊂平面CBE,∴AE⊥EC.‎ ‎(2)①由CD∥AB,得CD∥平面ABE,‎ 又∵平面CDE∩平面ABE=EF,‎ ‎∴根据线面平行的性质定理得CD∥EF,‎ 又CD∥AB,∴EF∥AB.‎ ‎②VE-ADF=VD-AEF=××1××1=.‎ ‎(理)(2014·浙江台州中学期中)如图,在Rt△ABC中,AB=BC=4,点E在线段AB上,过点E作EF∥BC交AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(折起后的点A记作点P),使得∠PEB=60°.‎ ‎(1)求证:EF⊥PB.‎ ‎(2)试问:当点E在线段AB上移动时,二面角P-FC-B的平面角的余弦值是否为定值?若是,求出定值,若不是,说明理由.‎ ‎[解析] (1)在Rt△ABC中,∵EF∥BC,∴EF⊥AB,‎ ‎∴EF⊥EB,EF⊥EP,又∵EB∩EP=E,∴EF⊥平面PEB.‎ 又∵PB⊂平面PEB,∴EF⊥PB.‎ ‎(2)解法一:∵EF⊥平面PEB,EF⊂平面BCFE,∴平面PEB⊥平面BCFE,过P作PQ⊥BE于点Q,垂足为Q,则PQ⊥平面BCFE,过Q作QH⊥FC,垂足为H.则∠PHQ即为所求二面角的平面角.‎ 设PE=x,则EQ=x,PQ=x,‎ QH=(PE+EQ)sin=x,‎ 故tan∠PHQ==,‎ cos∠PHQ=,即二面角P-FC-B的平面角的余弦值为定值.‎ 解法二:在平面PEB内,经P点作PD⊥BE于D,‎ 由(1)知EF⊥平面PEB,‎ ‎∴EF⊥PD.∴PD⊥平面BCFE.在平面PEB内过点B作直线BH∥PD,则BH⊥平面BCFE.以B点为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.‎ 设PE=x(0<x<4)‎ 又∵AB=BC=4,∴BE=4-x,EF=x,‎ 在Rt△PED中,∠PED=60°,∴PD=x,DE=x,‎ ‎∴BD=4-x-x=4-x,‎ ‎∴C(4,0,0),F(x,4-x,0),P(0,4-x,x).‎ 从而=(x-4,4-x,0),=(-4,4-x,x).‎ 设n1=(x0,y0,z0)是平面PCF的一个法向量,则 n1·=0,n1·=0,‎ ‎∴∴ 取y0=1,得,n1=(1,1,).‎ 又平面BCF的一个法向量为n2=(0,0,1).‎ 设二面角P-FC-B的平面角为α,则 cosα=|cos〈n1,n2〉|=.‎ 因此当点E在线段AB上移动时,二面角P-FC-B的平面角的余弦值为定值.‎ ‎22.(本小题满分14分)(文)(2014·广东执信中学期中)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B‎1C1D1-ABCD,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B‎2C2D2.‎ ‎(1)证明:直线B1D1⊥平面ACC‎2A2;‎ ‎(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理.已知AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(单位:cm),每平方厘米的加工处理费为0.20元,需加工处理费多少元?‎ ‎[解析] (1)∵四棱柱ABCD-A2B‎2C2D2的侧面是全等的矩形,‎ ‎∴AA2⊥AB,AA2⊥AD,又∵AB∩AD=A,‎ ‎∴AA2⊥平面ABCD.‎ 连接BD,∵BD⊂平面ABCD,∴AA2⊥BD.‎ ‎∵底面ABCD是正方形,∴AC⊥BD.‎ ‎∵AA2∩AC=A,∴BD⊥平面ACC‎2A2,‎ 根据棱台的定义可知,BD与B1D1共面.‎ 又已知平面ABCD∥平面A1B‎1C1D1,且平面BB1D1D∩平面ABCD=BD,‎ 平面BB1D1D∩平面A1B‎1C1D1=B1D1,∴B1D1∥BD.‎ ‎∴B1D1⊥平面ACC‎2A2.‎ ‎(2)∵四棱柱ABCD-A2B‎2C2D2的底面是正方形,侧面是全等的矩形,‎ ‎∴S1=S四棱柱上底面+S四棱柱侧面=(A2B2)2+4AB·AA2=102+4×10×30=1300(cm2).‎ 又∵四棱台A1B‎1C1D1-ABCD的上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形,‎ 等腰梯形的高h′==12.‎ 所以S2=S四棱台下底面+S四棱台侧面 ‎=(A1B1)2+4×(AB+A1B1)h′‎ ‎=202+4×(10+20)×12‎ ‎=1120(cm2).‎ 于是该实心零部件的表面积为S=S1+S2=1300+1120=2420(cm2),‎ 故所需加工处理费为0.2S=0.2×2420=484(元).‎ ‎(理)(2014·西安市长安中学期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.‎ ‎(1)求证:平面PQB⊥平面PAD;‎ ‎(2)若M为棱PC的中点,求异面直线AP与BM所成角的余弦值.‎ ‎[解析] (1)∵BC=AD,Q为AD的中点,∴BC=DQ,‎ 又∵AD∥BC,∴BC∥DQ,‎ ‎∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD∥BQ,‎ ‎∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°,即QB⊥AD,‎ 又∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BQ⊥平面PAD,‎ 又BQ⊂平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD.‎ ‎(2)解法1:∵PA=PD,Q为AD的中点,∴PQ⊥AD.‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD.‎ 如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.‎ 则Q(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0,),B(0,,0),C(-1,,0),‎ ‎∵M是PC中点,∴M(-,,),‎ ‎∴=(-1,0,),=(-,-,),‎ 设异面直线AP与BM所成角为θ,‎ 则cosθ=|cos〈,〉|==,‎ ‎∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为.‎ 解法2:连接AC交BQ于点O,连接OM,则OM∥PA,‎ 所以∠BMO就是异面直线AP与BM所成的角.‎ OM=PA=1,BO=BQ=,‎ 由(1)知BQ⊥平面PAD,所以BQ⊥PA,∴BQ⊥OM,‎ ‎∴BM===,‎ ‎∴cos∠BMO===.‎
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