江苏高考理科数学试题及答案

江苏高考理科数学试题及答案

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学 ‎（全卷满分160分，考试时间120分钟）‎ 棱锥的体积，其中为底面积，为高．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．（2012年江苏省5分）已知集合，，则 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】集合的概念和运算。‎ ‎【分析】由集合的并集意义得。‎ ‎2．（2012年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校 高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生．‎ ‎【答案】15。‎ ‎【考点】分层抽样。‎ ‎【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此，由知应从高二年级抽取15名学生。‎ ‎3．（2012年江苏省5分）设，（i为虚数单位），则的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】8。‎ ‎【考点】复数的运算和复数的概念。‎ ‎【分析】由得，所以， 。‎ ‎4．（2012年江苏省5分）下图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ▲ ．‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】程序框图。‎ ‎【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：‎ 是否继续循环 k 循环前 ‎0‎ ‎0‎ 第一圈 是 ‎1‎ ‎0‎ 第二圈 是 ‎2‎ ‎－2‎ 第三圈 是 ‎3‎ ‎－2‎ 第四圈 是 ‎4‎ ‎0‎ 第五圈 是 ‎5‎ ‎4‎ 第六圈 否 输出5‎ ‎ ∴最终输出结果k=5。‎ ‎5．（2012年江苏省5分）函数的定义域为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。‎ ‎【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得 ‎。‎ ‎6．（2012年江苏省5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】等比数列，概率。‎ ‎【解析】∵以1为首项，为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，‎ ‎ ∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是。‎ ‎7．（2012年江苏省5分）如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为 ▲ cm3．‎ ‎【答案】6。‎ ‎【考点】正方形的性质，棱锥的体积。‎ ‎【解析】∵长方体底面是正方形，∴△中 cm，边上的高是cm（它也是中上的高）。‎ ‎ ∴四棱锥的体积为。由 ‎8．（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 ▲ ． ‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】双曲线的性质。‎ ‎【解析】由得。‎ ‎ ∴，即，解得。‎ ‎9．（2012年江苏省5分）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。‎ ‎【解析】由，得，由矩形的性质，得。‎ ‎ ∵，∴，∴。∴。‎ ‎ 记之间的夹角为，则。‎ ‎ 又∵点E为BC的中点，∴。‎ ‎ ∴‎ ‎。‎ ‎ 本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。‎ ‎10．（2012年江苏省5分）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，‎ 其中．若，‎ 则的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】周期函数的性质。‎ ‎【解析】∵是定义在上且周期为2的函数，∴，即①。‎ ‎ 又∵，，‎ ‎ ∴②。‎ ‎ 联立①②，解得，。∴。‎ ‎11．（2012年江苏省5分）设为锐角，若，则的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。‎ ‎【解析】∵为锐角，即，∴。‎ ‎ ∵，∴。∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴‎ ‎。‎ ‎12．（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离 ‎【解析】∵圆C的方程可化为：，∴圆C的圆心为，半径为1。‎ ‎∵由题意，直线上至少存在一点，以该点为圆心，1‎ 为半径的圆与圆有 公共点；‎ ‎∴存在，使得成立，即。‎ ‎∵即为点到直线的距离，∴，解得。‎ ‎∴的最大值是。‎ ‎13．（2012年江苏省5分）已知函数的值域为，若关于x的不等式 的解集为，则实数c的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】9。‎ ‎【考点】函数的值域，不等式的解集。‎ ‎【解析】由值域为，当时有，即， ‎ ‎∴。‎ ‎ ∴解得，。‎ ‎∵不等式的解集为，∴，解得。‎ ‎14．（2012年江苏省5分）已知正数满足：则的取值范围是 ▲ ． ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】可行域。‎ ‎【解析】条件可化为：‎ ‎。‎ ‎ 设，则题目转化为：‎ 已知满足，求的取值范围。‎ ‎ 作出（）所在平面区域（如图）。求出的切 线的斜率，设过切点的切线为， ‎ ‎ 则，要使它最小，须。‎ ‎ ∴的最小值在处，为。此时，点在上之间。‎ ‎ 当（）对应点时， ，‎ ‎ ∴的最大值在处，为7。‎ ‎ ∴的取值范围为，即的取值范围是。‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤．‎ ‎15．（2012年江苏省14分）在中，已知．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若求A的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵，∴，即。‎ ‎ 由正弦定理，得，∴。‎ ‎ 又∵，∴。∴即。‎ ‎ （2）∵ ，∴。∴。‎ ‎ ∴，即。∴。‎ ‎ 由 （1） ，得，解得。‎ ‎ ∵，∴。∴。‎ ‎【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。‎ ‎【解析】（1）先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。‎ ‎ （2）由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。‎ ‎16．（2012年江苏省14分）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点．‎ 求证：（1）平面平面；‎ ‎ （2）直线平面．‎ ‎【答案】证明：（1）∵是直三棱柱，∴平面。‎ ‎ 又∵平面，∴。‎ ‎ 又∵平面，∴平面。（lb ylfx）‎ ‎ 又∵平面，∴平面平面。‎ ‎ （2）∵，为的中点，∴。‎ ‎ 又∵平面，且平面，∴。‎ ‎ 又∵平面，，∴平面。‎ ‎ 由（1）知，平面，∴∥。‎ ‎ 又∵平面平面，∴直线平面 ‎【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。‎ ‎【解析】（1）要证平面平面，只要证平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和证得。‎ ‎ （2）要证直线平面，只要证∥平面上的即可。‎ ‎17．（2012年江苏省14分）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为‎1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．‎ ‎（1）求炮的最大射程；‎ ‎（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为‎3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，‎ 炮弹可以击中它？请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）在中，令，得。‎ ‎ 由实际意义和题设条件知。‎ ‎ ∴，当且仅当时取等号。‎ ‎ ∴炮的最大射程是10千米。‎ ‎ （2）∵，∴炮弹可以击中目标等价于存在，使成立，‎ ‎ 即关于的方程有正根。‎ ‎ 由得。‎ ‎ 此时，（不考虑另一根）。‎ ‎ ∴当不超过‎6千米时，炮弹可以击中目标。‎ ‎【考点】函数、方程和基本不等式的应用。‎ ‎【解析】（1）求炮的最大射程即求与轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。‎ ‎ （2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。‎ ‎18．（2012年江苏省16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。‎ 已知是实数，1和是函数的两个极值点．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）设函数的导函数，求的极值点；‎ ‎（3）设，其中，求函数的零点个数．‎ ‎【答案】解：（1）由，得。‎ ‎ ∵1和是函数的两个极值点，‎ ‎ ∴ ，，解得。‎ ‎ （2）∵ 由（1）得， ，‎ ‎ ∴，解得。‎ ‎ ∵当时，；当时，，‎ ‎ ∴是的极值点。‎ ‎ ∵当或时，，∴ 不是的极值点。‎ ‎ ∴的极值点是－2。‎ ‎（3）令，则。‎ ‎ 先讨论关于 的方程 根的情况：‎ 当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到是奇函数，∴的两个不同的根为一和2。‎ 当时，∵， ，‎ ‎∴一2 , －1，1 ，2 都不是的根。‎ 由（1）知。‎ ‎① 当时， ，于是是单调增函数，从而。‎ 此时在无实根。‎ ‎② 当时．，于是是单调增函数。‎ 又∵，，的图象不间断，‎ ‎∴ 在（1 , 2 ）内有唯一实根。‎ 同理，在（一2 ，一I ）内有唯一实根。‎ ‎③ 当时，，于是是单调减两数。‎ 又∵， ，的图象不间断，‎ ‎∴在（一1，1 ）内有唯一实根。‎ 因此，当时，有两个不同的根满足；当 ‎ 时 有三个不同的根，满足。‎ 现考虑函数的零点：‎ ‎( i ）当时，有两个根，满足。‎ 而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。‎ ‎( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。‎ 而有三个不同的根，故有9 个零点。‎ 综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。‎ ‎【考点】函数的概念和性质，导数的应用。‎ ‎【解析】（1）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。‎ ‎ （2）由（1）得，，求出，令，求解讨论即可。‎ ‎ （3）比较复杂，先分和讨论关于 的方程 根的情况；再考虑函数的零点。‎ ‎19．（2012年江苏省16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．‎ ‎（i）若，求直线的斜率；‎ ‎（ii）求证：是定值．‎ ‎【答案】解：（1）由题设知，，由点在椭圆上，得 ‎，∴。‎ 由点在椭圆上，得 ‎∴椭圆的方程为。‎ ‎（2）由（1）得，，又∵∥，‎ ‎ ∴设、的方程分别为，。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴。①‎ ‎ 同理，。②‎ ‎ （i）由①②得，。解得=2。‎ ‎ ∵注意到，∴。‎ ‎ ∴直线的斜率为。‎ ‎ （ii）证明：∵∥，∴，即。‎ ‎ ∴。‎ ‎ 由点在椭圆上知，，∴。‎ ‎ 同理。。‎ ‎ ∴‎ ‎ 由①②得，，，‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴是定值。‎ ‎【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。‎ ‎【解析】（1）根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解。‎ ‎ （2）根据已知条件，用待定系数法求解。‎ ‎20．（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，‎ ‎（1）设，，求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，，且是等比数列，求和的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵，∴。‎ ‎ ∴ 。∴ 。‎ ‎ ∴数列是以1 为公差的等差数列。‎ ‎（2）∵，∴。‎ ‎ ∴。（﹡）‎ ‎ 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ ∴综上所述，。∴，∴。‎ ‎ 又∵，∴是公比是的等比数列。‎ ‎ 若，则，于是。‎ ‎ 又由即，得。‎ ‎ ∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。‎ ‎【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。‎ ‎ （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。‎ 从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。‎