2015高考数学人教A版本(5-2平面向量基本定理及向量的坐标表示)一轮复习学案

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2015高考数学人教A版本(5-2平面向量基本定理及向量的坐标表示)一轮复习学案

‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 5-2平面向量基本定理及向量的坐标表示课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1.(文)(2013·哈尔滨质检)已知平面向量a=(‎2m+1,3),b=(2,m),且a与b反向,则|b|等于(  )‎ A.          B.2 C. D.或2 ‎[答案] B ‎[解析] 据题意a∥b则m(‎2m+1)-3×2=0,解得m=-2或m=,当m=时a=(4,3),b=(2,),则a=2b,此时两向量同向,与已知不符,故m=-2,此时b=(2,-2),故|b|=2.‎ ‎(理)(2013·广州综合测试二)已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(m,m+1),若∥,则实数m的值为(  )‎ A.-         B.- C. D. ‎[答案] A ‎[解析] 依题意得,=(3,1),由∥得3(m+1)-m=0,m=-,选A.‎ ‎2.(文)已知向量a=(3,4),b=(2,-1),如果向量a+λb与b垂直,则λ的值为(  )‎ A. B.- C. D.- ‎[答案] D ‎[解析] ∵a=(3,4),b=(2,-1),∴a+λb=(3+2λ,4-λ),故2(3+2λ)-(4-λ)=0,∴λ=-,故选D.‎ ‎(理)(2014·金陵中学检测)已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥‎ ‎(a+b),则c=(  )‎ A.(,) B.(-,-)‎ C.(,) D.(-,-)‎ ‎[答案] D ‎[解析] 不妨设c=(m,n),则a+c=(1+m,2+n),a+b=(3,-1),因为(c+a)∥b,则有-3×(1+m)=2×(2+n).又c⊥(a+b),则有‎3m-n=0,解得m=-,n=-.‎ ‎3.(2013·安庆二模)已知a,b是不共线的两个向量,=xa+b,=a+yb(x,y∈R),若A,B,C三点共线,则点P(x,y)的轨迹是(  )‎ A.直线 B.双曲线 C.圆 D.椭圆 ‎[答案] B ‎[解析] ∵A,B,C三点共线,‎ ‎∴存在实数λ,使=λ.‎ 则xa+b=λ(a+yb)⇒⇒xy=1,故选B.‎ ‎4.(文)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=(  )‎ A.‎3a+b B.‎3a-b C.-a+3b D.a+3b ‎[答案] B ‎[解析] 设c=λa+μb,则(4,2)=(λ-μ,λ+μ),‎ 即解得 ‎∴c=‎3a-b.‎ ‎(理)已知平面向量a=(1,-1),b=(-1,2),c=(1,1),则用a、b表示向量c为(  )‎ A.‎2a-b B.-a+2b C.a-2b D.‎3a+2b ‎[答案] D ‎[解析] 设c=xa+yb,∴(1,1)=(x-y,-x+2y),‎ ‎∴解之得 ‎∴c=‎3a+2b,故选D.‎ ‎5.(文)(2013·福州质检)如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,则向量a-b可表示为(  )‎ A.3e2-e1 B.-2e1-4e2‎ C.e1-3e2 D.3e1-e2‎ ‎[答案] C ‎[解析] 如图所示,a-b==e1-3e2,故应选C.‎ ‎(理)(2013·江南十校联考)已知e1,e2是两个单位向量,其夹角为θ,若m=2e1+3e2,则|m|=1的充要条件是(  )‎ A.θ=π B.θ= C.θ= D.θ= ‎[答案] A ‎[解析] 由|m|=1,得m2=1,即(2e1+3e2)2=1.展开得,4e+9e+12e1·e2=1,即4+9+12cosθ=1,所以cosθ=-1.又θ∈[0,π],所以θ=π.‎ ‎6.(2013·荆州质检)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-2b共线,则=(  )‎ A.-2 B.2‎ C.- D. ‎[答案] C ‎[解析] 由向量a=(2,3),b=(-1,2)得ma+nb=(‎2m-n,‎3m+2n),a-2b=(4,-1),因为ma+nb与a-2b共线,所以(‎2m-n)×(-1)-(‎3m+2n)×4=0,整理得=-.‎ 二、填空题 ‎7.(文)(2013·山东)在平面直角坐标系xOy中,已知=(-1,t),=(2,2).若∠ABO=90°,则实数t的值为________.‎ ‎[答案] 5‎ ‎[解析] 易知⊥,而=-=(3,2-t),=(2,2),∴·=0,‎ 即3×2+2(2-t)=0,∴t=5.‎ ‎(理)(2013·安徽省级示范高中联考)设向量a=(x,3),b=(2,1),若对任意的正数m,n,向量ma+nb始终具有固定的方向,则x=________.‎ ‎[答案] 6‎ ‎[解析] 当a与b共线时,向量ma+nb始终具有固定的方向,则1×x=2×3,所以x=6.‎ ‎8.(2013·烟台调研)在等腰直角三角形ABC中,D是斜边BC的中点,如果AB的长为2,则(+)·的值为________.‎ ‎[答案] 4‎ ‎[解析] 由题意可知,AD=BC==,‎ ‎(+)·=2·=2||2=4.‎ ‎9.‎ ‎(2012·江西八校联考)如图所示,设P、Q为△ABC内的两点,且=+,=+,则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为________.‎ ‎[答案]  ‎[分析] 因三角形的面积与底和高有关,所以可利用“同底三角形面积比等于高之比”的结论计算待求三角形的面积比.题设条件中用和给出了点P和点Q,故可利用和构造平行四边形将面积比转化为向量长度的比解决.‎ ‎[解析] ‎ 根据题意,设=,=,则由平行四边形法则,得=+,且四边形AMPN为平行四边形,于是NP∥AB,‎ 所以==,‎ 同理,可得=.故=.‎ 三、解答题 ‎10.‎ ‎(2014·宁阳一中检测)如图所示,△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求APPM的值.‎ ‎[解析] 设=e1,=e2,则=+=-3e2-e1,=2e1+e2,‎ ‎∵A、P、M和B、P、N分别共线,‎ ‎∴存在λ、μ∈R,使=λ=-λe1-3λe2,‎ =μ=2μe1+μe2.‎ 故=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2,‎ 而=+=2e1+3e2,‎ ‎∴由平面向量基本定理得∴ ‎∴=,即AP:PM=4:1.‎ 能力拓展提升 一、选择题 ‎11.(文)‎ ‎(2013·济宁模拟)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为90°,如图所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,若=x+y,其中x,y∈R,则x+y的最大值是(  )‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎[答案] B ‎[解析] 方法一:以O为原点,向量,所在直线分别为x轴,y轴建立直角坐标系,设〈,〉=θ,θ∈[0,],则=(1,0),=(0,1),=(cosθ,sinθ).‎ ‎∵=x+y,∴ ‎∴x+y=cosθ+sinθ=sin(θ+),‎ 又θ+∈[,],‎ ‎∴x+y的最大值为.‎ 方法二:因为点C在以O为圆心的圆弧AB上,‎ 所以||2=|x+y|2=x2+y2+2xy·=x2+y2=1≥.所以x+y≤,当且仅当x=y=时等号成立.‎ ‎(理)‎ ‎(2013·皖南八校联考)已知正方形ABCD(字母顺序是A→B→C→D)的边长为1,点E是AB上的动点(可以与A或B重合),如图所示,则·的最大值是(  )‎ A.1 B. C.0 D.-1‎ ‎[答案] C ‎[解析] 设=a,=b,‎ 则=λ=λa(0≤λ≤1).‎ =-=λa-b,‎ ‎∴·=·(-)‎ ‎=(λa-b)·(-a)‎ ‎=-λa2+a·b=-λ.‎ 又0≤λ≤1,‎ ‎∴·的最大值为0,故选C.‎ ‎12.已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点,且|+|=|-|,其中O为坐标原点,则实数a的值为(  )‎ A.2 B.-2‎ C.2或-2 D.或- ‎[答案] C ‎[解析] 以OA、OB为边作平行四边形OACB,则由|+|=|-|得,平行四边形OACB为矩形,⊥.由图形易知直线y=-x+a在y轴上的截距为±2,所以选C.‎ ‎13.(文)在平行四边形ABCD中,=,=,CE与BF相交于G点.若=a,=b,则=(  )‎ A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b ‎[答案] C ‎[解析] ∵B、G、F三点共线,‎ ‎∴=λ+(1-λ)=λb+(1-λ)a.‎ ‎∵E、G、C三点共线,‎ ‎∴=μ+(1-μ)=μa+(1-μ)(a+b).‎ 由平面向量基本定理得, ‎∴∴=a+b.‎ ‎(理)(2012·沈阳质检)在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM的中点,=λ+μ,则λ+μ的值为(  )‎ A.   B.   C.   D.1‎ ‎[答案] A ‎[解析] 本题考查向量的线性运算.据已知N为AM的中点,可得==λ+μ,整理得=2λ+2μ,由于点M在直线BC上,故有2λ+2μ=1,即λ+μ=.‎ 二、填空题 ‎14.(2013·开封第一次模拟)已知|a|=2,|b|=2,a与b的夹角为45°,且λb-a与a垂直,则实数λ=________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 依题意得(λb-a)·a=λa·b-a2=2λ-4=0,λ=.‎ ‎15.(文)(2014·广雅中学月考)梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,M、N分别是CD、AB的中点,设=a,=b.若=ma+nb,则=________.‎ ‎[答案] -4‎ ‎[解析] =++=-a-b+a=a-b,∴m=,n=-1,∴=-4.‎ ‎(理)‎ ‎(2014·南安一中质检)如图所示,在△ABC中,点M是AB的中点,且=,BN与CM相交于点E,设=a,=b,用基底a、b表示向量=________.‎ ‎[答案] a+b ‎[分析] 先利用三点共线进行转化,再通过用基底表示向量的唯一性进行求解.‎ ‎[解析] 易得==b,==a,由N、E、B三点共线知存在实数m,满足=m+(1-m)=mb+(1-m)a.‎ 由C、E、M三点共线知存在实数n,满足=n+(1-n)=na+(1-n)b.‎ 所以mb+(1-m)a=na+(1-n)b.‎ 由于a、b为基底,所以解得 所以=a+b.‎ 三、解答题 ‎16.(文)平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),请解答下列问题:‎ ‎(1)求满足a=mb+nc的实数m、n;‎ ‎(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;‎ ‎(3)若d满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=,求d.‎ ‎[解析] (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),‎ 所以得 ‎(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),‎ ‎∵(a+kc)∥(2b-a),‎ ‎∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,‎ ‎∴k=-.‎ ‎(3)设d=(x,y),则d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),‎ 由题意得 解得或∴d=(3,-1)或d=(5,3).‎ ‎(理)设a、b是两个不共线的非零向量(t∈R).‎ ‎(1)记=a,=tb,=(a+b),那么当实数t为何值时,A、B、C三点共线?‎ ‎(2)若|a|=|b|=1且a与b夹角为120°,那么实数x为何值时,|a-xb|的值最小?‎ ‎[解析] (1)∵A、B、C三点共线,∴与共线,‎ 又∵=-=tb-a,=-=b-a,‎ ‎∴存在实数λ,使=λ,‎ 即tb-a=b-a,∴t=.‎ ‎(2)∵|a|=|b|=1,〈a,b〉=120°,∴a·b=-,‎ ‎∴|a-xb|2=|a|2+x2|b|2-2x·a·b=1+x2+x ‎=(x+)2+≥,‎ ‎∴|a-xb|的最小值为,此时x=-.‎ 考纲要求 了解平面向量的基本定理及其意义.‎ 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.‎ 补充说明 ‎1.证明共线(或平行)问题的主要依据:‎ ‎(1)对于向量a,b,若存在实数λ,使得b=λa,则向量a与b共线(平行).‎ ‎(2)a=(x1,y1),b=(x2,y2),若x1y2-x2y1=0,则向量a∥b.‎ ‎(3)对于向量a,b,若|a·b|=|a|·|b|,则a与b共线.‎ 要注意向量平行与直线平行是有区别的.‎ ‎2.用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功.在进行向量运算时,要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中,以便使用向量的运算法则进行求解.充分利用平面几何的性质,可把未知向量用已知向量表示出来.‎ ‎3.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则,将向量进行分解.‎ 备选习题 ‎1.(2012·郑州质检)设A,B,C是圆x2+y2=1上不同的三个点,且·=0,若存在实数λ,μ使得=λ+μ,则实数λ,μ的关系为(  )‎ A.λ2+μ2=1 B.+=1‎ C.λ·μ=1 D.λ+μ=1‎ ‎[答案] A ‎[解析] 由=λ+μ得||2=(λ+μ)2=λ2||2+μ2||2+2λμ·.因为·=0,所以λ2+μ2=1,所以选A.‎ ‎2.已知两个非零向量a=(m-1,n-1),b=(m-3,n-3),且a与b的夹角是钝角或直角,则m+n的取值范围是(  )‎ A.[,3] B.[2,6]‎ C.(,3) D.(2,6)‎ ‎[答案] D ‎[解析] 根据a与b的夹角是钝角或直角得a·b≤0,即(m-1)(m-3)+(n-1)(n-3)≤‎ ‎0.整理得:(m-2)2+(n-2)2≤2.所以点(m,n)在以(2,2)为圆心,为半径的圆上或圆内.令m+n=z,则n=-m+z表示斜率为-1,在纵坐标轴上的截距为z的直线,显然直线与圆相切时,z取最大(小)值,∴2≤z≤6,即2≤m+n≤6.当取等号时有m=n=1或m=n=3,均不合题意,故选D.‎ ‎3.已知A(-2,3),B(3,-1),点P在线段AB上,且|AP|:|PB|=1:2,则P点坐标为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 设P(x,y),则=(x+2,y-3),=(3-x,-1-y),‎ ‎∵P在线段AB上,且|AP||PB|=12,‎ ‎∴=,∴(x+2,y-3)=,‎ ‎∴∴即P.‎ ‎4.(2013·四川)在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1) 的距离之和最小的点的坐标是________.‎ ‎[答案] (2,4)‎ ‎[解析] 取四边形ABCD对角线的交点,这个交点到四点的距离之和就是最小值.可证明如下:‎ 假设在四边形ABCD中任取一点P,在△APC中,有AP+PC>AC,在△BPD中,有PB+PD>BD,‎ 而如果P在线段AC上,那么AP+PC=AC;同理,如果P在线段BD上,那么BP+PD=BD.‎ 如果同时取等号,那么意味着距离之和最小,此时P就只能是AC与BD的交点.易求得P(2,4).‎
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