高考圆的多解问题

高考圆的多解问题

 圆中的多解问题一、知识要点1、圆是一种“完美”的图形，它既是轴对称图形又是中心对称图形，更具有旋转不变性。由圆的对称性引出的性质和定理在计算圆心角、圆周角、弦、弦心距、切线等知识时要结合图形考虑多解问题；2、  点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系是多解问题的重点；3、和圆有关的动态问题要考虑多解。二、例题精选例1：（1）一条弦分圆周为9：11，这条弦所对的圆周角的度数是        ；（2）半径为5的圆中有一条长为5的弦，这条弦所对的圆周角等于       度；（3）⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD，AB＝6㎝，CD＝8㎝，则AB与CD之间的距离是     ；（4）半径为1的圆中，弦AB，AC的长分别是，，则∠BAC等于         度；（5）在同一平面内，点P到⊙O的最长距离为8㎝，最短距离为2㎝，则⊙O的半径为   ； （6）圆内有一点P，过P的最短弦长4cm，最长弦长15cm，过P有     条整数弦；（7）半径为25和39的两圆相交，公共弦长30，则两圆的圆心距是        。⊙O的两条半径OA与OB互相垂直，点C是优弧AMB上一点，且求∠OAC度数。 解题思路：由于点C的位置没有确定，在画出一个点的位置时；要考虑第二个点C的位置。所以∠OAC的度数是150 或750 。例3：已知⊙0的直径AB=10，弦CD中的点C到AB的距离为3，点D到AB的距离离为4，则圆心O到弦CD的距离=_________。解题思路：由于弦CD的位置不确定，所以有如图（1）和（2）两种情况，过点O作OH⊥CD垂足为H，连接OC、OD，由垂径定理可知，CH=DH。   (1)点C、点D在直径AB的同侧，在中，在中，，过点H作于G，∴，∴，，在中。（2）点C、点D在直径AB的两侧时， 求得，，，不难得到∽，由,DF=4, ∴,   MF=4，∴又因为∽， ∴。综上所述圆心O到弦CD的距离为或。  例4：如图，点A、B在直线MN上，AB=11cm，⊙A、⊙B的半径均为1cm，⊙A以每秒2cm的速度自左向右运动，运动时间为t（秒）（t≥0）（1）试写出圆心A、B之间的距离d（cm）与时间t（秒）之间的函数表达式（2）若圆心A运动的同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（cm）与时间t（秒）之间的关系为r=1+t（t≥0），问点A出发多少秒时，两圆相切？  解题思路：（1）d只受AB位置的影响，所以得AB两种不同的位置关系，逐一解决 解：（略） （2）明确对象：圆与圆的位置关系；确定关键元素：圆心距和两圆半径确定位置关系：相切分为内切和外切，又由于AB位置的变化，故有四种不同的情况，即：由左至右分别是外切、内切、内切、外切，逐一求解解：（略）3秒（外切）、13（外切）秒，秒（内切）、11秒（内切）例5：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900 ，AC=6cm，BC=8cm，P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆。设点Q运动时间为t(s)。（1）       当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；（2）       已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙Q相切，求t的值。 解题思路：（1）证明直线与圆的位置关系，只要得出圆心到直线的距离等于圆的半径即可，既直线AB与⊙P相切；（2）因为点P在⊙O的内部，所以只要考虑两圆内切就可以了。t=1或4 三、能力训练1、圆的弦长确好等于该圆的半径，则这条弦所对的圆周角是     度。2、圆的半径等于2，圆内一条弦长 cm，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离为        。 3、△ABC内接于⊙0，∠AOB=1000，则∠ACB=______度。4、PA、PC分别切⊙0于A、C两点，B为⊙0上与A、C不重合的点，若∠P=500，则∠ABC=___________度5、AB，AC是⊙0的两条弦，且∠BAC=480，M，N分别是AB，AC的中点，则∠MON=          度。                    6、两圆相切，圆心距是10㎝，其中一圆的半径为4㎝，则另一圆的半径是           。7、⊙01的半径为2cm，⊙02的半径为5cm，两圆没有公共点，则两圆的圆心距的取值范围为________。8、已知⊙O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（    ）A.相交    B. 相切     C. 相离      D. 相交、相切、相离都有可能9、已知：在⊙O中，半径为5，圆内一点A，OA=2，直线l⊥直线OA于点B，且AB=3，则直线l与⊙O的关系是（    ）       A.相交     B. 相切      C. 相离       D. 相交或相切 10、半径为1cm和2cm两圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为3cm的圆的个数有（    ）A.2个       B.3个       C.4个       D.5个11．如图3，已知⊙O的半径为5，点到弦的距离为3，则⊙O上到弦所在直线的距离为2的点有（    ）A．1个       B．2个      C．3个      D．4个 12、已知圆O的直径AB=10cm，CD为圆O的弦，且点C，D到AB的距离分别为3cm和4cm，则满足上述条件的CD共有（   ）A.8条    B.12条    C.16条    D.以上都不对 四、思维拓展13、平面上有三个点，则可以确定几个圆？有四个点呢？有五个点呢？若有n个点，则最多可以确定几个圆？ 14、已知圆内接三角形ABC中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为6cm,求腰长AB。   15、已知⊙O的半径为1，以O为原点建立直角坐标系，直线y=x-5经过怎样平移，与圆相切16. 如图，直线AB经过圆O的圆心，与圆O交于A、B两点，点C在圆O上，且∠AOC=300，点P是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线PC与圆O相交于点Q，问点P在直线AB的什么位置时，QP=QO？这样的点P有几个？并相应地求出∠OCP的度数。 17、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为BC边上的动点（不与B重合）。过点D作射线DE交AB于E，使∠BDE=∠A。（1）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数解析式并写出X的取值范围。（2）以D为圆心，DC长为半径作⊙D，如果⊙E是以E为圆心，AE的长为半径的圆，那么当⊙E与⊙D相切时，BD为多长？    18、在平面直角坐标系中，直线 （k为常数且k≠0）分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O半径为个单位长度．若，直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2，求b的值．（图乙供选用）               答案1、30°或1500   2、1或3cm 3、500或1300    4、650或1150          5、480或1320    6、6或14cm7、d＞7或O≤d＜3            8、D     9、D     10、D      11、C       12、A13、分类：1、共线：0个；2、共圆：1个；3、不共线不共圆：4个14、或615、或16、2．  400 ， 100017、（1）（2） 18、b的值为或，y＝－x＋，或y＝－x－。