高考数学考点归纳之 同角三角函数的基本关系与诱导公式

高考数学考点归纳之 同角三角函数的基本关系与诱导公式

高考数学考点归纳之同角三角函数的基本关系与诱导公式一、基础知识1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝.平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)．2．诱导公式一二三四五六2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋αsinα－sinα－sinαsinαcosαcos_αcosα－cosαcosα－cos_αsinα－sinαtanαtanα－tanα－tan_α诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·＋α(k∈Z)”的终边所在的象限.二、常用结论 同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.(2)sinα＝tanαcosα.[典例]　(1)已知f(α)＝，则f的值为________．(2)已知cos＝，则sin＝________.[解析]　(1)因为f(α)＝＝＝cosα，所以f＝cos＝cos＝.(2)sin＝－sin＝－sin＝－sin＝－sin＝－cos＝－.[答案]　(1)　(2)－[题组训练]1.已知tanα＝，且α∈，则cos＝________. 解析：法一：cos＝sinα，由α∈知α为第三象限角，联立解得5sin2α＝1，故sinα＝－.法二：cos＝sinα，由α∈知α为第三象限角，由tanα＝，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sinα＝－.答案：－2.sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°＝________.解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan45°＝＋＋1＝2.答案：23.已知tan＝，则tan＝________.解析：tan＝tan＝tan＝－tan＝－.答案：－考点二　同角三角函数的基本关系及应用[典例]　(1)若tanα＝2，则＋cos2α＝(　　)A.　　　　　　　　B．－ C.D．－(2)已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为(　　)A.B．±C．－D．－[解析]　(1)＋cos2α＝＋＝＋，将tanα＝2代入上式，则原式＝.(2)因为sinαcosα＝，所以(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，因为<α<，所以cosα0， 所以cosα－sinα>0，故cosα－sinα＝.答案：A级1．已知x∈，cosx＝，则tanx的值为(　　)A.　　　　　　　　　　B．－C.D．－解析：选B　因为x∈，所以sinx＝－＝－，所以tanx＝＝－.2．(2019·淮南十校联考)已知sin＝，则cos的值为(　　)A．－B.C.D．－解析：选A　∵sin＝，∴cos＝cos＝－sin＝－.3．计算：sin＋cos的值为(　　)A．－1B．1C．0D.－ 解析：选A　原式＝sin＋cos＝－sin－cos＝－－＝－1.4．若＝，则tanθ的值为(　　)A．1B．－1C．3D．－3解析：选D　因为＝＝，所以2(sinθ＋cosθ)＝sinθ－cosθ，所以sinθ＝－3cosθ，所以tanθ＝－3.5．(2018·大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角，且sin＋cos＝，则tanα的值为(　　)A．－B．－C．－或－D．不存在解析：选A　由sin＋cos＝，得cosα＋sinα＝，∴2sinαcosα＝－<0.∵α∈(0，π)，∴sinα>0，cosα<0，∴sinα－cosα＝＝，∴sinα＝，cosα＝－，∴tanα＝－. 6．在△ABC中，sin＝3sin(π－A)，且cosA＝－cos(π－B)，则△ABC为(　　)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形解析：选B　将sin＝3sin(π－A)化为cosA＝3sinA，则tanA＝，则A＝，将cosA＝－cos(π－B)化为cos＝cosB，则cosB＝，则B＝，故△ABC为直角三角形．7．化简：＝________.解析：＝＝sin2θ.答案：sin2θ8．化简：·sin(α－π)·cos(2π－α)＝________.解析：原式＝·(－sinα)·cosα＝·(－sinα)·cosα＝·(－sinα)·cosα＝－sin2α.答案：－sin2α9．sin·cos·tan的值为________．解析：原式＝sin·cos·tan ＝··＝××(－)＝－.答案：－10．(2019·武昌调研)若tanα＝cosα，则＋cos4α＝________.解析：tanα＝cosα⇒＝cosα⇒sinα＝cos2α，故＋cos4α＝＋cos4α＝sinα＋＋cos4α＝sinα＋＋sin2α＝sin2α＋sinα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2.答案：211．已知α为第三象限角，f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若cos＝，求f(α)的值．解：(1)f(α)＝＝＝－cosα.(2)∵cos＝，∴－sinα＝，从而sinα＝－.又∵α为第三象限角，∴cosα＝－＝－， ∴f(α)＝－cosα＝.12．已知sinα＝，求tan(α＋π)＋的值．解：因为sinα＝>0，所以α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋＝tanα＋＝＋＝.①当α为第一象限角时，cosα＝＝，原式＝＝.②当α为第二象限角时，cosα＝－＝－，原式＝＝－.综合①②知，原式＝或－.B级1．已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，则＝(　　)A．－B.C.D．－ 解析：选A　因为sinα＋cosα＝，所以(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝，所以sinαcosα＝－，又因为α∈(0，π)，所以sinα>0，cosα<0，所以cosα－sinα<0，因为(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，所以cosα－sinα＝－，所以＝＝＝＝－.2．已知θ是第一象限角，若sinθ－2cosθ＝－，则sinθ＋cosθ＝________.解析：∵sinθ－2cosθ＝－，∴sinθ＝2cosθ－，∴2＋cos2θ＝1，∴5cos2θ－cosθ－＝0，即＝0.又∵θ为第一象限角，∴cosθ＝，∴sinθ＝，∴sinθ＋cosθ＝. 答案：3．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sinθ和cosθ，θ∈(0,2π)，求：(1)＋的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：(1)原式＝＋＝＋＝＝sinθ＋cosθ.由条件知sinθ＋cosθ＝，故＋＝.(2)由已知，得sinθ＋cosθ＝，sinθcosθ＝，因为1＋2sinθcosθ＝(sinθ＋cosθ)2，所以1＋2×＝2，解得m＝.(3)由得或又θ∈(0,2π)，故θ＝或θ＝.故当sinθ＝，cosθ＝时，θ＝； 当sinθ＝，cosθ＝时，θ＝.