高考数学考点归纳之 命题及其关系、充分条件与必要条件

高考数学考点归纳之 命题及其关系、充分条件与必要条件

高考数学考点归纳之命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.　　　　　　　　　　　　　　　　2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且BA；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且AB，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论 1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．考点一　四种命题及其真假判断[典例]　(2019·菏泽模拟)有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题是(　　)A．①②　　　　　　　　B．②③C．④D．①②③[解析]　①原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．[答案]　D[题组训练]1．(2019·长春质监)命题“若x2<1，则－11或x<－1，则x2>1 D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：选D　命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若非q，则非p”的形式，所以“若x2<1，则－10，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．5．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是(　　)①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题； ③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③B．②C．②③D．①②③解析：选A　本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．6．(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C　由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.因为a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1，所以a·b＝0，能推出a⊥b.由a⊥b得|a－3b|＝，|3a＋b|＝，能推出|a－3b|＝|3a＋b|，所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．7．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C　设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cosx≠cosy}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cosx＝cosy}，显然CD，所以BA.于是“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件．8．(2019·湘东五校联考)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　　)A．m>B．00D．m>1解析：选C　若不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，因此当不等式x2－x＋m>0在R上恒成立时，必有m>0，但当m>0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m>0.9．在△ABC中，“A＝B”是“tanA＝tanB”的________条件．解析：由A＝B，得tanA＝tanB，反之，若tanA＝tanB，则A＝B＋kπ，k∈Z.∵0＜A＜π，0－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：311．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围为[3,8)．答案：[3,8)12．(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法：①“若x＋y＝，则sinx＝cosy”的逆命题是假命题；②“在△ABC中，sinB>sinC是B>C的充要条件”是真命题；③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”． 以上说法正确的是________(填序号)．解析：对于①，“若x＋y＝，则sinx＝cosy”的逆命题是“若sinx＝cosy，则x＋y＝”，当x＝0，y＝时，有sinx＝cosy成立，但x＋y＝，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC中，由正弦定理得sinB>sinC⇔b>c⇔B>C，②正确；对于③，“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④13．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．