高考数学考点归纳之空间几何体的表面积与体积

高考数学考点归纳之空间几何体的表面积与体积

高考数学考点归纳之空间几何体的表面积与体积一、基础知识1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r＋r′)l①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和.②圆台、圆柱、圆锥的转化当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：2．空间几何体的表面积与体积公式名称几何体　　表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h球S＝4πR2V＝πR3 二、常用结论几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.[典例]　(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)A．12π　　　　　　　　B．12πC．8πD．10π(2)(2019·沈阳质检)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是(　　)A．4＋4B．4＋2C．8＋4D.[解析]　(1)设圆柱的轴截面的边长为x， 则x2＝8，得x＝2，∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×()2＋2π××2＝12π.故选B.(2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥PABCD，如图所示，其中PA⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA＝2，AB＝2，PB＝2，所以该四棱锥的侧面积S是四个直角三角形的面积和，即S＝2×＝4＋4，故选A.[答案]　(1)B　(2)A[题组训练]1．(2019·武汉部分学校调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为(　　)A．28B．24＋2C．20＋4D．20＋2解析：选B　如图，三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIEDCMH，则该几何体的表面积S＝(2×2)×5＋×2＋2×1＋2×＝24＋2.故选B.2．(2018·郑州第二次质量预测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是(　　) A．20＋πB．24＋(－1)πC．24＋(2－)πD．20＋(＋1)π解析：选B　由三视图知，该几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为1、高为1的圆锥后所剩余的部分，所以该几何体的表面积S＝6×22－π×12＋π×1×＝24＋(－1)π，故选B.[典例]　(1)(2019·开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为(　　)A．4π　　　　　　　　B．2πC.D．π(2)(2018·天津高考)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1BB1D1D的体积为________． [解析]　(1)直接法由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为α，由tanα＝＝，得α＝，故底面面积为××22＝，则该几何体的体积为×3＝2π.(2)法一：直接法连接A1C1交B1D1于点E，则A1E⊥B1D1，A1E⊥BB1，则A1E⊥平面BB1D1D，所以A1E为四棱锥A1BB1D1D的高，且A1E＝，矩形BB1D1D的长和宽分别为，1，故VA1BB1D1D＝×(1×)×＝.法二：割补法连接BD1，则四棱锥A1BB1D1D分成两个三棱锥BA1DD1与BA1B1D1，所以VA1BB1D1D＝VBA1DD1＋VBA1B1D1＝××1×1×1＋××1×1×1＝.[答案]　(1)B　(2)[题组训练]1.如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为(　　)A.B.C.D. 解析：选A　三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.2.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是(　　)A．13B．14C．15D．16解析：选C　所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中ABCDA′B′C′D′所示，长方体的长、宽、高分别为4,2,3，两个三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积V＝4×2×3－2××3××2＝15，故选C.3.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)A.＋π　　　　　　　B.＋πC.＋πD．1＋π 解析：选C　由三视图知，四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为，从而该几何体的体积为×12×1＋××3＝＋π.考法(一)　球与柱体的切、接问题[典例]　(2017·江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．[解析]　设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以＝＝.[答案]　考法(二)　球与锥体的切、接问题[典例]　(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为(　　)A．12　　　　　　　　B．18C．24D．54[解析]　由等边△ABC的面积为9，可得AB2＝9，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝AB＝2.设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝＝＝2.所以三棱锥DABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥DABC体积的最大值为×9×6＝18.[答案]　B [题组训练]1．(2018·福建第一学期高三期末考试)已知圆柱的高为2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于(　　)A．4πB.πC.πD．16π解析：选D　如图，由题意知圆柱的中心O为这个球的球心，于是，球的半径r＝OB＝＝＝2.故这个球的表面积S＝4πr2＝16π.故选D.2．三棱锥PABC中，AB＝BC＝，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，则该三棱锥的外接球表面积为________．解析：由题可知，△ABC中AC边上的高为＝，球心O在底面ABC的投影即为△ABC的外心D，设DA＝DB＝DC＝x，所以x2＝32＋(－x)2，解得x＝，所以R2＝x2＋2＝＋1＝(其中R为三棱锥外接球的半径)，所以外接球的表面积S＝4πR2＝π.答案：π1．(2019·深圳摸底)过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比值为(　　) A.　　　　　　　　　B.C.D.解析：选A　由题意知所得截面为圆，设该圆的半径为r，则22＝12＋r2，所以r2＝3，所以所得截面的面积与球的体积的比值为＝，故选A.2．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为(　　)A．4B．8C．16D．20解析：选B　由三视图知，此几何体是一个三棱锥，底面为一边长为6，高为2的三角形，三棱锥的高为4，所以体积为V＝××6×2×4＝8.故选B.3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛解析：选B　设米堆的底面半径为r尺，则r＝8，所以r＝，所以米堆的体积为V＝×π×r2×5＝×2×5≈(立方尺)．故堆放的米约有÷1.62≈22(斛)． 4．(2018·贵阳摸底考试)某实心几何体是用棱长为1cm的正方体无缝粘合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)A．35cm3B．40cm3C．70cm3D．75cm3解析：选A　结合题中三视图可得，该几何体是个组合体，该组合体从下到上依次为长、宽、高分别为5cm,5cm,1cm的长方体，长、宽、高分别为3cm,3cm,1cm的长方体，棱长为1cm的正方体，故该组合体的体积V＝5×5×1＋3×3×1＋1×1×1＝35(cm3)．故选A.5．(2019·安徽知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)A．1B.C.D.解析：选C　法一：该几何体的直观图为四棱锥SABCD，如图，SD⊥平面ABCD，且SD＝1，四边形ABCD是平行四边形，且AB＝DC＝1，连接BD，由题意知BD⊥DC，BD⊥AB，且BD＝1，所以S四边形ABCD＝1，所以VSABCD＝S四边形ABCD·SD＝，故选C. 法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以V＝Sh，其中S指的是锥体的底面积，即俯视图中四边形的面积，易知S＝1，h指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知h＝1，所以V＝Sh＝，故选C.6．(2019·重庆调研)某简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为(　　)A.＋B.＋C.＋D.＋解析：选B　由三视图知，该组合体是由一个半圆锥与一个三棱锥组合而成的，其中圆锥的底面半径为2、高为＝2，三棱锥的底面是斜边为4、高为2的等腰直角三角形，三棱锥的高为2，所以该组合体的体积V＝×π×22×2＋××4×2×2＝＋，故选B.7．(2019·湖北八校联考)已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为(　　)A．16＋12πB．32＋12π C．24＋12πD．32＋20π解析：选A　由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高为，底面对角线长为4，球的半径为2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为2，该几何体的表面积S＝×4π×22＋π×22＋2××4＝12π＋16，故选A.8．(2019·福州质检)已知正三棱柱ABCA1B1C1中，底面积为，一个侧面的周长为6，则正三棱柱ABCA1B1C1外接球的表面积为(　　)A．4πB．8πC．16πD．32π解析：选C　如图所示，设底面边长为a，则底面面积为a2＝，所以a＝.又一个侧面的周长为6，所以AA1＝2.设E，D分别为上、下底面的中心，连接DE，设DE的中点为O，则点O即为正三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心，连接OA1，A1E，则OE＝，A1E＝××＝1.在直角三角形OEA1中，OA1＝＝2，即外接球的半径R＝2，所以外接球的表面积S＝4πR2＝16π，故选C.9．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．解析：由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为.设该正方体外接球的半径为R，则2R＝3，R＝，所以这个球的体积为πR3＝×＝.答案：10．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________． 解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1，底面为上底长为1，下底长为2，高为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V＝×1＝.答案：11．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的高为________．解析：设圆锥底面半径是r，母线长为l，所以πr2＋πrl＝π，即r2＋rl＝1，根据圆心角公式＝，即l＝3r，所以解得r＝，l＝，那么高h＝＝.答案：12．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为________．解析：如图，连接AO，OB，∵SC为球O的直径，∴点O为SC的中点，∵SA＝AC，SB＝BC，∴AO⊥SC，BO⊥SC，∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，∴AO⊥平面SCB，设球O的半径为R，则OA＝OB＝R，SC＝2R. ∴VSABC＝VASBC＝×S△SBC×AO＝××AO，即9＝××R，解得R＝3，∴球O的表面积S＝4πR2＝4π×32＝36π.答案：36π13.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：(1)该几何体的体积；(2)截面ABC的面积．解：(1)过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2.由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，则该几何体的体积V＝VA1B1C1A2B2C＋VCABB2A2＝×2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝6.(2)在△ABC中，AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝2.则S△ABC＝×2×＝.14.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD. (1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥EACD的体积，求该三棱锥EACD的侧面积．解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC.因为BD∩BE＝B，BD⊂平面BED，BE⊂平面BED，所以AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝x.由已知得，三棱锥EACD的体积V三棱锥EACD＝·AC·GD·BE＝x3＝，故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为3＋2.