中考数学真题汇编二次函数含答案

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中考数学真题汇编二次函数含答案

中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 ‎1.给出下列函数:①y=﹣3x+2;②y= ;③y=2x2;④y=3x,上述函数中符合条作“当x>1时,函数值y随自变量x增大而增大“的是(   ) ‎ A. ①③                                     B. ③④                                     C. ②④                                     D. ②③‎ ‎【答案】B ‎ ‎2.如图,函数 和 ( 是常数,且 )在同一平面直角坐标系的图象可能是(    ) ‎ A.            B.             C.            D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎3.关于二次函数 ,下列说法正确的是(  ) ‎ A. 图像与 轴的交点坐标为                           B. 图像的对称轴在 轴的右侧       C. 当 时, 的值随 值的增大而减小          D. 的最小值为-3‎ ‎【答案】D ‎ ‎4.二次函数 的图像如图所示,下列结论正确是(    )‎ A.          B.          C.          D. 有两个不相等的实数根 ‎【答案】C ‎ ‎5.若抛物线 与 轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线 ,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点(    ) ‎ A.                           B.                           C.                           D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点(    ) ‎ A. (-3,-6)                       B. (-3,0)                       C. (-3,-5)                       D. (-3,-1)‎ ‎【答案】B ‎ ‎7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=﹣t2+24t+1.则下列说法中正确的是(   ) ‎ A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同                B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m                            D. 火箭升空的最大高度为145m ‎【答案】D ‎ ‎8.如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(﹣1,0),则①二次函数的最大值为a+b+c;②a﹣b+c<0;③b2﹣4ac<0;④当y>0时,﹣1<x<3,其中正确的个数是(   ) ‎ A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4‎ ‎【答案】B ‎ ‎9.如图是二次函数 ( , , 是常数, )图象的一部分,与 轴的交点 在点 和 之间,对称轴是 .对于下列说法:① ;② ;③ ;④ ( 为实数);⑤当 时, ,其中正确的是(   ) ‎ A. ①②④                                B. ①②⑤                                C. ②③④                                D. ③④⑤‎ ‎【答案】A ‎ ‎10.如图,二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,且经过第三象限的点P.若点P的横坐标为-1,则一次函数y=(a-b)x+b的图象大致是(    )‎ A.B.C.D.‎ ‎【答案】D ‎ ‎11.四位同学在研究函数 (b,c是常数)时,甲发现当 时,函数有最小值;乙发现 是方程 的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当 时, .已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是(    ) ‎ A. 甲                                         B. 乙                                         C. 丙                                         D. 丁 ‎【答案】B ‎ ‎12.如图所示,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜边DF上一动点,过B作AB⊥DF于B,交边DE(或边EF)于点A,设BD=x,△ABD的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为(   ) ‎ A. (                                     B.  C.                                           D. ( ‎ ‎【答案】B ‎ 二、填空题 ‎ ‎13.已知二次函数 ,当x>0时,y随x的增大而________(填“增大”或“减小”) ‎ ‎【答案】增大 ‎ ‎14.右图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,水面下降2m,水面宽度增加________m。 ‎ ‎【答案】4 -4 ‎ 三、解答题 ‎ ‎15.学校拓展小组研制了绘图智能机器人(如图1),顺次输入点P1 , P2 , P3的坐标,机器人能根据图2,绘制图形。若图形是线段,求出线段的长度;若图形是抛物线,求出抛物线的函数关系式。请根据以下点的坐标,求出线段的长度或抛物线的函数关系式。‎ ‎ ①P1(4,0),P2(0,0),P3(6,6)。 ②P1(0,0),P2(4,0),P3(6,6)。 ‎ ‎【答案】①∵P1(4,0),P2(0,0),4-0=4>0, ∴绘制线段P1P2 , P1P2=4. ②∵P1(0,0),P2(4,0),P3(6,6),0-0=0, ∴绘制抛物线, ‎ 设y=ax(x-4),把点(6,6)坐标代入得a= , ∴ ,即 。 ‎ ‎16.如图,抛物线 (a≠0)过点E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边),点C , D在抛物线上.设A(t , 0),当t=2时,AD=4.‎ ‎(1)求抛物线的函数表达式. ‎ ‎(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少? ‎ ‎(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G , H , 且直线GH平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离. ‎ ‎【答案】(1)设抛物线的函数表达式为y=ax(x-10) ∵当t=2时,AD=4 ∴点D的坐标是(2,4) ∴4=a×2×(2-10),解得a= ∴抛物线的函数表达式为 (2)由抛物线的对称性得BE=OA=t ∴AB=10-2t 当x=t时,AD= ∴矩形ABCD的周长=2(AB+AD)= ∵ <0 ∴当t=1时,矩形ABCD的周长有最大值,最大值是多少 (3)如图, ‎ ‎ 当t=2时,点A,B,C,D的坐标分别为(2,0),(8,0),(8,4),(2,4) ∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为(5,2) 当平移后的抛物线过点A时,点H的坐标为(4,4),此时GH不能将矩形面积平分。 当平移后的抛物线过点C时,点G的坐标为(6,0),此时GH也不能将矩形面积平分。 ∴当G,H中有一点落在线段AD或BC上时,直线GH不可能将矩形面积平分。 当点G,H分别落在线段AB,DC上时,直线GH过点P,必平分矩形ABCD的面积。 ∵AB∥CD ∴线段OD平移后得到线段GH ∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P 在△OBD中,PQ是中位线 ∴PQ= OB=4 所以,抛物线向右平移的距离是4个单位。 ‎ ‎17.如图,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=﹣5x2+20x,请根据要求解答下列问题: ‎ ‎(1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为15m时,飞行时间是多少? ‎ ‎(2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少? ‎ ‎(3)在飞行过程中,小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? ‎ ‎【答案】(1)解:当y=15时, 15=﹣5x2+20x, 解得,x1=1,x2=3, 答:在飞行过程中,当小球的飞行高度为15m时,飞行时间是1s或3s (2)解:当y=0时, ‎ ‎0═﹣5x2+20x, 解得,x3=0,x2=4, ∵4﹣0=4, ∴在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是4s (3)解:y=﹣5x2+20x=﹣5(x﹣2)2+20, ∴当x=2时,y取得最大值,此时,y=20, 答:在飞行过程中,小球飞行高度第2s时最大,最大高度是20m ‎ ‎18.在平面直角坐标系中,点 ,点 .已知抛物线 ( 是常数),定点为 . ‎ ‎(1)当抛物线经过点 时,求定点 的坐标; ‎ ‎(2)若点 在 轴下方,当 时,求抛物线的解析式; ‎ ‎(3)无论 取何值,该抛物线都经过定点 .当 时,求抛物线的解析式. ‎ ‎【答案】(1)解:∵抛物线 经过点 , ∴ ,解得 . ∴抛物线的解析式为 . ∵   , ∴顶点 的坐标为 . (2)解:如图1,                                                                                                                                                                                                    抛物线 的顶点 的坐标为 . 由点 在 轴正半轴上,点 在 轴下方, ,知点 在第四象限. 过点 作 轴于点 ,则 . 可知 ,即 ,解得 , . ‎ 当 时,点 不在第四象限,舍去. ∴ . ∴抛物线解析式为 . (3)解: 如图2:                                                                                                                                                                                             由   可知, 当 时,无论 取何值, 都等于4. 得点 的坐标为 . 过点 作 ,交射线 于点 ,分别过点 , 作 轴的垂线,垂足分别为 , ,则 . ∵ , , ∴ .∴ . ∵   , ∴ . ∴ . ∴ , . 可得点 的坐标为 或 . 当点 的坐标为 时,可得直线 的解析式为 . ∵点 在直线 上, ∴ .解得 , . 当 时,点 与点 重合,不符合题意,∴ . 当点 的坐标为 时, 可得直线 的解析式为 . ‎ ‎∵点 在直线 上, ∴   .解得 (舍), . ∴ . 综上, 或 . 故抛物线解析式为 或 . ‎ ‎19.如图,已知二次函数 的图象经过点 ,与 轴分别交于点 ,点 .点 是直线 上方的抛物线上一动点. ‎ ‎(1)求二次函数 的表达式; ‎ ‎(2)连接 , ,并把 沿 轴翻折,得到四边形 .若四边形 为菱形,请求出此时点 的坐标; ‎ ‎(3)当点 运动到什么位置时,四边形 的面积最大?求出此时 点的坐标和四边形 的最大面积. ‎ ‎【答案】(1)解:将点B和点C的坐标代入 , 得 ,解得 , . ∴ 该二次函数的表达式为 . (2)解:若四边形POP′C是菱形,则点P在线段CO的垂直平分线上; 如图,连接PP′,则PE⊥CO,垂足为E, ‎ ‎∵ C(0,3), ∴ E(0, ), ∴ 点P的纵坐标等于 . ∴ , 解得 , (不合题意,舍去), ∴ 点P的坐标为( , ). (3)解:过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F, 设P(m, ),设直线BC的表达式为 , 则 ,   解得 . ∴直线BC的表达式为 . ∴Q点的坐标为(m, ), ∴ . 当 , 解得 , ∴ AO=1,AB=4, ∴ S四边形ABPC =S△ABC+S△CPQ+S△BPQ = = 当 时,四边形ABPC的面积最大. 此时P点的坐标为 ,四边形ABPC的面积的最大值为 . ‎ ‎20.如图1,四边形 是矩形,点 的坐标为 ,点 的坐标为 .点 从点 出发,沿 以每秒1个单位长度的速度向点 运动,同时点 从点 出发,沿 以每秒2个单位长度的速度向点 ‎ 运动,当点 与点 重合时运动停止.设运动时间为 秒. ‎ ‎(1)当 时,线段 的中点坐标为________; ‎ ‎(2)当 与 相似时,求 的值; ‎ ‎(3)当 时,抛物线 经过 、 两点,与 轴交于点 ,抛物线的顶点为 ,如图2所示.问该抛物线上是否存在点 ,使 ,若存在,求出所有满足条件的 点坐标;若不存在,说明理由. ‎ ‎【答案】(1)( ,2) (2)解:如图1,∵四边形OABC是矩形, ∴∠B=∠PAQ=90° ∴当△CBQ与△PAQ相似时,存在两种情况: ①当△PAQ∽△QBC时, , ∴ , 4t2-15t+9=0, (t-3)(t- )=0, t1=3(舍),t2= , ②当△PAQ∽△CBQ时, , ∴ , t2-9t+9=0, t= , ∵0≤t≤6, >7, ‎ ‎∴x= 不符合题意,舍去, 综上所述,当△CBQ与△PAQ相似时,t的值是 或 (3)解:当t=1时,P(1,0),Q(3,2), 把P(1,0),Q(3,2)代入抛物线y=x2+bx+c中得: ,解得: , ∴抛物线:y=x2-3x+2=(x- )2- , ∴顶点k( ,- ), ∵Q(3,2),M(0,2), ∴MQ∥x轴, 作抛物线对称轴,交MQ于E, ∴KM=KQ,KE⊥MQ, ∴∠MKE=∠QKE= ∠MKQ, 如图2,∠MQD= ∠MKQ=∠QKE,设DQ交y轴于H, ∵∠HMQ=∠QEK=90°, ∴△KEQ∽△QMH, ∴ , ∴ , ∴MH=2, ∴H(0,4), 易得HQ的解析式为:y=- x+4, ‎ 则 , x2-3x+2=- x+4, 解得:x1=3(舍),x2=- , ∴D(- , ); 同理,在M的下方,y轴上存在点H,如图3,使∠HQM= ∠MKQ=∠QKE, 由对称性得:H(0,0), 易得OQ的解析式:y= x, 则 , x2-3x+2= x, 解得:x1=3(舍),x2= , ∴D( , ); 综上所述,点D的坐标为:D(- , )或( , ) ‎ ‎21.平面直角坐标系 中,二次函数 的图象与 轴有两个交点.‎ ‎(1)当 时,求二次函数的图象与 轴交点的坐标; ‎ ‎(2)过点 作直线 轴,二次函数的图象的顶点 在直线 与 轴之间(不包含点 在直线 上),求 的范围; ‎ ‎(3)在(2)的条件下,设二次函数图象的对称轴与直线 相交于点 ,求 的面积最大时 的值. ‎ ‎【答案】(1)解:当m=-2时,y=x2+4x+2当y=0时,则x2+4x+2=0 解之:x1= ,x2= (2)解:∵ =(x-m)2+2m+2∴顶点坐标为(m,2m+2) ∵此抛物线的开口向上,且与x轴有两个交点,二次函数图像的顶点在直线l与x轴之间(不包括点A在直线l上) ∴ 解之:m<-1,m>-3 即-3<m<-1 (3)解:根据(2)的条件可知-3<m<-1根据题意可知点B(m,m-1),A(m,2m+2) ∴AB=2m+2-m+1=m+3 S△ABO= ∴ m=−时,△ABO的面积最大。 ‎ ‎22.如图,已知抛物线 与 轴交于点 和点 ,交 轴于点 .过点 作 轴,交抛物线于点 .‎ ‎(1)求抛物线的解析式; ‎ ‎(2)若直线 与线段 、 分别交于 、 两点,过 点作 轴于点 ,过点 作 轴于点 ,求矩形 的最大面积; ‎ ‎(3)若直线 将四边形 分成左、右两个部分,面积分别为 、 ,且 ,求 的值. ‎ ‎【答案】(1)解:根据题意得:9a-3b-3=0 a+b-3=0 解之:a=1,b=2 ∴抛物线的解析式为y-=x2+2x-3 (2)解:解:∵x=0时,y=-3∴点C的坐标为(0,-3) ∵CD∥X轴, ∴点D(-2,-3) ∵A(-3,0),B(1,0) ∴yAD=-3x-9,yBD=x-1 ∵直线 与线段 、 分别交于 、 两点 ∴ ∴ ∴ ∴矩形的最大面积为3 (3)解:AB=1-(-3)=4,CD=0-(-2)=2,OC=3 ∵CD∥x轴 ∴S四边形ABCD= ∵ ∴S1=4,S2=5 ∵若直线y=kx+1经过点D时,点D(-2,-3) -2k+1=-3 解之:k=2 ∴y=2x+1 当y=0时,x= ∴点M的坐标为 ∴ ∴ 设直线y=kx+1与CD、AO分别交于点N、S ‎ ‎ ∴ ∴ 解之:k= ‎ ‎23.如图①,在平面直角坐标系中,圆心为P(x,y)的动圆经过点A(1,2)且与x轴相切于点B. ‎ ‎(1)当x=2时,求⊙P的半径; ‎ ‎(2)求y关于x的函数解析式,请判断此函数图象的形状,并在图②中画出此函数的图象; ‎ ‎(3)请类比圆的定义(图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合),给(2)中所得函数图象进行定义:此函数图象可以看成是到________的距离等于到________的距离的所有点的集合. ‎ ‎(4)当⊙P的半径为1时,若⊙P与以上(2)中所得函数图象相交于点C、D,其中交点D(m,n)在点C的右侧,请利用图②,求cos∠APD的大小. ‎ ‎【答案】(1)解:由x=2,得到P(2,y), 连接AP,PB, ‎ ‎∵圆P与x轴相切, ∴PB⊥x轴,即PB=y, 由AP=PB,得到 =y, 解得:y= , 则圆P的半径为 (2)解:同(1),由AP=PB,得到(x﹣1)2+(y﹣2)2=y2 , 整理得:y= (x﹣1)2+1,即图象为开口向上的抛物线, 画出函数图象,如图②所示; (3)点A;x轴 (4)解:连接CD,连接AP并延长,交x轴于点F, 设PE=a,则有EF=a+1,ED= , ∴D坐标为(1+ ,a+1), 代入抛物线解析式得:a+1= (1﹣a2)+1, 解得:a=﹣2+ 或a=﹣2﹣ (舍去),即PE=﹣2+ , 在Rt△PED中,PE= ﹣2,PD=1, 则cos∠APD= = ﹣2 ‎ ‎ ‎
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