中考数学复习二次函数

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中考数学复习二次函数

中考数学专题复习五 二次函数 ‎【教学笔记】‎ 考点一:求二次函数的解析式 1、 用待定系数法求二次函数的解析式,要根据给定点的特性选择适宜的式子来求解.‎ 2、 已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设顶点式y=a(x-h)²+k.‎ 3、 已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称轴,可通过设交点式y=a(x-x1)(x-x2)来求解;‎ 4、 所给的三个条件是任意三点时,可设一般式y=ax²+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解.‎ 考点二:根据二次函数图象及性质判断代数式的符号 1、 二次函数图象与系数的关系.‎ 2、 注意二次函数的系数与其图象的形状、对称轴、特殊点的关系.‎ 3、 二次函数与x、y轴的交点问题,根据题意得出抛物线对称轴.‎ 考点三:二次函数与实际问题 1、 如物体的运动 规律问题、销售利润问题、几何图形的变更问题、存在性问题等. ‎ 2、 最值问题 3、 函数与方程结合 考点四:二次函数的综合应用 1、 动点问题 2、 数形结合 3、 分类讨论 4、 与几何图形结合、勾股定理等 ‎【典型例题】‎ 考点一:求二次函数的解析式 ‎【例1】例1:(2016•四川攀枝花)将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为( C )‎ ‎  A.y=﹣2(x+1)2 B.y=﹣2(x+1)2+2 ‎ C.y=﹣2(x﹣1)2+2 D.y=﹣2(x﹣1)2+1‎ ‎【例2】(2016•资阳)已知抛物线与x轴交于A(6,0)、B(﹣,0)两点,与y轴交于点C,过抛物线上点M(1,3)作MN⊥x轴于点N,连接OM.‎ ‎(1)求此抛物线的解析式;‎ ‎(2)如图1,将△OMN沿x轴向右平移t个单位(0≤t≤5)到△O′M′N′的位置,MN′、M′O′与直线AC分别交于点E、F.‎ ‎①当点F为M′O′的中点时,求t的值;‎ ‎②如图2,若直线M′N′与抛物线相交于点G,过点G作GH∥M′O′交AC于点H,试确定线段EH是否存在最大值?若存在,求出它的最大值及此时t的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【分析】(1)设抛物线解析式为y=a(x﹣6)(x+),把点M(1,3)代入即可求出a,进而解决问题.‎ ‎(2))①如图1中,AC与OM交于点G.连接EO′,首先证明△AOC∽△MNO,推出OM⊥AC,在RT△EO′M′中,利用勾股定理列出方程即可解决问题.‎ ‎②由△GHE∽△AOC得==,所以EG最大时,EH最大,构建二次函数求出EG的最大值即可解决问题.‎ ‎【解答】解:(1)设抛物线解析式为y=a(x﹣6)(x+),把点M(1,3)代入得a=﹣,‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣(x﹣6)(x+),‎ ‎∴y=﹣x2+x+2.‎ ‎(2)①如图1中,AC与OM交于点G.连接EO′.‎ ‎∵AO=6,OC=2,MN=3,ON=1,∴==3,∴=,‎ ‎∵∠AOC=∠MON=90°,∴△AOC∽△MNO,∴∠OAC=∠NMO,‎ ‎∵∠NMO+∠MON=90°,∴∠MON+∠OAC=90°,∴∠AGO=90°,∴OM⊥AC,‎ ‎∵△M′N′O′是由△MNO平移所得,∴O′M′∥OM,∴O′M′⊥AC,‎ ‎∵M′F=FO′,∴EM′=EO′,‎ ‎∵EN′∥CO,∴=,∴=,∴EN′=(5﹣t),‎ 在RT△EO′M′中,∵O′N′=1,EN′=(5﹣t),EO′=EM′=+t,‎ ‎∴(+t)2=1+(﹣t)2,∴t=1.‎ ‎②如图2中,‎ ‎∵GH∥O′M′,O′M′⊥AC,∴GH⊥AC,∴∠GHE=90°,‎ ‎∵∠EGH+∠HEG=90°,∠AEN′+∠OAC=90°,∠HEG=∠AEN′,‎ ‎∴∠OAC=∠HGE,∵∠GHE=∠AOC=90°,∴△GHE∽△AOC,∴==,∴EG最大时,EH最大,‎ ‎∵EG=GN′﹣EN′=﹣(t+1)2+(t+1)+2﹣(5﹣t)=﹣t2+t+=﹣(t﹣2)2+.∴t=2时,EG最大值=,∴EH最大值=.‎ ‎∴t=2时,EH最大值为.‎ ‎【例3】(2013•资阳)如图,四边形ABCD是平行四边形,过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),与x轴的另一交点为E,连结CE,点A、B、D的坐标分别为(﹣2,0)、(3,0)、(0,4).‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)已知抛物线的对称轴l交x轴于点F,交线段CD于点K,点M、N分别是直线l和x轴上的动点,连结MN,当线段MN恰好被BC垂直平分时,求点N的坐标;‎ ‎(3)在满足(2)的条件下,过点M作一条直线,使之将四边形AECD的面积分为3:4的两部分,求出该直线的解析式.‎ 考点:‎ 二次函数综合题4‎ 分析:‎ ‎(1)根据平行四边形的性质可求点C的坐标,由待定系数法即可求出抛物线的解析式;‎ ‎(2)连结BD交对称轴于G,过G作GN⊥BC于H,交x轴于N,根据待定系数法即可求出直线BD的解析式,根据抛物线对称轴公式可求对称轴,由此即可求出点N的坐标;‎ ‎(3)过点M作直线交x轴于点P1,分点P在对称轴的左侧,点P在对称轴的右侧,两种情况讨论即可求出直线的解析式.‎ 解答:‎ 解:(1)∵点A、B、D的坐标分别为(﹣2,0)、(3,0)、(0,4),且四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=5,∴点C的坐标为(5,4),‎ ‎∵过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),∴,解得.‎ 故抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4.‎ ‎(2)连结BD交对称轴于G,在Rt△OBD中,易求BD=5,∴CD=BD,则∠DCB=∠DBC,‎ 又∵∠DCB=∠CBE,∴∠DBC=∠CBE,过G作GN⊥BC于H,交x轴于N,‎ 易证GH=HN,∴点G与点M重合,故直线BD的解析式y=﹣x+4 ‎ 根据抛物线可知对称轴方程为x=,则点M的坐标为(,),即GF=,BF=,‎ ‎∴BM==,又∵MN被BC垂直平分,∴BM=BN=,∴点N的坐标为(,0);‎ ‎(3)过点M作直线交x轴于点P1,易求四边形AECD的面积为28,四边形ABCD的面积为20,由“四边形AECD的面积分为3:4”可知直线P1M必与线段CD相交,设交点为Q1,四边形AP1Q1D的面积为S1,四边形P1ECQ1的面积为S2,点P1的坐标为(a,0),‎ 假设点P在对称轴的左侧,则P1F=﹣a,P1E=7﹣a,‎ 由△MKQ1∽△MFP1,得=,‎ 易求Q1K=5P1F=5(﹣a),∴CQ1=﹣5(﹣a)=5a﹣10,∴S2=(5a﹣10+7﹣a),‎ 根据P1(,0),M(,)可求直线P1M的解析式为y=x﹣6,‎ 若点P在对称轴的右侧,则直线P2M的解析式为y=﹣x+.‎ 点评:‎ 考查了二次函数综合题,涉及的知识点有:平行四边形的性质,待定系数法求抛物线的解析式,待定系数法求直线的解析式,抛物线对称轴公式,分类思想的运用,综合性较强,有一定的难度.‎ ‎【课后练习】‎ 1、 ‎(2016•四川成都)将抛物线y=x2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的函数表达式为( A )‎ A.y=(x+2)2﹣3 B. y=(x+2)2+3 C. y=(x﹣2)2+3 D. y=(x﹣2)2﹣3‎ 2、 ‎(2014年四川资阳)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为C,对称轴为x=1.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)已知点M为y轴上的一个动点,当△ABM为等腰三角形时,求点M的坐标;‎ ‎(3)将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0<m<3)得到另一个三角形,将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S,用m的代数式表示S.‎ 分析:(1)根据对称轴可知,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为(﹣1,0),根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.‎ ‎(2)分三种情况:①当MA=MB时;②当AB=AM时;③当AB=BM时;三种情况讨论可得点M的坐标.‎ ‎(3)平移后的三角形记为△PEF.根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=﹣x+3.易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m.根据待定系数法可得直线AC的解析式.连结BE,直线BE交AC于G,则G(,3).在△AOB沿x轴向右平移的过程中.分二种情况:①当0<m≤时;②当<m<3时;讨论可得用m的代数式表示S.‎ 解答: 解:(1)由题意可知,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为(﹣1,0),则 ‎,解得.故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.‎ ‎(2)①当MA=MB时,M(0,0);‎ ‎②当AB=AM时,M(0,﹣3);‎ ‎③当AB=BM时,M(0,3+3)或M(0,3﹣3).‎ 所以点M的坐标为:(0,0)、(0,﹣3)、(0,3+3)、(0,3﹣3).‎ ‎(3)平移后的三角形记为△PEF.‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b,则,解得.‎ 则直线AB的解析式为y=﹣x+3.‎ ‎△AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0<m<3)得到△PEF,‎ 易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m.‎ 设直线AC的解析式为y=k′x+b′,则,解得.‎ 则直线AC的解析式为y=﹣2x+6.连结BE,直线BE交AC于G,则G(,3).‎ 在△AOB沿x轴向右平移的过程中.‎ ‎①当0<m≤时,如图1所示.设PE交AB于K,EF交AC于M.则BE=EK=m,PK=PA=3﹣m,‎ 联立,解得,即点M(3﹣m,2m).故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM=PE2﹣PK2﹣AF•h ‎=﹣(3﹣m)2﹣m•2m=﹣m2+3m.‎ ‎②当<m<3时,如图2所示.设PE交AB于K,交AC于H.‎ 因为BE=m,所以PK=PA=3﹣m,又因为直线AC的解析式为y=﹣2x+6,所以当x=m时,得y=6﹣2m,所以点H(m,6﹣2m).‎ 故S=S△PAH﹣S△PAK=PA•PH﹣PA2=﹣(3﹣m)•(6﹣2m)﹣(3﹣m)2=m2﹣3m+.‎ 综上所述,当0<m≤时,S=﹣m2+3m;当<m<3时,S=m2﹣3m+.‎ 1、 ‎(2015年四川资阳)已知抛物线p:y=ax2+bx+c的顶点为C,与x轴相交于A、B两点(点A在点B左侧),点C关于x轴的对称点为C′,我们称以A为顶点且过点C′,对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线,直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线.若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2,则这条抛物线的解析式为_____________________.‎ 解析:先求出y=x2+2x+1和y=2x+2的交点C′的坐标为(1,4),再求出“梦之星”抛物线y=x2+2x+1的顶点A坐标(﹣1,0),接着利用点C和点C′关于x轴对称得到C(1,﹣4),则可设顶点式y=a(x﹣1)2﹣4,‎ 然后把A点坐标代入求出a的值即可得到原抛物线解析式.‎ 解答:解:∵y=x2+2x+1=(x+1)2,∴A点坐标为(﹣1,0),解方程组得或,‎ ‎∴点C′的坐标为(1,4),∵点C和点C′关于x轴对称,∴C(1,﹣4),‎ 设原抛物线解析式为y=a(x﹣1)2﹣4,把A(﹣1,0)代入得4a﹣4=0,解得a=1,‎ ‎∴原抛物线解析式为y=(x﹣1)2﹣4=x2﹣2x﹣3.故答案为y=x2﹣2x﹣3.‎ 1、 ‎(2014年四川成都)将二次函数化为的形式,结果为( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ 解:.故选D。‎ 考点二:根据二次函数图象及性质判断代数式的符号 ‎【例1】(2014年四川资阳)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,给出下列四个结论:‎ ‎①4ac﹣b2<0;②4a+c<2b;③3b+2c<0;④m(am+b)+b<a(m≠﹣1),‎ 其中正确结论的个数是(  )‎ ‎  A.4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 解:∵抛物线和x轴有两个交点,∴b2﹣4ac>0,∴4ac﹣b2<0,∴①正确;‎ ‎∵对称轴是直线x=﹣1,和x轴的一个交点在点(0,0)和点(1,0)之间,‎ ‎∴抛物线和x轴的另一个交点在(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,‎ ‎∴把(﹣2,0)代入抛物线得:y=4a﹣2b+c>0,∴4a+c>2b,∴②错误;‎ ‎∵把(1,0)代入抛物线得:y=a+b+c<0,∴2a+2b+2c<0,∵b=2a,∴3b,2c<0,∴③正确;‎ ‎∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1,∴y=a﹣b+c的值最大,‎ 即把(m,0)(m≠0)代入得:y=am2+bm+c<a﹣b+c,∴am2+bm+b<a,‎ 即m(am+b)+b<a,∴④正确;‎ 即正确的有3个,故选B.‎ ‎【例2】(2013•资阳)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点(1,0)和点(0,﹣2),且顶点在第三象限,设P=a﹣b+c,则P的取值范围是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎﹣4<P<0‎ B.‎ ‎﹣4<P<﹣2‎ C.‎ ‎﹣2<P<0‎ D.‎ ‎﹣1<P<0‎ 分析:‎ 求出a>0,b>0,把x=1代入求出a=2﹣b,b=2﹣a,把x=﹣1代入得出y=a﹣b+c=2a﹣4,求出2a﹣4的范围即可.‎ 解答:‎ 解:∵二次函数的图象开口向上,∴a>0,‎ ‎∵对称轴在y轴的左边,∴﹣<0,∴b>0,‎ ‎∵图象与y轴的交点坐标是(0,﹣2),过(1,0)点,代入得:a+b﹣2=0,‎ ‎∴a=2﹣b,b=2﹣a,∴y=ax2+(2﹣a)x﹣2,‎ 把x=﹣1代入得:y=a﹣(2﹣a)﹣2=2a﹣4,‎ ‎∵b>0,∴b=2﹣a>0,∴a<2,‎ ‎∵a>0,∴0<a<2,‎ ‎∴0<2a<4,∴﹣4<2a﹣4<0,即﹣4<P<0,故选A.‎ ‎【课后练习】‎ 1、 ‎(2016•资阳)已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,且图象过A(x1,m)、B(x1+n,m)两点,则m、n的关系为(  )‎ A.m=n B.m=n C.m=n2D.m=n2‎ ‎【分析】由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣时,y=0.且b2﹣4c=0,即b2=4c,其次,根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称,故A(﹣﹣,m),B(﹣+,m);最后,根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,∴当x=﹣时,y=0.且b2﹣4c=0,即b2=4c.又∵点A(x1,m),B(x1+n,m),∴点A、B关于直线x=﹣对称,‎ ‎∴A(﹣﹣,m),B(﹣+,m),将A点坐标代入抛物线解析式,得m=(﹣﹣)2+(﹣﹣)b+c,即m=﹣+c,∵b2=4c,∴m=n2,故选D.‎ 2、 函数和在同一直角坐标系内的图象大致是( )‎ ‎【答案】C;‎ ‎【解析】 ∵ a≠0,∴ 分a>0,a<0两种情况来讨论两函数图象的分布情况.‎ ‎ 若a>0,则y=ax+b的图象必经过第一、三象限,的图象开口向上,可排除D.‎ ‎ 若a>0,b>0,则y=ax+b的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上,的图象的对称轴在y轴的左侧,故B不正确.‎ ‎ 若a>0,b<0,则y=ax+b的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上,的图象的对称轴在y轴的右侧,故C正确.‎ ‎ 若a<0,则y=ax+b的图象必经过第二、四象限,的图象开口向下,故A不正确.‎ 考点三:二次函数与实际问题 ‎【例1】(2014年四川资阳)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台,空调的采购单价y1(元/台)与采购数量x1(台)满足y1=﹣20x1+1500(0<x1≤20,x1为整数);冰箱的采购单价y2(元/台)与采购数量x2(台)满足y2=﹣10x2+1300(0<x2≤20,x2为整数).‎ ‎(1)经商家与厂家协商,采购空调的数量不少于冰箱数量的,且空调采购单价不低于1200元,问该商家共有几种进货方案?‎ ‎(2)该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱,且全部售完.在(1)的条件下,问采购空调多少台时总利润最大?并求最大利润.‎ 解答: 解:(1)设空调的采购数量为x台,则冰箱的采购数量为(20﹣x)台,‎ 由题意得,,‎ 解不等式①得,x≥11,解不等式②得,x≤15,‎ 所以,不等式组的解集是11≤x≤15,‎ ‎∵x为正整数,∴x可取的值为11、12、13、14、15,所以,该商家共有5种进货方案;‎ ‎(2)设总利润为W元,y2=﹣10x2+1300=﹣10(20﹣x)+1300=10x+1100,‎ 则W=(1760﹣y1)x1+(1700﹣y2)x2=1760x﹣(﹣20x+1500)x+(1700﹣10x﹣1100)(20﹣x),‎ ‎=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000=30x2﹣540x+12000=30(x﹣9)2+9570,‎ 当x>9时,W随x的增大而增大,∵11≤x≤15,‎ ‎∴当x=15时,W最大值=30(15﹣9)2+9570=10650(元),‎ 答:采购空调15台时,获得总利润最大,最大利润值为10650元.‎ ‎【例2】(2014年四川成都)在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用长为28米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB、BC两边),设AB=x米。‎ ‎(1)若花园的面积为192平方米,求x的值;‎ ‎(2)若在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15米和6米,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值。‎ ‎【解析】AB+AC=28m,‎ 解:(1)由题意可知:x(28-x)=192,解得x=12或16;∴x的值为12米或16米;‎ ‎(2)∵;∴当x=13米时,‎ ‎【课后练习】‎ 1、 ‎(2016年四川成都)某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少. 根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子,假设果园多种x棵橙子树.‎ ‎ (1)直接写出平均每棵树结的橙子数y(个)与x之间的关系式;‎ ‎(2)果园多种多少棵橙子树时,可以使橙子的总产量最大?最大为多少个?‎ 解:(1);‎ ‎ (2) 设果园多种x棵橙子树时,橙子的总产量为z个.由题知:‎ ‎ Z=(100+x)y=(100+x)(600-5x)=-5(x-10)2+60500‎ ‎ ∵ a=-5<0 ∴ 当x=10时,Z最大=60500.‎ ‎ ∴ 果园多种10棵橙子树时,可以使橙子的总产量最大,最大为60500个. ‎ 2、 某体育用品店购进一批单件为40元的球服,如果按单价60元销售样,那么一个月内可售出240套,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高5元,销售量相应减少20套.设销售单价为x(x≧60)元,销售量为y套.‎ ‎(1)求出y与x的函数关系式;‎ ‎(2)当销售单件为多少元时,月销售额为14000元?‎ ‎(3)当销售单价为多少元时,才能在一个月内获得最大利润?最大利润是多少?‎ 解:(1)销售单价为x元,则销售量减少×20,‎ 故销售量为y=240﹣×20=﹣4x+480(x≥60); ‎ ‎(2)根据题意可得,x(﹣4x+480)=14000,解得x1=70,x2=50(不合题意舍去),‎ 故当销售价为70元时,月销售额为14000元; ‎ ‎(3)设一个月内获得的利润为w元,根据题意得:‎ w=(x﹣40)(﹣4x+480)=﹣4x2+640x﹣19200 =﹣4(x﹣80)2+6400. ‎ 当x=80时,w的最大值为6400. ‎ 故当销售单价为80元时,才能在一个月内获得最大利润,最大利润是6400元.‎ 考点四:二次函数的综合应用 ‎【例1】(2015四川资阳)已知直线y=kx+b(k≠0)过点F(0,1),与抛物线y=x2相交于B、C两点.‎ ‎(1)如图13-1,当点C的横坐标为1时,求直线BC的解析式;‎ ‎(2)在(1)的条件下,点M是直线BC上一动点,过点M作y轴的平行线,与抛物线交于点D,是否存在这样的点M,使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)如图13-2,设(m<0),过点的直线l∥x轴,BR⊥l于R,CS⊥l于S,连接FR、FS.试判断△RFS的形状,并说明理由.‎ 分析:(1)首先求出C的坐标,然后由C、F两点用待定系数法求解析式即可;‎ ‎(2)因为DM∥OF,要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形,则DM=OF,设M(x,﹣x+1),则D(x,x2),表示出DM,分类讨论列方程求解;‎ ‎(3)根据勾股定理求出BR=BF,再由BR∥EF得到∠RFE=∠BFR,同理可得∠EFS=∠CFS,所以∠RFS=∠BFC=90°,所以△RFS是直角三角形.‎ 解答:解:(1)因为点C在抛物线上,所以C(1,),又∵直线BC过C、F两点,‎ 故得方程组:解之,得,所以直线BC的解析式为:y=﹣x+1; ‎ ‎(2)要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形,则MD=OF,如图1所示,‎ 设M(x,﹣x+1),则D(x,x2),‎ ‎∵MD∥y轴,‎ ‎∴MD=﹣x+1﹣x2,‎ 由MD=OF,可得|﹣x+1﹣x2|=1,‎ ‎①当﹣x+1﹣x2=1时,‎ 解得x1=0(舍)或x1=﹣3,‎ 所以M(﹣3,),‎ ‎②当﹣x+1﹣x2,=﹣1时,‎ 解得,x=,‎ 所以M(,)或M(,),‎ 综上所述,存在这样的点M,使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形,‎ M点坐标为(﹣3,)或(,)或(,);‎ ‎(3)过点F作FT⊥BR于点T,如图2所示,‎ ‎∵点B(m,n)在抛物线上,∴m2=4n,‎ 在Rt△BTF中,BF==‎ ‎==,‎ ‎∵n>0,∴BF=n+1,又∵BR=n+1,∴BF=BR.∴∠BRF=∠BFR,‎ 又∵BR⊥l,EF⊥l,∴BR∥EF,∴∠BRF=∠RFE,∴∠RFE=∠BFR,‎ 同理可得∠EFS=∠CFS,∴∠RFS=∠BFC=90°,∴△RFS是直角三角形.‎ ‎【课后练习】‎ 1、 ‎(2016四川成都)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与轴交于点C(0,),顶点为D,对称轴与轴交于点H.过点H的直线l交抛物线于P,Q两点,点Q在y轴右侧.‎ ‎ (1)求a的值及点A、B的坐标;‎ ‎ (2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为3:7的两部分时,求直线l的函数表达式;‎ ‎ (3)当点P位于第二象限时,设PQ的中点为M,点N在抛物线上,则以DP为对角线的四边形DMPN能否成为菱形?若能,求出点N的坐标;若不能,请说明理由.‎ 解析:(1)∵ 抛物线与与轴交于点C(0,-).‎ ‎ ∴ a-3=-,解得:a=,∴y=(x+1)2-3‎ ‎ 当y=0时,有(x+1)2-3=0,∴ X1=2,X2=-4 ∴ A(-4,0),B(2,0).‎ ‎ (2)∵ A(-4,0),B(2,0),C(0,-),D(-1,-3)‎ ‎ ∴ S四边形ABCD=S△AHD+S梯形OCDH+S△BOC= ×3×3+( + 3) ×1+×2×=10.‎ ‎ 从面积分析知,直线l只能与边AD或BC相交,所以有两种情况:‎ ‎ ① 当直线l边AD相交与点M1时,则S△AHM1=×10=3,∴×3×(-yM1)=3‎ ‎ ∴ yM1=-2,点M1(-2,-2),过点H(-1,0)和M1(-2,-2)的直线l的解析式为y=2x+2.‎ ‎ ②当直线l边BC相交与点M2时,同理可得点M2(,-2),过点H(-1,0)和M2(,-2)的直线l的解析式为y=-x-.‎ ‎ 综上:直线l的函数表达式为y=2x+2或y=-x-.‎ ‎(3)设P(x1,y1)、Q(x2,y2)且过点H(-1,0)的直线PQ的解析式为y=kx+b,‎ ‎∴ -k+b=0,∴y=kx+k.‎ 由, ∴ ‎ ‎∴ x1+x2=-2+3k,y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2, ∵点M是线段PQ的中点,∴由中点坐标公式的点M(k-1,k2).‎ ‎ 假设存在这样的N点如下图,直线DN∥PQ,设直线DN的解析式为y=kx+k-3‎ ‎ 由,解得:x1=-1, x2=3k-1, ∴N(3k-1,3k2-3)‎ ‎ ∵ 四边形DMPN是菱形,∴ DN=DM,∴ ‎ ‎ 整理得:3k4-k2-4=0,,∵ k2+1>0,∴3k2-4=0,‎ ‎ 解得,∵ k<0,∴, ‎ ‎∴P(-,6),M(-,2),N(-, 1)‎ ‎∴PM=DN=2,∴四边形DMPN为菱形 ∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形,此时点N的坐标为(-, 1).‎ 1、 ‎(2016四川成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax 2-2ax-3a(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),经过点A的直线l:y=kx+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.‎ ‎(1)直接写出点A的坐标,并求直线l的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示);‎ ‎(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点,若△ACE的面积的最大值为 ,求a的值;‎ ‎(3)设P是抛物线的对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.‎ x y O A B D l C 备用图 x y O A B D l C E ‎【答案】:(1)A(-1,0),y=ax+a; ‎ ‎(2)a=- ;‎ ‎(3)P的坐标为(1,- )或(1,-4)‎ ‎【解析】:‎ ‎(1)A(-1,0)‎ x y O A B D l C E F ‎∵直线l经过点A,∴0=-k+b,b=k ‎∴y=kx+k 令ax 2-2ax-3a=kx+k,即ax 2-( 2a+k )x-3a-k=0‎ ‎∵CD=4AC,∴点D的横坐标为4‎ ‎∴-3- =-1×4,∴k=a ‎∴直线l的函数表达式为y=ax+a ‎(2)过点E作EF∥y轴,交直线l于点F 设E(x,ax 2-2ax-3a),则F(x,ax+a)‎ EF=ax 2-2ax-3a-( ax+a )=ax 2-3ax-4a S△ACE =S△AFE - S△CFE= ( ax 2-3ax-4a )( x+1 )- ( ax 2-3ax-4a )x ‎= ( ax 2-3ax-4a )= a( x- )2- a ∴△ACE的面积的最大值为- a ‎∵△ACE的面积的最大值为 ,∴- a= ,解得a=- ‎(3)令ax 2-2ax-3a=ax+a,即ax 2-3ax-4a=0‎ x y A B D l C Q P O 解得x1=-1,x2=4;∴D(4,5a)‎ ‎∵y=ax 2-2ax-3a,∴抛物线的对称轴为x=1‎ 设P(1,m)‎ ‎①若AD是矩形的一条边,则Q(-4,21a)‎ m=21a+5a=26a,则P(1,26a)‎ ‎∵四边形ADPQ为矩形,∴∠ADP=90°‎ ‎∴AD 2+PD 2=AP 2‎ ‎∴5 2+( 5a )2+( 1-4 )2+( 26a-5a )2=( -1-1 )2+( 26a )2‎ 即a 2= ,∵a<0,∴a=- ,∴P1(1,- )‎ x y O A B D l C P Q ‎②若AD是矩形的一条对角线,‎ 则线段AD的中点坐标为( ,),Q(2,-3a)‎ m=5a-( -3a )=8a,则P(1,8a)‎ ‎∵四边形APDQ为矩形,∴∠APD=90°‎ ‎∴AP 2+PD 2=AD 2‎ ‎∴( -1-1 )2+( 8a )2+( 1-4 )2+( 8a-5a )2=5 2+( 5a )2‎ 即a 2= ,∵a<0,∴a=- ,∴P2(1,-4)‎ 综上所述,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形,点P的坐标为(1,- )或(1,-4)‎ ‎3、(2014年四川自贡)如图,已知抛物线y=ax2﹣x+c与x轴相交于A、B两点,并与直线y=x﹣2交于B、C两点,其中点C是直线y=x﹣2与y轴的交点,连接AC.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)证明:△ABC为直角三角形;‎ ‎(3)△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG?(顶点D、E、F、G在△ABC各边上)若能,求出最大面积;若不能,请说明理由.‎ 分析: (1)由直线y=x﹣2交x轴、y轴于B、C两点,则B、C坐标可求.进而代入抛物线y=ax2﹣x+c,即得a、c的值,从而有抛物线解析式.‎ ‎(2)求证三角形为直角三角形,我们通常考虑证明一角为90°或勾股定理.本题中未提及特殊角度,而已经A、B、C坐标,即可知AB、AC、BC,则显然可用勾股定理证明.‎ ‎(3)在直角三角形中截出矩形,面积最大,我们易得两种情形,①一点为C,AB、AC、BC边上各有一点,②AB边上有两点,AC、BC边上各有一点.讨论时可设矩形一边长x,利用三角形相似等性质表示另一边,进而描述面积函数.利用二次函数最值性质可求得最大面积.‎ 解答: (1)解:∵直线y=x﹣2交x轴、y轴于B、C两点,∴B(4,0),C(0,﹣2),‎ ‎∵y=ax2﹣x+c过B、C两点,∴,解得 ,∴y=x2﹣x﹣2.‎ ‎(2)证明:如图1,连接AC,‎ ‎∵y=x2﹣x﹣2与x负半轴交于A点,‎ ‎∴A(﹣1,0),在Rt△AOC中,‎ ‎∵AO=1,OC=2,∴AC=,‎ 在Rt△BOC中,∵BO=4,OC=2,∴BC=2,‎ ‎∵AB=AO+BO=1+4=5,∴AB2=AC2+BC2,‎ ‎∴△ABC为直角三角形.‎ ‎(3)解:△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG,面积为,理由如下:‎ ‎①一点为C,AB、AC、BC边上各有一点,如图2,此时△AGF∽△ACB∽△FEB.设GC=x,AG=﹣x,‎ ‎∵,∴,∴GF=2﹣2x,‎ ‎∴S=GC•GF=x•(2)=﹣2x2+2x=﹣2[(x﹣)2﹣]=﹣2(x﹣)2+,即当x=时,S最大,为.‎ ‎②AB边上有两点,AC、BC边上各有一点,如图3,此时△CDE∽△CAB∽△GAD,设GD=x,‎ ‎∵,∴,∴AD=x,‎ ‎∴CD=CA﹣AD=﹣x,‎ ‎∵,∴,∴DE=5﹣x,‎ ‎∴S=GD•DE=x•(5﹣x)=﹣x2+5x=﹣[(x﹣1)2﹣1]=﹣(x﹣1)2+,即x=1时,S最大,为.‎ 综上所述,△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG,面积为.‎ ‎【课后作业】‎ 一、选择题 ‎1.已知抛物线,将抛物线C平移得到抛物线.若两条抛物线C、关于直线x=1对称.则下列平移方法中,正确的是( ).‎ A.将抛物线C向右平移个单位 B.将抛物线C向右平移3个单位 C.将抛的线C向右平移5个单位 D.将抛物线C向右平移6个单位 ‎2.已知二次函数的图象如图所示,则下列5个代数式:ac,a+b+c,4a-2b+c,2a+b,2a-b中,其值大于0的个数为( ).‎ ‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎3.二次函数的图象如图所示,则下列关系式不正确的是( ).‎ ‎ A. B.abc>0 C.a+b+c>0 D.‎ ‎ ‎ ‎4.在平面直角坐标系中,将抛物线绕着它与y轴的交点旋转180°,所得抛物线的解析式是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.如图所示,半圆O的直径AB=4,与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M,设⊙O1的半径为y,AM=x,则y关于x的函数关系式是( ).‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第5题 第6题 ‎6.如图所示,老师出示了小黑板上的题后,小华说:过点(3,0);小彬说:过点(4,3)和(0,3);‎ 小明说:a=1,c=3;小颖说:抛物线被x轴截得的线段长为2.你认为四人的说法中,正确的有( ).‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎7.已知一次函数的图象过点(-2,1),则关于抛物线的三条叙述:‎ ‎①过定点(2,1);②对称轴可以是直线x=l;③当a<0时,其顶点的纵坐标的最小值为3.‎ 其中所有正确叙述的有( ).‎ ‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ‎8.如图,直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)交于A,B两点,且点A的横坐标是﹣2,点B的横坐标是3,则以下结论:‎ ‎①抛物线y=ax2(a≠0)的图象的顶点一定是原点;‎ ‎②x>0时,直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)的函数值都随着x的增大而增大;‎ ‎③AB的长度可以等于5;‎ ‎④△OAB有可能成为等边三角形;‎ ‎⑤当﹣3<x<2时,ax2+kx<b,‎ 其中正确的结论是(  )‎ ‎  A.①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤‎ 二、填空题 ‎9.由抛物线y=x2先向左平移2个单位,再向下平移3个单位得到的抛物线的解析式为 .‎ ‎10.已知一元二次方程的一根为-3.在二次函数y=x2+bx-3的图象上有三点、、,y1、y2、y3、的大小关系是 .‎ ‎11.如图所示,已知⊙P的半径为2,圆心P在抛物线上运动,当⊙P与x轴相切时,圆心P的坐标为________.‎ ‎ ‎ 第11题 第13题 ‎12.一个二次函数的图象顶点坐标为(2,1),形状与抛物线y=﹣2x2相同,试写出这个函数解析式   .‎ ‎13.已知二次函数(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:①a、b同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0,其中正确的有 .(填序号)‎ ‎14.已知抛物线的顶点为,与x轴交于A、B两点,在x轴下方与x轴距离为4的点M在抛物线上,且,则点M的坐标为 .‎ ‎15.已知二次函数(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:‎ ‎ ①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b>m(am+b),(m≠l的实数).‎ 其中正确的结论有_____ ___(只填序号).‎ ‎ ‎ 第15题 第16题 ‎16.如图所示,抛物线向右平移1个单位得到抛物线y2.回答下列问题:‎ ‎ (1)抛物线y2的顶点坐标________.(2)阴影部分的面积S=________.‎ ‎(3)若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3,则抛物线y3的开口方向________,‎ 顶点坐标________.‎ 三、解答题 ‎17.某网店打出促销广告:最潮新款服装30件,每件售价300元.若一次性购买不超过10件时,售价不变;若一次性购买超过10件时,每多买1件,所买的每件服装的售价均降低3元.已知该服装成本是每件200元,设顾客一次性购买服装x件时,该网店从中获利y元.‎ ‎(1)求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;‎ ‎(2)顾客一次性购买多少件时,该网店从中获利最多?‎ ‎18.如图所示,已知经过原点的抛物线与x轴的另一交点为A,现将它向右平移m(m>0)个单位,所得抛物线与x轴交于C、D两点,与原抛物线交于点P.‎ ‎ (1)求点A的坐标,并判断△PCA存在时它的形状(不要求说理);‎ ‎ (2)在x轴上是否存在两条相等的线段?若存在,请一一找出,并写出它们的长度(可用含m的式子表示);若不存在,请说明理由;‎ ‎ (3)设△PCD的面积为S,求S关于m的关系式.‎ ‎ ‎ ‎19. 在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0)、B(0,-4)、C(2,0)三点.‎ ‎ (1)求抛物线的解析式;‎ ‎ (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m 的函数关系式,并求出S的最大值;‎ ‎ (3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.‎ ‎ ‎ ‎20. 如图①所示,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴正半轴交于点F(16,0)、与y轴正半轴交于点E(0,16),边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合,顶点A与点E重合,顶点C与点,重合.‎ ‎(1)求抛物线的函数表达式;‎ ‎ (2)如图②所示,若正方形ABCD在平面内运动,并且边BC所在的直线始终与x轴垂直,抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q(运动时,点P不与A、B两点重合,点Q不与C、D两点重合).设点A的坐标为(m,n)(m>0).‎ ‎ ①当PO=PF时,分别求出点P与点Q的坐标;‎ ‎ ②在①的基础上,当正方形ABCD左右平移时,请直接写出m的取值范围;‎ ‎ ③当n=7时,是否存在m的值使点P为AB边的中点?若存在,请求出m的值;‎ 若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案与解析】‎ 一、选择题 ‎1.【答案】C;‎ ‎【解析】,‎ ‎∴ 其顶点坐标为,设顶点坐标为,由题意得,‎ ‎∴ ,∴ 的解析式为.‎ 由到需向右平移5个单位,因此选C.‎ ‎2.【答案】A;‎ ‎【解析】由图象知,a<0,c<0,,‎ ‎ ∴ b>0,ac>0,∴ 2a-b<0.‎ ‎ 又对称轴,即2a+b<0.‎ ‎ 当x=1时,a+b+c>0;当x=-2时,4a-2b+c<0.‎ ‎ 综上知选A.‎ ‎3.【答案】C;‎ ‎【解析】由抛物线开口向下知a<0,由图象知c>0,,b<0,即abc>0,又抛物线与x轴有两个交点,所以. ‎ ‎4.【答案】B;‎ ‎【解析】抛物线,其顶点(-1,2)绕点(0,3)旋转180°后坐标为(1,4),开口向下.‎ ‎ ∴ 旋转后的抛物线解析式为.‎ ‎5.【答案】B;‎ ‎【解析】连接O1M、O1O,易知两圆切点在直线OO1上,线段OO1=OA-y=2-y,O1M=y,OM=OA-AM=2-x.‎ 由勾股定理得(2-y)2=y2+(2-x)2,故. ‎ ‎6.【答案】C;‎ ‎【解析】由小华的条件,抛物线过(3,0)与(1,0)两点,则对称轴为x=2;由小彬的条件,抛物线 过点(4,3)又过(0,3)点,∴ 对称轴为直线x=2;由小明的条件a=1,c=3,得到关系式 为,过点(1,0)得b=-4,对称轴为;由小颖的条件抛物线被x 轴截得的线段长为2,另一交点可能是(3,0)或(-1,0),当另一交点为(-1,0)时,对称轴 不是x=2.所以小颖说的不对.故选C.‎ ‎7.【答案】C;‎ ‎【解析】①若过定点(2,1),则有.整理、化简,得-2a+b=1,与题设隐含条件相符;‎ ‎②若对称轴是直线x=1,这时,2a-b=0,与题设隐含条件不相符;‎ ‎③当a<0时,抛物线开口向下,这时顶点的纵坐标为.‎ 由于,.∴ .∴ .‎ 综合以上分析,正确叙述的个数为2,应选C.‎ ‎8.【答案】B;‎ ‎【解析】①抛物线y=ax2,利用顶点坐标公式得:顶点坐标为(0,0),本选项正确;‎ ‎②根据图象得:直线y=kx+b(k≠0)为增函数;抛物线y=ax2(a≠0)当x>0时为增函数,则x>0时,直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大,本选项正确;‎ ‎③由A、B横坐标分别为﹣2,3,若AB=5,可得出直线AB与x轴平行,即k=0,‎ 与已知k≠0矛盾,故AB不可能为5,本选项错误;‎ ‎④若OA=OB,得到直线AB与x轴平行,即k=0,与已知k≠0矛盾,‎ ‎∴OA≠OB,即△AOB不可能为等边三角形,本选项错误;‎ ‎⑤直线y=﹣kx+b与y=kx+b关于y轴对称,如图所示:‎ 可得出直线y=﹣kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为﹣3,2,‎ 由图象可得:当﹣3<x<2时,ax2<﹣kx+b,即ax2+kx<b,‎ 则正确的结论有①②⑤.故选B.‎ 二、填空题 ‎9.【答案】y=(x+2)2-3;‎ ‎ 【解析】y=x2的顶点为(0,0),y=(x+2)2+3的顶点为(-2,-3),将(0,0)先向左平移2个单位,再向下平移3个单位可得(-2,-3),即将抛物线y=x2先向左平移2个单位,再向下平移3个单位得到抛物线y=(x+2)2-3.‎ ‎10.【答案】y1<y2<y3.‎ ‎【解析】设x2+bx-3=0的另一根为x2,则,∴ x2=1,‎ ‎∴ 抛物线的对称轴为,开口向上时,到对称轴的距离越大函数值越大,‎ 所以y1<y3,y1<y2<y3,也可求出b=2,分别求出y1,y2,y3的值再比较大小.‎ ‎11.【答案】或;‎ ‎【解析】当⊙P与x轴相切时,圆心P的纵坐标为2,将y=2得,所以,从而圆心P的坐标为或.‎ ‎12.【答案】y=﹣2(x﹣2)2+1或y=2(x﹣2)2+1; ‎ ‎【解析】图象顶点坐标为(2,1)‎ 可以设函数解析式是y=a(x﹣2)2+1‎ 又∵形状与抛物线y=﹣2x2相同即二次项系数绝对值相同 则|a|=2‎ 因而解析式是:y=﹣2(x﹣2)2+1或y=2(x﹣2)2+1.‎ ‎13.【答案】②③;‎ ‎【解析】由图象知,抛物线与x轴交于点(-1,0),(5,0),于是可确定抛物线的对称轴为,‎ 则,∴ 4a+b=0,故③是正确的;‎ 又∵ 抛物线开口向上,∴ a>0,b=-4a<0,‎ ‎∴ ①是错误的;又∵ ,即x=1和x=3关于对称轴x=2对称,其函数值相等,‎ ‎∴ ②是正确的;根据抛物线的对称性知,当y=-2时,x的值可取0或4.‎ ‎∴ ④是错误的.‎ ‎14.【答案】(2,-4)或(-1,-4);‎ ‎【解析】∵ ,∴ |AB|=5.‎ ‎ 又∵ 抛物线的对称轴为直线,∴ A、B两点的坐标为(2,0)和(3,0).‎ ‎ 设抛物线的解析式为,则 解得 ‎ ∴ 抛物线的解析式为.‎ ‎ 当y=-4时,,∴ ,∴ x1=-2,x2=-1.‎ ‎ ∴ M点坐标为(2,-4)或(-1,-4).‎ ‎15.【答案】③④⑤;‎ ‎ 【解析】由题意可知a<0,c>0,,即b>0,∴ abc<0.由图象知x=2在抛物线与x轴两个交点之间,当x=-1时,a-b+c<0,∴ b>a+c.当x=2时,4a+2b+c>0.又由对称性知9a+3b+c<0,且,∴ ,∴ 2c<3b.当x=1时,,而m≠1,当时,,由知,‎ ‎∴ ,故③④⑤正确.‎ ‎16.【答案】 (1)(1,2); (2)2; (3)向上; (-1,-2); ‎ ‎【解析】抛物线向右平移1个单位,则顶点由(0,2)移到(1,2).利用割补法,阴影部分面积恰好为两个正方形的面积.若将抛物线y2绕原点O旋转180°,则抛物线y2的顶点与点(1,2)关于原点对称.‎ 三、解答题 ‎17.【答案与解析】‎ ‎ 解:(1)y=,‎ ‎(2)在0≤x≤10时,y=100x,当x=10时,y有最大值1000;‎ ‎10<x≤30时,y=﹣3x2+130x,‎ 当x=21时,y取得最大值,‎ ‎∵x为整数,根据抛物线的对称性得x=22时,y有最大值1408.‎ ‎∵1408>1000,‎ ‎∴顾客一次购买22件时,该网站从中获利最多.‎ ‎18.【答案与解析】‎ ‎ (1)先令,得x1=0,x2=2. ∴ 点A的坐标为(2,0).△PCA是等腰三角形.‎ ‎ (2)存在OC=AD=m,OA=CD=2.‎ ‎ (3)当0<m<2时,如图所示,作PH⊥x轴于H,设.‎ ‎ ∵ A(2,0),C(m,0),∴ AC=2-m,‎ ‎ ∴ .∴ .‎ ‎ 把代入,得.‎ ‎ ∵ CD=OA=2,∴ .‎ 当m>2时,如图所示,作PH⊥x轴于H,设.‎ ‎ ∵ A(2,0),C(m,0),∴ AC=m-2.∴ .‎ ‎ ∴ .‎ ‎ 把代入,得.‎ ‎ ∵ CD=OA=2,∴ .‎ ‎19.【答案与解析】‎ ‎ (1)设抛物线的解析式为(a≠0).‎ ‎∵ 抛物线经过点A(-4,0)、B(0,-4)、C(2,0),‎ ‎∴ 解得 ‎ ∴ 抛物线的解析式为.‎ ‎ (2)过点M作MD⊥x轴于点D. 设M点的坐标为(m,n),则AD=m+4,‎ ‎ ,.‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎∴ 当时,.‎ ‎(3)满足题意的Q点的坐标有四个,‎ 分别是:(-4,4)、(4,-4)、、.‎ ‎20.【答案与解析】‎ ‎ [解析] (1)由抛物线经过点E(0,16),F(16,0)得:‎ ‎ 解得 ∴ .‎ ‎ (2)①过点P作PG⊥x轴于点G,连接PF.‎ ‎ ∵ PO=PF.∴ OG=FG.‎ ‎∵ F(16,0),∴ OF=16,‎ ‎∴ ,即P点的横坐标为8,‎ ‎ ∵ P点在抛物线上,‎ ‎ ∴ ,‎ ‎ 即P点的纵坐标为12,∴ P(8,12),‎ ‎ ∵ P点的纵坐标为12,正方形ABCD边长是16,‎ ‎∴ Q点的纵坐标为-4,‎ ‎∵ Q点在抛物线上,∴ ,‎ ‎∴ ,,‎ ‎∵ m>0, ∴ 舍去,‎ ‎∴ ,∴ .‎ ‎②.‎ ‎③不存在,理由:当n=7时,则P点的纵坐标为7,‎ ‎∵ P点在抛物线上,∴ ,‎ ‎∴ ,,‎ ‎∵ ,∴ 舍去,∴ x=12,‎ ‎∴ P点坐标为(12,7).‎ ‎∵ P为AB中点,∴ ,‎ ‎∴ 点A的坐标是(4,7),∴ m=4.‎ 又∵ 正方形ABCD边长是16,‎ ‎∴ 点B的坐标是(20,7),点C的坐标是(20,-9),‎ ‎∵ Q点在抛物线上,∴ ,‎ ‎∴ ,,‎ ‎∵ m>0,∴ 舍去,∴ x=20,‎ ‎∴ Q点坐标(20,-9),∴ 点Q与点C重合,‎ 这与已知点Q不与点C重合矛盾,∴ 当n=7时,不存在这样的m值使P为AB边的中点.‎
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