中考数学复习二次函数

中考数学复习二次函数

中考数学专题复习五 二次函数 ‎【教学笔记】‎ 考点一：求二次函数的解析式 1、 用待定系数法求二次函数的解析式，要根据给定点的特性选择适宜的式子来求解.‎ 2、 已知顶点坐标或对称轴或最大值时，可设顶点式y=a(x-h)²+k.‎ 3、 已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称轴，可通过设交点式y=a(x-x1)(x-x2)来求解；‎ 4、 所给的三个条件是任意三点时，可设一般式y=ax²+bx+c，然后组成三元一次方程组来求解.‎ 考点二：根据二次函数图象及性质判断代数式的符号 1、 二次函数图象与系数的关系.‎ 2、 注意二次函数的系数与其图象的形状、对称轴、特殊点的关系.‎ 3、 二次函数与x、y轴的交点问题，根据题意得出抛物线对称轴.‎ 考点三：二次函数与实际问题 1、 如物体的运动 规律问题、销售利润问题、几何图形的变更问题、存在性问题等. ‎ 2、 最值问题 3、 函数与方程结合 考点四：二次函数的综合应用 1、 动点问题 2、 数形结合 3、 分类讨论 4、 与几何图形结合、勾股定理等 ‎【典型例题】‎ 考点一：求二次函数的解析式 ‎【例1】例1：（2016•四川攀枝花）将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（ C ）‎ ‎　 A．y=﹣2（x+1）2 B．y=﹣2（x+1）2+2 ‎ C．y=﹣2（x﹣1）2+2 D．y=﹣2（x﹣1）2+1‎ ‎【例2】（2016•资阳）已知抛物线与x轴交于A（6，0）、B（﹣，0）两点，与y轴交于点C，过抛物线上点M（1，3）作MN⊥x轴于点N，连接OM．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图1，将△OMN沿x轴向右平移t个单位（0≤t≤5）到△O′M′N′的位置，MN′、M′O′与直线AC分别交于点E、F．‎ ‎①当点F为M′O′的中点时，求t的值；‎ ‎②如图2，若直线M′N′与抛物线相交于点G，过点G作GH∥M′O′交AC于点H，试确定线段EH是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+），把点M（1，3）代入即可求出a，进而解决问题．‎ ‎（2））①如图1中，AC与OM交于点G．连接EO′，首先证明△AOC∽△MNO，推出OM⊥AC，在RT△EO′M′中，利用勾股定理列出方程即可解决问题．‎ ‎②由△GHE∽△AOC得==，所以EG最大时，EH最大，构建二次函数求出EG的最大值即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+），把点M（1，3）代入得a=﹣，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+），‎ ‎∴y=﹣x2+x+2．‎ ‎（2）①如图1中，AC与OM交于点G．连接EO′．‎ ‎∵AO=6，OC=2，MN=3，ON=1，∴==3，∴=，‎ ‎∵∠AOC=∠MON=90°，∴△AOC∽△MNO，∴∠OAC=∠NMO，‎ ‎∵∠NMO+∠MON=90°，∴∠MON+∠OAC=90°，∴∠AGO=90°，∴OM⊥AC，‎ ‎∵△M′N′O′是由△MNO平移所得，∴O′M′∥OM，∴O′M′⊥AC，‎ ‎∵M′F=FO′，∴EM′=EO′，‎ ‎∵EN′∥CO，∴=，∴=，∴EN′=（5﹣t），‎ 在RT△EO′M′中，∵O′N′=1，EN′=（5﹣t），EO′=EM′=+t，‎ ‎∴（+t）2=1+（﹣t）2，∴t=1．‎ ‎②如图2中，‎ ‎∵GH∥O′M′，O′M′⊥AC，∴GH⊥AC，∴∠GHE=90°，‎ ‎∵∠EGH+∠HEG=90°，∠AEN′+∠OAC=90°，∠HEG=∠AEN′，‎ ‎∴∠OAC=∠HGE，∵∠GHE=∠AOC=90°，∴△GHE∽△AOC，∴==，∴EG最大时，EH最大，‎ ‎∵EG=GN′﹣EN′=﹣（t+1）2+（t+1）+2﹣（5﹣t）=﹣t2+t+=﹣（t﹣2）2+．∴t=2时，EG最大值=，∴EH最大值=．‎ ‎∴t=2时，EH最大值为．‎ ‎【例3】（2013•资阳）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），与x轴的另一交点为E，连结CE，点A、B、D的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）、（0，4）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知抛物线的对称轴l交x轴于点F，交线段CD于点K，点M、N分别是直线l和x轴上的动点，连结MN，当线段MN恰好被BC垂直平分时，求点N的坐标；‎ ‎（3）在满足（2）的条件下，过点M作一条直线，使之将四边形AECD的面积分为3：4的两部分，求出该直线的解析式．‎ 考点：‎ 二次函数综合题4‎ 分析：‎ ‎（1）根据平行四边形的性质可求点C的坐标，由待定系数法即可求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）连结BD交对称轴于G，过G作GN⊥BC于H，交x轴于N，根据待定系数法即可求出直线BD的解析式，根据抛物线对称轴公式可求对称轴，由此即可求出点N的坐标；‎ ‎（3）过点M作直线交x轴于点P1，分点P在对称轴的左侧，点P在对称轴的右侧，两种情况讨论即可求出直线的解析式．‎ 解答：‎ 解：（1）∵点A、B、D的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）、（0，4），且四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，∴点C的坐标为（5，4），‎ ‎∵过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），∴，解得．‎ 故抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．‎ ‎（2）连结BD交对称轴于G，在Rt△OBD中，易求BD=5，∴CD=BD，则∠DCB=∠DBC，‎ 又∵∠DCB=∠CBE，∴∠DBC=∠CBE，过G作GN⊥BC于H，交x轴于N，‎ 易证GH=HN，∴点G与点M重合，故直线BD的解析式y=﹣x+4 ‎ 根据抛物线可知对称轴方程为x=，则点M的坐标为（，），即GF=，BF=，‎ ‎∴BM==，又∵MN被BC垂直平分，∴BM=BN=，∴点N的坐标为（，0）；‎ ‎（3）过点M作直线交x轴于点P1，易求四边形AECD的面积为28，四边形ABCD的面积为20，由“四边形AECD的面积分为3：4”可知直线P1M必与线段CD相交，设交点为Q1，四边形AP1Q1D的面积为S1，四边形P1ECQ1的面积为S2，点P1的坐标为（a，0），‎ 假设点P在对称轴的左侧，则P1F=﹣a，P1E=7﹣a，‎ 由△MKQ1∽△MFP1，得=，‎ 易求Q1K=5P1F=5（﹣a），∴CQ1=﹣5（﹣a）=5a﹣10，∴S2=（5a﹣10+7﹣a），‎ 根据P1（，0），M（，）可求直线P1M的解析式为y=x﹣6，‎ 若点P在对称轴的右侧，则直线P2M的解析式为y=﹣x+．‎ 点评：‎ 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：平行四边形的性质，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，抛物线对称轴公式，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．‎ ‎【课后练习】‎ 1、 ‎（2016•四川成都）将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　A　）‎ A．y=（x+2）2﹣3 B． y=（x+2）2+3 C． y=（x﹣2）2+3 D． y=（x﹣2）2﹣3‎ 2、 ‎(2014年四川资阳)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；‎ ‎（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．‎ 分析：（1）根据对称轴可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．‎ ‎（2）分三种情况：①当MA=MB时；②当AB=AM时；③当AB=BM时；三种情况讨论可得点M的坐标．‎ ‎（3）平移后的三角形记为△PEF．根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=﹣x+3．易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．根据待定系数法可得直线AC的解析式．连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．分二种情况：①当0＜m≤时；②当＜m＜3时；讨论可得用m的代数式表示S．‎ 解答： 解：（1）由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），则 ‎，解得．故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．‎ ‎（2）①当MA=MB时，M（0，0）；‎ ‎②当AB=AM时，M（0，﹣3）；‎ ‎③当AB=BM时，M（0，3+3）或M（0，3﹣3）．‎ 所以点M的坐标为：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）．‎ ‎（3）平移后的三角形记为△PEF．‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得．‎ 则直线AB的解析式为y=﹣x+3．‎ ‎△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△PEF，‎ 易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．‎ 设直线AC的解析式为y=k′x+b′，则，解得．‎ 则直线AC的解析式为y=﹣2x+6．连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．‎ 在△AOB沿x轴向右平移的过程中．‎ ‎①当0＜m≤时，如图1所示．设PE交AB于K，EF交AC于M．则BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，‎ 联立，解得，即点M（3﹣m，2m）．故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM=PE2﹣PK2﹣AF•h ‎=﹣（3﹣m）2﹣m•2m=﹣m2+3m．‎ ‎②当＜m＜3时，如图2所示．设PE交AB于K，交AC于H．‎ 因为BE=m，所以PK=PA=3﹣m，又因为直线AC的解析式为y=﹣2x+6，所以当x=m时，得y=6﹣2m，所以点H（m，6﹣2m）．‎ 故S=S△PAH﹣S△PAK=PA•PH﹣PA2=﹣（3﹣m）•（6﹣2m）﹣（3﹣m）2=m2﹣3m+．‎ 综上所述，当0＜m≤时，S=﹣m2+3m；当＜m＜3时，S=m2﹣3m+．‎ 1、 ‎(2015年四川资阳)已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y＝x2＋2x＋1和y＝2x＋2，则这条抛物线的解析式为_____________________．‎ 解析：先求出y=x2+2x+1和y=2x+2的交点C′的坐标为（1，4），再求出“梦之星”抛物线y=x2+2x+1的顶点A坐标（﹣1，0），接着利用点C和点C′关于x轴对称得到C（1，﹣4），则可设顶点式y=a（x﹣1）2﹣4，‎ 然后把A点坐标代入求出a的值即可得到原抛物线解析式．‎ 解答：解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，∴A点坐标为（﹣1，0），解方程组得或，‎ ‎∴点C′的坐标为（1，4），∵点C和点C′关于x轴对称，∴C（1，﹣4），‎ 设原抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，把A（﹣1，0）代入得4a﹣4=0，解得a=1，‎ ‎∴原抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．故答案为y=x2﹣2x﹣3．‎ 1、 ‎(2014年四川成都)将二次函数化为的形式，结果为（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ 解：.故选D。‎ 考点二：根据二次函数图象及性质判断代数式的符号 ‎【例1】(2014年四川资阳)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：‎ ‎①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），‎ 其中正确结论的个数是（　　）‎ ‎　 A．4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个 解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；‎ ‎∵对称轴是直线x=﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，‎ ‎∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，‎ ‎∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②错误；‎ ‎∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正确；‎ ‎∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，‎ 即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，‎ 即m（am+b）+b＜a，∴④正确；‎ 即正确的有3个，故选B．‎ ‎【例2】（2013•资阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣4＜P＜0‎ B．‎ ‎﹣4＜P＜﹣2‎ C．‎ ‎﹣2＜P＜0‎ D．‎ ‎﹣1＜P＜0‎ 分析：‎ 求出a＞0，b＞0，把x=1代入求出a=2﹣b，b=2﹣a，把x=﹣1代入得出y=a﹣b+c=2a﹣4，求出2a﹣4的范围即可．‎ 解答：‎ 解：∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，‎ ‎∵对称轴在y轴的左边，∴﹣＜0，∴b＞0，‎ ‎∵图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b﹣2=0，‎ ‎∴a=2﹣b，b=2﹣a，∴y=ax2+（2﹣a）x﹣2，‎ 把x=﹣1代入得：y=a﹣（2﹣a）﹣2=2a﹣4，‎ ‎∵b＞0，∴b=2﹣a＞0，∴a＜2，‎ ‎∵a＞0，∴0＜a＜2，‎ ‎∴0＜2a＜4，∴﹣4＜2a﹣4＜0，即﹣4＜P＜0，故选A．‎ ‎【课后练习】‎ 1、 ‎（2016•资阳）已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A（x1，m）、B（x1+n，m）两点，则m、n的关系为（　　）‎ A．m=n B．m=n C．m=n2D．m=n2‎ ‎【分析】由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c，其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，故A（﹣﹣，m），B（﹣+，m）；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴当x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．又∵点A（x1，m），B（x1+n，m），∴点A、B关于直线x=﹣对称，‎ ‎∴A（﹣﹣，m），B（﹣+，m），将A点坐标代入抛物线解析式，得m=（﹣﹣）2+（﹣﹣）b+c，即m=﹣+c，∵b2=4c，∴m=n2，故选D．‎ 2、 函数和在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）‎ ‎【答案】C；‎ ‎【解析】 ∵ a≠0，∴ 分a＞0，a＜0两种情况来讨论两函数图象的分布情况．‎ ‎ 若a＞0，则y＝ax+b的图象必经过第一、三象限，的图象开口向上，可排除D．‎ ‎ 若a＞0，b＞0，则y＝ax+b的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，的图象的对称轴在y轴的左侧，故B不正确．‎ ‎ 若a＞0，b＜0，则y＝ax+b的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，的图象的对称轴在y轴的右侧，故C正确．‎ ‎ 若a＜0，则y＝ax+b的图象必经过第二、四象限，的图象开口向下，故A不正确．‎ 考点三：二次函数与实际问题 ‎【例1】(2014年四川资阳)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．‎ ‎（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？‎ ‎（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．‎ 解答： 解：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，‎ 由题意得，，‎ 解不等式①得，x≥11，解不等式②得，x≤15，‎ 所以，不等式组的解集是11≤x≤15，‎ ‎∵x为正整数，∴x可取的值为11、12、13、14、15，所以，该商家共有5种进货方案；‎ ‎（2）设总利润为W元，y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，‎ 则W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x），‎ ‎=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000=30x2﹣540x+12000=30（x﹣9）2+9570，‎ 当x＞9时，W随x的增大而增大，∵11≤x≤15，‎ ‎∴当x=15时，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），‎ 答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．‎ ‎【例2】(2014年四川成都)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长为28米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB=x米。‎ ‎（1）若花园的面积为192平方米，求x的值；‎ ‎（2）若在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15米和6米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值。‎ ‎【解析】AB+AC=28m，‎ 解：（1）由题意可知：x（28-x）=192，解得x=12或16；∴x的值为12米或16米；‎ ‎（2）∵；∴当x=13米时，‎ ‎【课后练习】‎ 1、 ‎(2016年四川成都)某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少. 根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种x棵橙子树.‎ ‎ (1)直接写出平均每棵树结的橙子数y（个）与x之间的关系式；‎ ‎(2)果园多种多少棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大？最大为多少个？‎ 解：（1）；‎ ‎ (2) 设果园多种x棵橙子树时，橙子的总产量为z个.由题知：‎ ‎ Z＝（100＋x）y＝（100＋x）（600-5x）＝－5(x－10）2＋60500‎ ‎ ∵ a＝－5＜0 ∴ 当x＝10时，Z最大＝60500.‎ ‎ ∴ 果园多种10棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大，最大为60500个. ‎ 2、 某体育用品店购进一批单件为40元的球服，如果按单价60元销售样，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≧60）元，销售量为y套．‎ ‎（1）求出y与x的函数关系式；‎ ‎（2）当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？‎ ‎（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？‎ 解：（1）销售单价为x元，则销售量减少×20，‎ 故销售量为y=240﹣×20=﹣4x+480（x≥60）； ‎ ‎（2）根据题意可得，x（﹣4x+480）=14000，解得x1=70，x2=50（不合题意舍去），‎ 故当销售价为70元时，月销售额为14000元； ‎ ‎（3）设一个月内获得的利润为w元，根据题意得：‎ w=（x﹣40）（﹣4x+480）=﹣4x2+640x﹣19200 =﹣4（x﹣80）2+6400． ‎ 当x=80时，w的最大值为6400． ‎ 故当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．‎ 考点四：二次函数的综合应用 ‎【例1】(2015四川资阳)已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=x2相交于B、C两点.‎ ‎（1）如图13-1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如图13-2，设(m<0)，过点的直线l∥x轴，BR⊥l于R，CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．‎ 分析：（1）首先求出C的坐标，然后由C、F两点用待定系数法求解析式即可；‎ ‎（2）因为DM∥OF，要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则DM=OF，设M（x，﹣x+1），则D（x，x2），表示出DM，分类讨论列方程求解；‎ ‎（3）根据勾股定理求出BR=BF，再由BR∥EF得到∠RFE=∠BFR，同理可得∠EFS=∠CFS，所以∠RFS=∠BFC=90°，所以△RFS是直角三角形．‎ 解答：解：（1）因为点C在抛物线上，所以C（1，），又∵直线BC过C、F两点，‎ 故得方程组：解之，得，所以直线BC的解析式为：y=﹣x+1； ‎ ‎（2）要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF，如图1所示，‎ 设M（x，﹣x+1），则D（x，x2），‎ ‎∵MD∥y轴，‎ ‎∴MD=﹣x+1﹣x2，‎ 由MD=OF，可得|﹣x+1﹣x2|=1，‎ ‎①当﹣x+1﹣x2=1时，‎ 解得x1=0（舍）或x1=﹣3，‎ 所以M（﹣3，），‎ ‎②当﹣x+1﹣x2，=﹣1时，‎ 解得，x=，‎ 所以M（，）或M（，），‎ 综上所述，存在这样的点M，使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，‎ M点坐标为（﹣3，）或（，）或（，）；‎ ‎（3）过点F作FT⊥BR于点T，如图2所示，‎ ‎∵点B（m，n）在抛物线上，∴m2=4n，‎ 在Rt△BTF中，BF==‎ ‎==，‎ ‎∵n＞0，∴BF=n+1，又∵BR=n+1，∴BF=BR．∴∠BRF=∠BFR，‎ 又∵BR⊥l，EF⊥l，∴BR∥EF，∴∠BRF=∠RFE，∴∠RFE=∠BFR，‎ 同理可得∠EFS=∠CFS，∴∠RFS=∠BFC=90°，∴△RFS是直角三角形．‎ ‎【课后练习】‎ 1、 ‎(2016四川成都)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与轴交于点C（0，），顶点为D，对称轴与轴交于点H.过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴右侧.‎ ‎ (1)求a的值及点A、B的坐标；‎ ‎ (2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；‎ ‎ (3)当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否成为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．‎ 解析：（1）∵ 抛物线与与轴交于点C（0，－）.‎ ‎ ∴ a－3＝－，解得：a＝，∴y＝(x＋1)2－3‎ ‎ 当y＝0时，有(x＋1)2－3＝0，∴ X1＝2，X2＝－4 ∴ A(－4，0)，B(2，0).‎ ‎ （2）∵ A(－4，0)，B(2，0)，C（0，－），D(－1，－3)‎ ‎ ∴ S四边形ABCD＝S△AHD＋S梯形OCDH＋S△BOC＝ ×3×3＋( ＋ 3) ×1＋×2×＝10.‎ ‎ 从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：‎ ‎ ① 当直线l边AD相交与点M1时，则S△AHM1＝×10＝3，∴×3×（－yM1）＝3‎ ‎ ∴ yM1＝－2，点M1（－2，－2），过点H（－1，0）和M1（－2，－2）的直线l的解析式为y＝2x＋2.‎ ‎ ②当直线l边BC相交与点M2时，同理可得点M2（，－2），过点H（－1，0）和M2（，－2）的直线l的解析式为y＝－x－.‎ ‎ 综上：直线l的函数表达式为y＝2x＋2或y＝－x－.‎ ‎（3）设P（x1,y1）、Q（x2,y2）且过点H（－1，0）的直线PQ的解析式为y＝kx+b,‎ ‎∴ －k＋b＝0，∴y＝kx＋k.‎ 由， ∴ ‎ ‎∴ x1＋x2＝－2＋3k,y1+y2＝kx1+k+kx2+k＝3k2, ∵点M是线段PQ的中点，∴由中点坐标公式的点M（k－1，k2）.‎ ‎ 假设存在这样的N点如下图，直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y＝kx＋k-3‎ ‎ 由，解得：x1＝－1, x2＝3k－1, ∴N（3k－1，3k2－3）‎ ‎ ∵ 四边形DMPN是菱形，∴ DN＝DM，∴ ‎ ‎ 整理得：3k4－k2－4＝0，，∵ k2＋1＞0，∴3k2－4＝0，‎ ‎ 解得，∵ k＜0，∴, ‎ ‎∴P（－，6），M（－，2），N（－， 1）‎ ‎∴PM＝DN＝2，∴四边形DMPN为菱形 ∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（－， 1）.‎ 1、 ‎(2016四川成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax 2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．‎ ‎（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；‎ ‎（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 ，求a的值；‎ ‎（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．‎ x y O A B D l C 备用图 x y O A B D l C E ‎【答案】：（1）A（－1，0），y＝ax＋a； ‎ ‎（2）a＝－ ；‎ ‎（3）P的坐标为（1，－ ）或（1，－4）‎ ‎【解析】：‎ ‎（1）A（－1，0）‎ x y O A B D l C E F ‎∵直线l经过点A，∴0＝－k＋b，b＝k ‎∴y＝kx＋k 令ax 2－2ax－3a＝kx＋k，即ax 2－( 2a＋k )x－3a－k＝0‎ ‎∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4‎ ‎∴－3－ ＝－1×4，∴k＝a ‎∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a ‎（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F 设E（x，ax 2－2ax－3a），则F（x，ax＋a）‎ EF＝ax 2－2ax－3a－( ax＋a )＝ax 2－3ax－4a S△ACE ＝S△AFE － S△CFE＝ ( ax 2－3ax－4a )( x＋1 )－ ( ax 2－3ax－4a )x ‎＝ ( ax 2－3ax－4a )＝ a( x－ )2－ a ∴△ACE的面积的最大值为－ a ‎∵△ACE的面积的最大值为 ，∴－ a＝ ，解得a＝－ ‎（3）令ax 2－2ax－3a＝ax＋a，即ax 2－3ax－4a＝0‎ x y A B D l C Q P O 解得x1＝－1，x2＝4；∴D（4，5a）‎ ‎∵y＝ax 2－2ax－3a，∴抛物线的对称轴为x＝1‎ 设P（1，m）‎ ‎①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a）‎ m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a）‎ ‎∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°‎ ‎∴AD 2＋PD 2＝AP 2‎ ‎∴5 2＋( 5a )2＋( 1－4 )2＋( 26a－5a )2＝( －1－1 )2＋( 26a )2‎ 即a 2＝ ，∵a＜0，∴a＝－ ，∴P1（1，－ ）‎ x y O A B D l C P Q ‎②若AD是矩形的一条对角线，‎ 则线段AD的中点坐标为（ ，），Q（2，－3a）‎ m＝5a－( －3a )＝8a，则P（1，8a）‎ ‎∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°‎ ‎∴AP 2＋PD 2＝AD 2‎ ‎∴( －1－1 )2＋( 8a )2＋( 1－4 )2＋( 8a－5a )2＝5 2＋( 5a )2‎ 即a 2＝ ，∵a＜0，∴a＝－ ，∴P2（1，－4）‎ 综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，－ ）或（1，－4）‎ ‎3、（2014年四川自贡）如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=x﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y=x﹣2与y轴的交点，连接AC．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）证明：△ABC为直角三角形；‎ ‎（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．‎ 分析： （1）由直线y=x﹣2交x轴、y轴于B、C两点，则B、C坐标可求．进而代入抛物线y=ax2﹣x+c，即得a、c的值，从而有抛物线解析式．‎ ‎（2）求证三角形为直角三角形，我们通常考虑证明一角为90°或勾股定理．本题中未提及特殊角度，而已经A、B、C坐标，即可知AB、AC、BC，则显然可用勾股定理证明．‎ ‎（3）在直角三角形中截出矩形，面积最大，我们易得两种情形，①一点为C，AB、AC、BC边上各有一点，②AB边上有两点，AC、BC边上各有一点．讨论时可设矩形一边长x，利用三角形相似等性质表示另一边，进而描述面积函数．利用二次函数最值性质可求得最大面积．‎ 解答： （1）解：∵直线y=x﹣2交x轴、y轴于B、C两点，∴B（4，0），C（0，﹣2），‎ ‎∵y=ax2﹣x+c过B、C两点，∴，解得 ，∴y=x2﹣x﹣2．‎ ‎（2）证明：如图1，连接AC，‎ ‎∵y=x2﹣x﹣2与x负半轴交于A点，‎ ‎∴A（﹣1，0），在Rt△AOC中，‎ ‎∵AO=1，OC=2，∴AC=，‎ 在Rt△BOC中，∵BO=4，OC=2，∴BC=2，‎ ‎∵AB=AO+BO=1+4=5，∴AB2=AC2+BC2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形．‎ ‎（3）解：△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为，理由如下：‎ ‎①一点为C，AB、AC、BC边上各有一点，如图2，此时△AGF∽△ACB∽△FEB．设GC=x，AG=﹣x，‎ ‎∵，∴，∴GF=2﹣2x，‎ ‎∴S=GC•GF=x•（2）=﹣2x2+2x=﹣2[（x﹣）2﹣]=﹣2（x﹣）2+，即当x=时，S最大，为．‎ ‎②AB边上有两点，AC、BC边上各有一点，如图3，此时△CDE∽△CAB∽△GAD，设GD=x，‎ ‎∵，∴，∴AD=x，‎ ‎∴CD=CA﹣AD=﹣x，‎ ‎∵，∴，∴DE=5﹣x，‎ ‎∴S=GD•DE=x•（5﹣x）=﹣x2+5x=﹣[（x﹣1）2﹣1]=﹣（x﹣1）2+，即x=1时，S最大，为．‎ 综上所述，△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为．‎ ‎【课后作业】‎ 一、选择题 ‎1．已知抛物线，将抛物线C平移得到抛物线．若两条抛物线C、关于直线x＝1对称．则下列平移方法中，正确的是（ ）．‎ A．将抛物线C向右平移个单位 B．将抛物线C向右平移3个单位 C．将抛的线C向右平移5个单位 D．将抛物线C向右平移6个单位 ‎2．已知二次函数的图象如图所示，则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a-2b+c，2a+b，2a-b中，其值大于0的个数为( )．‎ ‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎3．二次函数的图象如图所示，则下列关系式不正确的是( )．‎ ‎ A． B．abc＞0 C．a+b+c＞0 D．‎ ‎ ‎ ‎4．在平面直角坐标系中，将抛物线绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．如图所示，半圆O的直径AB＝4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM＝x，则y关于x的函数关系式是( )．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第5题 第6题 ‎6．如图所示，老师出示了小黑板上的题后，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)和(0，3)；‎ 小明说：a＝1，c=3；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有( )．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎7．已知一次函数的图象过点(-2，1)，则关于抛物线的三条叙述：‎ ‎①过定点(2，1)；②对称轴可以是直线x＝l；③当a＜0时，其顶点的纵坐标的最小值为3．‎ 其中所有正确叙述的有( )．‎ ‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎8．如图，直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：‎ ‎①抛物线y=ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；‎ ‎②x＞0时，直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）的函数值都随着x的增大而增大；‎ ‎③AB的长度可以等于5；‎ ‎④△OAB有可能成为等边三角形；‎ ‎⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，‎ 其中正确的结论是（　　）‎ ‎　 A．①②④ B． ①②⑤ C． ②③④ D． ③④⑤‎ 二、填空题 ‎9．由抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的解析式为 .‎ ‎10．已知一元二次方程的一根为-3．在二次函数y=x2+bx-3的图象上有三点、、，y1、y2、y3、的大小关系是 .‎ ‎11．如图所示，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为________．‎ ‎ ‎ 第11题 第13题 ‎12．一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y=﹣2x2相同，试写出这个函数解析式　 　．‎ ‎13．已知二次函数(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①a、b同号；②当x＝1和x＝3时，函数值相等；③4a+b＝0；④当y＝-2时，x的值只能取0，其中正确的有 .（填序号）‎ ‎14．已知抛物线的顶点为，与x轴交于A、B两点，在x轴下方与x轴距离为4的点M在抛物线上，且，则点M的坐标为 ．‎ ‎15．已知二次函数(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：‎ ‎ ①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m(am+b)，(m≠l的实数)．‎ 其中正确的结论有_____ ___(只填序号)．‎ ‎ ‎ 第15题 第16题 ‎16．如图所示，抛物线向右平移1个单位得到抛物线y2．回答下列问题：‎ ‎ (1)抛物线y2的顶点坐标________．(2)阴影部分的面积S＝________．‎ ‎(3)若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的开口方向________，‎ 顶点坐标________．‎ 三、解答题 ‎17．某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元．若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元．‎ ‎（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？‎ ‎18．如图所示，已知经过原点的抛物线与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m(m＞0)个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P．‎ ‎ (1)求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状(不要求说理)；‎ ‎ (2)在x轴上是否存在两条相等的线段?若存在，请一一找出，并写出它们的长度(可用含m的式子表示)；若不存在，请说明理由；‎ ‎ (3)设△PCD的面积为S，求S关于m的关系式．‎ ‎ ‎ ‎19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)、B(0，-4)、C(2，0)三点．‎ ‎ (1)求抛物线的解析式；‎ ‎ (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m 的函数关系式，并求出S的最大值；‎ ‎ (3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．‎ ‎ ‎ ‎20. 如图①所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点F(16，0)、与y轴正半轴交于点E(0，16)，边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点，重合．‎ ‎(1)求抛物线的函数表达式；‎ ‎ (2)如图②所示，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q(运动时，点P不与A、B两点重合，点Q不与C、D两点重合)．设点A的坐标为(m，n)(m＞0)．‎ ‎ ①当PO＝PF时，分别求出点P与点Q的坐标；‎ ‎ ②在①的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围；‎ ‎ ③当n＝7时，是否存在m的值使点P为AB边的中点?若存在，请求出m的值；‎ 若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案与解析】‎ 一、选择题 ‎1.【答案】C；‎ ‎【解析】，‎ ‎∴ 其顶点坐标为，设顶点坐标为，由题意得，‎ ‎∴ ，∴ 的解析式为．‎ 由到需向右平移5个单位，因此选C．‎ ‎2.【答案】A；‎ ‎【解析】由图象知，a＜0，c＜0，，‎ ‎ ∴ b＞0，ac＞0，∴ 2a-b＜0．‎ ‎ 又对称轴，即2a+b＜0．‎ ‎ 当x＝1时，a+b+c＞0；当x＝-2时，4a-2b+c＜0．‎ ‎ 综上知选A．‎ ‎3.【答案】C；‎ ‎【解析】由抛物线开口向下知a＜0，由图象知c＞0，，b＜0，即abc＞0，又抛物线与x轴有两个交点，所以． ‎ ‎4.【答案】B；‎ ‎【解析】抛物线，其顶点(-1，2)绕点(0，3)旋转180°后坐标为(1，4)，开口向下．‎ ‎ ∴ 旋转后的抛物线解析式为．‎ ‎5.【答案】B；‎ ‎【解析】连接O1M、O1O，易知两圆切点在直线OO1上，线段OO1＝OA-y＝2-y，O1M＝y，OM＝OA-AM＝2-x．‎ 由勾股定理得(2-y)2＝y2+(2-x)2，故． ‎ ‎6.【答案】C；‎ ‎【解析】由小华的条件，抛物线过(3，0)与(1，0)两点，则对称轴为x＝2；由小彬的条件，抛物线 过点(4，3)又过(0，3)点，∴ 对称轴为直线x＝2；由小明的条件a＝1，c=3,得到关系式 为，过点(1，0)得b＝-4，对称轴为；由小颖的条件抛物线被x 轴截得的线段长为2，另一交点可能是(3，0)或(-1，0)，当另一交点为(-1，0)时，对称轴 不是x＝2．所以小颖说的不对.故选C.‎ ‎7．【答案】C；‎ ‎【解析】①若过定点(2，1)，则有．整理、化简，得-2a+b＝1，与题设隐含条件相符；‎ ‎②若对称轴是直线x＝1，这时，2a-b＝0，与题设隐含条件不相符；‎ ‎③当a＜0时，抛物线开口向下，这时顶点的纵坐标为．‎ 由于，．∴ ．∴ ．‎ 综合以上分析，正确叙述的个数为2，应选C．‎ ‎8．【答案】B；‎ ‎【解析】①抛物线y=ax2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0，0），本选项正确；‎ ‎②根据图象得：直线y=kx+b（k≠0）为增函数；抛物线y=ax2（a≠0）当x＞0时为增函数，则x＞0时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，本选项正确；‎ ‎③由A、B横坐标分别为﹣2，3，若AB=5，可得出直线AB与x轴平行，即k=0，‎ 与已知k≠0矛盾，故AB不可能为5，本选项错误；‎ ‎④若OA=OB，得到直线AB与x轴平行，即k=0，与已知k≠0矛盾，‎ ‎∴OA≠OB，即△AOB不可能为等边三角形，本选项错误；‎ ‎⑤直线y=﹣kx+b与y=kx+b关于y轴对称，如图所示：‎ 可得出直线y=﹣kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为﹣3，2，‎ 由图象可得：当﹣3＜x＜2时，ax2＜﹣kx+b，即ax2+kx＜b，‎ 则正确的结论有①②⑤．故选B．‎ 二、填空题 ‎9．【答案】y＝(x+2)2-3；‎ ‎ 【解析】y＝x2的顶点为(0，0)，y＝(x+2)2+3的顶点为(-2，-3)，将(0，0)先向左平移2个单位，再向下平移3个单位可得(-2，-3)，即将抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到抛物线y＝(x+2)2-3．‎ ‎10．【答案】y1＜y2＜y3.‎ ‎【解析】设x2+bx-3＝0的另一根为x2，则，∴ x2＝1，‎ ‎∴ 抛物线的对称轴为，开口向上时，到对称轴的距离越大函数值越大，‎ 所以y1＜y3，y1＜y2＜y3，也可求出b＝2，分别求出y1，y2，y3的值再比较大小．‎ ‎11．【答案】或；‎ ‎【解析】当⊙P与x轴相切时，圆心P的纵坐标为2，将y＝2得，所以，从而圆心P的坐标为或．‎ ‎12．【答案】y=﹣2（x﹣2）2+1或y=2（x﹣2）2+1； ‎ ‎【解析】图象顶点坐标为（2，1）‎ 可以设函数解析式是y=a（x﹣2）2+1‎ 又∵形状与抛物线y=﹣2x2相同即二次项系数绝对值相同 则|a|=2‎ 因而解析式是：y=﹣2（x﹣2）2+1或y=2（x﹣2）2+1.‎ ‎13．【答案】②③；‎ ‎【解析】由图象知，抛物线与x轴交于点(-1，0)，(5，0)，于是可确定抛物线的对称轴为，‎ 则，∴ 4a+b＝0，故③是正确的；‎ 又∵ 抛物线开口向上，∴ a＞0，b＝-4a＜0，‎ ‎∴ ①是错误的；又∵ ，即x＝1和x＝3关于对称轴x＝2对称，其函数值相等，‎ ‎∴ ②是正确的；根据抛物线的对称性知，当y＝-2时，x的值可取0或4．‎ ‎∴ ④是错误的．‎ ‎14．【答案】(2，-4)或(-1，-4)；‎ ‎【解析】∵ ，∴ |AB|＝5．‎ ‎ 又∵ 抛物线的对称轴为直线，∴ A、B两点的坐标为(2，0)和(3，0)．‎ ‎ 设抛物线的解析式为，则 解得 ‎ ∴ 抛物线的解析式为．‎ ‎ 当y＝-4时，，∴ ，∴ x1＝-2，x2＝-1．‎ ‎ ∴ M点坐标为(2，-4)或(-1，-4)．‎ ‎15．【答案】③④⑤；‎ ‎ 【解析】由题意可知a＜0，c＞0，，即b＞0，∴ abc＜0．由图象知x＝2在抛物线与x轴两个交点之间，当x＝-1时，a-b+c＜0，∴ b＞a+c．当x＝2时，4a+2b+c＞0．又由对称性知9a+3b+c＜0，且，∴ ，∴ 2c＜3b．当x＝1时，，而m≠1，当时，，由知，‎ ‎∴ ，故③④⑤正确．‎ ‎16．【答案】 (1)(1，2)； (2)2； (3)向上； (-1，-2)； ‎ ‎【解析】抛物线向右平移1个单位，则顶点由(0，2)移到(1，2)．利用割补法，阴影部分面积恰好为两个正方形的面积．若将抛物线y2绕原点O旋转180°，则抛物线y2的顶点与点(1，2)关于原点对称．‎ 三、解答题 ‎17.【答案与解析】‎ ‎ 解：（1）y=，‎ ‎（2）在0≤x≤10时，y=100x，当x=10时，y有最大值1000；‎ ‎10＜x≤30时，y=﹣3x2+130x，‎ 当x=21时，y取得最大值，‎ ‎∵x为整数，根据抛物线的对称性得x=22时，y有最大值1408．‎ ‎∵1408＞1000，‎ ‎∴顾客一次购买22件时，该网站从中获利最多．‎ ‎18.【答案与解析】‎ ‎ (1)先令，得x1＝0，x2＝2． ∴ 点A的坐标为(2，0)．△PCA是等腰三角形．‎ ‎ (2)存在OC＝AD＝m，OA＝CD＝2．‎ ‎ (3)当0＜m＜2时，如图所示，作PH⊥x轴于H，设．‎ ‎ ∵ A(2，0)，C(m，0)，∴ AC＝2-m，‎ ‎ ∴ ．∴ ．‎ ‎ 把代入，得．‎ ‎ ∵ CD＝OA＝2，∴ ．‎ 当m＞2时，如图所示，作PH⊥x轴于H，设．‎ ‎ ∵ A(2，0)，C(m，0)，∴ AC＝m-2．∴ ．‎ ‎ ∴ ．‎ ‎ 把代入，得．‎ ‎ ∵ CD＝OA＝2，∴ ．‎ ‎19.【答案与解析】‎ ‎ (1)设抛物线的解析式为(a≠0)．‎ ‎∵ 抛物线经过点A(-4，0)、B(0，-4)、C(2，0)，‎ ‎∴ 解得 ‎ ∴ 抛物线的解析式为．‎ ‎ (2)过点M作MD⊥x轴于点D． 设M点的坐标为(m，n)，则AD＝m+4，‎ ‎ ，．‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ ‎∴ 当时，．‎ ‎(3)满足题意的Q点的坐标有四个，‎ 分别是：(-4，4)、(4，-4)、、．‎ ‎20.【答案与解析】‎ ‎ [解析] (1)由抛物线经过点E(0，16)，F(16，0)得：‎ ‎ 解得 ∴ ．‎ ‎ (2)①过点P作PG⊥x轴于点G，连接PF.‎ ‎ ∵ PO＝PF．∴ OG＝FG．‎ ‎∵ F(16，0)，∴ OF＝16，‎ ‎∴ ，即P点的横坐标为8，‎ ‎ ∵ P点在抛物线上，‎ ‎ ∴ ，‎ ‎ 即P点的纵坐标为12，∴ P(8，12)，‎ ‎ ∵ P点的纵坐标为12，正方形ABCD边长是16，‎ ‎∴ Q点的纵坐标为-4，‎ ‎∵ Q点在抛物线上，∴ ，‎ ‎∴ ，，‎ ‎∵ m＞0， ∴ 舍去，‎ ‎∴ ，∴ ．‎ ‎②．‎ ‎③不存在，理由：当n＝7时，则P点的纵坐标为7，‎ ‎∵ P点在抛物线上，∴ ，‎ ‎∴ ，，‎ ‎∵ ，∴ 舍去，∴ x＝12，‎ ‎∴ P点坐标为(12，7)．‎ ‎∵ P为AB中点，∴ ，‎ ‎∴ 点A的坐标是(4，7)，∴ m＝4．‎ 又∵ 正方形ABCD边长是16，‎ ‎∴ 点B的坐标是(20，7)，点C的坐标是(20，-9)，‎ ‎∵ Q点在抛物线上，∴ ，‎ ‎∴ ，，‎ ‎∵ m＞0，∴ 舍去，∴ x＝20，‎ ‎∴ Q点坐标(20，-9)，∴ 点Q与点C重合，‎ 这与已知点Q不与点C重合矛盾，∴ 当n＝7时，不存在这样的m值使P为AB边的中点．‎