沈阳市中考数学试卷第25题说题稿东北育才

沈阳市中考数学试卷第25题说题稿东北育才

‎【荣获说题比赛第一名】‎ 精讲·深剖·慎思——细说2018年沈阳市中考数学试卷第25题 辽宁省沈阳市东北育才教育集团 徐秋慧、何颀、陈熙嫄 ‎【原题】（2018•沈阳）25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．‎ ‎（1）求抛物线C1的表达式；‎ ‎（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；‎ ‎（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；‎ ‎（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）∵抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1）‎ ‎∴，解得：，∴抛物线C1：解析式为y=x2+x﹣1‎ ‎（2）∵动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M ‎∴N（t，t2+t﹣1），M（t，2t2+t+1）‎ ‎∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2‎ ‎（3）共分两种情况：‎ ‎①当∠ANM=90°，AN=MN时，t2+t﹣1=1且t2+2=t+2，∴t=1‎ ‎②当∠AMN=90°，AN=MN时，2t2+t+1=1且t2+2=t+2，∴t=0‎ 故t的值为1或0‎ ‎（4）满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（﹣1，3）、（，）、（，）‎ 一、就题讲题——精讲题目解法 ‎（一）整体分析抓脉络 该题分4小题，依次为3分、1分、4分、4分，共计12分。其中，第（1）、（2）题考查基本知识和基本技能；第（3）题难度有所提升，但仍属于常见题型，只是学生容易考虑不周全而漏解，所以这道小题是一个易错点；第（4）题要先根据题意画出图形，分类讨论的情况多，综合性强，无疑是本题的难点。‎ ‎（二）逐题破解究对策 第（1）小题——用待定系数法，通过解二元一次方程组得解，运用的是方程的思想。‎ 第（2）小题——用点的坐标表示竖直方向上两点的距离，运用的是数形结合思想。‎ 第（3）小题——尽管题中给出了直角边MN，仍要分两种情况讨论，再分别根据等腰直角三角形的性质和水平方向上两点的坐标关系列出t的方程，进而通过解一元二次方程得解。经常听到老师这样的困惑：“这类题我都讲了多少遍了，一考试时还是有学生丢解。”其实，我们只告诉学生解法是不够的，还要追溯一下，究竟是什么产生的多个解？是没给定这个直角三角形中谁是直角吗？其实，这不是根本原因！归根究底是因为这里的动直线！是它的不确定，带来的多种情况。所以，更应该告诉学生：“遇到动态问题，就要注意不同位置考虑全。”在教学中，培养学生运动变化的观点，才是避免漏解的关键。‎ 第（4）小题——得进一步以运动变化的视角想出所有合理的情形，并尽量准确地画出图形，这不仅考查学生的思维严密性，对学生的空间想象能力、动手操作能力、逻辑思维能力和分类讨论能力的要求都很高；接着，还要结合所画图形，找到恰当的着手点，再结合适当的方法去得解，这对学生综合运用知识的能力、分析问题和解决问题的能力的要求都很高。所以，本小题充分体现了“压轴”的作用。‎ 因为第（4）小题在本压轴题中的压轴题，所以我们单独设置一个环节进行详细阐述——‎ ‎（三）合理猜想寻突破 对于压轴题的最后一题，大多数学生头疼不已，甚至直接放弃。作为老师，我们又该如何帮助学生突破这困境呢？我会告诉学生：“按惯例，沈阳市中考压轴题的后面小题都要求‘直接写出’结果，而多数问题的结果并不繁杂，所以，准确作图，大胆猜想，往往就有意外收获。”这道题也不例外。‎ 如果有些学生根据题意画出了图形，但还是毫无头绪，那么请标上点的坐标看一看。如果实在目测不出，请画几条网格再看看（如图1）。没错，数感好、几何直观能力强的学生已经看出了四种情况中的两个。‎ 卡尔·高斯说“若无某种大胆果敢的猜想，一般是不可能有知识进展的。”“数学猜想是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素之一，是人类理性中最富有创造性的部分。（来自百度百科）”所以，遇到综合题不放弃，通过观察或测量去合理猜想，就是我要教给学生们解这类问题的第一个策略。‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3‎ 当然，仅仅观察表面是不能解决全部问题的，另一关键是挖掘图中特殊的数量关系和位置关系。比如，本题中的Q3、Q4与Q1、Q2就是俩俩对称的，只需求出其中一对点，另一对用求对称点的方法即可得。这样，就利用转化的思想把问题进行了分解。‎ 那么接下来先求Q1、Q2还是先求Q3、Q4呢？其实，直接求哪个点都能求出来，但位置不规则时不好求。所以在有限的考试时间内，在兼顾答整张试卷的前提下，能顺利解决这类代数几何综合题的唯一法宝一定是从特殊的数量关系和位置关系入手。所以，要么利用所发现的全等三角形（如图2），要么利用所看出的轴对称（如图3），就将这道综合题进一步破解为分散的、基本的知识点，接下来再进行或几何推理、或代数运算，虽方法多样，但也就没有必要详说了。‎ 综上，学生基础知识要学牢，运算、作图等基本技能要过关，书写过程要规范，这样才能在压轴题上“保（1）争（2）破解（3）”；勤练习的同时要多思考，学会分析、形成方法最重要，准确作图、合理猜想找特殊，这样才能在错综复杂的第（4）小题里把思绪找。‎ 二、就题辨题——深剖题目内涵 通过以上讲述，不难看出——‎ ‎（一）科学性 本题考查的知识点：列代数式、解二元一次方程组、解数字系数的一元二次方程、求二次函数的解析式、坐标与图形位置、等腰直角三角形的性质、轴对称的性质和图形的变换，还在不同解题方法中或用到一次函数解析式、或用到全等三角形的判定与性质、或用到圆的定义。‎ 应用的数学思想方法：方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，以及待定系数法、观察法。‎ 考查的数学核心素养：本题还对符号意识、运算能力、数感、空间观念、几何直观和推理能力这些新课标所提倡的十大中的六个都有所考查。‎ 涉及到的四基三能：前两个小题考查基础知识、基本技能；后两小题考查基本思想、基本活动经验。不仅如此，还考查了“四能”中的分析问题、解决问题和发现问题这“三能”。‎ 我们还针对此题所在的整张试卷进行了横向分析：本题易、中、难题的分值分别是4分、4分、4分，放在整张卷纸中符合总体7:2:1的比例；总体知识点的分布情况也与往年没有太大出入。‎ 再与前三年沈阳中考压轴题进行下纵向对比 ‎：跟以往压轴题一样，都是以二次函数为背景的代数与几何综合题，都是“低起点－坡度低－尾巴翘”的模式，而且都不是难在单一知识点的深度，而是难在将几个基本知识点组合在一起的综合性。正像《沈阳市中考说明》说的那样——“试题稳定无变化”。‎ 综上，本题既符合《新课程标准》和《沈阳市中考说明》，又切实贯彻了新课标理念，所以说这道题的命制具有科学性。‎ （二） 有效性 我们今天说的既然是一道中考题，就不得不分析一下它的评价功能。‎ 批这道题的同事给我反馈：“就我批的试卷看，此题大约有六分之一至五分之一的空白卷，答题的同学平均分在5分左右，全答对得12分的大约200人中能有1人。”可以看出，第(1)、(2)小题较简单，符合压轴题也要呈现出梯度的原则；第(3)小题难度提升适度，使中等生有能力答对；第（4）小题情况多、综合性强，很难全答对，但也不至于大家都一分不得而成为无效题。总之，此题作为中考压轴题达到了一定的区分和选拔学生的目的。可以说，这道题也具有有效性。‎ 综上，教师教学要基于“两纲”，加强“四基”，努力确保学生得到压轴题前半部分分值；还要重视学生的数学活动，让学生切实地探究、思考和感悟，切实提高学生在复杂的综合题中分离出基本知识点并加以解决的能力。只有这样才能提高学生对压轴题的破解能力。‎ 三、 就题议题——慎思题目外延 我们刚才就此题本身说明了它的科学性和有效性，我们还从此题出发进行了谨慎深入的思考。‎ ‎（一）理性审视设提议 首先，压轴题中各小题的独立性问题——第(4)小问是“在(3)的条件下”，第(3)小题是利用第(2)小问的结果，第(2)小问中点N的坐标又来源于(1)中所求解析式。这就使得，一旦第(1)小问算错，全题皆错。那么思维水平高的学生和思维水平低的学生就等同起来。这样一来，作为升学考试题本应实现的评价、区分和选拔效能会打折扣。所以，命制中考压轴题时是不是稍顾一下各小问的独立性。‎ 其次，同一题中能力考查的重复性问题——第(3)小问分两种情况讨论，第(4)小问分四种情况。即便是为了考查分类讨论的思想和思维的严密性，是不是也应避免在同一题中对同一数学思想和能力的重复考查？‎ 再次，一个坐标系中的双抛物线问题——一个坐标系中两条抛物线，沈阳近十年中考题中没有，在其他地区的中考题中也属罕见。而抛物线C2在本题中的作用仅仅是提供了点M的坐标，其实这里直接改成“M是动直线x=t上一点”，也能通过三角形AMN是直角三角形确定M的坐标。‎ 最后，同一题前后问关联的有机性问题——本题的抛物线C2只提供了M点坐标，之后再没什么用；第（4）问说“在（3）的条件下”，其实只用了第（3）小问的结论t=1，跟第（3）小问中的等腰直角三角形AMN也完全没关系。这样是不是略有生硬拼凑之嫌？‎ ‎（二）大胆延展练创新 我们始终想培养学生识图、辨图的能力和创造力，其实我们自身也需要发展空间观念和创新精神。通过研究，我们碰撞出很多改编此题的新思路，时间关系，在这里仅汇报一下我们就本题重中之重的第（4）小问进行的如下几种尝试——‎ 首先要指出的是，我们改编的出发点是源于本题中多处隐含45°特殊角，这往往是很好的命题和解题素材。‎ 变式一：将全等改编成相似。如图4，我们只需将“∠KNQ=∠BNP”改成“∠KAQ=∠BNP”，便由原题中利用全等三角形得解改编成利用相似三角形得解的问题。‎ 变式二：将轴对称改编成旋转。如图5，将“当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时”改成“当AQ=且∠KNM=∠ANQ时”，则由原题利用轴对称全等转变为利用旋转全等解决问题。‎ 变式三：将无规律图形改编成教材中的经典模型。如图6，只需将“∠KNQ=∠BNP”改成“∠KNQ=∠BNA”，便构造出教材中的半角模型（北师大版九年级上册第90页习题4.5），进而有了更大改编的空间。‎ ‎ ‎ 图4 图5 图6‎ 以上三种改编思路都是基于不改变问题背景、不改变难度系数的基础上，将第（3）小问中的等腰直角三角形AMN这一条件用得更充分。‎ 总之，我们先站在学生学习的角度，明晰其解法、究透其策略；然后站在教师教学的角度，深剖其背景、得教学之侧重；最后，又站在命题者的角度，理性审视设提议、大胆延展练创新。以上就是我们说题的全部内容。因为时间和经验都有限，不妥不足之处，还望各位专家和同行包涵、指导。‎