中考数学冲刺几何复习之三角形 有答案

中考数学冲刺几何复习之三角形 有答案

初中数学备课组 教师 ‎ 班级 初三 学生 ‎ 日期 上课时间 ‎ 学生情况：‎ 主课题：几何复习1（三角形）‎ 教学目标：‎ ‎1.熟悉掌握三角形的基本概念 ‎2了解等腰三角形直角三角形的相关性质及概念 ‎3. 熟练掌握三角形的全等以及相似的证明4. ‎ 教学重点：‎ 1. 三角形内角和及中位线定理。‎ 2. 三角形的全等以及相似。‎ 教学难点：‎ （1） 全等三角形、相似三角形的判定和性质应用 （2） 图形运动问题（平移、旋转、翻折） ‎ 考点及考试要求：‎ ‎（1）特殊三角形的边、角计算（2）特殊三角形的边、角计算。（3）特殊三角形、特殊四边形的性质应用（4）三角形中位线（5）全等三角形、相似三角形的判定和性质应用（6）图形运动问题（平移、旋转、翻折） 　　*相似三角形的性质的考察加大力度，主要考察学生的思维及能力解决。‎ 教学内容—几何复习1（三角形）‎ 知识精要 ‎1、三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。‎ 注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内，但高线不一定在其内部。‎ ‎ ‎ ‎*命题以及勾股定理 ‎2、三角形的性质：‎ ‎（1）三角形中任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。‎ ‎（2）三角形的内角和为180°。‎ ‎（3）外角与内角的关系：外角等于与此外角不相邻的两个内角之和。‎ ‎3、全等三角形 ‎（1）全等三角形：对应边相等、对应角相等的三角形叫全等三角形。‎ ‎（2）三角形全等的判定方法有：SAS、ASA、AAS、SSS。直角三角形全等的判定除以上的方法还有H.L。‎ ‎（3）全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。‎ ‎（4）全等三角形的面积相等、周长相等、对应高、对应中线、对应角平分线相等。‎ ‎4、等腰三角形 ‎（1）等腰三角形的性质：‎ ‎ 等腰三角形的两个底角相等；‎ ‎ 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。‎ ‎（2）等腰三角形的判定：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。‎ ‎5、等边三角形 ‎（1）等边三角形每个内角都相等，每条边长都相等。‎ ‎（2）等边三角形的性质：每个内角等于60°。‎ ‎（3）等边三角形的判定：‎ ‎ 三个内角都相等的三角形是等边三角形；‎ ‎ 有两个角是60°的三角形是等边三角形；‎ ‎ 边长都相等的三角形是等边三角形；‎ ‎ 有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形。‎ 6、 三角形的相似 A、相似三角形五个判定定理 ‎ 1、相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。‎ ‎ 2、相似三角形判定定理1‎ 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。即：两角对应相等，‎ 两个三角形相似。‎ ‎ 3、相似三角形判定定理2‎ 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。即：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。‎ ‎ 4、相似三角形判定定理3‎ 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。即：三边对应成比例，两个三角形相似。‎ ‎ 5、直角三角形相似的判定定理 如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。即：斜边和直角边对应成比例，两直角三角形相似。‎ B、相似三角形的性质 ‎ 1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例；相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。‎ ‎ 2、相似三角形的周长比等于相似比。‎ ‎ 3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。‎ ‎*比例线段及相似比 热身练习 1、 如图，三角形ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，则AB=AC，CD=DE。若A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，则XXXBDE=( B ) ‎ ‎ (A) 25 (B) 30 (C) 35 (D) 40‎ 2、 如图，在等腰三角形中，，点是底边上一个动点，分别是的中点，若的最小值为2，则的周长是（ D ）‎ A． B． C． D．‎ 1、 如图，在中，，，点为的中点，于点，则等于（ C ）‎ A． ‎ B． C． D． ‎ 2、 如图，在Rt△ABC 中，，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连接，下列结论：‎ ‎①△≌△； ②△∽△；　　‎ ‎③； ④其中正确的是 （B） ‎ A．②④；　　　　　　 B．①④；　　‎ C．②③；　　　　　　　 D．①③．‎ A B C D E 3、 如图，中，，DE 过点C，且，若，则∠B的度数是（A ）‎ A．35° B．45° C．55° D．65° ‎ A F E D C B 4、 如图：点A、D、B、E在同一直线上，AD=BE，AC=DF，AC∥DF，请从图中找出一个与∠E相等的角，并加以证明．（不再添加其他的字母与线段）‎ ‎∠CBA=∠E ‎△CAB△FDE ‎7、已知：如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE，G是垂足。求证：（1）G是CE的中点； （2）∠B＝2∠BCE。‎ 证：（1）连接DE。‎ ‎ ∵∠ADB=900，点E是AB的中点, ∴DE=AE=BE。‎ ‎ 又∵DC=BE，∴DC=DE。‎ ‎ 又∵DG⊥CE，∴点G是CE的中点。‎ ‎ （2）∵DE=DC，∴∠DCE=∠DEC。‎ ‎ ∴∠EDB=∠DEC＋∠DCE=2∠BCE。‎ ‎ 又∵DE=BE，∴∠B=∠EDB。∴∠B=2∠BCE。‎ ‎8、将两块三角板如图放置，其中∠C＝∠EDB＝90º，∠A＝45º，∠E＝30º，AB＝DE＝6。求重叠部分四边形DBCF 的面积。‎ 解：在△EDB中，∵∠EDB=90°，∠E=30°，DE=6，‎ ‎∴DB=DE•tan30°=6×=。∴AD=AB－DB=6－。‎ 又∵∠A=45°，∠AFD=45°，得FD=AD。‎ ‎∴S△ADF=AD2=×（6－）2=24－12。‎ 在等腰直角三角形ABC中，斜边AB=6，∴AC=BC=3。‎ ‎∴S△ABC=AC2=9，‎ ‎∴S四边形DBCF=S△ABC－S△ADF=9－（24－12）=12－15。‎ ‎300‎ 图1‎ P F E B A C D 精解名题 例1、 如（图1）AB//CD,直线EF与AB、CDP分别相交于E、F两点，‎ EP平分∠AEF,过点F　作FP⊥EP,垂足为P，若∠PEF=30,则∠PFC=_____60°_____。‎ 例2、如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O点，则 _____________ ．‎ ‎ ‎ A B C D O 第2题图 例3、（1）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．‎ 求∠AEB的大小；‎ （2） 如图，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠)，求∠AEB的大小.‎ ‎（1）如图.‎ ‎∵ △BOC和△ABO都是等边三角形， 且点O是线段AD的中点， ‎ ‎ ∴ OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°, ∴ ∠4=∠5.又∵∠4+∠5=∠2=60°,‎ ‎ ∴ ∠4=30°.同理，∠6=30°.‎ ‎ ∵ ∠AEB=∠4+∠6,∴ ∠AEB=60°. ‎ ‎（2）如图8.‎ ‎∵ △BOC和△ABO都是等边三角形，∴ OD=OC, OB=OA,∠1=∠2=60°，‎ 又∵OD=OA,∴ OD＝OB，OA＝OC，∴ ∠4=∠5，∠6=∠7. ‎ ‎∵ ∠DOB=∠1+∠3,∠AOC=∠2+∠3,∴∠DOB=∠AOC.‎ ‎∵ ∠4+∠5+∠DOB=180°, ∠6+∠7+∠AOC=180°,∴ 2∠5=2∠6,∴ ∠5=∠6. ‎ 又∵ ∠AEB=∠8-∠5， ∠8=∠2+∠6，∴ ∠AEB＝∠2＋∠5－∠5＝∠2，∴ ∠AEB＝60°. ‎ 例4、在三角形ABC中，AB=AC，点D是AB边上的黄金分割点，AD>BD，求证△ABC∽△BCD 证明：∵D是AB的黄金分割点 ‎∴AD:AB=根5-1/2 (应该知道原因吧)‎ ‎∵∠BCD=36° （黄金三角形的一个性质）‎ ‎ BC=DC∴∠B=∠BDC=72°∴∠ACB=72°∴∠B=∠B ‎ ∠BDC=∠ACB=72°‎ ‎∴△ABC∽△BCD 例5、如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，‎ ‎（第5题）‎ EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为点G，‎ BG交AE于点H．‎ ‎（1）求证：△ABE∽△ECF；‎ ‎（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；‎ ‎（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎ ∴∠ABE=∠ECF=90°．‎ ‎ ∵AE⊥EF，∴∠1+∠2=90°．‎ ‎ 又∵∠1+∠3=90°，‎ ‎ ∴∠3=∠2， ‎ ‎ ∴△ABE∽△ECF． ‎ ‎（2）答：△ABH∽△ECM．‎ ‎ 证明：∵BG⊥AC，∠ABE=90°，‎ ‎ ∴∠4+∠BAG=∠5+∠BAG= 90°．‎ ‎ ∴∠4=∠5． 由（1）知，∠3=∠2， ∴△ABH∽△ECM．‎ ‎（3）解：过点M作MR⊥BC，垂足为R．‎ ‎ ∵AB=BE=EC=2，‎ ‎ ∴AB∶BC=MR∶RC=1∶2，‎ ‎ ∠1=45°，CR=2MR， ‎ ‎ ∴∠2=45°， ∴ER=MR， ‎ ‎ ∴MR=，∴． ‎ 备选例题 例1、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，．‎ ‎（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；‎ ‎（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝，BN＝，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域；‎ ‎（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长． ‎ 解：（1）∵∠ACB=90°，∴AC= 。‎ ‎∵CP⊥AB，∴ △ABC∽△CPB。∴ ，即。∴CP=24。‎ ‎∴CM=。‎ ‎（2）∵ ，∴设EP=12，则EM=13，PM=5。‎ ‎∵EM=EN，∴EN=13，PN=5。‎ ‎∵△AEP∽△ABC，∴ ，即 。∴=16，，∴BP=50－16，‎ ‎∴y=50－21，=50－21· ，=50－。‎ 由（1），当点E与点C重合时，AP=，‎ ‎∴函数的定义域是：0＜＜32。‎ ‎（3）①当点E在AC上时，如图2，由（2）知，AP=16，BN= y=50－‎ ‎，‎ EN=EM=13，AM=AP－MP=16－5=11。‎ ‎∵△AME∽△ENB，∴ ，即。∴。 ∴AP=16×=22。‎ ‎②当点E在BC上时，如图，设EP=12，则EM=13，MP=NP=5，‎ ‎∵△EBP∽△ABC，∴，即。∴BP=9。‎ ‎∴BN=9－5=4，AM=50－9－5=50－14。‎ ‎∵△AME∽△ENB，，即。‎ ‎∴。∴AP=50－9×=42。‎ 综上所述，AP的长为：22或42。 ‎ 巩固练习 ‎1. 在中,点D、E分别在AB、AC边上,DE//BC，且DE=2，BC=5，CE=2，则AC = ．‎ ‎2.若△ABC∽△DEF，∠A=64°、∠B=36°则△DEF别中最小角的度数是___________．‎ ‎3. 如果线段AB=‎4cm，点P是线段AB的黄金分割点，那么较短线段BP= cm ‎4. 若两个相似三角形的周长比是4：9，则对应中线的比是 . ‎ ‎5.如图，在等边△ABC中，，点O在AC上，且，点P是AB上一动点，联接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D, 联接PD，如果，那么AP的长是 .‎ ‎ ‎ 第6题图 第5题图 Ａ Ｐ Ｃ Ｂ ‎6. 如图，将沿直线平移到，使点和重合，连结交于点，若的面积是36，则的面积是 .‎ ‎7．如图，在中，是上一点，联结，要使，还需要补充一个条件.这个条件可以是 ．‎ ‎8. 在平面直角坐标系内，将绕点逆时针旋转，得到．若点的坐标为(2，1)点B的坐标为（2，0），则点的坐标为 ．‎ ‎9．如果两个相似三角形的对应角平分线的比是2︰3，其中较大的一个三角形的面积是‎36cm2，那么另一个三角形的面积是_____________cm2‎ ‎10．如图,点D是Rt的斜边AB上的点,, 垂足为点E,, 垂足为点F,若AF=15,BE=10, 则四边形DECF的面积是 ．‎ A E F D B C ‎11.在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，AD=3，BD=2 ，AC=10，EC=4，则 .‎ ‎12． 如图，梯形中，∥，，点在边上，，若△ABF与△FCD相似，则的长为 ．‎ 第10题图 ‎[答案]1. ； 2．36°； 3．； 4. 4∶9； 5. 6； 6． 18；‎ 第12题图 ‎7．答案不惟一，（或或或）； ‎ ‎8．(-1,2)； 9．16； 10. 150； 11． 9∶25； 12．2或8；‎ A B C D F E ‎13. 如图，在中，，，垂足为点，、分别是、边上的点，且，. ‎ ‎（1）求证：；（2）求的度数. ‎ 证明：（1）∵，,‎ ‎∴， ‎ 又 ‎∴∽‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴∽ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎14.如图，直线(＞)与分别交于点,，抛物线经过点，顶点在直线上．‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）求抛物线的解析式； ‎ ‎（3）如果抛物线的对称轴与轴交于点，那么在对称轴上找一点，使得 和相似，求点的坐标． ‎ A B O 解:(1) ∵ 直线与分别交于点,‎ ‎ ∴ , ‎ ‎ ∵ ＞，∴ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 解得，（舍去）‎ ‎ ∴ ‎ ‎ （2）方法一：由（1）得，，∴ ‎ ‎ ∵ 抛物线的顶点 ‎ ‎∵ 抛物线的顶点在直线上 ‎ 又 抛物线经过点 ‎∴ 解得， ‎ ‎∴ 抛物线的解析式为： ‎ 方法二： 由（1）得，，∴ ‎ ‎ 当时，‎ ‎ ∴ 抛物线经过原点 ‎ ∴ 抛物线的对称轴是直线 ‎ ‎ 设抛物线的顶点 ∵ 顶点在直线上 ‎ ∴ ， ∴ ‎ ‎ 设抛物线 ‎ ∵ 抛物线过原点 ∴ 解得， ‎ ‎ ∴ 抛物线的解析式为：（或） ‎ ‎ （3）由（2）可得，抛物线的对称轴是直线 得 ‎ ‎∵、、‎ 在，且 在，且 ‎∴ 当或时，∽ ‎ ‎∴ 这样的点有四个，即． ‎ ‎15. 已知在等腰三角形中，，是的中点， 是上的动点（不与、重合），联结，过点作射线，使，射线交射线于点，交射线于点.‎ ‎（1）求证：∽；‎ ‎（2）设.‎ ‎①用含的代数式表示；‎ ‎②求关于的函数解析式，并写出的定义域.‎ 解：∵,∴ ‎ ‎∵‎ 又,∴‎ ‎∽‎ ‎（2）①∵∽，∴ ‎ ‎∵是的中点，，∴，又 ∵‎ ‎∴当点在线段的延长线上时，‎ ‎，∴‎ 当点在线段上时，‎ ‎，∴‎ ‎②过点作DG∥AB,交于点 ‎ ‎∴，∴ ‎ ‎∴当点在线段的延长线上时，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴‎ 当点在线段上时，‎ ‎∴，∴ ‎ ‎∴‎ 自我测试 ‎1.下列命题中是真命题的是………………………………………（ D ）‎ ‎（A）直角三角形都相似； （B）等腰三角形都相似；‎ ‎（C）锐角三角形都相似； （D）等腰直角三角形都相似.‎ ‎2．如果∽，，那么的周长和的周长之比是……………………………………（ B ）‎ ‎（A） ； （B） ； （C）； （D）．‎ ‎3．如图，在△中，∥，分别与、相交于点、，若则︰的值为（ A ）.‎ ‎（A） ； （B） ； （C）； （D）．‎ ‎ ‎ ‎4. 已知≌，若的各边长分别3、4、5， 的最大角的度数是…………………………………… ( C ).‎ ‎(A) 30°； (B) 60 ° ； (C) 90° ； (D) 120°.‎ ‎5．在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，下列命题中不正确的是（ D ）．‎ ‎（A）若DE//BC，则 ； （B）若，则 DE//BC；‎ ‎（C）若DE//BC，则 ； （D）若，则DE//BC . ‎ ‎6．在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，且DE平分△ABC的面积，则DE∶BC等于 ……………………………………………………………( C )‎ ‎ （A）； （B）； （C）； （D）． ‎ A E C B F D G ‎7． 如图，在中，是的中点，是线段延长线上一点，过点作∥交的延长线于点，联结．‎ 求证：（1）四边形是平行四边形；‎ ‎（2）． ‎ 证明:(1) ∵∥, ∴ ‎ ‎ ∵ ‎ ‎ ∴ ≌ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∴ 四边形是平行四边形 ‎ ‎ (2) ∵ 四边形是平行四边形 ‎ ∴ ‎ ‎ ∵∥, ∴ ‎ ‎ ∴ ∽ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴ 即 ‎ ‎8．如图，已知在中，点、分别在、上，且，与相交于点.‎ ‎（1）求证：∽；‎ ‎（2）求证：.‎ 证明：（1）∵,∴ ‎ ‎ 又 ∴∽‎ ‎（2） ∵∽ ∴‎ ‎ ∵ ∴∽ ∴ ‎ ‎9.如图，已知点是矩形的边延长线上一点，且，联结，过点作，垂足为点，连结、.‎ ‎（1）求证：≌；‎ ‎（2）连结，若，且，求的值. ‎ ‎（1）证明：,∴ ‎ ‎∵四边形是矩形，‎ ‎∴ ‎ ‎∴在中， ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴≌ ‎ ‎（2）∵≌, ‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ A B C M D ‎10．已知：如图，是△的中线，∠=∠，∥．‎ 求证：=+．‎ 证明：分别延长、相交于点．‎ ‎∵∥，∴∠＝∠． ‎ 又∵∠＝∠，=，∴△≌△ ‎ ‎∴=． ‎ ‎∵∠＝∠，∠＝∠，∴∠＝∠．‎ ‎∴=．‎ ‎∴==＋． ‎