2020年四川省泸州市中考数学试卷(含解析）

2020年四川省泸州市中考数学试卷(含解析）

‎2020年四川省泸州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．‎ ‎1．（3分）2的倒数是（　　）‎ A．‎1‎‎2‎ B．‎-‎‎1‎‎2‎ C．2 D．﹣2‎ ‎2．（3分）将867000用科学记数法表示为（　　）‎ A．867×103 B．8.67×104 C．8.67×105 D．8.67×106‎ ‎3．（3分）如图所示的几何体的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度，得到的对应点A'的坐标为（　　）‎ A．（2，7） B．（﹣6，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣1）‎ ‎5．（3分）下列正多边形中，不是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（3分）下列各式运算正确的是（　　）‎ A．x2+x3＝x5 B．x3﹣x2＝x C．x2•x3＝x6 D．（x3）2＝x6‎ ‎7．（3分）如图，⊙O中，AB‎=‎AC，∠ABC＝70°．则∠BOC的度数为（　　）‎ A．100° B．90° C．80° D．70°‎ 第22页（共22页）‎ ‎8．（3分）某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如下表所示：‎ 课外阅读时间（小时）‎ ‎0.5‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ 人数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ 那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是（　　）‎ A．1.2和1.5 B．1.2和4 C．1.25和1.5 D．1.25 和4‎ ‎9．（3分）下列命题是假命题的是（　　）‎ A．平行四边形的对角线互相平分 ‎ B．矩形的对角线互相垂直 ‎ C．菱形的对角线互相垂直平分 ‎ D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 ‎10．（3分）已知关于x的分式方程mx-1‎‎+‎2‎=-‎‎3‎‎1-x的解为非负数，则正整数m的所有个数为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎11．（3分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足MGMN‎=GNMG=‎‎5‎‎-1‎‎2‎，后人把‎5‎‎-1‎‎2‎这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（　　）‎ A．10﹣4‎5‎ B．3‎5‎‎-‎5 C．‎5-2‎‎5‎‎2‎ D．20﹣8‎‎5‎ ‎12．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（　　）‎ A．﹣1 B．2 C．3 D．4‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）．‎ 第22页（共22页）‎ ‎13．（3分）函数y‎=‎x-2‎的自变量x的取值范围是　 　．‎ ‎14．（3分）若xa+1y3与‎1‎‎2‎x4y3是同类项，则a的值是　 　．‎ ‎15．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是　 　．‎ ‎16．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为　 　．‎ 三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．‎ ‎17．（6分）计算：|﹣5|﹣（π﹣2020）0+2cos60°+（‎1‎‎3‎）﹣1．‎ ‎18．（6分）如图，AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：BC＝DC．‎ ‎19．（6分）化简：（x+2‎x‎+‎1）‎÷‎x‎2‎‎-1‎x．‎ 四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．‎ ‎20．（7分）某汽车公司为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况，随机抽取了n辆该型号汽车耗油1L所行使的路程作为样本，并绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：‎ ‎（1）求n的值，并补全频数分布直方图；‎ 第22页（共22页）‎ ‎（2）若该汽车公司有600辆该型号汽车．试估计耗油1L所行使的路程低于13km的该型号汽车的辆数；‎ ‎（3）从被抽取的耗油1L所行使路程在12≤x＜12.5，14≤x＜14.5这两个范围内的4辆汽车中，任意抽取2辆，求抽取的2辆汽车来自同一范围的概率．‎ ‎21．（7分）某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．‎ ‎（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？‎ ‎（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？‎ 五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．‎ ‎22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y‎=‎‎3‎‎2‎x+b的图象与反比例函数y‎=‎‎12‎x的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（a，6）．‎ ‎（1）求该一次函数的解析式；‎ ‎（2）求△AOB的面积．‎ ‎23．（8分）如图，为了测量某条河的对岸边C，D两点间的距离．在河的岸边与CD平行的直线EF上取两点A，B，测得∠BAC＝45°，∠ABC＝37°，∠DBF＝60°，量得AB长为70米．求C，D两点间的距离（参考数据：sin37°‎≈‎‎3‎‎5‎，cos37°‎≈‎‎4‎‎5‎，tan37°‎≈‎‎3‎‎4‎）．‎ 六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．‎ ‎24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B 第22页（共22页）‎ 的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．‎ ‎（1）求证：∠C＝∠AGD；‎ ‎（2）已知BC＝6．CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．‎ ‎25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）三点．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD＝5DE．‎ ‎①求直线BD的解析式；‎ ‎②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧，点R是直线BD上的动点，若△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标．‎ 第22页（共22页）‎ ‎2020年四川省泸州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．‎ ‎1．（3分）2的倒数是（　　）‎ A．‎1‎‎2‎ B．‎-‎‎1‎‎2‎ C．2 D．﹣2‎ ‎【解答】解：2的倒数是‎1‎‎2‎．‎ 故选：A．‎ ‎2．（3分）将867000用科学记数法表示为（　　）‎ A．867×103 B．8.67×104 C．8.67×105 D．8.67×106‎ ‎【解答】解：867000＝8.67×105，‎ 故选：C．‎ ‎3．（3分）如图所示的几何体的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：从正面看是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线．‎ 故选：B．‎ ‎4．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度，得到的对应点A'的坐标为（　　）‎ A．（2，7） B．（﹣6，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣1）‎ ‎【解答】解：∵将点A（﹣2，3）先向右平移4个单位，‎ ‎∴点A的对应点A′的坐标是（﹣2+4，3），即（2，3）．‎ 故选：C．‎ ‎5．（3分）下列正多边形中，不是中心对称图形的是（　　）‎ 第22页（共22页）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：A．正方形是中心对称图形，故本选项不合题意；‎ B．正五边形不是中心对称图形，故本选项符合题意；‎ C．正六边形是中心对称图形，故本选项不合题意；‎ D．正八边形是中心对称图形，故本选项不合题意；‎ 故选：B．‎ ‎6．（3分）下列各式运算正确的是（　　）‎ A．x2+x3＝x5 B．x3﹣x2＝x C．x2•x3＝x6 D．（x3）2＝x6‎ ‎【解答】解：A．x2与x3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；‎ B．x3与﹣x2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；‎ C．x2•x3＝x5，故本选项不合题意；‎ D．（x3）2＝x6，故本选项符合题意．‎ 故选：D．‎ ‎7．（3分）如图，⊙O中，AB‎=‎AC，∠ABC＝70°．则∠BOC的度数为（　　）‎ A．100° B．90° C．80° D．70°‎ ‎【解答】解：∵AB‎=‎AC，‎ ‎∴∠ABC＝∠ACB＝70°，‎ ‎∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°，‎ ‎∴∠BOC＝2∠A＝80°．‎ 故选：C．‎ ‎8．（3分）某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如下表所示：‎ 课外阅读时间（小时）‎ ‎0.5‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ 第22页（共22页）‎ 人数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ 那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是（　　）‎ A．1.2和1.5 B．1.2和4 C．1.25和1.5 D．1.25 和4‎ ‎【解答】解：10名学生的每天阅读时间的平均数为‎0.5×2+1×3+1.4×4+2×1‎‎2+3+4+1‎‎=‎1.2；‎ 学生平均每天阅读时间出现次数最多的是1.5小时，共出现4次，因此众数是1.5；‎ 故选：A．‎ ‎9．（3分）下列命题是假命题的是（　　）‎ A．平行四边形的对角线互相平分 ‎ B．矩形的对角线互相垂直 ‎ C．菱形的对角线互相垂直平分 ‎ D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 ‎【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，是真命题；‎ B、矩形的对角线互相相等，不是垂直，原命题是假命题；‎ C、菱形的对角线互相垂直平分，是真命题；‎ D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，是真命题；‎ 故选：B．‎ ‎10．（3分）已知关于x的分式方程mx-1‎‎+‎2‎=-‎‎3‎‎1-x的解为非负数，则正整数m的所有个数为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【解答】解：去分母，得：m+2（x﹣1）＝3，‎ 移项、合并，得：x‎=‎‎5-m‎2‎，‎ ‎∵分式方程的解为非负数，‎ ‎∴5﹣m≥0且‎5-m‎2‎‎≠‎1，‎ 解得：m≤5且m≠3，‎ ‎∴正整数解有1，2，4，5共4个，‎ 故选：B．‎ ‎11．（3分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与 第22页（共22页）‎ 较短的一段GN的比例中项，即满足MGMN‎=GNMG=‎‎5‎‎-1‎‎2‎，后人把‎5‎‎-1‎‎2‎这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（　　）‎ A．10﹣4‎5‎ B．3‎5‎‎-‎5 C．‎5-2‎‎5‎‎2‎ D．20﹣8‎‎5‎ ‎【解答】解：作AH⊥BC于H，如图，‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴BH＝CH‎=‎‎1‎‎2‎BC＝2，‎ 在Rt△ABH中，AH‎=‎3‎‎2‎‎-‎‎2‎‎2‎=‎‎5‎，‎ ‎∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，‎ ‎∴BE‎=‎‎5‎‎-1‎‎2‎BC＝2（‎5‎‎-‎1）＝2‎5‎‎-‎2，‎ ‎∴HE＝BE﹣BH＝2‎5‎‎-‎2﹣2＝2‎5‎‎-‎4，‎ ‎∴DE＝2HE＝4‎5‎‎-‎8‎ ‎∴S△ADE‎=‎1‎‎2‎×‎（4‎5‎‎-‎8）‎×‎5‎=‎10﹣4‎5‎．‎ 故选：A．‎ ‎12．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（　　）‎ A．﹣1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c的图象与x轴有公共点，‎ ‎∴（﹣2b）2﹣4×1×（2b2﹣4c）≥0，即b2﹣4c≤0 ①，‎ 由抛物线的对称轴x‎=-‎-2b‎2‎=‎b，抛物线经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），‎ 第22页（共22页）‎ b‎=‎‎1-b+2b+c‎2‎，即，c＝b﹣1 ②，‎ ‎②代入①得，b2﹣4（b﹣1）≤0，即（b﹣2）2≤0，因此b＝2，‎ c＝b﹣1＝2﹣1＝1，‎ ‎∴b+c＝2+1＝3，‎ 故选：C．‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）．‎ ‎13．（3分）函数y‎=‎x-2‎的自变量x的取值范围是　x≥2　．‎ ‎【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0，‎ 解得x≥2．‎ 故答案为：x≥2．‎ ‎14．（3分）若xa+1y3与‎1‎‎2‎x4y3是同类项，则a的值是　3　．‎ ‎【解答】解：∵xa+1y3与‎1‎‎2‎x4y3是同类项，‎ ‎∴a+1＝4，‎ 解得a＝3，‎ 故答案为：3．‎ ‎15．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是　2　．‎ ‎【解答】解：根据题意得则x1+x2＝4，x1x2＝﹣7‎ 所以，x12+4x1x2+x22＝（x1+x2）2+2x1x2＝16﹣14＝2‎ 故答案为2．‎ ‎16．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为　‎4‎‎3‎　．‎ 第22页（共22页）‎ ‎【解答】解：延长CE、DA交于Q，如图1，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，BC＝6，‎ ‎∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝6，AD∥BC，‎ ‎∵F为AD中点，‎ ‎∴AF＝DF＝3，‎ 在Rt△BAF中，由勾股定理得：BF‎=AB‎2‎+AF‎2‎=‎4‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=‎5，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠Q＝∠ECB，‎ ‎∵E为AB的中点，AB＝4，‎ ‎∴AE＝BE＝2，‎ 在△QAE和△CBE中 ‎∠QEA=∠BEC‎∠Q=∠ECBAE=BE‎ ‎ ‎∴△QAE≌△CBE（AAS），‎ ‎∴AQ＝BC＝6，‎ 即QF＝6+3＝9，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴△QMF∽△CMB，‎ ‎∴FMBM‎=QFBC=‎‎9‎‎6‎，‎ ‎∵BF＝5，‎ ‎∴BM＝2，FM＝3，‎ 第22页（共22页）‎ 延长BF和CD，交于W，如图2，‎ 同理AB＝DM＝4，CW＝8，BF＝FM＝5，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴△BNE∽△WND，‎ ‎∴BNNF‎=‎BEDW，‎ ‎∴BN‎5-BN+5‎‎=‎‎2‎‎4‎，‎ 解得：BN‎=‎‎10‎‎3‎，‎ ‎∴MN＝BN﹣BM‎=‎10‎‎3‎-‎2‎=‎‎4‎‎3‎，‎ 故答案为：‎4‎‎3‎．‎ 三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．‎ ‎17．（6分）计算：|﹣5|﹣（π﹣2020）0+2cos60°+（‎1‎‎3‎）﹣1．‎ ‎【解答】解：原式＝5﹣1+2‎×‎1‎‎2‎+‎3‎ ‎＝5﹣1+1+3‎ ‎＝8．‎ ‎18．（6分）如图，AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：BC＝DC．‎ ‎【解答】证明：∵AC平分∠BAD，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∴∠BAC＝∠DAC，‎ 又∵AB＝AD，AC＝AC，‎ ‎∴△ABC≌△ADC（SAS），‎ ‎∴BC＝CD．‎ ‎19．（6分）化简：（x+2‎x‎+‎1）‎÷‎x‎2‎‎-1‎x．‎ ‎【解答】解：原式‎=‎2x+2‎x×x‎(x+1)(x-1)‎=‎2(x+1)‎x×x‎(x+1)(x-1)‎=‎‎2‎x-1‎．‎ 四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．‎ ‎20．（7分）某汽车公司为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况，随机抽取了n辆该型号汽车耗油1L所行使的路程作为样本，并绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：‎ ‎（1）求n的值，并补全频数分布直方图；‎ ‎（2）若该汽车公司有600辆该型号汽车．试估计耗油1L所行使的路程低于13km的该型号汽车的辆数；‎ ‎（3）从被抽取的耗油1L所行使路程在12≤x＜12.5，14≤x＜14.5这两个范围内的4辆汽车中，任意抽取2辆，求抽取的2辆汽车来自同一范围的概率．‎ ‎【解答】解：（1）12÷30%＝40，即n＝40，‎ B组的车辆为：40﹣2﹣16﹣12﹣2＝8（辆），‎ 补全频数分布直方图如图：‎ ‎（2）600‎×‎2+8‎‎40‎=‎150（辆），‎ 第22页（共22页）‎ 即估计耗油1L所行使的路程低于13km的该型号汽车的辆数为150辆；‎ ‎（3）设行使路程在12≤x＜12.5范围内的2辆车记为为A、B，行使路程在14≤x＜14.5范围内的2辆车记为C、D，‎ 画树状图如图：‎ 共有12个等可能的结果，抽取的2辆汽车来自同一范围的结果有4个，‎ ‎∴抽取的2辆汽车来自同一范围的概率为‎4‎‎12‎‎=‎‎1‎‎3‎．‎ ‎21．（7分）某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．‎ ‎（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？‎ ‎（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？‎ ‎【解答】解：（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，‎ 根据题意得30x+20（30﹣x）＝800，‎ 解得x＝20，‎ 则30﹣x＝10，‎ 答：甲种奖品购买了20件，乙种奖品购买了10件；‎ ‎（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，设购买两种奖品的总费用为w元，‎ 根据题意得 30﹣x≤3x，解得x≥7.5，‎ w＝30x+20（30﹣x）＝10x+600，‎ ‎∵10＞0，‎ ‎∴w随x的增大而减小，‎ ‎∴x＝8时，w有最小值为：w＝10×8+600＝680．‎ 答：当购买甲种奖品8件、乙种奖品22件时，总花费最小，最小费用为680元．‎ 五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．‎ 第22页（共22页）‎ ‎22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y‎=‎‎3‎‎2‎x+b的图象与反比例函数y‎=‎‎12‎x的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（a，6）．‎ ‎（1）求该一次函数的解析式；‎ ‎（2）求△AOB的面积．‎ ‎【解答】解：（1）如图，‎ ‎∵点A（a，6）在反比例函数y‎=‎‎12‎x的图象上，‎ ‎∴6a＝12，‎ ‎∴a＝2，‎ ‎∴A（2，6），‎ 把A（2，6）代入一次函数y‎=‎‎3‎‎2‎x+b中得：‎3‎‎2‎‎×2+b=‎6，‎ ‎∴b＝3，‎ ‎∴该一次函数的解析式为：y‎=‎‎3‎‎2‎x+3；‎ ‎（2）由y=‎3‎‎2‎x+3‎y=‎‎12‎x得：x‎1‎‎=-4‎y‎1‎‎=-3‎，x‎2‎‎=2‎y‎2‎‎=6‎，‎ ‎∴B（﹣4，﹣3），‎ 当x＝0时，y＝3，即OC＝3，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∴△AOB的面积＝S△ACO+S△BCO‎=‎1‎‎2‎×3×2+‎1‎‎2‎×3×4=‎9．‎ ‎23．（8分）如图，为了测量某条河的对岸边C，D两点间的距离．在河的岸边与CD平行的直线EF上取两点A，B，测得∠BAC＝45°，∠ABC＝37°，∠DBF＝60°，量得AB长为70米．求C，D两点间的距离（参考数据：sin37°‎≈‎‎3‎‎5‎，cos37°‎≈‎‎4‎‎5‎，tan37°‎≈‎‎3‎‎4‎）．‎ ‎【解答】解：过点C、D分别作CM⊥EF，DN⊥EF，垂足为M、N，‎ 在Rt△AMC中，∵∠BAC＝45°，‎ ‎∴AM＝MC，‎ 在Rt△BMC中，∵∠ABC＝37°，tan∠ABC‎=‎CMBM，‎ ‎∴BM‎=CMtan37°‎=‎‎4‎‎3‎CM，‎ ‎∵AB＝70＝AM+BM＝CM‎+‎‎4‎‎3‎CM，‎ ‎∴CM＝30＝DN，‎ 在Rt△BDN中，∵∠DBN＝60°，‎ ‎∴BN‎=DNtan60°‎=‎30‎‎3‎=‎10‎3‎，‎ ‎∴CD＝MN＝MB+BN‎=‎4‎‎3‎×‎30+10‎3‎‎=‎40+10‎3‎，‎ 答：C，D两点间的距离为（40+10‎3‎）米，‎ 六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．‎ ‎24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．‎ ‎（1）求证：∠C＝∠AGD；‎ ‎（2）已知BC＝6．CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．‎ 第22页（共22页）‎ ‎【解答】（1）证明：连接BD，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°，‎ ‎∴∠DAB+∠DBA＝90°，‎ ‎∵BC是⊙O的切线，‎ ‎∴∠ABC＝90°，‎ ‎∴∠C+∠CAB＝90°，‎ ‎∴∠C＝∠ABD，‎ ‎∵∠AGD＝∠ABD，‎ ‎∴∠AGD＝∠C；‎ ‎（2）解：∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，‎ ‎∴△ABC∽△BDC，‎ ‎∴BCAC‎=‎CDBC，‎ ‎∴‎6‎AC‎=‎‎4‎‎6‎，‎ ‎∴AC＝9，‎ ‎∴AB‎=AC‎2‎-BC‎2‎=‎3‎5‎，‎ ‎∵CE＝2AE，‎ ‎∴AE＝3，CE＝6，‎ ‎∵FH⊥AB，‎ ‎∴FH∥BC，‎ ‎∴△AHE∽△ABC，‎ ‎∴AHAB‎=EHBC=‎AEAC，‎ ‎∴AH‎3‎‎5‎‎=EH‎6‎=‎‎3‎‎9‎，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∴AH‎=‎‎5‎，EH＝2，‎ 连接AF，BF，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AFB＝90°，‎ ‎∴∠AEH+∠BFH＝∠AFH+∠FAH＝90°，‎ ‎∴∠FAH＝∠BFH，‎ ‎∴△AFH∽△FBH，‎ ‎∴FHAH‎=‎BHFH，‎ ‎∴FH‎5‎‎=‎‎2‎‎5‎FH，‎ ‎∴FH‎=‎‎10‎，‎ ‎∴EF‎=‎10‎-‎2．‎ ‎25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）三点．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD＝5DE．‎ ‎①求直线BD的解析式；‎ ‎②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧，点R是直线BD上的动点，若△PQR是以点Q 第22页（共22页）‎ 为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），‎ ‎∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），‎ 将点C坐标（0，4）代入抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）中，得﹣8a＝4，‎ ‎∴a‎=-‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴抛物线的解析式为y‎=-‎‎1‎‎2‎（x+2）（x﹣4）‎=-‎‎1‎‎2‎x2+x+4；‎ ‎（2）①如图1，‎ 设直线AC的解析式为y＝kx+b'，‎ 将点A（﹣2，0），C（0，4），代入y＝kx+b'中，得‎-2k+b'=0‎b'=4‎，‎ ‎∴k=2‎b'=4‎，‎ ‎∴直线AC的解析式为y＝2x+4，‎ 过点E作EF⊥x轴于F，‎ ‎∴OD∥EF，‎ ‎∴△BOD∽△BFE，‎ ‎∴OBBF‎=‎BDBE，‎ ‎∵B（4，0），‎ ‎∴OB＝4，‎ ‎∵BD＝5DE，‎ ‎∴BDBE‎=BDBD+DE=‎5DE‎5DE+BE=‎‎5‎‎6‎，‎ ‎∴BF‎=BEBD×‎OB‎=‎6‎‎5‎×‎4‎=‎‎24‎‎5‎，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∴OF＝BF﹣OB‎=‎24‎‎5‎-‎4‎=‎‎4‎‎5‎，‎ 将x‎=-‎‎4‎‎5‎代入直线AC：y＝2x+4中，得y＝2×（‎-‎‎4‎‎5‎）+4‎=‎‎12‎‎5‎，‎ ‎∴E（‎-‎‎4‎‎5‎，‎12‎‎5‎），‎ 设直线BD的解析式为y＝mx+n，‎ ‎∴‎4m+n=0‎‎-‎4‎‎5‎m+n=‎‎12‎‎5‎，‎ ‎∴m=-‎‎1‎‎2‎n=2‎，‎ ‎∴直线BD的解析式为y‎=-‎‎1‎‎2‎x+2；‎ ‎②Ⅰ、当点R在直线l右侧时，‎ ‎∵抛物线与x轴的交点坐标为A（﹣2，0）和B（4，0），‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x＝1，‎ ‎∴点Q（1，1），‎ 如图2，设点P（x，‎-‎‎1‎‎2‎x2+x+4）（1＜x＜4），‎ 过点P作PG⊥l于G，过点R作RH⊥l于H，‎ ‎∴PG＝x﹣1，GQ‎=-‎‎1‎‎2‎x2+x+4﹣1‎=-‎‎1‎‎2‎x2+x+3，‎ ‎∵PG⊥l，‎ ‎∴∠PGQ＝90°，‎ ‎∴∠GPQ+∠PQG＝90°，‎ ‎∵△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，‎ ‎∴PQ＝RQ，∠PQR＝90°，‎ ‎∴∠PQG+∠RQH＝90°，‎ ‎∴∠GPQ＝∠HQR，‎ ‎∴△PQG≌△QRH（AAS），‎ ‎∴RH＝GQ‎=-‎‎1‎‎2‎x2+x+3，QH＝PG＝x﹣1，‎ ‎∴R（‎-‎‎1‎‎2‎x2+x+4，2﹣x），‎ 第22页（共22页）‎ 由①知，直线BD的解析式为y‎=-‎‎1‎‎2‎x+2，‎ ‎∴‎-‎‎1‎‎2‎（‎-‎‎1‎‎2‎x2+x+4）+2＝2﹣x，‎ ‎∴x＝2或x＝4（舍），‎ 当x＝2时，y‎=-‎‎1‎‎2‎x2+x+4‎=-‎1‎‎2‎×‎4+2+4＝4，‎ ‎∴P（2，4），‎ Ⅱ、当点R在直线l左侧时，记作R'，‎ 设点P'（x，‎-‎‎1‎‎2‎x2+x+4）（1＜x＜4），‎ 过点P'作P'G'⊥l于G'，过点R'作R'H'⊥l于H，‎ ‎∴P'G'＝x﹣1，G'Q‎=-‎‎1‎‎2‎x2+x+4﹣1‎=-‎‎1‎‎2‎x2+x+3，‎ 同Ⅰ的方法得，△P'QG'≌△QR'H'（AAS），‎ ‎∴R'H'＝G'Q‎=-‎‎1‎‎2‎x2+x+3，QH'＝P'G'＝x﹣1，‎ ‎∴R'（‎1‎‎2‎x2﹣x﹣2，x），‎ 由①知，直线BD的解析式为y‎=-‎‎1‎‎2‎x+2，‎ ‎∴‎-‎‎1‎‎2‎（‎1‎‎2‎x2﹣x﹣2）+2＝x，‎ ‎∴x＝﹣1‎+‎‎13‎或x＝﹣1‎-‎‎13‎（舍），‎ 当x＝﹣1‎+‎‎13‎时，y‎=-‎‎1‎‎2‎x2+x+4＝2‎13‎‎-‎4，‎ ‎∴P'（﹣1‎+‎‎13‎，2‎13‎‎-‎4），‎ 即满足条件的点P的坐标为（2，4）或（﹣1‎+‎‎13‎，2‎13‎‎-‎4）．‎ 第22页（共22页）‎ 第22页（共22页）‎