中考数学折叠问题讲义

中考数学折叠问题讲义

中考数学——六种类型折叠问题 类型1 直角三角形的翻折或翻折后产生直角三角形的问题 例1．如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　）‎ ‎【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，根据中点的定义可得BD＝3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．‎ ‎【解答】设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，‎ ‎∵D是BC的中点，∴BD＝3，在Rt△NBD中，x +3 ＝（9﹣x），‎ 解得x＝4．即BN＝4．故选：A．‎ 例1变式1．如图，在Rt△ABC中，直角边AC＝6，BC＝8，将△ABC按如图方式折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（　　）‎ A．25/4 B．22/3 C．7/4 D．5/3‎ ‎【解析】由题意得DB＝AD；设CD＝x，则AD＝DB＝（8﹣x），‎ ‎∵∠C＝90°，∴AD ﹣CD ＝AC ,（8﹣x）﹣x ＝36，‎ 解得x＝7/4；即CD＝7/4．故选：C．‎ 例1变式2．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠得到△AEF，点H为CD上一点，将△CEH沿EH折叠得到△EHG，且F落在线段EG上，当GF＝GH时，则BE的长为_____．‎ ‎【解析】由折叠可得∠AEH＝1/2∠BEC＝90°，进而得出Rt△AEH中，AE +EH2 ＝AH ，设BE＝x，则EF＝x，CE＝6﹣x＝EG，再根据勾股定理，即可得到方程x +4 +（6﹣x）+（6﹣2x）＝（2x﹣2）+6 ，解该一元二次方程，即可得到BE的长．BE的长为2．‎ ‎【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程的综合运用，解决问题的关键是连接AH构造直角三角形AEH，这种折叠问题常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．‎ 方法策略模式：在折叠后产生的直角三角形中，把某条边设成未知数根据勾股定理列方程求解。‎ 类型2 翻折前有平行线这一条件的问题 例2．如图，在长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若OC＝5cm，则CD的长为（　　）‎ A．6cm B．7cm C．8cm D．10cm ‎【分析】由折叠的性质可得：∠BAC＝∠EAC＝∠ACD，可得AO＝CO＝5cm，根据勾股定理可求DO的长，即可求CD的长．‎ ‎【解答】∵折叠，∴∠BAC＝∠EAC，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，‎ ‎∴∠EAC＝∠ACD，∴AO＝CO＝5cm，‎ 在直角三角形ADO中，利用勾股定理可求得DO＝3cm，‎ ‎∴CD＝DO+CO＝3+5＝8cm．故选：C．‎ 例2变式．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则图形中重叠部分△AEF的面积为_____．‎ ‎【解析】设AE＝x，由折叠可知，EC＝x，BE＝8﹣x，‎ 在Rt△ABE中，AB +BE ＝AE ，即4 +（8﹣x）＝x ，解得：x＝5，‎ 由折叠可知∠AEF＝∠CEF，‎ ‎∵AD∥BC，∴∠CEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE，即AE＝AF＝5，‎ ‎∴S△AEF＝1/2×AF×AB＝1/2×5×4＝10．‎ 故答案为：10．‎ 方法策略模式：图形折叠后，相当于出现了角平分线，有角平分线，有平行，就会产生等腰三角形，我们去找那个等腰三角形一般就会使得问题得到解决。‎ 类型3 直角三角形的翻折，利用三垂直模型解答 例3．如图，平面直角坐标系中，已知矩形OABC，O为原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（1，2），连接OB，将△OAB沿直线OB翻折，点A落在点D的位置，则cos∠COD 的值是（　　）‎ A．3/5 B．1/2 C．3/4 D．4/5‎ ‎【分析】根据翻折不变性及勾股定理求出GD、CG的长，再根据相似三角形的性质，求出DF的长，OF的长即可解决问题；‎ ‎【解答】作DF⊥y轴于F，DE⊥x轴于E，BD交OC于G．‎ ‎∵在△BCG与△ODG中，‎ ‎∠BCG＝∠ODF，OD=BC, ∠DOF＝∠GBC，∴△BCG≌△ODG，‎ ‎∴GO＝GB，∴设GO＝GB＝x，则CG＝GD＝2﹣x，‎ 于是在Rt△CGB中，（2﹣x）+1 ＝x ；解得x＝5/4．‎ GD＝2﹣x＝2﹣5/4＝3/4；‎ ‎∵BC⊥y轴，DF⊥y轴，∴∠BCG＝∠DFG，‎ ‎∵∠BGC＝∠DGF，∴△CBG∽△FDG，∴DF/BC=DG/BG，∴DF＝3/5；‎ ‎【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．‎ 例3变式．如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，使得顶点D落在边BC上的点F处（折痕为AE）．已知该纸片AB为8cm，BC为10cm，则EC的长度为（　　）‎ A．6cm B．5cm C．4cm D．3cn ‎【解析】由四边形ABCD是矩形，可得BC＝AD＝10cm，∠B＝∠C＝∠D＝90°，又由由折叠的性质可得：AF＝AD＝10cm，∠AFE＝∠D＝90°，利用勾股定理即可求得BF的长，继而可得FC的长，然后由△ABF∽△FCE，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得EC的长度．EC＝3cm，故选：D．‎ 方法策略模式：如果图形中折叠的是一个直角，我们的处理方法一般是构造三垂直模型，找到一对相似三角形，根据相似的性质来解决问题。‎ 类型4 等边三角形的翻折一线三等角 例4．如图，等边△ABC中，D是BC边上的一点，把△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，折痕与边AB、AC分别交于点M、N，若AM＝2，AN＝3，那么边BC长为_____．‎ ‎【分析】设BD＝x，DC＝y由△BMD∽△CDN，可得（BM+MD+BD）：（DN+NC+CD）＝DM：DN＝2：3，推出（2x+y）：（x+2y）＝2：3，推出y＝4x，推出AB＝BC＝AC＝5x，MB＝5x﹣2，CN＝5x﹣3，再根据BM/CD=DM/DN=2/3，构建方程即可解决问题；‎ ‎【解答】解：设BD＝x，DC＝y，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝x+y，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，‎ 由折叠的性质可知：MN是线段AD的垂直平分线，‎ ‎∴AM＝DM＝2，AN＝DN＝3，‎ ‎∴BM+MD+BD＝2x+y，DN+NC+DC＝x+2y，‎ ‎∵∠MDN＝∠BAC＝∠ABC＝60°，‎ ‎∴∠NDC+∠MDB＝∠BMD+∠MBD＝120°，∴∠NDC＝∠BMD，‎ ‎∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴△BMD∽△CDN，‎ ‎∴（BM+MD+BD）：（DN+NC+CD）＝DM：DN＝2：3，‎ ‎∴（2x+y）：（x+2y）＝2：3，‎ ‎∴y＝4x，∴AB＝BC＝AC＝5x，MB＝5x﹣2，CN＝5x﹣3，‎ ‎∵BM/CD=DM/DN=2/3，‎ ‎∴(5x-2)/4x=2/3，∴x＝6/7，∴BC＝5x＝30/7，故答案为30/7．‎ ‎【点评】本题考查了等边三角形的性质、X相似三角形的判定和性质以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．‎ 例4变式．如图所示，等边△ABC中，边长为4，P、Q为AB、AC上的点，将△ABC沿着PQ折叠，使得A点与线段BC上的点D重合，且BD：CD＝1：3，则AQ的长度为________．‎ ‎【解析】易得△BPD∽△CDQ，可得BD/CQ=DP/DQ=BP/CD，由BD：DC＝1：4＝3，BC＝4，推出DB＝1，CD＝3，设AQ＝x，则CQ＝4﹣x，构建方程即可解决问题；AQ=13/5.‎ 方法策略模式：等边三角形折叠后，会出现三个60度的角，一般情况下我们会找到一对相似三角形，根据相似的性质来解决问题。‎ 类型5 过一定点的翻折与隐形圆 例5．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是边AD的中点，N是AB上一点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连接A'B，则A'B的取值范围_________‎ ‎【分析】连接BM，BD，依据M是边AD的中点，△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，即可得到点A'的轨迹为以AD为直径的半圆M，依据A'B+A'M≥BM，即可得出A'B≥BM﹣A'M＝4√3﹣4，当点N与点A或点D重合时，A'B的最大值为8，即可得到A'B的取值范围．‎ ‎【解答】如图所示，连接BM，BD，‎ ‎∵M是边AD的中点，△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，‎ ‎∴点A'的轨迹为以AD为直径的半圆M，A'M＝AM＝4，‎ ‎∵∠A＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，‎ ‎∴BM⊥AD，∠ABM＝30°，∴BM＝√3AM＝4√3，‎ ‎∵A'B+A'M≥BM，∴A'B≥BM﹣A'M＝4√3﹣4，‎ 当点N与点A或点D重合时，点A'与点A或点D重合，此时A'B的最大值为8，∴A'B的取值范围为：4√3﹣4≤A'B≤8，‎ 故答案为：4√3﹣4≤A'B≤8．‎ 例5变式.如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，点E是AD边的中点，点F是射线AB上的一动点，将△AEF沿EF所在的直线翻折得到△A′EF，连接A′C，则A′C的最小值为______．‎ ‎【解析】根据点F是射线AB上的一动点，将△AEF沿EF所在的直线翻折得到△A′EF，可得点A'的运动路径为以E为圆心，AE长为半径的半圆，再根据两点之间线段最短，即可得出当点A'、C、E三点共线时，A′C的长最小，最后根据勾股定理进行计算即可．即A′C的最小值为√10-1‎ 方法策略模式：如果翻折的折痕是过一定点的，就会出现隐形圆，一般我们用点圆最值模型来求最值。‎ 类型6 折叠后图形不确定的多解的折叠问题 例6．如图，正方形ABCD的边长是2，点E是CD边的中点，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把∠C沿直线EF折叠，使点C落在点C′处．当△ADC′为等腰三角形时，FC的长为______ ．‎ ‎【分析】首先证明DC′≠DA，只要分两种情形讨论即可：①如图1中，当AD＝AC′＝2时，连接AE．构建方程即可；②如图2中，当点F在BC中点时，易证AC′＝DC′，满足条件；‎ ‎【解答】由题意DE＝EC＝EC′＝1，∴DC′＜1+1‎ ‎∴DC′≠DA，只要分两种情形讨论即可：‎ ‎①如图1中，当AD＝AC′＝2时，连接AE．‎ ‎∵AE＝AE，AD＝AC′，DE＝DC′，‎ ‎∴△ADE≌△AC′E，∴∠ADE＝∠AC′E＝90°，‎ ‎∵∠C＝∠FC′E＝90°，∴∠AC′E+∠FC′E＝180°，‎ ‎∴A、C′、F共线，设CF＝x，则BF＝2﹣x，AF＝2+x，‎ 在Rt△ABF中，2+（2﹣x）＝（2+x），解得x＝1/2．‎ ‎②如图2中，当点F在BC中点时，易证AC′＝DC′，满足条件，此时CF＝1．‎ 综上所述，满足条件的CF的长为1/2或1．‎ 故答案为1/2或1．‎ ‎【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考填空题中的压轴题．‎ 例6变式．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点 E，F分别为AB，AC上一个动点，连接EF，以EF为轴将△AEF折叠得到△DEF，使点D落在BC上，当△BDE为直角三角形时，BE的值为______．‎ ‎【解析】分两种情形分别求解：①如图1中，当∠EDB＝90°时，设BE＝x．则AE＝ED＝10﹣x．利用平行线的性质，构建方程即可解决问题；②如图2中，当∠DEB＝90°，设BE＝x，则AE＝ED＝10﹣x．根据tan∠DBE＝DE/BE＝AC/BC，构建方程即可；满足条件的BE的值为25/4或40/7．‎ 方法策略模式：此类题目往往涉及知识点多，综合性强，大部分情况下还需分类讨论。同学们在这类题上得分率较低，反思其原因，无法准确画出所需要的图形是导致错误的重要原因之一，因此要明确分折叠操作后图形是否确定，可能出现情况有那些。。‎ 总结提升 经过以上六个类型问题分析，我们不难得到解决这类问题思维模式。具体如下：‎ ‎1.折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。‎ ‎2.折叠类问题中，如果翻折的是直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题；‎ ‎3.折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就有可能出现等腰三角形，或者角平分；‎ ‎4.折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，我们可以设未知数，根据勾股定理列方程求解；‎ ‎5.折叠类问题中，如果折痕过某一定点，这是往往用辅助圆来解决问题，一般试题考查的是点圆最值问题。‎ ‎6.折叠后图形不明确，应明确分析出可能出现情形，一次分析验证，可借助纸片模拟分析。‎