长宁区中考数学二模试卷及答案

长宁区中考数学二模试卷及答案

A B C D EO 第 6 题图 2015 年初三数学教学质量检测试卷 （考试时间 100 分钟，满分 150 分） 2015.4 考生注意: 1．本试卷含三个大题，共 25 题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答， 在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计 算的主要步骤． 一、单项选择题:（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1.将抛物线 向右平移3个单位得到的抛物线表达式是( ) A. ； B. ； C. ； D. . 2.下列各式中，与 是同类二次根式的是( ) A. ； B. ； C. ； D. . 3. 一组数据: 5,7,4,9,7的中位数和众数分别是( ) A. 4,7 ； B. 7,7 ； C. 4,4 ； D. 4,5 . 4. 用换元法解方程: 时，如果设 ，那么原方程可化为( ) A. ； B. ； C. ； D. . 5. 在下列图形中，①等边三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形. 其中既是轴对称图形又是中心对称的图形有( ) A. 1个； B. 2个； C. 3个； D. 4个. 6. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=90°，对角线 AC、BD 交于点 O，AO=CO，∠AOD =∠ADO，E 是 DC 边的中点.下列结论中，错误的是( ) A. ； B. ； C.； ； D. . 二、填空题:（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7. 计算: = ▲ ． 2xy = ( )23−= xy ( )23+= xy 32 −= xy 32 += xy 3 13 − 6 9 12 2 53 3 2 2 =−+− y y y y 32 −= y yx 0252 2 =+− xx 0152 =+− xx 0252 2 =++ xx 0152 2 =+− xx ADOE 2 1= OBOE 2 1= OCOE 2 1= BCOE 2 1= 2 1 9− 中年 ？ 老年 20% 青年 60% 第 12 题图 M F E D CB A 第 18 题图 8. 计算: = ▲ ． 9. 方程 的解是 ▲ ． 10.若关于 x 的二次方程 有两个相等的实数根，则实数 a = ▲ ． 11.从数字1,2,3,4中，任意取两个数字组成一个两位数，这个数是素数的概 率是 ▲ ． 12. 2015年1月份，某区体委组织 “迎新春长跑活动”，现将报名的男选手分 成: 青年组、中年组、老年组.各组人数所占比例如图所示，已知青年 组120人，则中年组的人数是 ▲ ． 13.已知 ，如果 ， ，那么实数 k = ▲ ． 14.已知⊙ 和⊙ 的半径分别是5和3，若 =2，则两圆的位置关系 是 ▲ ． 15.已知在离地面30米的高楼窗台 A 处测得地面花坛中心标志物 C 的俯角为 60°，那么这一标志物 C 离此栋楼房的地面距离 BC 为 ▲ 米． 16.已知线段 AB=10，P 是线段 AB 的黄金分割点(AP﹥PB)，则 AP= ▲ ． 17.请阅读下列内容: 我们在平面直角坐标系中画出抛物线 和双曲线 ，如图 所示，利用两图像的交点个数和位置来确定方程 有一个正 实数根，这种方法称为利用函数图像判断方程根的情况.请用图像法判 断方程 的根的情况 ▲ （填写根的个数及正 负）． 18.如图，△ABC≌△DEF（点 A、B 分别与点 D、E 对应），AB=AC=5， BC=6，△ABC 固定不动，△DEF 运动，并满足点 E 在 BC 边从 B 向 C 移动（点 E 不与 B、C 重合），DE 始终经过点 A，EF 与 AC 边交于点 M，当△AEM 是等腰三角形时，BE= ▲ . 三、解答题:（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（本题满分 10 分） 解不等式组 ，并将解集在数轴上表示出来 . ( )23nm− 132 =+x 032 =+++ aaxx akb = 2=a 6=b 1O 2O 21OO 12 += xy xy 2= xx 212 =+ ( ) xx 243 2 =+−−    +< ≥+ 32 5 ,5)5.1(2 mm m BC A 第 15 题图 x y O 第 17 题图 20．（本题满分 10 分） 先化简，再求代数式的值: ，其中 . 21．（本题满分 10 分） 在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙 地，到达乙地卸货后返回甲地.设汽车从甲地出发 x（h）时，汽 车与甲地的距离为 y（km），y 与 x 的关系如图所示. 根据图像回答下列问题: （1）汽车在乙地卸货停留 （h）； （2）求汽车返回甲城时 y 与 x 的函数解析式，并写出定义域； （3）求这辆汽车从甲地出发 4 h 时与甲地的距离. 22．（本题满分 10 分） 如图，AD 是等腰△ABC 底边上的高，且 AD=4， . 若 E 是 AC 边上的点，且满 足 AE:EC=2:3，联结 DE，求 的值. 23．（本题满分 12 分） 如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，AE=AF，AC 和 EF 交于点 O，延 长 AC 至点 G，使得 AO=OG，联结 EG、FG. （1）求证: BE=DF； （2）求证:四边形 AEGF 是菱形. a a aa a −÷     +−− + 11 2 1 2 2 13 −=a 5 4sin =B ADE∠cot D F G C O EB A 第 23 题图 第 22 题图 E D CB A 第 21 题图 x y（km） （h）52 120 2.5O 24．（本题满分 12 分） 如图，已知抛物线 的顶点 A 在第四象限，过点 A 作 AB⊥y 轴于点 B， C 是线段 AB 上一点(不与 A、B 重合)，过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D，并交抛物线于点 P. （1）若点 C 的横坐标为 1，且是线段 AB 的中点，求点 P 的坐标； （2）若直线 AP 交 y 轴负半轴于点 E，且 AC=CP，求四边形 OEPD 的面积 S 关于 t 的函数解 析式，并写出定义域； （3）在（2）的条件下，当△ADE 的面积等于 2S 时 ，求 t 的值. 25．（本题满分 14 分） 如图，已知矩形 ABCD，AB =12 cm，AD =10 cm，⊙O 与 AD、AB、BC 三边都相切，与 DC 交于点 E、F。已知点 P、Q、R 分别从 D、A、B 三点同时出发，沿矩形 ABCD 的边逆时针方 向匀速运动，点 P、Q、R 的运动速度分别是 1 cm/s、x cm/s、1.5 cm/s，当点 Q 到达点 B 时停 止运动，P、R 两点同时停止运动.设运动时间为 t（单位:s）. （1）求证: DE=CF； （2）设 x = 3，当△PAQ 与△QBR 相似时，求出 t 的值； （3）设△PAQ 关于直线 PQ 对称的图形是△PA'Q，当 t 和 x 分别为何值时，点 A'与圆心 O 恰 好重合，求出符合条件的 t、x 的值. 22 22 −+−= ttxxy 第 24 题图 x y O E P D CB A 第 25 题图 O FED C BA P Q R 20 x1 2015 年初三数学教学质量检测试卷参考答案 一、单项选择题:（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1. A；2. D；3. B；4. A；5. B；6. D. 二、填空题:（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7. ； 8. ； 9. -1； 10. 6 或-2； 11. ； 12. 40； 13. ±3； 14. 内切； 15. ；16. ； 17. 2 正根，1 负根； 18. 1 或 . 二、填空题:（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 19．（本题满分（10 分） 解: （3 分） （2 分） 化简得 （3 分） ∴不等式组的解集是 .（2 分） 20．（本题满分 10 分） 解:原式= （2 分） = （2 分） = （2 分） = （2 分） = = （2 分） 21．（本题满分 10 分） 解:（1）0.5；（2 分） （2）设 （1 分） 3 1 26nm 12 5 310 555 − 6 11    < ≥+ 32 3 532 m m    < ≥ 2 1 m m 21 <≤ m ( ) ( )( ) a a aa a a a −÷      −+ −+ 111 12--1 2 2 a a a a a a −×     − −+ 1 1 22--1 2 22 a a a a −×1 -1 3 2 a+1 3 3 3 3 )0( ≠+= kbkxy 第 21 题图 x y（km） （h）52 120 2.5O 把（2.5，120）和（5，0）分别代入 得 ， 解得 （3 分） ∴解析式为 .（1 分） （3）当 x = 4 时， （2 分） ∴这辆汽车从甲地出发 4 h 时与甲地的距离 48 km. （1 分） 22．（本题满分 10 分） 解: 作 EF⊥AD 于点 F. （1 分） ∵AD⊥BC ∴∠ADB=90° 在 Rt△ABD 中，AD=4， ∴AB=5 ∴ ∵等腰△ABC ∴AB=AC ∴AC=5 ∵AD⊥BC ∴DB=DC ∴DC=3 （4 分） ∵EF⊥AD AD⊥BC ∴EF//BC ∴ ∵ AC=5 DC=3 ∴EF= AF= DF= （4 分） ∴在 Rt△EFD 中， . （1 分） 23．（本题满分 12 分） 证：（1）∵正方形 ABCD ∴AB=AD ∠B=∠D=90° 在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中    += += bk bk 50 5.2120    = −= 240 48 b k ( )55.224048 ≤≤+−= xxy 48240448 =+×−=y 5 4sin == AB ADB 3- 22 == ADABBD AD AF DC EF AC AE == 3 2 EC AE = 5 6 5 8 5 12 2cot ==∠ EF DFADE D F G C O EB A 第 23 题图 F A B CD E 第 22 题 图 ∴△ABE≌△ADF ∴BE=DF. （5 分） （2）∵正方形 ABCD ∴BC=CD ∵ BE=DF ∴CE=CF ∴△ECF 是等腰三角形 ∵正方形 ABCD ∴AC 平分∠BCD ∴AC⊥EF 且 EO=OF ∵AO=OG ∴四边形 AEGF 是平行四边形（5 分） ∵AC⊥EF ∴四边形 AEGF 是菱形. （2 分） 24．（本题满分 12 分） 解：（1） ∴A（t，-2）（2 分） ∵点 C 的横坐标为 1，且是线段 AB 的中点 ∴t =2 （1 分） ∴ ∴P（1，-1）.（1 分） （2）据题意，设 C（x，-2）（0< x < t），P（x， ） AC= t-x，PC= （1 分） ∵AC=PC ∴t-x = ∵x < t ∴ t - x=1 即 x = t - 1 ∴AC=PC=1 （2 分） ∵DC//y 轴 ∴ ∴EB= t ∴OE=2-t ∴ （1< t <2）. （2 分） （3） （1 分） ∵ ∴    = = AFAE ADAB ( ) 2--22 222 txttxxy =−+−= ( ) 2-2-x 2=y 2)( 2 −−tx 2)( tx − 2)( tx − AB AC EB PC = 2 322 1)1)(3(2 1)(2 1 2 −+−=−−=×+= ttttODDPOES ttABDPS ADE 2 112 1 2 1 =××=×=∆ SS ADE 2=∆ )2 322 1(22 1 2 −+−= ttt 第 24 题图 x y O E P D CB A 解得 ， （不合题意） ∴ .（2 分） 25．（本题满分 14 分） （1）证:作 OH⊥DC 于点 H，设⊙O 与 BC 边切于点 G，联结 OG. （1 分） ∴∠OHC=90° ∵⊙O 与 BC 边切于点 G ∴OG=6，OG⊥BC ∴∠OGC=90° ∵矩形 ABCD ∴∠C=90° ∴四边形 OGCH 是矩形 ∴CH=OG ∵OG=6 ∴CH=6 （1 分） ∵矩形 ABCD ∴AB=CD ∵AB=12 ∴CD=12 ∴DH=CD﹣CH=6 ∴DH= CH ∴O 是圆心且 OH⊥DC ∴EH=FH （2 分） ∴DE=CF. （1 分） （2）据题意，设 DP=t，PA=10-t，AQ=3t，QB=12-3t，BR=1.5t（0 < t < 4）. （1 分） ∵矩形 ABCD ∴∠A=∠B=90° 若△PAQ 与△QBR 相似，则有 ① （2 分） ② 或 （舍）（2 分） （3）设⊙O 与 AD、AB 都相切点 M、N，联结 OM、ON、OA. ∴OM⊥AD ON⊥AB 且 OM=ON=6 又∵矩形 ABCD ∴∠A=90° ∴四边形 OMAN 是矩形 又∵ OM =ON ∴四边形 OMAN 是正方形 （1 分） ∴MN 垂直平分 OA ∵△PAQ 与△PA'Q 关于直线 PQ 对称 ∴PQ 垂直平分 OA ∴MN 与 PQ 重合 （1 分） ∴ MA = PA = 10-t = 6 ∴ t = 4 （1 分） ∴AN = AQ = x t = 6 ∴x = （1 分） 2 3 1 =t 22 =t 2 3=t BR AQ QB AP = t t t t 5.1 3 3-12 -10 = 5 14=t QB AQ BR AP = t t t t 312 3 5.1 -10 −= 146921 −=t 14692-2 −=t 2 3 第 25 题图(1) G H O FED C BA P Q R 第 25 题图(2) (P) R （Q）A B CD E F O H GM N ∴当 t = 4 和 x = 时点 A'与圆心 O 恰好重合. 2 3