中考数学总复习滚动小专题八四边形的有关计算与证明试题及答案

中考数学总复习滚动小专题八四边形的有关计算与证明试题及答案

滚动小专题(八)　四边形的有关计算与证明 ‎1．(2016·长春)如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF＝BE，EF与CD交于点G.‎ ‎(1)求证：BD∥EF；‎ ‎(2)若＝，BE＝4，求EC的长．‎ 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC.∴DF∥BE.‎ ‎∵DF＝BE，∴四边形BEFD是平行四边形．‎ ‎∴BD∥EF.‎ ‎(2)∵四边形BEFD是平行四边形，‎ ‎∴DF＝BE＝4.‎ ‎∵DF∥EC，‎ ‎∴△DFG∽△CEG.∴＝.‎ ‎∴CE＝＝4×＝6.‎ ‎2．(2016·苏州)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.‎ ‎(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；‎ ‎(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．‎ 解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB∥CD，AC⊥BD.‎ ‎∴AE∥CD，∠AOB＝90°.‎ 又∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，‎ ‎∴∠AOB＝∠EDB.∴DE∥AC.‎ ‎∴四边形ACDE是平行四边形．‎ ‎(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，‎ ‎∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝5.‎ 又∵四边形ACDE是平行四边形，‎ ‎∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8.‎ ‎∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.‎ ‎3．(2016·台州)如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和点G，H.‎ ‎(1)求证：△PHC≌△CFP；‎ ‎(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．‎ 解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB∥CD，AD∥BC.‎ 又∵EF∥AB，GH∥AD，‎ ‎∴EF∥CD，GH∥BC.‎ ‎∴∠CPF＝∠HCP，∠CPH＝∠PCF.‎ ‎∵PC＝PC，‎ ‎∴△PHC≌△CFP(ASA)．‎ ‎(2)证明：由(1)知AB∥EF∥CD，AD∥GH∥BC，‎ ‎∴四边形PEDH和四边形PFBG都是平行四边形．‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠D＝∠B＝90°.‎ ‎∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形．‎ S矩形PEDH＝S矩形PFBG.‎ ‎4．(2016·遵义)如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE＝DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．‎ ‎(1)求证：CP＝AQ；‎ ‎(2)若BP＝1，PQ＝2，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积．‎ 解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC.‎ ‎∴∠E＝∠F.‎ ‎∵BE＝DF，∴AE＝CF.‎ 在△CFP和△AEQ中， ‎∴△CFP≌△AEQ(ASA)．‎ ‎∴CP＝AQ.‎ ‎(2)∵AD∥BC，∴∠PBE＝∠A＝90°.‎ ‎∵∠AEF＝45°，‎ ‎∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形．‎ ‎∴BE＝BP＝1，AQ＝AE.‎ ‎∴PE＝BP＝.‎ ‎∴EQ＝PE＋PQ＝＋2＝3.‎ ‎∴AQ＝AE＝3.‎ ‎∴AB＝AE－BE＝2.‎ ‎∵CP＝AQ＝3，‎ ‎∴BC＝BP＋CP＝1＋3＝4.‎ ‎∴S矩形ABCD＝AB·BC＝2×4＝8.‎ ‎5．(2016·毕节)如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F.‎ ‎(1)求证：△AEC≌△ADB；‎ ‎(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．‎ 解：(1)证明：由旋转的性质得：△ABC≌△ADE.‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＝∠DAE.‎ ‎∴∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，即∠CAE＝∠DAB.‎ 在△AEC和△ADB中， ‎∴△AEC≌△ADB(SAS)．‎ ‎(2)∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，‎ ‎∴∠DBA＝∠BAC＝45°.‎ 由(1)得，AB＝AD，‎ ‎∴∠DBA＝∠BDA＝45°.‎ ‎∴△ABD是等腰直角三角形．‎ ‎∴BD2＝2AB2，即BD＝AB＝2.‎ ‎∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2.‎ ‎∴BF＝BD－DF＝2－2.‎ ‎6．准备一张矩形纸片ABCD，按如图所示操作：‎ 将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．‎ ‎(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；‎ ‎(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．‎ 解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD.‎ 由翻折得BM＝AB，DN＝DC，∠A＝∠EMB，∠C＝∠DNF，‎ ‎∴BM＝DN，∠EMB＝∠DNF＝90°.‎ ‎∴BN＝DM，∠EMD＝∠FNB＝90°.‎ ‎∵AD∥BC，∴∠EDM＝∠FBN.‎ ‎∴△EDM≌△FBN(ASA)．∴ED＝FB.‎ ‎∴四边形BFDE是平行四边形．‎ ‎(2)∵四边形BFDE是菱形，‎ ‎∴∠EBD＝∠FBD.‎ ‎∵∠ABE＝∠EBD，∠ABC＝90°，‎ ‎∴∠ABE＝×90°＝30°.‎ 在Rt△ABE中，∵AB＝2，‎ ‎∴AE＝，BE＝.‎ ‎∴ED＝，∴AD＝2.‎ ‎∴S△ABE＝AB·AE＝，‎ S矩形ABCD＝AB·AD＝4.‎ ‎∴S菱形BFDE＝4－2×＝.‎ ‎7．(2016·济宁)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF＝CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO.‎ ‎(1)已知EO＝，求正方形ABCD的边长；‎ ‎(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．‎ 解：(1)∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AO＝OC，△ABC是等腰直角三角形．‎ 在△ACF中，AC＝CF，CF平分∠ACF，‎ ‎∴AE＝EF.‎ ‎∴EO为△AFC的中位线．‎ ‎∴CF＝2EO＝2.∴AC＝2.∴AB＝＝2.‎ ‎(2)EM＝CN.‎ 证明：∵CF＝CA，CE是∠ACF的平分线，‎ ‎∴CE⊥AF.∴∠AEN＝∠CBN＝90°.‎ ‎∵∠ANE＝∠CNB，‎ ‎∴∠BAF＝∠BCN.‎ 在△ABF和△CBN中， ‎∴△ABF≌△CBN(ASA)．‎ ‎∴AF＝CN.‎ ‎∵∠BAF＝∠BCN，∠ACN＝∠BCN，‎ ‎∴∠BAF＝∠OCM.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AC⊥BD.∴∠ABF＝∠COM＝90°.‎ ‎∴△ABF∽△COM.‎ ‎∴＝.‎ ‎∴＝＝，即CM＝CN.‎ 由(1)知EO∥BC，∴△EOM∽△CBM.‎ ‎∴＝＝.‎ ‎∴EM＝CM＝×CN＝CN.‎