2020年中考数学压轴题：一次方程（组）的含参及应用问题考点专练

2020年中考数学压轴题：一次方程（组）的含参及应用问题考点专练

2020 年中考数学压轴题：一次方程（组）的含参及应用问题考点专练 【考点 1】一次方程的有关定义 【例 1】（2019•呼和浩特）关于 x 的方程 mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0 如果是一元一次方程， 则其解为 ________ ． 【答案】x＝2 或 x＝﹣2 或 x＝﹣3 【解析】∵关于 x 的方程 mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0 如果是一元一次方程， ∴当 m＝1 时，方程为 x﹣2＝0，解得：x＝2； 当 m＝0 时，方程为﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣2； 当 2m﹣1＝0，即 m 时，方程为 x﹣2＝0， 解得：x＝﹣3， 故答案为：x＝2 或 x＝﹣2 或 x＝﹣3． 点睛：此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键． 【变式 1-1】（2019•湘西州）若关于 x 的方程 3x﹣kx+2＝0 的解为 2，则 k 的值为 ． 【答案】4 【解析】∵关于 x 的方程 3x﹣kx+2＝0 的解为 2， ∴3×2﹣2k+2＝0， 解得：k＝4． 故答案为：4． 点睛：此题主要考查了一元一次方程的解，正确把已知数据代入是解题关键． 【变式 1-2】（2019•常州）若 是关于 x、y 的二元一次方程 ax+y＝3 的解，则 a＝ ． 【答案】1 【解析】把 代入二元一次方程 ax+y＝3 中， a+2＝3，解得 a＝1． 故答案是：1． 点睛：本题运用了二元一次方程的解的知识点，运算准确是解决此题的关键． 【考点 2】方程组的解法 【例 2】（2019•南通）已知 a，b 满足方程组 ，则 a+b 的值为（ ） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 【答案】A 【解析】 ， ①+②得：5a+5b＝10， 则 a+b＝2， 故选：A． 点睛：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与 加减消元法． 【变式 2-1】（2019•荆门）已知实数 x，y 满足方程组 则 x2﹣2y2 的值为（ ） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 【答案】A 【解析】 ， ①+②×2，得 5x＝5，解得 x＝1， 把 x＝1 代入②得，1+y＝2，解得 y＝1， ∴x2﹣2y2＝12﹣2×12＝1﹣2＝﹣1． 故选：A． 点睛：此题主要考查了二元一次方程组解的定义．以及解二元一次方程组的基本方法．正 确解关于 x、y 的方程组是关键． 【考点 3】方程组的含参问题 【例 3】（2019•朝阳）关于 x，y 的二元一次方程组 的解是 ，则 m+n 的值为 （ ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【解析】把 代入得： ， 解得： ， 则 m+n＝0， 故选：D． 点睛：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未 知数的值． 【变式 3-1】（2019•菏泽）已知 是方程组 的解，则 a+b 的值是（ ） A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5 【答案】A 【解析】将 代入 ， 可得： ， 两式相加：a+b＝﹣1， 故选：A． 点睛：本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本 题属于基础题型． 【变式 3-2】（2019•巴中）已知关于 x、y 的二元一次方程组 的解是 ，则 a+b 的值是（ ） A．1 B．2 C．﹣1 D．0 【答案】B 【解析】将 代入 得： ， ∴a+b＝2； 故选：B． 点睛：本题考查二元一次方程组的解；熟练掌握方程组与方程组的解之间的关系是解题的 关键． 【考点 4】二元一次方程的方案问题 【例 4】（2019•天门）把一根 9m 长的钢管截成 1m 长和 2m 长两种规格均有的短钢管，且没 有余料，设某种截法中 1m 长的钢管有 a 根，则 a 的值可能有（ ） A．3 种 B．4 种 C．5 种 D．9 种 【答案】B 【解析】设 2m 的钢管 b 根，根据题意得： a+2b＝9， ∵a、b 均为整数， ∴ ， ， ， ． 故选：B． 点睛：本题运用了二元一次方程的整数解的知识点，运算准确是解此题的关键． 【变式 4-1】（2019•齐齐哈尔）学校计划购买 A 和 B 两种品牌的足球，已知一个 A 品牌足球 60 元，一个 B 品牌足球 75 元．学校准备将 1500 元钱全部用于购买这两种足球（两种足球 都买），该学校的购买方案共有（ ） A．3 种 B．4 种 C．5 种 D．6 种 【答案】B 【解析】设购买 A 品牌足球 x 个，购买 B 品牌足球 y 个， 依题意，得：60x+75y＝1500， ∴y＝20 x． ∵x，y 均为正整数， ∴ ， ， ， ， ∴该学校共有 4 种购买方案． 故选：B． 点睛：本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【考点 5】一次方程组的应用问题 【例 5】（2019•娄底）某商场用 14500 元购进甲、乙两种矿泉水共 500 箱，矿泉水的成本价 与销售价如表（二）所示： 类别 成本价（元/箱） 销售价（元/箱） 甲 25 35 乙 35 48 求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？ （2）该商场售完这 500 箱矿泉水，可获利多少元？ 【答案】（1）购进甲矿泉水 300 箱，购进乙矿泉水 200 箱； （2）该商场售完这 500 箱矿泉水，可获利 5600 元． 【解析】（1）设购进甲矿泉水 x 箱，购进乙矿泉水 y 箱， 依题意，得： ， 解得： ． 答：购进甲矿泉水 300 箱，购进乙矿泉水 200 箱． （2）（35﹣25）×300+（48﹣35）×200＝5600（元）． 答：该商场售完这 500 箱矿泉水，可获利 5600 元． 点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解 题的关键． 【变式 5-1】（2019•百色）一艘轮船在相距 90 千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙 地顺流航行用 6 小时，逆流航行比顺流航行多用 4 小时． （1）求该轮船在静水中的速度和水流速度； （2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行 时间相同，问甲、丙两地相距多少干米？ 【答案】（1）该轮船在静水中的速度是 12 千米/小时，水流速度是 3 千米/小时； （2）甲、丙两地相距 千米． 【解析】（1）设该轮船在静水中的速度是 x 千米/小时，水流速度是 y 千米/小时， 依题意，得： ， 解得： ． 答：该轮船在静水中的速度是 12 千米/小时，水流速度是 3 千米/小时． （2）设甲、丙两地相距 a 千米，则乙、丙两地相距（90﹣a）千米， 依题意，得： ， 解得：a ． 答：甲、丙两地相距 千米． 点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1） 找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【变式 5-2】（2019•呼和浩特）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8 元/公里 0.3 元/分钟 0.8 元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程 计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程 7 公里 以内（含 7 公里）不收远途费，超过 7 公里的，超出部分每公里收 0.8 元． 小王与小张各自乘坐满滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里 程分别为 6 公里与 8.5 公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同． （1）求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟； （2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等 候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的 1.5 倍，且比另一人的实际乘车时间 的一半多 8.5 分钟，计算俩人各自的实际乘车时间． 【答案】（1）∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差 19 分钟； （2）小王的实际行车时间为 37 分钟，小张的实际行车时间为 18 分钟． 【解析】（1）设小王的实际行车时间为 x 分钟，小张的实际行车时间为 y 分钟，由题意得： 1.8×6+0.3x＝1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5﹣7） ∴10.8+0.3x＝16.5+0.3y 0.3（x﹣y）＝5.7 ∴x﹣y＝19 ∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差 19 分钟． （2）由（1）及题意得： 化简得 ①+②得 2y＝36 ∴y＝18 ③ 将③代入①得 x＝37 ∴小王的实际行车时间为 37 分钟，小张的实际行车时间为 18 分钟． 点睛：本题考查了二元一次方程和二元一次方程组在实际问题中的应用，根据等量关系列 方程或方程组是解题的关键． 1．（2019•南充）关于 x 的一元一次方程 2xa﹣2+m＝4 的解为 x＝1，则 a+m 的值为（ ） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【解析】因为关于 x 的一元一次方程 2xa﹣2+m＝4 的解为 x＝1， 可得：a﹣2＝1，2+m＝4， 解得：a＝3，m＝2， 所以 a+m＝3+2＝5， 故选：C． 点睛：此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答． 2．（2019•阜新）某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本 40 元； 按原价的九折出售，那么每件盈利 20 元，则这种衬衫的原价是（ ） A．160 元 B．180 元 C．200 元 D．220 元 【答案】C 【解析】设这种衬衫的原价是 x 元， 依题意，得：0.6x+40＝0.9x﹣20， 解得：x＝200． 故选：C． 点睛：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的 关键． 3．（2019•鸡西）某学校计划用 34 件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突 出的班级，一等奖奖励 6 件，二等奖奖励 4 件，则分配一、二等奖个数的方案有（ ） A．4 种 B．3 种 C．2 种 D．1 种 【答案】B 【解析】设一等奖个数 x 个，二等奖个数 y 个， 根据题意，得 6x+4y＝34， 使方程成立的解有 ， ， ， ∴方案一共有 3 种； 故选：B． 点睛：本题考查二元一次方程的应用；熟练掌握二元一次方程的解法是解题的关键． 4．（2019•孝感）已知二元一次方程组 ，则 的值是（ ） A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6 【答案】C 【解析】 ， ②﹣①×2 得，2y＝7，解得 ， 把 代入①得， x＝1，解得 ， ∴ 故选：C． 点睛：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与 加减消元法． 5．（2019•乐山）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出 七，不足四．问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出 8 钱，会多 3 钱； 每人出 7 钱，又差 4 钱．问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别 是（ ） A．1，11 B．7，53 C．7，61 D．6，50 【答案】B 【解析】设有 x 人，物价为 y，可得： ， 解得： ， 故选：B． 点睛：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次 方程组是解题的关键． 6．（2019•台州）一道来自课本的习题： 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走 3km，平路每小时走 4km，下坡每小时走 5km，那么从甲地到乙地需 54min，从乙地到甲地需 42min．甲 地到乙地全程是多少？ 小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数 x，y，已经列出一个方程 ，则另一个方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设未知数 x，y，已经列出一个方程 ，则另一个方程正确的是： ． 故选：B． 点睛：此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意得出等式是解题关键． 7．（2019•襄阳）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有 人合伙买羊，每人出 5 钱，会差 45 钱；每人出 7 钱，会差 3 钱．问合伙人数、羊价各是多 少？设合伙人数为 x 人，所列方程正确的是（ ） A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C． D． 【答案】B 【解析】设合伙人数为 x 人， 依题意，得：5x+45＝7x+3． 故选：B． 点睛：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方 程是解题的关键． 8.（2019•铁岭）若 x，y 满足方程组 ，则 x+y＝ ． 【答案】7 【解析】 ， ①+②得：4x＝20， 解得：x＝5， 把 x＝5 代入②得：y＝2， 则 x+y＝2+5＝7， 故答案为：7 点睛：此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．（2019•咸宁）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸； 屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木条，木条剩余 1 尺，问木条长多少尺？”如果设木条长 x 尺，绳子 长 y 尺，可列方程组为_____________． 【答案】 【解析】设木条长 x 尺，绳子长 y 尺， 依题意，得： ． 故答案为： ． 点睛：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次 方程组是解题的关键． 10．（2019•眉山）已知关于 x，y 的方程组 的解满足 x+y＝5，则 k 的值为 ． 【答案】2 【解析】 ， ②×2﹣①，得 3x＝9k+9，解得 x＝3k+3， 把 x＝3k+3 代入①，得 3k+3+2y＝k﹣1，解得 y＝﹣k﹣2， ∵x+y＝5， ∴3k+3﹣k﹣2＝5， 解得 k＝2． 故答案为：2 点睛：此题主要考查了二元一次方程组解的定义．以及解二元一次方程组的基本方法．正 确解关于 x、y 的方程组是关键． 11．（2019•自贡）某活动小组购买了 4 个篮球和 5 个足球，一共花费了 466 元，其中篮球的 单价比足球的单价多 4 元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为 x 元，足球的单 价为 y 元，依题意，可列方程组为 ． 【答案】 【解析】设篮球的单价为 x 元，足球的单价为 y 元，由题意得： ， 故答案为： ， 点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题 目中的等量关系． 12．（2019•泰安）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九 枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意 思是：甲袋中装有黄金 9 枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银 11 枚（每枚白银重量 相同），称重两袋相等，两袋互相交换 1 枚后，甲袋比乙袋轻了 13 两（袋子重量忽略不计）， 问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重 x 两，每枚白银重 y 两，根据题意可列方程 组为 ． 【答案】 【解析】设每枚黄金重 x 两，每枚白银重 y 两，由题意得： ， 故答案为： ． 点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题 目中的等量关系． 13．（2019•毕节市）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价，在某次电商购物节 中，为促销该商品，按标价 8 折销售，售价为 2240 元，则这种商品的进价是 元． 【答案】2000 【解析】设这种商品的进价是 x 元， 由题意得，（1+40%）x×0.8＝2240． 解得：x＝2000， 故答案为 2000 点睛：本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出 合适的等量关系，列方程解答． 14．（2019•南通）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买 鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买 鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几 个人？”设共有 x 个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为 ． 【答案】9x﹣11＝6x+16 【解析】设有 x 个人共同买鸡，根据题意得： 9x﹣11＝6x+16． 故答案为：9x﹣11＝6x+16． 点睛：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方 程是解题的关键． 15．（2019•烟台）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学 计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配 36 座新能源客车若干辆，则有 2 人 没有座位；若只调配 22 座新能源客车，则用车数量将增加 4 辆，并空出 2 个座位． （1）计划调配 36 座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？ （2）若同时调配 36 座和 22 座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车 型各需多少辆？ 【答案】（1）计划调配 36 座新能源客车 6 辆，该大学共有 218 名志愿者； （2）需调配 36 座客车 3 辆，22 座客车 5 辆． 【解析】（1）设计划调配 36 座新能源客车 x 辆，该大学共有 y 名志愿者，则需调配 22 座 新能源客车（x+4）辆， 依题意，得： ， 解得： ． 答：计划调配 36 座新能源客车 6 辆，该大学共有 218 名志愿者． （2）设需调配 36 座客车 m 辆，22 座客车 n 辆， 依题意，得：36m+22n＝218， ∴n ． 又∵m，n 均为正整数， ∴ ． 答：需调配 36 座客车 3 辆，22 座客车 5 辆． 点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1） 找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 16．（2019•淮安）某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车皮数量 （节） 所用汽车数量（辆）运输物资总量（吨） 第一批 2 5 130 第二批 4 3 218 试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？ 【答案】每节火车车皮装物资 50 吨，每辆汽车装物资 6 吨 【解析】设每节火车车皮装物资 x 吨，每辆汽车装物资 y 吨， 根据题意，得 ， ∴ ， ∴每节火车车皮装物资 50 吨，每辆汽车装物资 6 吨； 点睛：本题考查二元一次方程组的应用；能够根据题意列出准确的方程组，并用加减消元 法解方程组是关键． 17．（2019•河池）在某体育用品商店，购买 30 根跳绳和 60 个毽子共用 720 元，购买 10 根 跳绳和 50 个毽子共用 360 元． （1）跳绳、毽子的单价各是多少元？ （2）该店在“五•四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日 期间购买 100 根跳绳和 100 个毽子只需 1800 元，该店的商品按原价的几折销售？ 【答案】（1）跳绳的单价为 16 元/条，毽子的单件为 4 元/个； （2）该店的商品按原价的 9 折销售． 【解析】（1）设跳绳的单价为 x 元/条，毽子的单件为 y 元/个，可得： ， 解得： ， 答：跳绳的单价为 16 元/条，毽子的单件为 4 元/个； （2）设该店的商品按原价的 a 折销售，可得：（100×16+100×4） 1800， 解得：a＝9， 答：该店的商品按原价的 9 折销售． 点睛：本题主要考查二元一次方程组及一元一次方程的应用，理解题意找到相等关系是解 题关键． 18．（2019•泸州）某出租汽车公司计划购买 A 型和 B 型两种节能汽车，若购买 A 型汽车 4 辆，B 型汽车 7 辆，共需 310 万元；若购买 A 型汽车 10 辆，B 型汽车 15 辆，共需 700 万 元． （1）A 型和 B 型汽车每辆的价格分别是多少万元？ （2）该公司计划购买 A 型和 B 型两种汽车共 10 辆，费用不超过 285 万元，且 A 型汽车的 数量少于 B 型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】（1）A 型汽车每辆的进价为 25 万元，B 型汽车每辆的进价为 30 万元； （2）最省的方案是购买 A 型汽车 4 辆，购进 B 型汽车 6 辆，该方案所需费用为 280 万元． 【解析】（1）设 A 型汽车每辆的进价为 x 万元，B 型汽车每辆的进价为 y 万元， 依题意，得： ， 解得 ， 答：A 型汽车每辆的进价为 25 万元，B 型汽车每辆的进价为 30 万元； （2）设购进 A 型汽车 m 辆，购进 B 型汽车（10﹣m）辆，根据题意得： 解得：3≤m＜5， ∵m 是整数， ∴m＝3 或 4， 当 m＝3 时，该方案所用费用为：25×3+30×7＝285（万元）； 当 m＝4 时，该方案所用费用为：25×4+30×6＝280（万元）． 答：最省的方案是购买 A 型汽车 4 辆，购进 B 型汽车 6 辆，该方案所需费用为 280 万元． 点睛：本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明 确题意，列出相应的不等式组和方程组，利用方程和不等式的性质解答．