中考数学压轴题对称问题双动点对称问题

中考数学压轴题对称问题双动点对称问题

‎（2014•济宁，第22题11分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；‎ ‎（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 分析：‎ ‎（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）首先求出对称点A′的坐标，然后代入抛物线解析式，即可判定点A′是否在抛物线上．本问关键在于求出A′的坐标．如答图所示，作辅助线，构造一对相似三角形Rt△A′EA∽Rt△OAC，利用相似关系、对称性质、勾股定理，求出对称点A′的坐标；‎ ‎（3）本问为存在型问题．解题要点是利用平行四边形的定义，列出代数关系式求解．如答图所示，平行四边形的对边平行且相等，因此PM=AC=10；利用含未知数的代数式表示出PM的长度，然后列方程求解．‎ 解答：‎ 解：（1）∵y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，‎ ‎∴，解得．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣．‎ ‎（2）如答图所示，过点A′作A′E⊥x轴于E，AA′与OC交于点D，‎ ‎∵点C在直线y=2x上，∴C（5，10）‎ ‎∵点A和A′关于直线y=2x对称，∴OC⊥AA′，A′D=AD．‎ ‎∵OA=5，AC=10，‎ ‎∴OC===．∵S△OAC=OC•AD=OA•AC，∴AD=．∴AA′=，‎ 在Rt△A′EA和Rt△OAC中，∵∠A′AE+∠A′AC=90°，∠ACD+∠A′AC=90°，‎ ‎∴∠A′AE=∠ACD．又∵∠A′EA=∠OAC=90°，‎ ‎∴Rt△A′EA∽Rt△OAC．∴，即．‎ ‎∴A′E=4，AE=8．∴OE=AE﹣OA=3．∴点A′的坐标为（﹣3，4），‎ 当x=﹣3时，y=×（﹣3）2+3﹣=4．所以，点A′在该抛物线上．‎ ‎（3）存在．理由：设直线CA′的解析式为y=kx+b，‎ 则，解得 ∴直线CA′的解析式为y=x+…（9分）‎ 设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点M为（x，x+）．‎ ‎∵PM∥AC，‎ ‎∴要使四边形PACM是平行四边形，只需PM=AC．又点M在点P的上方，‎ ‎∴（x+）﹣（x2﹣x﹣）=10．‎ 解得x1=2，x2=5（不合题意，舍去）‎ 当x=2时，y=﹣．‎ ‎∴当点P运动到（2，﹣）时，四边形PACM是平行四边形．‎ 点评：‎ 本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相似、平行四边形、勾股定理、对称等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问的要点是求对称点A′的坐标，第（3）问的要点是利用平行四边形的定义列方程求解．‎ ‎．（2014•贵州黔西南州, 第26题16分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．‎ ‎（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；‎ ‎（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．‎ 第1题图 分析：‎ ‎（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，则代入求得a，b，c，进而得解析式与顶点D．‎ ‎（2）由P在AD上，则可求AD解析式表示P点．由S△APE=•PE•yP，所以S可表示，进而由函数最值性质易得S最值．‎ ‎（3）由最值时，P为（﹣，3），则E与C重合．画示意图，P'过作P'M⊥y轴，设边长通过解直角三角形可求各边长度，进而得P'坐标．判断P′是否在该抛物线上，将xP'坐标代入解析式，判断是否为yP'即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，‎ ‎∴，解得 ，∴解析式为y=﹣x2﹣2x+3‎ ‎∵﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4， ∴抛物线顶点坐标D为（﹣1，4）．‎ ‎（2）∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），‎ ‎∴设AD为解析式为y=kx+b，有 ，解得 ，∴AD解析式：y=2x+6，‎ ‎∵P在AD上，∴P（x，2x+6），‎ ‎∴S△APE=•PE•yP=•（﹣x）•（2x+6）=﹣x2﹣3x（﹣3＜x＜﹣1），‎ 当x=﹣=﹣时，S取最大值．‎ ‎（3）如图1，设P′F与y轴交于点N，过P′作P′M⊥y轴于点M，‎ ‎∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（﹣，3），‎ ‎∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=，‎ ‎∵PF∥y轴，∴∠PFE=∠FEN，‎ ‎∵∠PFE=∠P′FE，∴∠FEN=∠P′FE，∴EN=FN，‎ 设EN=m，则FN=m，P′N=3﹣m．‎ 在Rt△P′EN中，∵（3﹣m）2+（）2=m2，∴m=．‎ ‎∵S△P′EN=•P′N•P′E=•EN•P′M，∴P′M=．‎ 在Rt△EMP′中，∵EM==，∴OM=EO﹣EM=，‎ ‎∴P′（，）．‎ 当x=时，y=﹣（）2﹣2•+3=≠，‎ ‎∴点P′不在该抛物线上．‎ 点评：‎ 本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数图象、性质及设边长利用勾股定理解直角三角形等常规考点，题目考点适中，考法新颖，适合学生练习巩固．‎ ‎（2014•攀枝花，第24题12分）如图，抛物线y=ax2﹣8ax+12a（a＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D的坐标为（﹣6，0），且∠ACD=90°．‎ ‎（1）请直接写出A、B两点的坐标；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；‎ ‎（4）平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动，到点A停止．设直线m与折线DCA的交点为G，与x轴的交点为H（t，0）．记△ACD在直线m左侧部分的面积为s，求s关于t的函数关系式及自变量t的取值范围．‎ 分析：‎ ‎（1）令y=ax2﹣8ax+12a=0，解一元二次方程，求出点A、B的坐标；‎ ‎（2）由∠ACD=90°可知△ACD为直角三角形，利用勾股定理，列出方程求出a的值，进而求出抛物线的解析式；‎ ‎（3）△PAC的周长=AC+PA+PC，AC为定值，则当PA+PC取得最小值时，△PAC的周长最小．设点C关于对称轴的对称点为C′，连接AC′与对称轴交于点P，由轴对称的性质可知点P即为所求；‎ ‎（4）直线m运动过程中，有两种情形，需要分类讨论并计算，避免漏解．‎ 解答：‎ 解：（1）抛物线的解析式为：y=ax2﹣8ax+12a（a＞0），‎ 令y=0，即ax2﹣8ax+12a=0，解得x1=2，x2=6，∴A（2，0），B（6，0）．‎ ‎（2）抛物线的解析式为：y=ax2﹣8ax+12a（a＞0），‎ 令x=0，得y=12a，∴C（0，12a），OC=12a．‎ 在Rt△COD中，由勾股定理得：CD2=OC2+OD2=（12a）2+62=144a2+36；‎ 在Rt△COD中，由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=（12a）2+22=144a2+4；‎ 在Rt△COD中，由勾股定理得：DC2+AC2=AD2；‎ 即：（144a2+36）+（144a2+4）=82，‎ 解得：a=或a=﹣（舍去），‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x+．‎ ‎（3）存在．对称轴为直线：x=﹣=4．‎ 由（2）知C（0，），则点C关于对称轴x=4的对称点为C′（8，），‎ 连接AC′，与对称轴交于点P，则点P为所求．此时△PAC周长最小，最小值为AC+AC ‎′．‎ 设直线AC′的解析式为y=kx+b，则有：‎ ‎，解得， ∴y=x﹣．‎ 当x=4时，y=，∴P（4，）．‎ 过点C′作C′E⊥x轴于点E，则C′E=，AE=6，‎ 在Rt△AC′E中，由勾股定理得：AC′==4；‎ 在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC==4．‎ ‎∴AC+AC′=4+4．‎ ‎∴存在满足条件的点P，点P坐标为（4，），△PAC周长的最小值为4+4．‎ ‎（4）①当﹣6≤t≤0时，如答图4﹣1所示．‎ ‎∵直线m平行于y轴，‎ ‎∴，即，解得：GH=（6+t）‎ ‎∴S=S△DGH=DH•GH=（6+t）•（6+t）=t2+2t+6；‎ ‎②当0＜t≤2时，如答图4﹣2所示．‎ ‎∵直线m平行于y轴，‎ ‎∴，即，解得：GH=﹣t+2．‎ ‎∴S=S△COD+S梯形OCGH=OD•OC+（GH+OC）•OH ‎=×6×2+（﹣t+2+2）•t ‎=﹣t2+2t+6．‎ ‎∴S=．‎ 点评：‎ 本题是典型的二次函数压轴题，综合考查二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、相似、勾股定理等知识点，难度不大．第（3）考查最值问题，注意利用轴对称的性质；第（4）问是动线型问题，考查分类讨论的数学思想，注意图形面积的计算．‎ ‎（2014•山东烟台，第26题12分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；‎ ‎（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．‎ 分析：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得．‎ ‎（2）通过△AOC∽△CFB求得OC的值，通过△OCD∽△FCB得出DC=CB，∠OCD=∠FCB，然后得出结论．‎ ‎（3）设直线AB的表达式为y=kx+b，求得与抛物线的交点E的坐标，然后通过解三角函数求得结果．‎ 解答：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式，得=a×22﹣2a﹣a，解得a=，‎ ‎∴抛物线的表达式为y=x2﹣x﹣．‎ ‎（2）连接CD，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠BCF+∠CBF=90°‎ ‎∵∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCF=90°，∴∠ACO=∠CBF，‎ ‎∵∠AOC=∠CFB=90°，∴△AOC∽△CFB，∴=，‎ 设OC=m，则CF=2﹣m，则有=，解得m=m=1，∴OC=OF=1，‎ 当x=0时y=﹣，∴OD=，∴BF=OD，‎ ‎∵∠DOC=∠BFC=90°，∴△OCD∽△FCB，∴DC=CB，∠OCD=∠FCB，‎ ‎∴点B、C、D在同一直线上，‎ ‎∴点B与点D关于直线AC对称，‎ ‎∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上．‎ ‎（3）过点E作EG⊥y轴于点G，设直线AB的表达式为y=kx+b，则，‎ 解得k=﹣，‎ ‎∴y=﹣x+，代入抛物线的表达式﹣x+=x2﹣x﹣．‎ 解得x=2或x=﹣2，‎ 当x=﹣2时y=﹣x+=﹣×（﹣2）+=，‎ ‎∴点E的坐标为（﹣2，），∵tan∠EDG===，‎ ‎∴∠EDG=30°∵tan∠OAC===，∴∠OAC=30°，‎ ‎∴∠OAC=∠EDG，∴ED∥AC．‎ 点评：本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定及性质，以及对称轴的性质和解三角函数等知识的理解和掌握．‎ ‎(2014年湖北咸宁23．（10分）)如图1，P（m，n）是抛物线y=﹣1上任意一点，l是过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．‎ ‎【探究】‎ ‎（1）填空：当m=0时，OP=　1　，PH=　1　；当m=4时，OP=　5　，PH=　5　；‎ ‎【证明】‎ ‎（2）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．‎ ‎【应用】‎ ‎（3）如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线y=﹣1上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．‎ 分析： （1）m记为P点的横坐标．m=0时，直接代入x=0，得P（0，﹣1），则OP，PH长易知．当m=4时，直接代入x=4，得P（4，3），OP可有勾股定理求得，PH=yP﹣（﹣2）．‎ ‎（2）猜想OP=PH．证明时因为P为所有满足二次函数y=﹣1的点，一般可设（m，﹣1）．类似（1）利用勾股定理和PH=yP﹣（﹣2）可求出OP与PH，比较即得结论．‎ ‎（3）考虑（2）结论，即函数y=﹣1的点到原点的距离等于其到l的距离．要求A、B两点到l距离的和，即A、B两点到原点的和，若AB不过点O，则OA+OB＞AB=6，若AB过点O，则OA+OB=AB=6，所以OA+OB≥6，即A、B两点到l距离的和≥6，进而最小值即为6．‎ 解答： （1）解：OP=1，PH=1；OP=5，PH=5．‎ 如图1，记PH与x轴交点为Q，‎ 当m=0时，P（0，﹣1）．此时OP=1，PH=1．‎ 当m=4时，P（4，3）．此时PQ=3，OQ=4，‎ ‎∴OP==5，PH=yP﹣（﹣2）=3﹣（﹣2）=5．‎ ‎（2）猜想：OP=PH．‎ 证明：过点P作PQ⊥x轴于Q，‎ ‎∵P在二次函数y=﹣1上，‎ ‎∴设P（m，﹣1），则PQ=|﹣1|，OQ=|m|，‎ ‎∵△OPQ为直角三角形，‎ ‎∴OP=====，‎ ‎ PH=yP﹣（﹣2）=（﹣1）﹣（﹣2）=，‎ ‎∴OP=PH．‎ ‎（3）解：如图2，连接OA，OB，过点A作AC⊥l于C，过点B作BD⊥l于D，此时AC即为A点到l的距离，BD即为B点到l的距离．‎ 则有OB=BD，OA=AC，‎ 在△AOB中，∵OB+OA＞AB，∴BD+AC＞AB．‎ 当AB过O点时，∵OB+OA=AB，∴BD+AC=AB．综上所述，BD+AC≥AB，‎ ‎∵AB=6，‎ ‎∴BD+AC≥6，即A，B两点到直线l的距离之和的最小值为6．‎ 点评： 本题考查了学生对函数与其图象的理解，另外涉及一些点到直线距离，利用勾股定理就坐标系中两点间的距离及最短距离等知识点，总体来说难度不高，但知识新颖易引发学生对数学知识的兴趣，非常值得学生练习．‎ ‎( 2014年河南) (23. 11分）如图，抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A(－1,0),B(5,0）两点，直线y=－x+3与y轴交于点C，，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m。‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若PE =5EF,求m的值；‎ ‎（3）若点E/是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P，使点E/落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由。‎ 解：(1)∵抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A (－1,0) , B(5,0)两点，‎ ‎ ∴ ∴‎ ‎∴抛物线的解析式为y=－x2+4x+5．………3分 ‎ （2）点P横坐标为m，‎ 则P(m,－m2＋4m＋5）,E(m,－m+3)，F(m,0),‎ ‎ ∵点P在x轴上方，要使PE=5EF,点P应在y轴右侧，∴ 0＜m＜5.‎ ‎ PE=－m2＋4m＋5－(－m＋3)= －m2＋m＋2……4分 分两种情况讨论：‎ ‎ ①当点E在点F上方时，EF=－m＋3.‎ ‎ ∵PE=5EF，∴－m2＋m＋2=5(－m＋3)‎ ‎ 即2m2－17m＋26=0，解得m1=2，m2=（舍去）……………6分 ‎ ②当点E在点F下方时，EF=m－3.‎ ‎ ∵PE=5EF，∴－m2＋m＋2=5(m－3)，‎ 即m2－m－17=0，解得m3=，m4=（舍去），‎ ‎∴m的值为2或……………………………………………8分 ‎ (3),点P的坐标为P1(－，),P2(4，5), P3(3－，2－3).………11分 ‎ 【提示】∵E和E/关于直线PC对称，∴∠E/CP=∠ECP;‎ 又∵PE∥y轴，∴∠EPC=∠E/CP=∠PCE, ∴PE=EC,‎ 又∵CE＝CE/，∴．四边形PECE/为菱形．‎ 过点E作EM⊥y轴于点M,∴△CME∽△COD，∴CE=.‎ ‎ ∵PE=CE,∴－m2＋m＋2=m或－m2＋m＋2=－m，‎ ‎ 解得m1=－，m2=4， m3=3－，m4=3+（舍去）‎ ‎ 可求得点P的坐标为P1(－，),P2(4，5), P3(3－，2－3)。‎ ‎（2014•广州,第24题14分）已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0），B（4，0），抛物线（）过点A、B，顶点为C．点P（m，n）（n<0）为抛物线上一点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式与顶点C的坐标．‎ ‎（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围．‎ ‎（3）若，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（）个单位，点P、C移动后对应的点分别记为、，是否存在t，使得首尾依次连接A、B、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】动点问题.(1)二次函数待定系数法; ‎ ‎(2)存在性问题,相似三角形;‎ ‎(3)最终问题,轴对称,两点之间线段最短 ‎【答案】(1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得: ‎ 抛物线解析式为 顶点横坐标,将代入抛物线得 ‎(2)如图,当时,设,‎ 则 过作直线轴, ‎ ‎(注意用整体代入法)‎ 解得,‎ 当在之间时，‎ 或时，为钝角.‎ ‎(3)依题意，且 设移动（向右，向左）‎ 连接则 又的长度不变四边形周长最小，只需最小即可 将沿轴向右平移5各单位到处 沿轴对称为 ‎∴当且仅当、B、三点共线时，最小，且最小为，此时 ‎，设过的直线为，代入 ‎ ‎∴ 即 将代入，得：，解得：‎ ‎∴当，P、C向左移动单位时，此时四边形ABP’C’周长最小。‎ ‎（2014•四川泸州，第25题，12分）如图，已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣，0）．‎ ‎（1）求二次函数的最大值；‎ ‎（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程=0的根，求a的值；‎ ‎（3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）首先利用待定系数法求出二次函数解析式，然后求出其最大值；‎ ‎（2）联立y1与y2得，求出点C的坐标为C（，），因此使y2＞y1成立的x的取值范围为0＜x＜，得s=1+2+3=6；将s的值代入分式方程，求出a的值；‎ ‎（3）第1步：首先确定何时四边形DEFG的面积最大．‎ 如答图1，四边形DEFG是一个梯形，将其面积用含有未知数的代数式表示出来，这个代数式是一个二次函数，根据其最值求出未知数的值，进而得到面积最大时点D、E的坐标；‎ 第2步：利用几何性质确定PD+PE最小的条件，并求出点P的坐标．‎ 如答图2，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E，与x轴交于点P．根据轴对称及两点之间线段最短可知，此时PD+PE最小．利用待定系数法求出直线D′E的解析式，进而求出点P的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）∵二次函数y2=﹣x2+mx+b经过点B（0，1）与A（2﹣，0），‎ ‎∴，‎ 解得 ‎∴l：y1=x+1；‎ C′：y2=﹣x2+4x+1．‎ y2=﹣x2+4x+1=﹣（x﹣2）2+5，‎ ‎∴ymax=5；‎ ‎（2）联立y1与y2得：x+1=﹣x2+4x+1，解得x=0或x=，‎ 当x=时，y1=×+1=，‎ ‎∴C（，）．‎ 使y2＞y1成立的x的取值范围为0＜x＜，‎ ‎∴s=1+2+3=6．‎ 代入方程得 解得a=；‎ ‎（3）∵点D、E在直线l：y1=x+1上，‎ ‎∴设D（p，p+1），E（q，q+1），其中q＞p＞0．‎ 如答图1，过点E作EH⊥DG于点H，则EH=q﹣p，DH=（q﹣p）．‎ 在Rt△DEH中，由勾股定理得：DE2+DH2=DE2，即（q﹣p）2+[（q﹣p）]2=（）2，‎ 解得q﹣p=2，即q=p+2．‎ ‎∴EH=2，E（p+2，p+2）．‎ 当x=p时，y2=﹣p2+4p+1，‎ ‎∴G（p，﹣p2+4p+1），‎ ‎∴DG=（﹣p2+4p+1）﹣（p+1）=﹣p2+p；‎ 当x=p+2时，y2=﹣（p+2）2+4（p+2）+1=﹣p2+5，‎ ‎∴F（p+2，﹣p2+5）‎ ‎∴EF=（﹣p2+5）﹣（p+2）=﹣p2﹣p+3．‎ S四边形DEFG=（DG+EF）•EH=[（﹣p2+p）+（﹣p2﹣p+3）]×2=﹣2p2+3p+3‎ ‎∴当p=时，四边形DEFG的面积取得最大值，‎ ‎∴D（，）、E（，）．‎ 如答图2所示，过点D关于x轴的对称点D′，则D′（，﹣）；‎ 连接D′E，交x轴于点P，PD+PE=PD′+PE=D′E，‎ 由两点之间线段最短可知，此时PD+PE最小．‎ 设直线D′E的解析式为：y=kx+b，‎ 则有，‎ 解得 ‎∴直线D′E的解析式为：y=x﹣．‎ 令y=0，得x=，‎ ‎∴P（，0）．‎ ‎（2014•海南,第24题14分）如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；‎ ‎（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．‎ 分析：‎ ‎（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）首先求出四边形MEFP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最值及点P坐标；‎ ‎（3）四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3所示，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2最小．‎ 解答：‎ 解：（1）∵对称轴为直线x=2，‎ ‎∴设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+k．‎ 将A（﹣1，0），C（0，5）代入得：‎ ‎，解得，‎ ‎∴y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5．‎ ‎（2）当a=1时，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2．‎ 设P（x，﹣x2+4x+5），‎ 如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN=x，ON=﹣x2+4x+5，‎ ‎∴MN=ON﹣OM=﹣x2+4x+4．‎ S四边形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME ‎=（PN+OF）•ON﹣PN•MN﹣OM•OE ‎=（x+2）（﹣x2+4x+5）﹣x•（﹣x2+4x+4）﹣×1×1‎ ‎=﹣x2+x+‎ ‎=﹣（x﹣）2+‎ ‎∴当x=时，四边形MEFP的面积有最大值为，此时点P坐标为（，）．‎ ‎（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，‎ ‎∴点P的纵坐标为3．‎ 令y=﹣x2+4x+5=3，解得x=2±．‎ ‎∵点P在第一象限，∴P（2+，3）．‎ 四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．‎ 如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；‎ 作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；‎ 连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2最小．‎ 设直线PM2的解析式为y=mx+n，将P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得：‎ ‎，解得：m=，n=﹣，‎ ‎∴y=x﹣．‎ 当y=0时，解得x=．∴F（，0）．‎ ‎∵a+1=，∴a=．‎ ‎∴a=时，四边形PMEF周长最小．‎ 点评：‎ 本题是二次函数综合题，第（1）问考查了待定系数法；第（2）问考查了图形面积计算以及二次函数的最值；第（3）问主要考查了轴对称﹣最短路线的性质．试题计算量偏大，注意认真计算．‎ ‎（2013湖南张家界，25，12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．‎ ‎（1）求直线CD的解析式；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；‎ ‎（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．‎ 解答：‎ 解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）．‎ 设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），‎ 将C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：b=1，k=﹣1，∴直线CD的解析式为：y=﹣x+1．‎ ‎（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，‎ 将C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a=．∴y=（x﹣2）2+3=x2+2x+1．‎ ‎（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，‎ ‎∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°，‎ ‎∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，∴点E的坐标为（4，1）．‎ 如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点F，则F（2，1），‎ ‎∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．‎ 又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，‎ ‎∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，∴△CEQ∽△CDO．‎ ‎（4）存在．‎ 如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．‎ ‎（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．‎ 由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；‎ 而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）‎ 如答图③所示，连接C′E，‎ ‎∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，‎ ‎∴△QC′E为等腰直角三角形，∴△CEC′为等腰直角三角形，∴点C′的坐标为（4，5）；‎ ‎∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（﹣1，0）．‎ 过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，‎ 在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″===．‎ 综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为．‎ ‎ ‎