2013中考数学典型题汇编自编

2013中考数学典型题汇编自编

‎2013中考数学典型题汇编 一、选择题 ‎1、下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是    (    )‎ ‎  A．495   　　　　　 B．497　　　　  C．501    　　　　D．503‎ ‎2、 如图，已知，是斜边的中点，过作于，连结交于；过作于，连结交于；过作于，…，如此继续，可以依次得到点，…，，分别记…，的面积为，…．则（    ）‎ A．=          B．= ‎ C．=  D．=‎ ‎3、如图，A、B是反比例函数上的两个点，轴于点C，轴于点D，连结AD、BC，则△ADB与△ACB的面积大小关系是  （  ）‎ A.    B.‎ C.    D.不能确定 ‎4、如图，和的是等腰直角三角形，，．点B与点D重合，点在同一条直线上，将沿方向平移，至点与点重合时停止．设点之间的距离为x，与重叠部分的面积为，则准确反映与之间对应关系的图象是 ‎5、下列命题：‎ ‎①若，则； ‎ ‎②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；‎ ‎③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；‎ ‎④若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.‎ 其中正确的是（　　）‎ Ａ．只有①②③       Ｂ．只有①③④      Ｃ．只有①④          Ｄ． 只有②③④‎ ‎6、如图，水平地面上有一面积为的扇形AOB，半径OA=，且OA与地面垂直.在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，则O点移动的距离为（    ）‎ A．   B．    C．    D．‎ ‎7、甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局．已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判．问第2局的输者是（　　）‎ A． 甲          B． 乙          C． 丙            D．不能确定 二、填空题 ‎8、如果长方形的一条边等于3m+2n，另一条边比它小m－n，‎ 这个长方形的周长为      ‎ ‎9、若|a|=4，|b|=2，且ab<0，则a+b=      。‎ ‎10、将杨辉三角中的每一个数都换成分数 ，得到一个如图所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形.若用有序实数对(ｍ，ｎ)表示第ｍ行,从左到右第ｎ个数,如(4,3)表示分数.那么(9,2)表示的分数是          .‎ ‎11、如图所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），……，Pn（xn，yn）在函数y=（x＞0）的图象上，△OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3，……，△PnAn－1An……都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2，……，An-1An，都在x轴上，则y1+y2 =           ．y1 + y2 + … + yn =           ．‎ ‎12、 如图，+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△的面积为，△的面积为，…，△的面积为，则=       ；=____        （用含的式子表示）．‎ ‎13、将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为        ． ‎ 三、计算题 ‎14、已知则                       .   ‎ ‎15、刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发往30千米的A镇；二分队因疲劳可在营地休息a（0≤a≤3）小时再往A镇参加救灾。一分队了发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路，已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为（4＋a）千米/时。‎ ‎⑴若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到A镇？‎ ‎⑵若二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小时？‎ ‎⑶下列图象中，①②分别描述一分队和二分队离A镇的距离y(千米)和时间x(小时)的函数关系，请写出你认为所有可能合理的代号，并说明它们的实际意义。‎ ‎16、定义为一次函数的特征数．‎ ‎（1）若特征数是的一次函数为正比例函数，求的值；‎ ‎（2）设点分别为抛物线与轴的交点，其中，且的面积为4，为原点，求图象过两点的一次函数的特征数．‎ ‎17、星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩．从家出发2小时到达目的地，游玩3小时后按原路以原速返回，小强离家4小时40分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小强，下图是他们离家的路程y(千米)与时间x(时)的函数图象．已知小强骑车的速度为15千米/时，妈妈驾车的速度为60千米/时．‎ ‎⑴小强家与游玩地的距离是多少？‎ ‎⑵妈妈出发多长时间与小强相遇？‎ ‎18、某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示：‎ 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 ‎75‎ ‎80‎ ‎90‎ 面试 ‎93‎ ‎70‎ ‎68‎ 根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如上图所示，每得一票记作1分．‎ ‎    (1) 请算出三人的民主评议得分；‎ ‎    (2) 如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用（精确到0.01）？‎ ‎    (3) 根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4∶3∶3的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？‎ ‎19、阅读下面短文：如图(1)△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形ACBD和矩形AEFB[如图(2)]．‎ 解答问题：‎ ‎     ‎ ‎(1)设图中矩形ACBD和矩形AEFB面积分别是S1，S2，则S1      S2 (填“>”，“=”或“<”)‎ ‎(2)如图，△ABC是钝角三角形，按短文中要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出          个，利用图(3)把它画出来．   ‎ ‎(3)如图(4)，△ABC是锐角三角形且三边满足BC>AC>AB，按短文要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出        个，利用图(4)把它画出来．‎ ‎(4)在图(4)中画出的矩形中，哪一个周长最小?为什么?‎ ‎20、已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连结DE，DE=.‎ ‎(1) 求证：；‎ ‎(2) 求EM的长；‎ ‎（3）求sin∠EOB的值.‎ 四、实验,探究题 ‎21、小知识：如图，我们称两臂长度相等（即）的圆规为等臂圆规. 当等臂圆规的两脚摆放在一条直线上时，若张角，则底角 ‎    ‎ 请运用上述知识解决问题：‎ ‎    如图，个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上，其张角度数变化如下：‎ ‎，， ，，…‎ ‎（1）①由题意可得=           º；‎ ‎②若 平分，则=           º；‎ ‎（2）=                        º（用含的代数式表示）；‎ ‎（3）当时，设的度数为，的角平分线与构成的角的度数为，那么与之间的等量关系是                          ，请说明理由. （提示：可以借助下面的局部示意图）‎ ‎22、已知：等边的边长为．‎ 探究（1）：如图１，过等边的顶点依次作的垂线围成求证：是等边三角形且； ‎ 探究（2）：在等边内取一点，过点分别作垂足分别为点 ‎ ‎(2)如图2，若点是的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：‎ ‎①     结论1．；‎ ‎②     结论2．；‎ ‎(3)如图3，若点是等边内任意一点，则上述结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 五、综合题 ‎23、（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．‎ ‎（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？‎ ‎（3）深入探究：‎ Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．‎ Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．‎ ‎24、如图，已知直线上一点B，由点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、C，若A点的坐标为(0，5)． ‎ ‎(1)若点B也在一反比例函数的图象上，求出此反比例函数的表达式。‎ ‎(2)若将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，求点E的坐标．‎ ‎25、（1）探究新知：‎ 如图，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由。‎ ‎（2）结论应用：‎ ‎①如下左图，点M、N在反比例函数的图像上，过点M作ME⊥轴，过点N作NF⊥轴，垂足分别为E，F。试证明：MN∥EF。‎ ‎                      ‎ ‎②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如上右图所示，请判断MN与EF是否平行。‎ ‎26、已知双曲线与直线相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线于点E，交BD于点C．‎ ‎（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值．‎ ‎（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．‎ ‎（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．‎ ‎27、已知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点（与点A、B不重合）‎ ‎（1）如图①，现将△PBC沿PC翻折得到△PEC；再在AD上取一点F，将△PAF沿PF翻折得到△PGF，并使得射线PE、PG重合，试问FG与CE的位置关系如何，请说明理由；‎ ‎（2）在（1）中，如图②，连接FC，取FC的中点H，连接GH、EH，请你探索线段GH和线段EH的大小关系，并说明你的理由；‎ ‎（3）如图③，分别在AD、BC上取点F、C’，使得∠APF=∠BPC’，与（1）中的操作相类似，即将△PAF沿PF翻折得到△PFG，并将△沿翻折得到△，连接，取的中点H，连接GH、EH，试问（2）中的结论还成立吗？请说明理由．‎ ‎28、1）在△ABC中，AB=,AC=2，BC=(m>n>0).‎ ‎        求证：△ABC是直角三角形；‎ ‎（2）已知:如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AD、BC的中点，‎ 若AB=,CD=2,AD=,BC=,(m>n>0).‎ 求证：EF=()．‎ ‎29、问题探究 ‎   (1)请你在图①中做一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；‎ ‎ （2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分。‎ ‎  问题解决 ‎（3）    如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4,2）处。为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的了部分，你认为直线l是否存在？若存在求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由 ‎30、如图，在直角梯形OABC中， OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A（15，0），B（10，12），动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交轴于点F．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）．‎ ‎（1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程；‎ ‎（2）当t=2秒时，求梯形OFBC的面积；‎ ‎（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎31、如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒１个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．‎ ‎  （1）点B的坐标为　  ；用含t的式子表示点P的坐标为     ；(3分)‎ ‎（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有最大值？(4分)‎ ‎（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．(3分) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎32、如图,是圆的直径,为圆心,、是半圆的弦，且. 延长交圆的切线于点 ‎(1) 判断直线是否为的切线，并说明理由；‎ ‎(2) 如果，，求的长。‎ ‎（3）将线段以直线为对称轴作对称线段,点正好在圆上，如图2，求证：四边形为菱形 ‎ ‎ ‎33、如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.‎ ‎（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？‎ ‎                                      ‎ ‎                                            ‎ ‎        ‎ ‎         ‎ ‎34、在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，BO＝4，分别以OA、OB边所在的直线建立平面直角坐标系，D点为x轴正半轴上的一点，以OD为一边在第一象限内作等边△ODE．‎ ‎(1)如图12-1，当E点恰好落在线段AB上，求E点坐标；‎ ‎(2)在(1)问的条件下，将△ODE在线段OB上向右平移，如图12-2，线段EF与线段OO′始终相等吗？请证明你的结论；‎ ‎ (3)若点D从原点出发沿x轴正方向移动，设点D到原点的距离为x，△ODE与△AOB重叠部分的面积为y．当时，请直接写出y与x的函数关系式.‎ ‎35、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=x与直线l2：y= -x+6相交于点M，直线l2与x轴相交于点N．‎ ‎（1）求M，N的坐标．‎ ‎（2）矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动，设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S，移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时开始结束）．直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）．‎ ‎（3）在（2）的条件下，当t为何值时，S的值最大？并求出最大值．‎ ‎36、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，点A（10，0）和点B（2，2），在线段OA上，点P从点O向点A运动，同时点Q从点A向点O运动，运动过程中保持AQ=2OP，当P、Q重合时同时停止运动，过点Q作x轴的垂线，交直线AB于点M，延长QM到点D，使MD=MQ，以QD为对角线作正方形QCDE（正方形QCDE岁点Q运动）．‎ ‎（1）求这条抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）设正方形QCDE的面积为S，P点坐标（m，0）求S与m之间的函数关系式；‎ ‎（3）过点P作x轴的垂线，交抛物线于点N，延长PN到点G，使NG=PN，以PG为对角线作正方形PFGH（正方形PFGH随点P运动），当点P运动到点（2，0）时，如图2，正方形PFGH的边GP和正方形QCDE的边EQ落在同一条直线上．‎ ‎①则此时两个正方形中在直线AB下方的阴影部分面积的和是多少？‎ ‎②若点P继续向点A运动，还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况，请直接写出每种情况下点P的坐标，不必说明理由．‎ 六、解答题 ‎37、如图1，点G、F分别是等腰△ABC、等腰△ADE底边的中点，∠BAC＝∠DAE＝∠，点P是线段CD的中点．试探索：∠GPF与∠的关系，并加以证明．‎ 说明：⑴如果你反复探索，没有解决问题，请写出探索过程（要求至少写3步）；‎ ‎⑵在你完成⑴之后，可以从如图2，如图3中选取一个图，完成解答（选取图2得10分；选取图3得5分）．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 七、简答题 ‎38、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E．交于D．‎ ‎(1)请写出四个不同类型的正确结论；‎ ‎(2)若BC=8，ED=2，求⊙O的半径．‎ ‎39、已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．‎ ‎    (1)如图①，当PA的长度等于    时，∠PAB＝60°；‎ ‎              当PA的长度等于    时，△PAD是等腰三角形；‎ ‎    (2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．坐标为（a，b），试求2 S1 S3－S22的最大值，并求出此时a，b的值．‎ ‎40、如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形．‎ ‎（1）求这个扇形的面积（结果保留）．‎ ‎（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．‎ ‎（3）当的半径为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．‎ 参考答案 一、选择题 ‎1、A　 2、D 3、C4、B 5、B6、C7、C ‎ 二、填空题 ‎8、2[(3m+2n)-(m－n)+(3m+2n)] 9、2,  -2 10、 11、‎ ‎12、 13、‎ 三、计算题 ‎14、3,7,-5,-1;‎ ‎15、解：（1）若二分队在营地不休息，则a＝0，速度为4千米/时，行至塌方处需（小时）‎ 因为一分队到塌方处并打通道路需要（小时），故二分队在塌方处需停留0.5小时，所以二分队在营地不休息赶到A镇需2.5+0.5+＝8（小时）　‎ ‎（2）一分队赶到A镇共需+1＝7（小时）‎ ‎（Ⅰ）若二分队在塌方处需停留，则后20千米需与一分队同行，故4+a＝5，即a=1，这与二分队在塌方处停留矛盾，舍去；　　　　　　　　　　　　‎ ‎（Ⅱ）若二分队在塌方处不停留，则（4+a）(7－a)=30，即a2－3a+2＝0,,解得a1=1，a2=2均符合题意。‎ 答：二分队应在营地休息1小时或2小时。　　‎ ‎(3)合理的图像为（b）、（d）.                    ‎ 图像（b）表明二分队在营地休息时间过长（2＜a≤3），后于一分队赶到A镇；‎ 图像（d）表明二分队在营地休息时间恰当（1＜a≤2），先于一分队赶到A镇。‎ ‎16、解：（1）特征数为的一次函数为，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（2）抛物线与轴的交点为，‎ 与轴的交点为．‎ 若，则，；‎ 若，则，．‎ 当时，满足题设条件．‎ 此时抛物线为．‎ 它与轴的交点为，‎ 与轴的交点为，‎ 一次函数为或，‎ 特征数为或．‎ ‎17、解：（1）由题意，得2×15=30（千米）。‎ 答：小强家与游玩地的距离是30千米。‎ ‎（2）方法一：‎ 设妈妈出发小时与小强相遇 由题意，得，‎ 解得，‎ 答：妈妈出发小时与小强相遇。‎ 方法二：‎ 设小强从游玩地返回小时与妈妈相遇 由题意，得 解得，‎ 答：妈妈出发小时与小强相遇 方法三：‎ 如图①，过点B作轴的垂线BE，垂足为E，交CD与点F，‎ 延长BD交轴于点G 则由题意，得B（5，30），G（7，0），C（，0）‎ FE=（）×60=20，∴点F的坐标为（5，20）。‎ 设直线BG的解析式为 ‎∴解得 ‎∴‎ ‎∵直线BG、CF的解析式为 ‎∴解得 ‎∴‎ ‎∵直线BG、CD的相交于点D，‎ ‎∴解得，即（，28）‎ ‎∴-=‎ 答：妈妈出发小时与小强相遇。‎ 方法四：‎ 如图②，设AB延长线与CD延长线相交于点P 则△BDP∽△GDC 设△GDC中CG上的高为h，则△BDP中BP上的高为（30-h）.‎ ‎∴(千米)‎ 妈妈与小强相遇需要时间为：‎ 答：妈妈出发小时与小强相遇。‎ ‎18、解：（1）甲、乙、丙的民主评议得分分别为：50分, 80分, 70分． ‎ ‎（2）甲的平均成绩为：(分)，‎ 乙的平均成绩为：(分)，‎ 丙的平均成绩为：(分).‎ 由于76.67>76>72.67, 所以候选人乙将被录用． ‎ ‎（3）如果将理论考试、面试、民主评议三项测试得分按4∶3∶3的比例确定个人成绩，‎ 那么甲的个人成绩为：(分)，‎ 乙的个人成绩为：(分)，‎ 丙的个人成绩为：(分)，‎ 由于丙的个人成绩最高, 所以候选人丙将被录用．‎ ‎19、解：（1）“=”‎ ‎（2）1个（如下图①）‎ ‎（3）3个（如下图②）‎ ‎（4）以AB为边的矩形周长最小 设矩形BCED,ACHQ,ABGF的周长分别为L1、L2、L3，BC=a，AC=b，AB=c 易知这三个矩形的面积相等，令其面积为S，则有 ‎∵而 ‎∴‎ 即,同理可得：‎ ‎∴以AB为边的矩形周长最小 ‎20、解：⑴ 连接AC，EB，则∠CAM=∠BEM. ‎ 又∠AMC=∠EMB, ∴△AMC∽△EMB．‎ ‎∴　，即． ‎ ‎(2) ∵DC为⊙O的直径，‎ ‎∴∠DEC=90°，EC=   ‎ ‎∵OA=OB=4，M为OB的中点，∴AM=6，BM=2． ‎ 设EM=x，则CM=7－x．代入(1),得 .‎ 解得x1=3，x2=4．但EM＞MC，∴EM=4. ‎ ‎(3) 由(2)知，OE=EM=4．作EF⊥OB于F，则OF=MF=OB=1．‎ 在Rt△EOF中，EF=　‎ ‎∴sin∠EOB=.‎ 四、实验,探究题 ‎21、解：（1）①10；‎ ‎            ②35；‎ ‎（2）  ；‎ ‎（注：写成的不扣分，丢掉括号的不扣分）‎ ‎（3） ；‎ 理由：不妨设.‎ 根据题意可知，. ‎ 在△中，由小知识可知.‎ ‎∴ ==.‎ 在△中，由小知识可知 .‎ ‎∵ 平分，‎ ‎∴ ==.‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ =.‎ ‎∴ =.‎ ‎∴ =.‎ ‎∴ .‎ ‎22、证明：如图1，‎ 为等边三角形 ‎∴‎ 同理：‎ 为等边三角形．‎ 在中，‎ 在中，‎ ‎（2）：结论1成立.‎ 证明；方法一：如图2，连接 ‎ ‎ ‎ ‎ 由= ‎ 作垂足为，‎ 则 方法二：如图3，过点作分别交于点，过点 作于点，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 是等边三角形 四边形是矩形 在中，‎ 在中，‎ 在中，‎ ‎                                ‎ ‎（2）结论2成立．‎ 证明：方法一：如图４，过顶点依次作边的垂线围成由（1）得为等边三角形且・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 9分 过点分别作于,于于点于点 由结论1得： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又 四边形为矩形 同理：，‎ 方法二： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在中，‎ 在中，‎ 同理：‎ ‎=‎ ‎=‎ 由结论1得：‎ 方法三：如图5，连接，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 根据勾股定理得：‎ ‎：‎ 整理得：‎ 五、综合题 ‎23、考点：‎ 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。‎ 专题：‎ 几何综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACF；然后由全等三角形的对应边相等知AF=BD；‎ ‎（2）通过证明△BCD≌△ACF，即可证明AF=BD；‎ ‎（3）Ⅰ．AF+BF′=AB；利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的对应边BD=AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，所以AF+BF′=AB；‎ Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′；通过证明△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD（全等三角形的对应边相等）；再结合（2）中的结论即可证得AF=AB+BF′．‎ 解答：‎ 解：（1）AF=BD；‎ 证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知），‎ ‎∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）；‎ 同理知，DC=CF，∠DCF=60°；‎ ‎∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA，即∠BCD=∠ACF；‎ 在△BCD和△ACF中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCD≌△ACF（SAS），‎ ‎∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）；‎ ‎（2）证明过程同（1），证得△BCD≌△ACF（SAS），则AF=BD（全等三角形的对应边相等），所以，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF=BD仍然成立；‎ ‎（3）Ⅰ．AF+BF′=AB；‎ 证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF；‎ 同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，‎ ‎∴AF+BF′=BD+AD=AB；‎ Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′；‎ 证明如下：在△BCF′和△ACD中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCF′≌△ACD（SAS），‎ ‎∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）；‎ 又由（2）知，AF=BD；‎ ‎∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．‎ 点评：‎ 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．等边三角形的三条边都相等，三个内角都是60°．‎ ‎24、解：由题意得点B纵坐标为5。‎ 又∵点B在直线y=上，‎ ‎∴B点坐标为(，5)。‎ 设过点B的反比例函数的表达式为，‎ ‎， ‎ ‎∴此反比例函数的表达式为。‎ ‎         ‎ ‎(2)设点E坐标为(a，b)。‎ ‎∵点E在直线上，∴。  ‎ ‎∵OE=OA=5，∴。‎ 解得或 ‎∵点E在第二象限，∴E点坐标为(一4，3)。‎ ‎25、（1）证明：分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H 则∠CGA=∠DHB=90°‎ ‎∴CG∥DH ‎∵△ABC与△ABD的面积相等 ‎∴CG=DH ‎∴四边形CGHD为平行四边形 ‎∴AB∥CD ‎（2）①证明：连结MF，NE（如下图）‎ 设点M的坐标为（，），点N的坐标为（，）‎ ‎∵点M，N在反比例函数的图像上 ‎∴，‎ ‎∵ME⊥轴，NF⊥轴 ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 由（1）中的结论可知：MN∥EF ‎②MN∥EF ‎26、解：（1）∵D（－8，0），∴B点的横坐标为－8，代入中，得y=－2．‎ ‎∴B点坐标为（－8，－2）．而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）．‎ 从而． ‎ ‎（2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，‎ ‎∴，B（－2m，－），C（－2m，－n），E（－m，－n）． ‎ S矩形DCNO，S△DBO=，S△OEN =， ‎ ‎∴S四边形OBCE= S矩形DCNO－S△DBO－ S△OEN=k．∴． ‎ 由直线及双曲线，得A（4，1），B（－4，－1），‎ ‎∴C（－4，－2），M（2，2）．‎ 设直线CM的解析式是，由C、M两点在这条直线上，‎ 得   解得．‎ ‎∴直线CM的解析式是．‎ ‎（3）如图，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1、M1．‎ 设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a．‎ 于是．‎ 同理， ‎ ‎∴．‎ ‎27、‎ ‎（1）FG∥CE，在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，由题意得，∠G=∠A=90°，∠PEC=∠B=90°，∴∠GEC=90°，∴∠G=∠GEC，∴FG∥CE。‎ ‎（2）GH=EH。延长GH交CE于点M，由（1）得，FG∥CE，∴∠GFH=∠MCH，∵H为CF的中点，∴FH=CH，又∵∠GHF=∠MHC，∴△GFH≌△MHC，∴GH=HM=，∵∠GEC=90°，∴EH=，∴GH=EH。‎ ‎（3）（2）中的结论还成立。取PF的中点M，的中点N，∵∠FGP=90°，M为PF的中点，∴，，∥，∴GM=PM，∴∠GPF=∠MGP，∴∠GMF=∠GPF+∠MGP=2∠GPF，∵H为的中点，M为PF的中点，∴，同理，，HN∥PF，∠，∴GM=HN，HM=EN。∵∠GPF=∠FPA，，又，∴∠GPF=，∴∠GMF=∠，∵∥，HN∥PF，∴四边形HMPN为平行四边形，∴∠HMF=∠，∴∠GMH=∠HNE，∵GM=HN，HM=EN，∴△GMH≌△HNE，∴GH=HE。‎ ‎28、 (1)证明：∵AB=,AC=2，BC=,(m>n>0)‎ ‎          ∴AB2=  ‎ AC2=4 ‎ BC2=（2分）‎ ‎         ∴ BC2= AB2 +AC2                 （3分）‎ ‎         ∴△ABC是直角三角形    （4分）‎ ‎    (2)过点E作EG∥AB交BC于点G，过点E作EH∥CD交BC于点H ‎     ∵EG∥AB  AD∥BC ‎     ∴四边形ABGE是平行四边形  ‎ ‎     ∴AE=BG,EG=AB                   （5分）‎ 同理可证ED=HG,EH=CD     ‎ ‎    ∴AD=BG+HG                   ‎ ‎∵AB=,CD=2,AD=,BC=,‎ ‎    ∴EG=，EH=2，GH=‎ ‎    ∴EG2+EH2=GH2                                       （6分）‎ ‎    ∴△EGH是直角三角形            （7分）‎ ‎    又点E、F分别是AD、BC的中点 ‎∴AE=DE，BF=CF ‎∴BG=CH ‎    ∴BF-BG=CF-FH ‎    ∴GF=HF                ‎ 即点F是Rt△EGH的斜边GH上的中线   （8分）‎ ‎∴EF=GH                  （9分）‎ ‎    ∴EF=()          （10分）‎ ‎29、解：（1）如图①‎ ‎（2）如图②连结AC 、BC交与P则P为矩形对称中心。作直线MP，直线MP即为所求。‎ ‎（3）    如图③存在直线l 过点D的直线只要作 DA⊥OB与点A ‎ 则点P(4,2)为矩形ABCD的对称中心 ‎∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可 易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA 面积平分。‎ 从而，直线PH平分梯形OBCD的面积 即直线 PH为所求直线l 设直线PH的表达式为 y=kx+b 且点P(4,2)‎ ‎∴2=4k+b 即b=2-4k ‎∴y=kx+2-4k ‎∵直线OD的表达式为y=2x 解之 ‎∴点H的坐标为（，）‎ ‎∴PH与线段AD的交点F（2,2-2k）‎ ‎∴0＜2-2k＜4‎ ‎∴-1＜k＜1‎ ‎∴S△DHF=‎ ‎∴解之，得。（舍去）‎ ‎∴b=8-‎ ‎∴直线l的表达式为y=‎ ‎30、解：（1）如图4，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 过B作 则・・・・・・ （1分）‎ 过Q作 则 要使四边形PABQ是等腰梯形，则，‎ 即 或（此时是平行四边形，不合题意，舍去）‎ ‎（2）当时，。‎ ‎（3）①当时，则 ‎②当时，‎ 即 ‎③当时， ‎ 综上，当时，△PQF是等腰三角形．‎ ‎31、解：（1）（6，4）；（）.（其中写对B点得1分）‎ ‎（2）∵S△OMP =×OM×，‎ ‎∴S =×（6 -t）×=+2t．‎ ‎   ＝（0 < t <6）．‎ ‎∴当时，S有最大值．‎ ‎     （3）存在．‎ ‎    由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），‎ 则直线ON的函数关系式为：．‎ ‎   设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：，‎ 解方程组得 ‎∴直线ON与MT的交点R的坐标为．‎ ‎∵S△OCN ＝×4×3＝6，∴S△ORT ＝ S△OCN ＝2．‎ ‎① 当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是△OR1T1，如图，作R1D1⊥y轴，D1为垂足，则S△OR1T1＝••••RD1•OT ＝••b＝2.‎ ‎∴，      b =.‎ ‎∴b1 ＝，b2 ＝（不合题意，舍去）‎ 此时点T1的坐标为（0，）.‎ ‎② 当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是△R2NE，如图，设MT交CN于点E，由①得点E的横坐标为，作R2D2⊥CN交CN于点D2，则 S△R2NE＝•EN•R2D2 =••＝2.‎ ‎∴，b=.‎ ‎∴b1＝，b2＝（不合题意，舍去）．‎ ‎∴此时点T2的坐标为（0，）．‎ 综上所述，在y轴上存在点T1（0，），T2（0，）符合条件 ‎32、解：（1）直线为⊙O的切线 …………1分 证明：连结OD    ∵是圆的直径     ∴∠ADB=90°   …………2分 ‎∴∠ADO+∠BDO=90°     又∵DO=BO       ∴∠BDO=∠PBD             ‎ ‎∵                ∴∠BDO=∠PDA     …………3分 ‎∴∠ADO+∠PDA=90° 即PD⊥OD       …………4分 ‎∵点D在⊙O上，‎ ‎∴直线为⊙O的切线.            …………5分 ‎（2）解：∵ BE是⊙O的切线      ∴∠EBA=90°‎ ‎∵    ∴∠P=30°     …………6分 ‎∵为⊙O的切线   ∴∠PDO=90°‎ 在RT△PDO中，∠P=30°     ∴   解得OD=1   …………7分 ‎∴         …………8分 ‎∴PA=PO-AO=2-1=1                …………9分 ‎（3）（方法一）证明：依题意得：∠ADF=∠PDA  ∠PAD=∠DAF ‎∵  ∠ADF=∠ABF ‎∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF       …………10分 ‎∵是圆的直径     ∴∠ADB=90°  ‎ 设∠PBD=，则∠DAF=∠PAD=，∠DBF=‎ ‎∵四边形AFBD内接于⊙O   ∴∠DAF+∠DBF=180°‎ 即    解得               ‎ ‎∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°                …………11分 ‎∵ BE、ED是⊙O的切线      ∴DE=BE   ∠EBA=90°‎ ‎∴∠DBE=60°∴△BDE是等边三角形。∴BD=DE=BE     …………12分 又∵∠FDB=∠ADB—∠ADF =90°-30°=60°   ∠DBF==60°‎ ‎∴△BDF是等边三角形。   ∴BD=DF=BF            …………13分 ‎∴DE=BE=DF=BF        ∴四边形为菱形    …………14分 ‎（方法二）证明：依题意得：∠ADF=∠PDA  ∠APD=∠AFD ‎∵  ∠ADF=∠ABF  ∠PAD=∠DAF ‎∴∠ADF=∠AFD=∠BPD=∠ABF  …………10分 ‎∴ AD=AF  BF//PD               …………11分 ‎∴ DF⊥PB  ∵ BE为切线  ∴ BE⊥PB  ∴ DF//BE………12分 ‎∴四边形为平行四边形…………13分 ‎∵ PE 、BE为切线  ∴ BE=DE ‎∴四边形为菱形 …………14分 ‎33、解：（1）⊙P与x轴相切.‎ ‎       ∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），‎ 与y轴交于B（0，－8），‎ ‎∴OA=4，OB=8.‎ 由题意，OP=－k，‎ ‎∴PB=PA=8+k.‎ 在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，‎ ‎∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，‎ ‎∴⊙P与x轴相切.‎ ‎（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.‎ ‎∵△PCD为正三角形，∴DE=CD=，PD=3，‎ ‎ ∴PE=.‎ ‎∵∠AOB=∠PEB=90°， ∠ABO=∠PBE，‎ ‎∴△AOB∽△PEB，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－－8)，‎ ‎∴k=－－8，‎ ‎∴当k=－8或k=－－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形. ‎ ‎34、解：(1)设OD＝，（）过E作EH⊥OD于H，            1分 在Rt△OEH中，， ‎ OE =                                              2分 ‎∴ E点坐标为(，).                              3分 ‎∵ ∠ABO＝30°，∠ODE＝60°，‎ ‎∴ ∠DEB＝30°.‎ ‎∴ ∠OEB＝90°.‎ ‎∵ BC＝4，∴ OE＝a＝2.                                5分 ‎∴ E(1，).                                           6分 ‎(2)EF＝OO′.                                               7分 理由如下：‎ ‎∵ ∠ABO＝30°，∠EDO＝60°，‎ ‎∴ ∠ABO＝∠DFB＝30°.‎ ‎∴ DF＝DB.                                                9分 ‎∴OO′＝OB - DO′- DB ‎ ‎= 4－2－DB ‎＝2－DB ‎＝2－DF ‎＝ED－FD ‎＝EF.                                            10分 ‎(3) .                               ‎ ‎35、解：（1）解方程组 ，‎ 解得：  ，‎ 则M的坐标是：（4 ，2）．‎ 在解析式y=-x+6中，令y=0，解得：x=6，则N的坐标是：（6，0）．‎ ‎（2）当0≤t≤1时，重合部分是一个三角形，OB=t，则高是t，则面积是 ×t• t= t2；‎ 当1＜t≤4时，重合部分是直角梯形，梯形的高是1，下底是： t，上底是：（t-1），根据梯形的面积公式可以得到：；‎ 当4＜t≤5时，过M作x轴的垂线，则重合部分被垂线分成两个直角梯形，两个梯形的下底都是2，上底分别是：-t+6和（t-1），根据梯形的面积公式即可求得 ‎ ；‎ 当5＜t≤6时，重合部分是直角梯形，与当1＜t≤4时，重合部分是直角梯形的计算方法相同，则S=7-2t；‎ 当6＜t≤7时，重合部分是直角三角形，则与当0≤t≤1时，解法相同，可以求得．‎ 则：‎ ‎（3）在0≤t≤1时，函数的最大值是：；‎ 当1＜t≤4，函数值y随x的增大而增大，则当x=4时，取得最大值是： ；‎ 当4＜t≤5时，是二次函数，对称轴x= ，则最大值是：- ；‎ 当5＜t≤6时，函数y随t的增大而减小，因而函数值一定小于 ；‎ 同理，当6＜t≤7时，y随t的增大而减小，因而函数值小于 ．‎ 总之，函数的最大值是： ．‎ ‎36、解：（1）∵抛物线过O（0，0），A（10，0），‎ ‎∴设抛物线解析式为，‎ 将B（2，2）代入，得，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为；‎ ‎（2）设AB解析式为，将A（10，0），B（2，2）代入，得，解得，‎ ‎∴，∵P（m，0），∴OP=m，AQ=2m，OQ=10-2m，‎ ‎∴当x=10-2m时，QM=，∴QD=m，‎ ‎∵四边形QCDE是正方形，∴；‎ ‎（3）①由P（2，0），根据抛物线解析式可知N（2，2），‎ 由正方形的性质得G（2，4），即PG=4，‎ 又当GF和EQ落在同一条直线上时，△FGQ为等腰直角三角形，‎ ‎∴PQ=PG=4，OQ=OP+PQ=6，代入直线AB解析式得M（6，1），即QM=1，QD=2，‎ ‎∴阴影部分面积和=，‎ ‎②，，。‎ 六、未分类 ‎37、∠GPF=180º－∠α．证明：连结BD，连结CE．‎ ‎∵AB=AC、AD=AE，∠BAC=∠DAE，‎ ‎∴∠BAD=∠CAE，‎ ‎∴△ABD≌△ACE，‎ ‎∴∠ABD=∠ACE．‎ ‎∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，‎ ‎∴PG∥BD，PF∥CE．‎ ‎∴∠PGC=∠CBD，∠DPF=∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠DCA+∠ABD，‎ ‎∠DPG=∠PGC+∠BCD=∠CBD+∠BCD，∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠DCA+∠ABD+∠CBD+∠BCD=180º－∠BAC=180º－∠α， ‎ 即∠GPF=180º－∠α. ‎ 写探索过程要步步有据，写两步得1分，写三步得2分．‎ 选取图2证明：‎ 连结BD，连结CE．‎ ‎∵AB=AC、AD=AE，∠BAC=∠DAE，‎ ‎∴∠BAD=∠CAE，‎ ‎∴△ABD≌△ACE，‎ ‎∴∠ABD=∠ACE．‎ 设BD与CE交于点O，AC与BD交于点K，∠AKB=∠CKO，‎ ‎∴∠BOC=∠BAC，∠COD=180º－∠α．‎ ‎∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，‎ ‎∴PG∥BD，PF∥CE．‎ ‎∴∠GPC=∠BDC，∠DPF=∠DCE，‎ ‎∠GPF=180º－∠GPC－∠DPF=180º－∠BDC－∠DCE=∠COD，即∠GPF=180º－∠α. ‎ 选取图3证明：‎ ‎∵AB=AC、AD=AE，∴BD=CE，∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，∴PG∥BD，PF∥CE．‎ ‎∴∠ADC=∠DPG，∠DPF=∠ACD，∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠ADC+∠ACD =180º－∠BAC=180º－∠α，‎ 即∠GPF=180º－∠α. ‎ 七、简答题 ‎38、解：(1)不同类型的正确结论有： ‎ ‎①BC=CE；②③ABED=90°④∠BOD=∠A；⑤AC//OD，⑥AC⊥BC；‎ ‎⑦OE2+BE2=OB2；⑧S△ABC=BC・OE；⑨△BOD是等腰三角形，⑩△BOE∽△BAC；等 ‎    (2)⊙O的半径为5．‎ ‎39、‎ ‎40、解：‎ ‎（1）连接，由勾股定理求得：‎ ‎（2）连接并延长，与弧和⊙O交于，‎ 弧的长：‎ 圆锥的底面直径为：‎ ‎，不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．‎ ‎（3）由勾股定理求得：‎ 弧的长：‎ 圆锥的底面直径为：‎ 且 即无论半径为何值，‎ 不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．‎