河北中考数学复习 第2讲 整式

河北中考数学复习 第2讲 整式

第2讲　整　　式 ‎1. (2019，河北)用一根长为a cm的铁丝，首尾相接围成一个正方形．要将它按如图所示的方式向外等距扩1 cm，得到新的正方形，则这根铁丝需增加(B)‎ 第1题图 A. 4 cm B. 8 cm C. (a＋4)cm D. (a＋8)cm ‎【解析】 由图形观察出正方形的边长增加2 cm，则周长增加8 cm.‎ ‎2. (2019，河北)有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等．现左右手中同样的盘子中都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是(A)‎ ‎ A B ‎ C D ‎【解析】 设“”的质量为a，“”的质量为b，“”的质量为c.若各个选项中左右两边相等，则选项A可表示为2a＝3b.选项B可表示为a＋2c＝2b＋2c，即a＝2b. 选项C可表示为a＋c＝2b＋c，即a＝2b.选项D可表示为2a＝4b，即a＝2b.只有选项A与其他等式不同．‎ ‎3. (2019，河北)若2n＋2n＋2n＋2n＝2，则n的值是(A)‎ A. －1 B. －2 C. 0 D. ‎【解析】 ∵2n＋2n＋2n＋2n＝2n×4＝2n×22＝2n＋2，∴2n＋2＝2.∴n＋2＝1，即n＝－1.‎ ‎4. (2019，河北)将9.52变形正确的是(C)‎ A. 9.52＝92＋0.52 B. 9.52＝(10＋0.5)(10－0.5)　‎ C. 9.52＝102－2×10×0.5＋0.52 D. 9.52＝92＋9×0.5＋0.52‎ ‎【解析】 利用乘法公式简便计算，正确运用完全平方公式.9.52＝(10－0.5)2＝102－2×10×0.5＋0.52.‎ ‎5. (2019，河北)若a，b互为相反数，则a2－b2＝ 0 .‎ ‎【解析】 ∵a，b互为相反数，∴a＋b＝0.∵a2－b2＝(a＋b)(a－b)，∴a2－b2＝0.‎ ‎6. (2019，河北)嘉淇准备完成题目：化简(■x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)．发现系数“■”印刷不清楚．‎ ‎(1)他把“■”猜成3，请你化简(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)；‎ ‎(2)他的妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“■”是几？‎ ‎【思路分析】 (1)去括号，合并同类项即可．(2)整式加减的结果是常数，即二次项的系数等于0.‎ 解：(1)原式＝3x2＋6x＋8－6x－5x2－2‎ ‎　　　 ＝－2x2＋6.‎ ‎(2)设“■”内的数字为a.‎ 原式＝(ax2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)‎ ‎＝ax2＋6x＋8－6x－5x2－2‎ ‎＝(a－5)x2＋6.‎ 因为妈妈看到该题的结果是常数，‎ 所以a－5＝0，即a＝5.‎ 所以原题中“■”为5.‎ ‎　列代数式 例1 (2019，桂林)用代数式表示：a的2倍与3 的和．下列表示正确的是(B)‎ A. 2a－3 B. 2a＋3‎ C. 2(a－3) D. 2(a＋3) ‎ ‎【解析】 a的2倍，即2a；2a与3的和，即2a＋3.‎ 针对训练1 (2019，衢州)有一张边长为a cm的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加b cm，木工师傅设计了如图所示的三种方案：‎ 方案一 方案二 方案三 训练1题图 小明发现这三种方案都能验证公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.对于方案一，小明是这样验证的：a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.‎ 请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．‎ ‎【思路分析】 方案二是将图形分割成一个正方形和两个矩形来计算；方案三是将图形分割成一个正方形和两个梯形来计算．‎ 解：方案二：a2＋ab＋(a＋b)b ‎＝a2＋ab＋ab＋b2‎ ‎＝a2＋2ab＋b2‎ ‎＝(a＋b)2.‎ 方案三：a2＋＋ ‎＝a2＋ab＋b2＋ab＋b2‎ ‎＝a2＋2ab＋b2‎ ‎＝(a＋b)2.‎ ‎　求代数式的值 例2 (2019，河北)若mn＝m＋3，则2mn＋3m－5nm＋10＝ 1 .‎ ‎【解析】 2mn＋3m－5nm＋10＝2(m＋3)＋3m－5(m＋3)＋10＝2m＋6＋3m－5m－15＋10＝1.‎ 针对训练2 (2019，邢台一模)若m－x＝2，n＋y＝3，则(m－n)－(x＋y)的值为(A)‎ A. －1 B. 1 ‎ C. 5 D. －5‎ ‎【解析】 (m－n)－(x＋y)＝(m－x)－(n＋y)＝－1.‎ ‎　整式的运算 例3 (2019，张家口宣化区二模)两个多项式A，B，其中B＝－x2＋3x－5.在求A－B时，小明看错题目，误看成了A＋B，结果得到x2－6. ‎ ‎(1)求多项式A和A－B；‎ ‎(2)若|x－1|＝2 0180，求A－B的值．‎ ‎【思路分析】 (1)根据B与A＋B可求得A，进而求得A－B.(2)由|x－1|＝2 0180可得|x－1|＝1，进而求得结果．‎ 解：(1)由题意，得A＋B＝x2－6.‎ ‎∵B＝－x2＋3x－5，‎ ‎∴A＝2x2－3x－1.‎ ‎∴A－B＝(2x2－3x－1)－(－x2＋3x－5)‎ ‎＝3x2－6x＋4.‎ ‎(2)∵|x－1|＝2 0180＝1，‎ ‎∴(x－1)2＝1.‎ ‎∴A－B＝3x2－6x＋4‎ ‎＝3(x－1)2＋1‎ ‎＝3×1＋1‎ ‎＝4.‎ 针对训练3 (2019，张家口桥西区模拟)已知多项式A＝(x＋2)2＋x(1－x)－9.‎ ‎(1)如图，化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同．请你检查小明同学的解题过程，在标出①②③④的几项中出现错误的是 ① ；写出正确的解题过程；‎ 小明的作业 解：A＝(x＋2)2＋x(1－x)－9‎ ‎　＝x2,)－9,)‎ ‎　＝3x－5.‎ 训练3题图 ‎(2)小亮说：“只要给出x2－2x＋1的合理的值，即可求出多项式A的值．”小明给出x2－2x＋1的值为4，请你求出此时A的值．‎ ‎【思路分析】 正确使用完全平方公式．‎ 解：(1)① ‎ A＝(x＋2)2＋x(1－x)－9‎ ‎＝x2＋4x＋4＋x－x2－9‎ ‎＝5x－5.‎ ‎(2)∵x2－2x＋1＝4，即(x－1)2＝4，‎ ‎∴x－1＝±2.‎ ‎∴A＝5x－5＝5(x－1)＝±10.‎ ‎　因式分解 例4 (2019，恩施州)因式分解：8a3－2ab2＝ 2a(2a＋b)(2a－b) .‎ ‎【解析】 8a3－2ab2＝2a(4a2－b2)＝2a(2a＋b)(2a－b).‎ 针对训练4 (2019，安徽)下列分解因式正确的是(C)‎ A. －x2＋4x＝－x(x＋4) B. x2＋xy＋x＝x(x＋y)‎ C. x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2 D. x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2)‎ ‎【解析】 A. －x2＋4x＝－x(x－4)．B. x2＋xy＋x＝x(x＋y＋1)．C. x(x－y)＋y(y－x)＝x(x－y)－y(x－y)＝(x－y)2.D. x2－4x＋4＝(x－2)2.‎ 一、 选择题 ‎1. (2019，石家庄新华区质检)计算－a2＋2a2的结果是(A)‎ A. a2 B. －a2 C. 2a2 D. 0‎ ‎【解析】 根据合并同类项法则进行计算．‎ ‎2. (2019，南京)计算a3·(a3)2的结果是(B)‎ A. a8 B. a9 C. a11 D. a18‎ ‎【解析】 根据幂的运算法则，得a3·(a3)2＝a3·a6＝a9.‎ ‎3. (2019，唐山路南区二模)下列算式中，结果等于x6的是(A)‎ A. x2·x2·x2 B. x2＋x2＋x2 C. x2·x3 D. x4＋x2‎ ‎【解析】 选项A结果为x6.选项B结果为3x2.选项C结果为x5.选项D已是最简结果．‎ ‎4. (2019，邯郸一模)下列运算中，正确的是(A)‎ A. (a3)3＝a9 B. a2·a2＝2a2 C. a－a2＝－a D. (ab)2＝ab2‎ ‎【解析】 选项A结果正确．选项B结果为a4.选项C已是最简结果．选项D结果为a2b2.‎ ‎5. 下列计算正确的是(D)‎ A. (3xy2)3＝9x3y6　 B. (x＋y)2＝x2＋y2‎ C. x6÷x2＝x3 D. 2x2y－yx2＝x2y ‎【解析】 选项A结果为27x3y6.选项B结果为x2＋2xy＋y2.选项C结果为x4.选项D结果正确．‎ ‎6. (2019，张家口桥西区模拟)已知m－n＝100，x＋y＝－1，则代数式(n＋x)－(m－y)的值是(D)‎ A. 99 B. 101 C. －99 D. －101‎ ‎【解析】 (n＋x)－(m－y)＝n＋x－m＋y＝－(m－n)＋(x＋y)＝－101.‎ ‎7. (2019，唐山丰南区一模)如果a，b互为相反数，x，y互为倒数，那么(a＋b)＋xy的值是(C)‎ A. 2 B. 3 C. 　　　 D. 4‎ ‎【解析】 将a＋b＝0，xy＝1代入，原式＝.‎ ‎8. (2019，唐山路北区一模)下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是(C)‎ A. a(m＋n)＝am＋an B. a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2‎ C. 10x2－5x＝5x(2x－1) D. x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x ‎【解析】 选项A是整式乘法，选项B，D的结果是和的形式，只有选项C结果是乘积的形式．‎ ‎9. (2019，河北)计算852－152的结果是(D)‎ A. 70　 B. 700 C. 4 900　 D. 7 000‎ ‎【解析】 原式＝(85＋15)×(85－15)＝100×70＝7 000.‎ ‎10. (2019，石家庄长安区质检)下列各式中，不是多项式2x2－4x＋2的因式的是(D)‎ A. 2 B. 2(x－1) C. (x－1)2 D. 2(x－2)‎ ‎【解析】 2x2－4x＋2＝2(x2－2x＋1)＝2(x－1)2.‎ 二、 填空题 ‎11. (2019，株洲)单项式5mn2的次数是 3 .‎ 一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。【解析】 m，n的指数的和．‎ ‎12. (2019，石家庄质检)若xay与3x2yb是同类项，则ab的值为 2 .‎ ‎【解析】 根据同类项的定义可知a＝2，b＝1，所以ab＝2.‎ ‎13. (2019，岳阳)已知a2＋2a＝1，则3(a2＋2a)＋2的值为 5 .‎ ‎【解析】 将a2＋2a＝1代入，原式＝ 3×1＋2＝5.‎ ‎14. (2019，菏泽)若a＋b＝2，ab＝－3，则代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值为 －12 .‎ ‎【解析】 a3b＋2a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2＝－3×22＝－12.‎ ‎15. (2019，株洲)因式分解：a2(a－b)－4(a－b)＝ (a－b)(a＋2)(a－2) ．‎ ‎【解析】 a2(a－b)－4(a－b)＝(a－b)(a2－4)＝(a－b)(a＋2)(a－2)．‎ 三、 解答题 ‎16. (2019，扬州)化简：(2x＋3)2－(2x＋3)(2x－3)．‎ ‎【思路分析】 计算中正确运用乘法公式．‎ 解：原式＝4x2＋12x＋9－4x2＋9‎ ‎　　　 ＝12x＋18.‎ ‎17. (2019，邵阳)先化简，再求值：(a－2b)(a＋2b)－(a－2b)2＋8b2，其中a＝－2，b＝.‎ ‎【思路分析】 计算中正确运用乘法公式，化简后，再代入求值．‎ 解：原式＝a2－(2b)2－(a2－4ab＋4b2)＋8b2‎ ‎　　　 ＝a2－4b2－a2＋4ab－4b2＋8b2‎ ‎　　　 ＝4ab.‎ 将a＝－2，b＝代入，‎ 得原式＝4×(－2)× ‎＝－4.‎ ‎18. (2019，石家庄桥西区质检)(1)计算：972－32；‎ ‎(2)已知a＝－13.6，b＝3.6，求代数式a2＋2ab＋b2的值．‎ ‎【思路分析】 (1)运用平方差公式因式分解．(2)先运用完全平方和公式因式分解再求值．‎ 解：(1)原式＝(97＋3)×(97－3)‎ ‎　　　 ＝100×94‎ ‎　　　 ＝9 400.‎ ‎(2)原式＝ (a＋b)2.‎ 当 a＝－13.6，b＝3.6时，‎ 原式＝(－13.6＋3.6)2‎ ‎＝(－10)2‎ ‎＝100.‎ ‎1. (2019，石家庄新华区质检，导学号5892921)已知(x－1)3＝ax3＋bx2＋cx＋d，则a＋b＋c＋d的值为(B)‎ A. －1 B. 0 C. 1 D. 无法确定 ‎【解析】 当x＝1时，已知等式可化为0＝a＋b＋c＋d.‎ ‎2. (2019，张家口桥东区模拟)若M＝(x－3)(x－5)，N＝(x－2)(x－6)，则M与N的关系为(B)‎ A. M＝N B. M>N C. M0.∴M>N.‎ ‎3. (2019，张家口桥东区模拟，导学号5892921)若a≠0，b≠0，则代数式＋＋的取值共有(A)‎ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 ‎【解析】 分情况讨论．若a>0，b>0，原式＝3；若a>0，b<0或a<0，b>0或a<0，b<0，原式＝－1.　‎ ‎“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。4. (导学号5892921)已知x＋y＝0.2，x＋3y＝1，则代数式x2＋4xy＋4y2的值为 0.36 .‎ ‎【解析】 将已知的两个等式相加，得2x＋4y＝1.2，∴x＋2y＝0.6.∴x2＋4xy＋4y2＝(x＋2y)2＝0.36. ‎ ‎“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。5. (2019，达州)已知am＝3，an＝2，则a2m－n的值为 4.5 . ‎ ‎【解析】 a2m－n＝(am)2÷an＝32÷2＝4.5.‎ ‎6. (导学号5892921)若a2n＝9，b2n＝25，则(ab)n＝ ±15 .‎ ‎【解析】 根据幂的运算，得a2nb2n＝2＝9×25，∴(ab)n＝±15.‎