河北省中考数学试卷含解析及答案

河北省中考数学试卷含解析及答案

‎2013年河北省初中毕业升学考试试卷 数 学 本试卷含参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共16个小题，1～6小题，每小题2分；7～16小题，每小题2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（2分）（2013•河北）气温由﹣1℃上升2℃后是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣1℃‎ B．‎ ‎1℃‎ C．‎ ‎2℃‎ D．‎ ‎3℃‎ 考点：‎ 有理数的加法．716288 ‎ 分析：‎ 根据上升2℃即是比原来的温度高了2℃，就是把原来的温度加上2℃即可．‎ 解答：‎ 解：∵气温由﹣1℃上升2℃，‎ ‎∴﹣1℃+2℃=1℃．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了有理数的加法，要先判断正负号的意义：上升为正，下降为负，再根据有理数加法运算法则进行计算．‎ ‎　‎ ‎2．（2分）（2013•河北）截至2013年3月底，某市人口总数已达到4 230 000人．将4 230 000用科学记数法表示为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎0.423×107‎ B．‎ ‎4.23×106‎ C．‎ ‎42.3×105‎ D．‎ ‎423×104‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数．716288 ‎ 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：将4 230 000用科学记数法表示为：4.23×106．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎3．（2分）（2013•河北）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 中心对称图形；轴对称图形．716288 ‎ 分析：‎ 根据中心对称图形和轴对称图形定义求解即可．‎ 解答：‎ 解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；‎ B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；‎ C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；‎ D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：‎ 轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；‎ 中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．‎ ‎　‎ ‎4．（2分）（2013•河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a（x﹣y）=ax﹣ay B．‎ x2+2x+1=x（x+2）+1‎ C．‎ ‎（x+1）（x+3）=x2+4x+3‎ D．‎ x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）‎ 考点：‎ 因式分解的意义．716288 ‎ 分析：‎ 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．‎ 解答：‎ 解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；‎ B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；‎ C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；‎ D、符合因式分解的定义，故本选项正确；‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了因式分解的意义，解答本题的关键是掌握因式分解后右边是整式积的形式．‎ ‎　‎ ‎5．（2分）（2013•河北）若x=1，则|x﹣4|=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎﹣3‎ C．‎ ‎5‎ D．‎ ‎﹣5‎ 考点：‎ 绝对值．716288 ‎ 分析：‎ 把x的值代入，然后根据绝对值的性质解答．‎ 解答：‎ 解：∵x=1，‎ ‎∴|x﹣4|=|1﹣4|=|﹣3|=3．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．‎ ‎　‎ ‎6．（2分）（2013•河北）下列运算中，正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎=±3‎ B．‎ ‎=2‎ C．‎ ‎（﹣2）0=0‎ D．‎ ‎2﹣1=‎ 考点：‎ 负整数指数幂；算术平方根；立方根；零指数幂．716288 ‎ 分析：‎ 根据算术平方根的定义，立方根的定义，任何数的零次幂等于1，负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ 解答：‎ 解：A、=3，故本选项错误；‎ B、=﹣2，故本选项错误；‎ C、（﹣2）0=1，故本选项错误；‎ D、2﹣1=，故本选项正确．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了任何不等于零的数的零次幂等于1，负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，算术平方根、立方根的定义，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•河北）甲队修路120m与乙队修路100m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10m．设甲队每天修路xm，依题意，下面所列方程正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎=‎ B．‎ ‎=‎ C．‎ ‎=‎ D．‎ ‎=‎ 考点：‎ 由实际问题抽象出分式方程．716288 ‎ 分析：‎ 设甲队每天修路xm，则乙队每天修（x﹣10）米，再根据关键语句“甲队修路120m与乙队修路100m所用天数相同”可得方程=．‎ 解答：‎ 解：设甲队每天修路xm，依题意得：‎ ‎=，‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•河北）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎40海里 B．‎ ‎60海里 C．‎ ‎70海里 D．‎ ‎80海里 考点：‎ 等腰三角形的判定与性质；方向角；平行线的性质．716288 ‎ 专题：‎ 应用题．‎ 分析：‎ 根据方向角的定义即可求得∠M=70°，∠N=40°，则在△MNP中利用内角和定理求得∠NPM的度数，证明三角形MNP是等腰三角形，即可求解．‎ 解答：‎ 解：MN=2×40=80（海里），‎ ‎∵∠M=70°，∠N=40°，‎ ‎∴∠NPM=180°﹣∠M﹣∠N=180°﹣70°﹣40°=70°，‎ ‎∴∠NPM=∠M，‎ ‎∴NP=MN=80（海里）．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定理，理解方向角的定义是关键．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2013•河北）如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏：‎ 假设嘉嘉抽到牌的点数为x，淇淇猜中的结果应为y，则y=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎3‎ C．‎ ‎6‎ D．‎ x+3‎ 考点：‎ 整式的加减．716288 ‎ 专题：‎ 图表型．‎ 分析：‎ 先用抽到牌的点数x乘以2再加上6，然后再除以2，最后减去x，列出式子，再根据整式的加减运算法则进行计算即可．‎ 解答：‎ 解：根据题意得：‎ ‎（x×2+6）÷2﹣x=x+3﹣x=3；‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了整式的加减，解题的关键是根据题意列出式子，再根据整式加减的运算法则进行计算．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•河北）反比例函数y=的图象如图所示，以下结论：‎ ‎①常数m＜﹣1；‎ ‎②在每个象限内，y随x的增大而增大；‎ ‎③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；‎ ‎④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上．‎ 其中正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎①②‎ B．‎ ‎②③‎ C．‎ ‎③④‎ D．‎ ‎①④‎ 考点：‎ 反比例函数的性质．716288 ‎ 分析：‎ 根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可．‎ 解答：‎ 解：∵反比例函数的图象位于一三象限，‎ ‎∴m＞0‎ 故①错误；‎ 当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y随x的增大而减小，故②错误；‎ 将A（﹣1，h），B（2，k）代入y=得到h=﹣m，2k=m，‎ ‎∵m＞0‎ ‎∴h＜k 故③正确；‎ 将P（x，y）代入y=得到m=xy，将P′（﹣x，﹣y）代入y=得到m=xy，‎ 故P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上 故④正确，‎ 故选C 点评：‎ 本题考查了反比例函数的性质，牢记反比例函数的比例系数的符号与其图象的关系是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2013•河北）如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB．若NF=NM=2，ME=3，则AN=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎5‎ D．‎ ‎6‎ 考点：‎ 菱形的性质；相似三角形的判定与性质．716288 ‎ 分析：‎ 根据菱形的对角线平分一组对角可得∠1=∠2，然后求出△AFN和△AEM相似，再利用相似三角形对应边成比例列出求解即可．‎ 解答：‎ 解：在菱形ABCD中，∠1=∠2，‎ 又∵ME⊥AD，NF⊥AB，‎ ‎∴∠AEM=∠AFN=90°，‎ ‎∴△AFN∽△AEM，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ 解得AN=4．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了菱形的对角线平分一组对角的性质，相似三角形的判定与性质，关键在于得到△AFN和△AEM相似．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•河北）已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．‎ 以下是甲、乙两同学的作业：‎ 甲：‎ ‎1．以点C为圆心，AB长为半径画弧；‎ ‎2．以点A为圆心，BC长为半径画弧；‎ ‎3．两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图1）．‎ 乙：‎ ‎1．连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；‎ ‎2．连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图2）．‎ 对于两人的作业，下列说法正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 两人都对 B．‎ 两人都不对 C．‎ 甲对，乙不对 D．‎ 甲不对，乙对 考点：‎ 作图—复杂作图；矩形的判定．716288 ‎ 分析：‎ 先由两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断甲的作业正确；‎ 先由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断乙的作业也正确．‎ 解答：‎ 解：由甲同学的作业可知，CD=AB，AD=BC，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ 又∵∠ABC=90°，‎ ‎∴▱ABCD是矩形．‎ 所以甲的作业正确；‎ 由乙同学的作业可知，CM=AM，MD=MB，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ 又∵∠ABC=90°，‎ ‎∴▱ABCD是矩形．‎ 所以乙的作业正确；‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了作图﹣复杂作图的应用及矩形的判定，从两位同学的作图语句中获取正确信息及熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2013•河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎90°‎ B．‎ ‎100°‎ C．‎ ‎130°‎ D．‎ ‎180°‎ 考点：‎ 三角形内角和定理．716288 ‎ 分析：‎ 设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．‎ 解答：‎ 解：如图，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1，‎ ‎∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3，‎ ‎∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，‎ 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，‎ ‎∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，‎ ‎∴∠1+∠2=150°﹣∠3，‎ ‎∵∠3=50°，‎ ‎∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角是解题的关键，也是本题的难点．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•河北）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C=30°，CD=2．则S阴影=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ π B．‎ ‎2π C．‎ D．‎ π 考点：‎ 扇形面积的计算；垂径定理；圆周角定理．716288 ‎ 分析：‎ 根据垂径定理求得CE=ED=；然后由圆周角定理知∠AOD=60°，然后通过解直角三角形求得线段AE、OE的长度；最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形OAD﹣S△OED+S△ACE．‎ 解答：‎ 解：∵CD⊥AB，CD=2‎ ‎∴CE=DE=CD=，‎ 在Rt△ACE中，∠C=30°，‎ 则AE=CEtan30°=1，‎ 在Rt△OED中，∠DOE=2∠C=60°，‎ 则OD==2，‎ ‎∴OE=OA﹣AE=OD﹣AE=1，‎ S阴影=S扇形OAD﹣S△OED+S△ACE=﹣×1×﹣×1×=．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了垂径定理、扇形面积的计算．求得阴影部分的面积时，采用了“分割法”，关键是求出相关线段的长度．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2013•河北）如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 点M在AB上 ‎　‎ B．‎ 点M在BC的中点处 ‎　‎ C．‎ 点M在BC上，且距点B较近，距点C较远 ‎　‎ D．‎ 点M在BC上，且距点C较近，距点B较远 考点：‎ 三角形三边关系．716288 ‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 根据钝角三角形中钝角所对的边最长可得AB＞AC，取BC的中点E，求出AB+BE＞AC+CE，再根据三角形的任意两边之和大于第三边得到AB＜AD，从而判定AD的中点M在BE上．‎ 解答：‎ 解：∵∠C=100°，‎ ‎∴AB＞AC，‎ 如图，取BC的中点E，则BE=CE，‎ ‎∴AB+BE＞AC+CE，‎ 由三角形三边关系，AC+BC＞AB，‎ ‎∴AB＜AD，‎ ‎∴AD的中点M在BE上，‎ 即点M在BC上，且距点B较近，距点C较远．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了三角形的三边关系，作辅助线把△ABC的周长分成两个部分是解题的关键，本题需要注意判断AB的长度小于AD的一半，这也是容易忽视而导致求解不完整的地方．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2013•河北）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P从点A出发，沿折线AD﹣DC﹣CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t秒，y=S△EPF，则y与t的函数图象大致是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 动点问题的函数图象．716288 ‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 分三段考虑，①点P在AD上运动，②点P在DC上运动，③点P在BC上运动，分别求出y与t的函数表达式，继而可得出函数图象．‎ 解答：‎ 解：在Rt△ADE中，AD==13，在Rt△CFB中，BC==13，‎ ‎①点P在AD上运动：‎ 过点P作PM⊥AB于点M，则PM=APsin∠A=t，‎ 此时y=EF×PM=t，为一次函数；‎ ‎②点P在DC上运动，y=EF×DE=30；‎ ‎③点P在BC上运动，过点P作PN⊥AB于点N，则PN=BPsin∠B=（AD+CD+BC﹣t）=，‎ 则y=EF×PN=，为一次函数．‎ 综上可得选项A的图象符合．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论y与t的函数关系式，当然在考试过程中，建议同学们直接判断是一次函数还是二次函数，不需要按部就班的解出解析式．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上）‎ ‎17．（3分）（2013•河北）如图，A是正方体小木块（质地均匀）的一顶点，将木块随机投掷在水平桌面上，则A与桌面接触的概率是　　．‎ 考点：‎ 概率公式．716288 ‎ 分析：‎ 由共有6个面，A与桌面接触的有3个面，直接利用概率公式求解即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：∵共有6个面，A与桌面接触的有3个面，‎ ‎∴A与桌面接触的概率是：=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）（2013•河北）若x+y=1，且x≠0，则（x+）÷的值为　1　．‎ 考点：‎ 分式的化简求值．716288 ‎ 分析：‎ 先把括号里面的式子进行因式分解，再把除法转化成乘法，再进行约分，然后把x+y的值代入即可．‎ 解答：‎ 解：（x+）÷=×==x+y，‎ 把x+y=1代入上式得：‎ 原式=1；‎ 故答案为：1．‎ 点评：‎ 此题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．‎ ‎　‎ ‎19．（3分）（2013•河北）如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B=　95　°．‎ 考点：‎ 平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．716288 ‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF，∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：∵MF∥AD，FN∥DC，‎ ‎∴∠BMF=∠A=100°，∠BNF=∠C=70°，‎ ‎∵△BMN沿MN翻折得△FMN，‎ ‎∴∠BMN=∠BMF=×100°=50°，‎ ‎∠BNM=∠BNF=×70°=35°，‎ 在△BMN中，∠B=180°﹣（∠BMN+∠BNM）=180°﹣（50°+35°）=180°﹣85°=95°．‎ 故答案为：95．‎ 点评：‎ 本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（3分）（2013•河北）如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；‎ 将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；‎ 将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；‎ ‎…‎ 如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m=　2　．‎ 考点：‎ 二次函数图象与几何变换．716288 ‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值．‎ 解答：‎ 解：∵一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），‎ ‎∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0），‎ ‎∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；‎ 将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；‎ ‎…‎ 如此进行下去，直至得C13．‎ ‎∴C13的与x轴的交点横坐标为（36，0），（39，0），且图象在x轴上方，‎ ‎∴C13的解析式为：y13=﹣（x﹣36）（x﹣39），‎ 当x=37时，y=﹣（37﹣36）×（37﹣39）=2．‎ 故答案为：2．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数的平移规律，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎21．（9分）（2013•河北）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：‎ ‎2⊕5=2×（2﹣5）+1‎ ‎=2×（﹣3）+1‎ ‎=﹣6+1‎ ‎=﹣5=´-+ ‎（1）求（﹣2）⊕3的值；‎ ‎（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．‎ 考点：‎ 解一元一次不等式；有理数的混合运算；在数轴上表示不等式的解集．716288 ‎ 专题：‎ 新定义．‎ 分析：‎ ‎（1）按照定义新运算a⊕b=a（a﹣b）+1，求解即可；‎ ‎（2）先按照定义新运算a⊕b=a（a﹣b）+1，得出3⊕x，再令其小于13，得到一元一次不等式，解不等式求出x的取值范围，即可在数轴上表示．‎ 解答：‎ 解：（1）∵a⊕b=a（a﹣b）+1，‎ ‎∴（﹣2）⊕3=﹣2（﹣2﹣3）+1‎ ‎=10+1=11；‎ ‎（2）∵3⊕x＜13，‎ ‎∴3（3﹣x）+1＜13，‎ ‎9﹣3x+1＜13，‎ ‎﹣3x＜3，‎ x＞﹣1．‎ 在数轴上表示如下：‎ 点评：‎ 本题考查了有理数的混合运算及一元一次不等式的解法，属于基础题，理解新定义法则是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2013•河北）某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵．将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2），经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误．‎ 回答下列问题：‎ ‎（1）写出条形图中存在的错误，并说明理由；‎ ‎（2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数；‎ ‎（3）在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的：‎ ‎①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？‎ ‎②请你帮他计算出正确的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵．‎ 考点：‎ 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；加权平均数．716288 ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）条形统计图中D的人数错误，应为20×10%；‎ ‎（2）根据条形统计图及扇形统计图得出众数与中位数即可；‎ ‎（3）①小宇的分析是从第二步开始出现错误的；‎ ‎②求出正确的平均数，乘以260即可得到结果．‎ 解答：‎ 解：（1）D错误，理由为：20×10%=2≠3；‎ ‎（2）众数为5，中位数为5；‎ ‎（3）①第二步；②==5.3，‎ 估计260名学生共植树5.3×260=1378（颗）．‎ 点评：‎ 此题考查了条形统计图，扇形统计图，加权平均数，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2013•河北）如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y=﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒．‎ ‎（1）当t=3时，求l的解析式；‎ ‎（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；‎ ‎（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．‎ 考点：‎ 一次函数综合题．716288 ‎ 专题：‎ 探究型．‎ 分析：‎ ‎（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出一次函数的解析式；‎ ‎（2）分别求出直线l经过点M、点N时的t值，即可得到t的取值范围；‎ ‎（3）找出点M关于直线l在坐标轴上的对称点E、F，如解答图所示．求出点E、F的坐标，然后分别求出ME、MF中点坐标，最后分别求出时间t的值．‎ 解答：‎ 解：（1）直线y=﹣x+b交y轴于点P（0，b），‎ 由题意，得b＞0，t≥0，b=1+t．‎ 当t=3时，b=4，‎ 故y=﹣x+4．‎ ‎（2）当直线y=﹣x+b过点M（3，2）时，‎ ‎2=﹣3+b，‎ 解得：b=5，‎ ‎5=1+t，‎ 解得t=4．‎ 当直线y=﹣x+b过点N（4，4）时，‎ ‎4=﹣4+b，‎ 解得：b=8，‎ ‎8=1+t，‎ 解得t=7．‎ 故若点M，N位于l的异侧，t的取值范围是：4＜t＜7．‎ ‎（3）如右图，过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F为点M在坐标轴上的对称点．‎ 过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=3，MD=2．‎ 已知∠MED=∠OEF=45°，则△MDE与△OEF均为等腰直角三角形，‎ ‎∴DE=MD=2，OE=OF=1，‎ ‎∴E（1，0），F（0，﹣1）．‎ ‎∵M（3，2），F（0，﹣1），‎ ‎∴线段MF中点坐标为（，）．‎ 直线y=﹣x+b过点（，），则=﹣+b，解得：b=2，‎ ‎2=1+t，‎ 解得t=1．‎ ‎∵M（3，2），E（1，0），‎ ‎∴线段ME中点坐标为（2，1）．‎ 直线y=﹣x+b过点（2，1），则1=﹣2+b，解得：b=3，‎ ‎3=1+t，‎ 解得t=2．‎ 故点M关于l的对称点，当t=1时，落在y轴上，当t=2时，落在x轴上．‎ 点评：‎ 本题是动线型问题，考查了坐标平面内一次函数的图象与性质．难点在于第（3）问，首先注意在x轴、y轴上均有点M的对称点，不要漏解；其次注意点E、F坐标以及线段中点坐标的求法．‎ ‎　‎ ‎24．（11分）（2013•河北）如图，△OAB中，OA=OB=10，∠AOB=80°，以点O为圆心，6为半径的优弧分别交OA，OB于点M，N．‎ ‎（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′．求证：AP=BP′；‎ ‎（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离；‎ ‎（3）设点Q在优弧上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数．‎ 考点：‎ 圆的综合题．716288 ‎ 分析：‎ ‎（1）首先根据已知得出∠AOP=∠BOP′，进而得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案；‎ ‎（2）利用切线的性质得出∠ATO=90°，再利用勾股定理求出AT的长，进而得出TH的长即可得出答案；‎ ‎（3）当OQ⊥OA时，△AOQ面积最大，且左右两半弧上各存在一点分别求出即可．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：如图1，∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP，‎ ‎∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP，‎ ‎∴∠AOP=∠BOP′，‎ ‎∵在△AOP和△BOP′中 ‎∴△AOP≌△BOP′（SAS），‎ ‎∴AP=BP′；‎ ‎（2）解：如图1，连接OT，过点T作TH⊥OA于点H，‎ ‎∵AT与相切，‎ ‎∴∠ATO=90°，‎ ‎∴AT===8，‎ ‎∵×OA×TH=×AT×OT，‎ 即×10×TH=×8×6，‎ 解得：TH=，即点T到OA的距离为；‎ ‎（3）解：如图2，当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大；‎ 理由：∵OQ⊥OA，‎ ‎∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，‎ ‎∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+80°=170°，‎ 当Q点在优弧右侧上，‎ ‎∵OQ⊥OA，‎ ‎∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，‎ ‎∴∠BOQ=∠AOQ﹣∠AOB=90°﹣80°=10°，‎ 综上所述：当∠BOQ的度数为10°或170°时，△AOQ的面积最大．‎ 点评：‎ 此题主要考查了圆的综合应用以及切线的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，根据数形结合进行分类讨论得出是解题关键．‎ ‎　‎ ‎25．（12分）（2013•河北）某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q=W+100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．‎ 次数n ‎2‎ ‎1‎ 速度x ‎40‎ ‎60‎ 指数Q ‎420‎ ‎100‎ ‎（1）用含x和n的式子表示Q；‎ ‎（2）当x=70，Q=450时，求n的值；‎ ‎（3）若n=3，要使Q最大，确定x的值；‎ ‎（4）设n=2，x=40，能否在n增加m%（m＞0）同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．‎ 参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）‎ 考点：‎ 二次函数的应用．716288 ‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据题目所给的信息，设W=k1x2+k2nx，然后根据Q=W+100，列出用Q的解析式；‎ ‎（2）将x=70，Q=450，代入求n的值即可；‎ ‎（3）把n=3代入，确定函数关系式，然后求Q最大值时x的值即可；‎ ‎（4）根据题意列出关系式，求出当Q=420时m的值即可．‎ 解答：‎ 解：（1）设W=k1x2+k2nx，则Q=k1x2+k2nx+100，‎ 由表中数据，得，‎ 解得：，‎ ‎∴Q=﹣x2+6nx+100；‎ ‎（2）将x=70，Q=450代入Q得，‎ ‎450=﹣702+6×70n+100，‎ 解得：n=2；‎ ‎（3）当n=3时，Q=﹣x2+18x+100=﹣（x﹣90）2+910，‎ ‎∵﹣＜0，‎ ‎∴函数图象开口向下，有最大值，‎ 则当x=90时，Q有最大值，‎ 即要使Q最大，x=90；‎ ‎（4）由题意得，420=﹣[40（1﹣m%）]2+6×2（1+m%）×40（1﹣m%）+100，‎ 即2（m%）2﹣m%=0，‎ 解得：m%=或m%=0（舍去），‎ ‎∴m=50．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的应用，难度较大，解答本题的关键是根据题目中所给的信息，读懂题意列出函数关系式，要求同学们掌握求二次函数最值的方法，此题较麻烦，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．‎ ‎　‎ ‎26．（14分）（2013•河北）一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A′B′C′D′装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE=α，如图1所示）．探究 如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示．‎ 解决问题：‎ ‎（1）CQ与BE的位置关系是　CQ∥BE　，BQ的长是　3　dm；‎ ‎（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液=底面积S△BCQ×高AB）‎ ‎（3）求α的度数．（注：sin49°=cos41°=，tan37°=）‎ 拓展：在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图3或图4是其正面示意图．若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC=x，BQ=y．分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围．‎ 延伸：在图4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图5，隔板高NM=1dm，BM=CM，NM⊥BC．继续向右缓慢旋转，当α=60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4dm3．‎ 考点：‎ 四边形综合题；解直角三角形的应用．716288 ‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据水面与水平面平行可以得到CQ与BE平行，利用勾股定理即可求得BQ的长；‎ ‎（2）液体正好是一个以△BCQ是底面的直棱柱，据此即可求得液体的体积；‎ ‎（3）根据液体体积不变，据此即可列方程求解；‎ 延伸：当α=60°时，如图6所示，设FN∥EB，GB′∥EB，过点G作GH⊥BB′于点H，此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G为底面的直棱柱，求得棱柱的体积，即可求得溢出的水的体积，据此即可作出判断．‎ 解答：‎ 解：（1）CQ∥BE，BQ==3；‎ ‎（2）V液=×3×4×4=24（dm3）；‎ ‎（3）在Rt△BCQ中，tan∠BCQ=，‎ ‎∴α=∠BCQ=37°．‎ 当容器向左旋转时，如图3，0°≤α≤37°，‎ ‎∵液体体积不变，‎ ‎∴（x+y）×4×4=24，‎ ‎∴y=﹣x+3．‎ 当容器向右旋转时，如图4．同理可得：y=；‎ 当液面恰好到达容器口沿，即点Q与点B′重合时，如图5，‎ 由BB′=4，且PB•BB′×4=24，得PB=3，‎ ‎∴由tan∠PB′B=，得∠PB′B=37°．‎ ‎∴α=∠B′PB=53°．此时37°≤α≤53°；‎ 延伸：当α=60°时，如图6所示，设FN∥EB，GB′∥EB，过点G作GH⊥BB′于点H．‎ 在Rt△B′GH中，GH=MB=2，∠GB′B=30°，‎ ‎∴HB′=2．‎ ‎∴MG=BH=4﹣2＜MN．‎ 此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G为底面的直棱柱．‎ ‎∵S△NFM+SMBB′G=××1+（4﹣2+4）×2=8﹣．‎ ‎∴V溢出=24﹣4（8﹣）=﹣8＞4（dm3）．‎ ‎∴溢出液体可以达到4dm3．‎ 点评：‎ 本题考查了四边形的体积计算以及三视图的认识，正确理解棱柱的体积的计算是关键．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：sd2011；zhjh；caicl；lantin；星期八；HJJ；sks；gbl210；HLing；未来；sjzx；zcx（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2014年1月9日