上海中考二模数学第2425题含答案

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上海中考二模数学第2425题含答案

‎24.(本题满分12分,每小题满分各4分)《2014宝山》‎ ‎ 在平面直角坐标系中(图10),抛物线(、为常数)和轴交于、和轴交于、两点(点在点B的左侧),且tan∠ABC=,如果将抛物线沿轴向右平移四个单位,点的对应点记为.‎ ‎(1)求抛物线的对称轴及其解析式;‎ ‎(2)联结AE,记平移后的抛物线的对称轴与AE的 ‎ 交点为,求点的坐标;‎ ‎(3)如果点在轴上,且△ABD与△EFD相似,‎ ‎ 求EF的长.‎ ‎ 图10‎ ‎25.(本题满分14分,第(1)小题4分, 第 (2)小题6分,第 (3)小题,4分)《2014宝山》‎ 在△ABC中,AB=AC=10,cosB=(如图11),D、E为线段BC上的两个动点,且DE=3(E在D右边),运动初始时D和B重合,运动至E和C重合时运动终止.过E作EF∥AC交AB于F,联结DF.‎ ‎(1)若设BD=x,EF=y,求y关于x的函数,并求其定义域;‎ ‎(2)如果△BDF为直角三角形,求△BDF的面积;‎ ‎(3)如果MN过△DEF的重心,且MN∥BC分别交FD、FE于M、N(如图12).‎ A B C D E F M N 图12‎ 求整个运动过程中线段MN扫过的区域的形状和面积(直接写出答案).‎ A B C D E F 图11‎ A B C 备用图 ‎24.(本题满分12分,第(1)小题满分3分,第(2)小题满分5分,第(3)小题满分4分)《2014崇明》‎ 已知⊙O的半径为3,⊙P与⊙O相切于点A,经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C,,设⊙P的半径为,线段OC的长为.‎ ‎(1)求AB的长;‎ ‎(2)如图,当⊙P与⊙O外切时,求与之间的函数解析式,并写出函数的定义域;‎ B A C O P ‎(第24题图)‎ ‎(3)当∠OCA=∠OPC时,求⊙P的半径.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎25.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分4分,第(3)小题满分6分)《2014崇明》‎ 如图,反比例函数的图像经过点A(–2,5)和点B(–5,p),□ABCD的顶点C、D分别在轴的负半轴、轴的正半轴上,二次函数的图像经过点A、C、D.‎ ‎(第25题图)‎ A C B O y D E x (1) 求直线AB的表达式;‎ (2) 求点C、D的坐标;‎ ‎(3)如果点E在第四象限的二次函数图像上,‎ 且∠DCE=∠BDO,求点E的坐标.‎ ‎24. (本题满分12分)《2014徐汇》‎ ‎ 如图,直线与x轴、y轴相交于B、C两点,抛物线过点B、C,且与x轴另一个交点为A,以OC、OA为边作矩形OADC,CD交抛物线于点G.‎ ‎(1)求抛物线的解析式以及点A的坐标;‎ ‎(2)已知直线交OA于点E,交CD于点F,交AC于点M,交抛物线(CD上方部分)于点P,请用含m的代数式表示PM的长;‎ ‎(3)在(2)的条件下,联结PC,若△PCF和△AEM相似,求m的值.‎ ‎25. (本题满分14分)《2014徐汇》‎ 如图,已知∠MON两边分别为OM、ON, sin∠O=且OA=5,点D为线段OA上的动点(不与O 重合),以A为圆心、AD为半径作⊙A,设OD=x.‎ (1) 若⊙A交∠O 的边OM于B、C两点,,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;‎ (2) 将⊙A沿直线OM翻折后得到⊙A′. ‎ ① ‎ 若⊙A′与直线OA相切,求x的值;‎ ② ‎ 若⊙A′与以D为圆心、DO为半径的⊙D相切,求x的值.‎ ‎ 图1 备用图 ‎23. 抛物线经过点A(4,0)、B(2,2),联结OB、AB.《2014普陀》‎ (1) 求此抛物线的解析式;(5分)‎ (2) 求证:△ABO是等腰直角三角形;(4分)‎ (3) 将△ABO绕点O按顺时针方向旋转135°得到△O,写出边中点P的坐标,并判断点P是否在此抛物线上,说明理由. (3分)‎ B 第25题 E A C D ‎25.如图,已知在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点D ‎ 为BC边上一动点(不与点B重合),过点D作射线DE ‎ 交AB于点E,∠BDE=∠A,以点D为圆心,DC的长为 半径作⊙D. 《2014普陀》‎ (1) 设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式,并写出 定义域;(3分)‎ (2) 当⊙D与边AB相切时,求BD的长;(2分)‎ (3) 如果⊙E是以E为圆心,AE的长为半径的圆,那么当BD 为多少长时,⊙D与⊙E相切?(9分)‎ ‎24.(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题4分,第(3)小题4分,) 《2014杨浦》‎ 已知抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,△ABC的面积为12.‎ (1) 求抛物线的对称轴及表达式;‎ (2) 若点P在x轴上方的抛物线上,且tan∠PAB=,求点P的坐标;‎ x y O ‎(第24题图)‎ (3) 在(2)的条件下,过C作射线交线段AP于点E,使得tan∠BCE=,联结BE,试问BE与BC是否垂直?请通过计算说明。‎ ‎25.(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题5分,第(3)小题5分)《2014杨浦》‎ 已知AM平分∠BAC,AB=AC=10,cos∠BAM=。点O为射线AM上的动点,以O为圆心,BO为半径画圆交直线AB于点E(不与点B重合)。‎ ‎(1)如图(1),当点O为BC与AM的交点时,求BE的长;‎ ‎(2)以点A为圆心,AO为半径画圆,如果⊙A与⊙O相切,求AO的长;‎ 备用图 A B C M A B C M O E 图(1)‎ ‎(3)试就点E在直线AB上相对于A、B两点的位置关系加以讨论,并指出相应的AO的取值范围;‎ ‎(第25题图)‎ ‎24.(本题满分12分,其中每小题各4分)《2014浦东》‎ ‎ 如图,已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B右侧),与y轴交于点C(0,-3),且OA=2OC.‎ ‎(1)求这条抛物线的表达式及顶点M的坐标;‎ ‎(2)求的值;‎ ‎(3)如果点D在这条抛物线的对称轴上,且∠CAD=45º,求点D的坐标.‎ ‎(第24题图)‎ ‎25.(本题满分14分,其中第(1)小题3分,第(2)小题5分,第(3)小题6分)《2014浦东》‎ 如图,已知在△ABC中,AB=AC,BC比AB大3,,点G是△ABC的重心,AG的延长线交边BC于点D.过点G的直线分别交边AB于点P、交射线AC于点Q.‎ ‎(1)求AG的长;‎ ‎(2)当∠APQ=90º时,直线PG与边BC相交于点M.求的值;‎ ‎(3)当点Q在边AC上时,设BP=,AQ=,求关于的函数解析式,并写出它的定义域.[‎ ‎(第25题图)‎ 24、 已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,直线与x轴、y轴分别交点A、B,点C在线段AB上,且.《2014虹口》‎ (1) 求点C的坐标(用含有m的代数式表示);‎ (2) 将△AOC沿x轴翻折,当点C的对应点C’恰好落在抛物线上时,求该抛物线的表达式;‎ (3) 设点M为(2)中所求抛物线上一点,当以A、O、C、M为顶点的四边形为平行四边形时,请直接写出所有满足条件的点M的坐标.‎ ‎25如图,扇形OAB的半径为4,圆心角∠AOB=90˚,点C是上异于点A、B的一动点,过点C作CD⊥OB于点D,作CE⊥OA于点E,联结DE,过O点作OF⊥DE于点F,点M为线段OD上一动点,联结MF,过点F作NF⊥MF,交OA于点N. 《2014虹口》‎ (1) 当时,求的值;‎ (2) 设,,当时,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;‎ (3) 在(2)的条件下,联结CF,当△ECF与△OFN相似时,求OD的长.‎ ‎24.(本题满分12分)《2014长宁》‎ 如图,在直角坐标平面内,四边形OABC是等腰梯形,其中OA=AB=BC=4,tan∠BCO=.‎ ‎(1) 求经过O、B、C三点的二次函数解析式;‎ ‎(2) 若点P在第四象限,且△POC∽△AOB相似,求满足条件的所有点P的坐标;‎ ‎(3) 在(2)的条件下,若⊙P与以OC为直径的⊙D相切,请直接写出⊙P的半径. ‎ ‎25.(本题满分14分)《2014长宁》‎ 在△ABC中,已知BA=BC,点P在边AB上,联结CP,以PA、PC为邻边作平行四边形APCD,AC与PD交于点E,∠ABC=∠AEP=.‎ ‎(1) 如图(1),求证:∠EAP=∠EPA;‎ ‎(2) 如图(2),若点F是BC中点,点M、N分别在PA、FP延长线上,且∠MEN=∠AEP,判断EM和EN之间的数量关系,并说明理由.‎ ‎(3) 如图(3),若DC=1,CP=3,在线段CP上任取一点Q,联结DQ,将△DCQ沿直线DQ翻折,点C落在四边形APCD外的点C’处,设CQ=x,△DC’Q与四边形APCD重合部分的面积为y,写出y与x的函数关系式及定义域.‎ ‎24.(本题满分12分,每小题6分)《2014奉贤》‎ 第24题 已知:如图,在平面直角坐标系中,抛物线 交轴于A、B两点,交轴于点C.‎ ‎(1)求抛物线的表达式和它的对称轴;‎ ‎(2)若点P是线段OA上一点(点P不与点O和点A 重合),点Q是射线AC上一点,且,‎ 在轴上是否存在一点D,使得与 相似,如果存在,请求出点D的坐标;如不存在,‎ 请说明理由.‎ ‎25.(本题满分14分,第(1)小题5分,第(2)小题5分,第(3)小题4分)《2014奉贤》‎ 已知:如图1,在梯形ABCD中,∠A=90°,AD∥BC, AD=2,AB=3, tanC=,点P是AD延长线上一点,F为DC的中点, 联结BP,交线段DF于点G.‎ ‎(1)若以AB为半径的⊙B与以PD为半径的⊙P外切,求PD的长;‎ ‎(2)如图2,过点F作BC的平行线交BP于点E,‎ ‎①若设DP=,EF=,求与的函数关系式并写出自变量的取值范围;‎ ‎②联结DE和PF,若DE=PF,求PD的长.‎ A P 第25题图1‎ DA C B FA G C EA A P 第25题图2‎ DA B FA G A 备用图 DA C B FA ‎24.(本题共2题,每小题6,满分12分)《2014闵行》‎ ‎(第24题图)‎ 已知:如图,把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中,使直角边OB、OD在x轴上.已知点A(1,2),过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F.抛物线经过O、A、C三点.‎ ‎(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的 对称轴和顶点坐标;‎ ‎(2)点P为线段OC上一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N,问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎25.(本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题4分,满分14分)《2014闵行》‎ 已知:如图①,△ABC中,AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC.CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,交BI延长线于E,联结CI.‎ ‎(1)设∠BAC=2.如果用表示∠BIC和∠E,那么∠BIC= ,‎ ‎∠E= ;‎ ‎(2)如果AB=1,且△ABC与△ICE相似时,求线段AC的长;‎ ‎(3)如图②,延长AI交EC延长线于F,如果∠=30°,sin∠F=,设BC=m,‎ ‎(第25题图②)‎ F A B C D E I 试用m的代数式表示BE.‎ ‎(第25题图①)‎ A B C D E I ‎ ‎ 答案 宝山 ‎24.(1)易知抛物线的对称轴为直线…………1分 将代入抛物线得: …………1分 依题意tan∠ABC=,易得 …………1分 将代入可得抛物线的表达式为…………1分 ‎ (注:若学生求出,即可得分.)‎ ‎(2)向右平移四个单位后的对应点的坐标为(6,0).……1分 向右平移四个单位后的新抛物线的对称轴为直线X= …………1分 将、(6,0)代入直线得 直线A的表达式为, …………1分 交点的坐标(,) …………1分 ‎(3)易证∠BAE=∠AEB=30° …………1分 若△ADB∽△EDF, 则有 …………1分 EF=, …………1分 若△ADB∽△EFD, 则有 EF=, …………1分 ‎ ‎ ‎25.解:(1)∵在等腰三角形ABC中,腰AB=AC=10,底角B满足cosB=,‎ ‎∴BC=10××2=16. …………1分 ‎∵EF∥AC, ∴. …………1分 BD=x,EF=y , DE=3 ‎ ‎∴. (0≤x≤13). …………1+1分 ‎(2)依题意易得在三角形FBE中, FB=FE=. …………1分 ‎ 若∠FDB为直角时有BD=DE. ∴ …………1分 ‎ 又∵cosB=, ∴FD=. …………1分 ‎ ‎ ∴三角形BDF的面积为. …………1分 若∠BFD为直角时,BF=EF== ∴ …………1分 ‎ ∴三角形BDF的面积为 …………1分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(3) 平行四边形. 面积为.…………………………………………2+2分 崇明 ‎24.解:(1)在⊙O中,作OD⊥AB,垂足为D,…………………………………………(1分)‎ 在Rt△OAD中,,……………………………………(1分)‎ ‎∴AD=AO=1. ∴AB=2AD=2.……………………………………………(1分)‎ ‎(2)联结OB、PA、PC,‎ ‎∵⊙P与⊙O相切于点A,∴点P、A、O在一直线上.…………………(1分)‎ ‎∵PC=PA,OA=OB,∴∠PCA=∠PAC=∠OAB=∠OBA,∴PC//OB.……(1分)‎ ‎∴,∴AC. ……………………………………(1分)‎ ‎∵,CD=AD+AC=,‎ ‎∴OC=,……………………………………(1分)‎ ‎∴,定义域为.………………………………(1分)‎ (1) 当⊙P与⊙O外切时,∵OB//PC,∴∠BOA=∠OPC=∠OCA.‎ ‎∵∠OAB=∠CBO,∴△BCO∽△BOA.……………………………………(1分)‎ ‎∴,∴.∵‎ ‎∴,∴,∴这时⊙P的半径为.……………………‎ ‎(1分)‎ 当⊙P与⊙O内切时,同理由△OCA∽△BOA可得.……………(1分)‎ ‎∴,,∴这时⊙P的半径为.……………………………(1分)‎ ‎∴⊙P的半径为或.‎ ‎25.解:(1)设反比例函数的解析式为.∵它图像经过点A(–2,5)和点B(–5,p),‎ ‎∴5=,∴,∴反比例函数的解析式为.…………………(1分)‎ ‎∴,∴点B的坐标为(–5,2).…………………………………(1分)‎ 设直线AB的表达式为,则……………………………(1分)‎ ‎∴∴直线AB的表达式为.……………………………………(1分)‎ ‎(2)由□ABCD中,AB//CD,设CD的表达式为,…………………………(1分)‎ ‎∴C(0,c),D(–c,0),………………………………………………………(1分)‎ ‎∵CD=AB,∴∴,…………………(1分)∴c=–3,∴点C、D的坐标分别是(0,–3)、(3,0).……………………(1分)‎ 或:∵□ABCD的顶点C、D分别在轴的负半轴、轴的正半轴上,‎ ‎∴线段AB向右平移5个单位,再向下平移5个单位后与线段CD重合.………(2分)‎ ‎∴点C、D的坐标分别是(0,–3)、(3,0).……………………………………(2分)‎ 或:作AH⊥轴,BG⊥轴,垂足分别为H、G,证得△AHD≌△CGB,………(2分)‎ 由DH=BG=5,CG=AH=5得C、D的坐标.…………………………………(2分)‎ ‎(3)设二次函数的解析式为,……………………(1分)‎ ‎∴ ∴二次函数的解析式为.………………………(1分)‎ 作EF⊥轴,BG⊥轴,垂足分别为F、G.∵OC=OD,BG=CG,‎ ‎∴∠BCG=∠OCD=∠ODC=45 º.∴∠BCD=90º,‎ ‎∵∠DCE=∠BDO,∴∠ECF=∠BDC.…………………………………………(1分)‎ ‎∴tan∠ECF=tan∠BDC=.………………………(1分)‎ 设CF=3t,则EF=5t,OF=3–3t,∴点E(5t,3t–3),……………………(1分)‎ ‎∴,.∴点E(,).………(1分)‎ 普陀23. 解:(1)抛物线经过点A(4,0)、B(2,2),‎ ‎ ∴得,…………………………………………………………………………2′‎ ‎ 解得: …………………………………………………………………………2′‎ 第23(2)题 C x y B O A ‎1‎ ‎∴抛物线解析式是 …………………………………………………………1′‎ 证明:(2)过点B作BC⊥OA于点C,……………………………1′‎ ‎ ∴BC=OC=CA=2.………………………………………1′ ‎ ‎∠BOC=∠BAC=45°, ………………………………1′ ‎ ‎ ∴∠OBA=90°, ………………………………………1′ ‎ ‎ ∴△ABO等腰直角三角形.‎ 解:(3)点P坐标(,).………………………………………………………………1′‎ ‎ 当x=时,‎ ‎ =,…………………………………………1′‎ ‎ ∴点P不在此抛物线上.……………………………………………………………………………1′‎ x y ‎5-y ‎5‎ B 第25题 E A C D ‎25.‎ 解:(1)∵∠B=∠B,∠BDE=∠A,‎ ‎ ∴△BDE∽△BAC,………………………………………………1′‎ ‎ ∴,即,‎ ‎ ∴.……………………………………………………1′‎ ‎ 定义域: 00)--------------------------1分 ‎∵点P在抛物线上,∴,∴,‎ ‎∴P(5,)-----------------------------------------------2分 ‎(3)是---------------------------------------------------1分 证明:设AE交y轴于点D,‎ ‎∵A(-2,0),C(0,-4),∴tan∠ACO=,∵tan∠PAB=,∴∠PAB=∠ACO, ‎ ‎∵∠ACO+∠OAC=,∴∠PAB+∠OAC=,∴PA⊥AC, -------------------------1分 ‎∵tan∠BCE=,∴∠ACO=∠BCE,∴∠ACE=∠OCB ‎∵B(4,0), C(0,-4),∴∠OCB=,∠ACE=, ‎ ‎∵A(-2,0),C(0,-4),∴AO=2,OC=4,∴AO=,∴CE=,-----------1分 ‎∵B(4,0), C(0,-4), ∴BC=‎ A B C E D P x y O 在△AOC和△EBC中,,,∴=,‎ 又∠ACO=∠BCE,∴△AOC∽△EBC,---------1分 ‎∴∠EBC=∠AOC=,∴BE⊥BC。‎ ‎ ‎ ‎25. 解(1)∵AM平分∠BAC,AB=BC,‎ ‎∴AM⊥BC,‎ ‎∵cos∠BAM=,AB=10,∴cos∠B=,BO=6,AO=8,---------------(1分,1分)‎ 作OH⊥AE,∵O为圆心,∴BH=EH,----------------------------------------(1分)‎ A B C O P M 在Rt△BOH中,,∴,‎ ‎∴BE=2BH=.--------------------------------------------------------(1分)‎ ‎(2) ∵⊙A与⊙O相切,AO为⊙A半径,‎ ‎∴⊙A与⊙O只可能相内切,且⊙A在⊙O的内部,------------(1分)‎ ‎∴OA=OB-OA,∴OB=2OA,-------------------------------(1分)‎ 设OA=x,则OB=2x,‎ 作 BP⊥AM,则AP=8,BP=6,OP=8-x,‎ 在Rt△BPO中,,即,-----------(1分)‎ ‎∴,∴,(负舍),∴OA=.-------(2分)‎ ‎(3)过AB中点作AM的垂线交AM于点O1,可得AO1=,-----------------(1分)‎ ‎ 过B作AM的垂线交AM于点O2,可得AO2=,-----------------(1分)‎ 当时,点E在BA的延长线上;--------------------(1分)‎ 当时,点E在线段AB上;--------------------(1分)‎ 当时,点E在AB的延长线上。--------------------(1分)‎ 浦东24.(1)解:∵C(0,-3),∴OC=3.……………………………………(1分)‎ ‎ ∵OA=2OC,∴OA=6.‎ ‎ ∵,点A在点B右侧,抛物线与y轴交点C(0,-3).‎ ‎ ∴.………………………………………………………………………(1分) ‎ ‎ ∴.……………………………………………………………(1分)‎ ‎ ∴,∴. …………………………………………(1分)‎ ‎(2)过点M作MH⊥x轴,垂足为点H,交AC于点N,过点N作NE⊥AM于 ‎ 点E,垂足为点E.‎ ‎ 在Rt△AHM中,HM=AH=4,,.‎ ‎ 求得直线AC的表达式为.………………(1分)‎ ‎ ∴N(2,-2).∴MN=2.…………………………………(1分)‎ ‎ 在Rt△MNE中,∴,‎ ‎ ∴.…………………………………………(1分)‎ ‎ 在Rt△AEN中,.………(1分)‎ ‎ (3)当D点在AC上方时,‎ ‎ ∵,‎ ‎ 又 ∵,‎ ‎ ∴. ………………………………(1分)‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∵点在抛物线的对称轴直线x=2上,‎ ‎ ∴,∴.‎ ‎ 在Rt△AH中,.‎ ‎ ∴.……………………………………………(1分)‎ ‎ ‚当D点在AC下方时,‎ ‎ ∵,‎ ‎ 又 ∵,‎ ‎ ∴.……………………………………(1分)‎ ‎ ∴‎ ‎ 在Rt△中,.‎ ‎ ∴.……………………………………………(1分)‎ ‎ 综上所述:,.‎ ‎25.解:(1)在△ABC中,∵AB=AC,点G是△ABC的重心,‎ ‎ ∴,AD⊥BC.……………………………………………………(1分) ‎ ‎ 在Rt△ADB中,∵,∴.‎ ‎ ∵, ∴AB=15,BC=18.‎ ‎ ∴AD=12.……………………………………………………………………………(1分) ‎ ‎ ∵G是△ABC的重心,∴.………………………………………(1分)‎ ‎ (2)在Rt△MDG,∵∠GMD+∠MGD=90°,‎ ‎ 同理:在Rt△MPB中,∠GMD+∠B=90°,‎ ‎ ∴∠MGD=∠B.…………………………………(1分) ‎ ‎ ∴,‎ ‎ 在Rt△MDG中,∵,‎ ‎ ∴,∴……(1分)‎ ‎ 在△ABC中,∵AB=AC,AD⊥BC,∴.‎ ‎ ∵,‎ ‎ 又 ∵,‎ ‎ ∴,………………………………(1分)‎ ‎ 又 ∵,‎ ‎ ∴△QCM∽△QGA.………………………………(1分)‎ ‎ ∴.……………………………(1分)‎ ‎(3)过点作,过点作,分别交直线于点E、F,则 .…………………………………(1分)‎ ‎ ∵,∴,即,‎ ‎ ∴.………………………………(1分)‎ ‎ 同理可得:,即,‎ ‎ ∴.……………………………(1分) ‎ ‎ ∵, ,∴.‎ ‎ ∴,即.(1分) ‎ ‎ ∴,.…………………(2分)‎ 奉贤 ‎24.(本题满分12分,每小题6分)‎ ‎(1)∵抛物线交轴于A、B两点 ‎∴ 解得:……………………………………3分 ‎∴抛物线的表达式:…………………………………………1分 它的对称轴是:直线…………………………………………………………2分 ‎(2)假设在轴上是否存在一点D,使得与相似 ‎∵∠A=∠A ‎ ‎ 则①△APQ∽△ACD ∴‎ ‎∵ ∴AC=CD ‎ ‎∵A ∴………………………………………………………3分 ‎②△APQ∽△ADC ∴‎ ‎∵C (0,3) , ‎ ‎∴AD=CD ∴…………………………………………………………3分 ‎∴点D的坐标时,△ACD与△APQ相似。‎ ‎ 25.(本题满分14分,第(1)小题5分,第(2)小题5分,第(3)小题4分)‎ 解:(1)∵在直角三角形ABP中,AD=2,AB=3, DP=‎ ‎ ∴BP=………………………………………………………1分 ‎∵以AB为半径的⊙B与以PD为半径的⊙P外切 ‎∴BP=AB+PD………………………………………………………………1分 ‎∴…………………………………………………2分 解得: ……………………………………………………………1分 ‎∴PD的长为2时,以AB为半径的⊙B与以PD为半径的⊙P外切。‎ ‎(2)联结DE并延长交BC于点G,………………………………………………1分 ‎∵F为DC的中点,EF∥BC ∴DE=EG ‎ ‎∴CG=2EF ‎∵AD∥BC ∴‎ ‎∴DP=BG…………………………………………………………………………1分 过D作DH⊥BC于点H,∵tanC=,DH=3 ∴CH=6‎ ‎∵AD=BH=2 ∴BC=8…………………………………………………………1分 ‎∵DP=,EF=, BC=BG+CG ‎∴ ∴………………………………………2分 ‎(3)∵AD∥EF ,DE=PF 当 DP=EF时,四边形DEFP为平行四边形 ‎∴= ∴…………………………………………………………………2分 当 DPEF时,四边形DEFP为等腰梯形 过E作EQ⊥AP于点Q, DQ=‎ ‎∵EQ∥AB,BE=PE ∴AQ= ∴DQ=‎ ‎∴= 解得:…………………………………………2分 ‎∴PD的长为或4.‎ 闵行 ‎24.解:(1)∵ 抛物线经过点O、A、C,可得c = 0,…………(1分)‎ ‎∴,解得,;………………………………(2分)‎ ‎∴ 抛物线解析式为.…………………………………(1分)‎ ‎ 对称轴是直线…………………………………………………(1分)‎ ‎ 顶点坐标为(,)……………………………………………(1分)‎ ‎(2)设点P的横坐标为t,‎ ‎∵PN∥CD,‎ ‎∴ △OPN ∽ △OCD,‎ 可得PN=,∴P(t,).……(1分)‎ ‎∵点M在抛物线上,‎ ‎∴M(t,).…………(1分)‎ 如解答图,过M点作MG⊥AB于G,过P点作PH⊥AB于H,‎ AG = yA-yM = 2-()=,BH = PN =.…(1分)‎ 当AG=BH时,四边形ABPM为等腰梯形,‎ ‎∴,……………………………………………………(1分)‎ 化简得3t2-8t + 4=0,解得t1=2(不合题意,舍去),t2=,………(1分)‎ ‎∴点P的坐标为(,).‎ ‎∴存在点P(,),使得四边形ABPM为等腰梯形.……………(1分)‎ ‎25.解:(1)∠BIC = 90°+,…………………………………………………(2分)‎ ‎∠E = .…………………………………………………………(2分)‎ ‎(2)由题意易证得△ICE是直角三角形,且∠E = .‎ 当△ABC ∽△ICE时,可得△ABC是直角三角形,有下列三种情况:‎ ‎①当∠ABC = 90° 时,∵∠BAC = 2,∠E = ;‎ ‎∴ 只能∠E = ∠BCA,可得∠BAC =2∠BCA.‎ ‎∴ ∠BAC = 60°,∠BCA = 30°.∴ AC =2 AB.‎ ‎∵ AB = 1 ,∴ AC = 2.…………………(2分)‎ ‎②当∠BCA = 90° 时,∵∠BAC = 2,∠E = ;‎ ‎∴ 只能∠E = ∠ABC,可得∠BAC =2∠ABC.‎ ‎∴ ∠BAC = 60°,∠ABC = 30°.∴ AB =2 AC.‎ ‎∵ AB = 1 ,∴ AC = .………………(2分)‎ ‎③当∠BAC = 90° 时,∵∠BAC = 2,∠E = ;‎ ‎∴∠E = ∠BAI = ∠CAI =45°.‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形.即 AC = AB.‎ ‎∵ AB = 1 ,∴ AC = 1.…………………(2分)‎ ‎ ∴综上所述,当△ABC ∽△ICE时,线段AC的长为1或2或. ‎ ‎(3)∵∠E = ∠CAI,由三角形内角和可得 ∠AIE = ∠ACE. ‎ ‎∴ ∠AIB = ∠ACF.‎ 又∵∠BAI = ∠CAI, ∴ ∠ABI = ∠F.‎ 又∵BI平分∠ABC, ∴ ∠ABI = ∠F =∠EBC.‎ 又∵∠E是公共角, ∴ △EBC ∽△EFI.…………………………(2分)‎ 在Rt△ICF中,sin∠F=,设IC = 3k,那么CF = 4k,IF = 5k.‎ 在Rt△ICE中,∠E =30°,设IC = 3k,那么CE = k,IE = 6k.‎ ‎∵△EBC ∽△EFI.∴ .‎ 又∵BC=m, ∴ BE = .………………………………(2分)‎
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