河南省中考数学题汇总

河南省中考数学题汇总

2008-2013 年河南省中考数学第 23 题汇总 （2008 年）23．（12 分）如图，直线 y= 和 x 轴、y 轴的交点分别为 B，C。 点 A 的坐标是（－2,0） （1） 试说明△ABC 是等腰三角形； （2） 动点 M 从点 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运 动，运动的速度均为每秒 1 个单位长度，当其中一个动点到达终点时，它们都停止 运动，设点运动 t 秒时，△MON 的面积为 s。 ① 求 s 与 t 的函数关系式； ② 当点 M 在线段 OB 上运动时，是否存在 s=4 的情形？若存在，求出对应的 t 值；若不存 在，说明理由； ③ 在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求 t 的值。 (2009 年)23.（11 分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（4，0）、 C（8，0）、D（8，8）.抛物线 y=ax2+bx 过 A、C 两点. (1)直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)动点 P 从点 A 出发．沿线段 AB 向终点 B 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向终点 D 运动．速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒.过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于 点 E ①过点 E 作 EF⊥AD 于点 F，交抛物线于点 G.当 t 为何值时，线段 EG 最长? ②连接 EQ．在点 P、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的 t 值. 43 4 +− x （2010 年）23．（11 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A ，B ， C 三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，△AMB 的面积为 S．求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值． （3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 上的动点，判断有几个位置能够使得 点 P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标． （2011 年）23. （11 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线 交于 A、B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为－8. （1）求该抛物线的解析式； （2）点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点（不与点 A、B 重合），过点 P 作 x 轴的垂 线，垂足为 C，交直线 AB 于点 D，作 PE⊥AB 于点 E. ①设△PDE 的周长为 l，点 P 的横坐标为 x，求 l 关于 x 的函数关系式，并求出 l 的最大 值； ②连接 PA，以 PA 为边作图示一侧的正方形 APFG.随着点 P 的运动，正方形的大小、位 置也随之改变.当顶点 F 或 G 恰好落在 y 轴上时，直接写出对应的点 P 的坐标. )0,4(− )4,0( − )0,2( xy −= 3 3 4 2y x= − 21 4y x bx c= − + + 2012 （2013 年）23．（11 分）如图，抛物线 与直线 交于 C、D 两点， 其中点 C 在 y 轴上，点 D 的坐标为（3， ），点 P 是 y 轴右侧的抛物线上的一动点，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，交 CD 于点 F。 （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 的横坐标为 m，当 m 为何值时， 以 O、C、P、F 为顶点的四边形是平形四边形？ 请说明理由． （3）若存在点 P，使∠PCF=45°，请直接写 出相应的点 P 的坐标． 答案 2008 年 解：（1）将 y=0 代入 y= ,得到 x=3,∴点 B 的坐标为（3,0）； 将 x=0,代入 y= ,得到 y=4, ∴点 C 的坐标为（0,4） …………2 分 在 Rt△OBC 中，∵OC＝4，OB＝3，∴BC＝5。 又 A（－2,0），∴AB＝5，∴AB＝BC，∴△ABC 是等腰三角形。………………4 分 （2）∵AB=BC=5，故点 M、N 同时开始运动，同时停止运动。 过点 N 作 ND⊥x 轴于 D　， 则 ND＝NB●sin∠OBC＝ ， ① 当 0＜t＜2 时（如图甲） OM＝2－t, ∴s= = = ……………………7 分 当 2＜t≤5 时（如图乙），OM＝t－2, ∴s= = = …………………………8 分 （注：若将 t 的取值范围分别写为 0≤t≤2 和 2≤t≤5,不扣分） ② 存在 s＝4 的情形。 2y x bx c= − + + 1 22y x= + 7 2 43 4 +− x 43 4 +− x t5 4 NDOM • 2 1 tt 5 4)2(2 1 •− tt 5 4 5 2 2 +− NDOM • 2 1 tt 5 4)2(2 1 •− tt 5 4 5 2 2 − 当 s＝4 时， ＝4 解得 t1=1+ , t2=1- 秒。　　…………………………10 分 ③ 当 MN⊥x 轴时，△MON 为直角三角形， MB＝NB●COS∠MBN＝ ，又 MB＝5－t. ∴ =5-t, ∴t= ………………11 分 当点 M，N 分别运动到点 B，C 时，△MON 为直角三角形，t=5. 故△MON 为直角三角形时，t= 秒或 t＝5 秒　　…………12 分 2009 年 23.(1)点 A 的坐标为（4，8） …………………1 分 将 A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入 y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 解 得 a=- ,b=4 ∴抛物线的解析式为：y=- x2+4x …………………3 分 （2）①在 Rt△APE 和 Rt△ABC 中，tan∠PAE= = ,即 = ∴PE= AP= t．PB=8-t． ∴点Ｅ的坐标为（4+ t，8-t）. ∴点 G 的纵坐标为：- （4+ t）2+4(4+ t）=- t2+8. …………………5 分 ∴EG=- t2+8-(8-t) =- t2+t. ∵- ＜0，∴当 t=4 时，线段 EG 最长为 2. …………………7 分 ②共有三个时刻. …………………8 分 t1= ， t2= ，t3= ． …………………11 分 1 2 1 2 PE AP BC AB PE AP 4 8 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 8 1 8 1 8 1 8 16 3 40 13 8 5 2 5+ tt 5 4 5 2 2 − 11 11 t5 3 t5 3 8 25 8 25 2010 年 2011 年 23.（1）对于 ，当 y=0，x=2.当 x=-8 时，y=- . ∴A 点坐标为（2，0），B 点坐标为 …………………………………………1 分 由抛物线 经过 A、B 两点，得 解得 …………………………………………3 分 （2）①设直线 与 y 轴交于点 M 当 x=0 时，y= . ∴OM= . ∵点 A 的坐标为（2，0），∴OA=2.∴AM= ……………………4 分 3 3 4 2y x= − 15 2 15( 8, ).2 − − 21 4y x bx c= − + + 0 1 2 , 15 16 8 .2 b c b c = − + +− = − − + 23 5 1 3 5. .4 2 4 4 2b c y x x= − = ∴ = − − +， 3 3 4 2y x= − 3 2 − 3 2 2 2 5.2OA OM+ = ∵OM：OA：AM=3∶4：5. 由题意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM～△PED. ∴DE：PE：PD=3∶4：5.…………………………………………………………………5 分 ∵点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点， ∴PD=yP-yD = .………………………………………………………………………6 分 ∴ …………………………………………………………………7 分 ……………………………………8 分 ②满足题意的点 P 有三个，分别是 ……………………………………………………………11 分 【解法提示】 当点 G 落在 y 轴上时，由△ACP≌△GOA 得 PC=AO=2，即 ，解得 ，所以 当点 F 落在 y 轴上时，同法可得 ， （舍去）. 2012 年 21 3 5 3 3( ) ( )4 4 2 4 2x x x= − − + − − 21 3 44 4x x− − + 212 1 3( 4)5 4 2l x x= − − + 23 18 48.5 5 5x x= − − + 23 ( 3) 15. 3 15.5l x x l∴ = − + + ∴ = − =最大时， 1 2 3 17 3 17( ,2), ( ,2),2 2P P − + − − 3 7 89 7 89( , ).2 2P − + − + 21 3 5 24 4 2x x− − + = 3 17 2x − ±= 1 2 3 17 3 17( ,2), ( ,2).2 2P P − + − − 3 7 89 7 89( , )2 2P − + − + 4 7 89 7 89( , )2 2P − − − − 2013 年 23.（11 分） （1）∵直线 经过 C，∴C 点坐标为（0，2） ∵抛物线 经过 C（0，2）和 D（3， ） 1 22y x= + 2y x bx c= − + + 7 2 ∴ ，∴ ，∴抛物线的解析式为 （ 2）∵P 点横坐标为 ，∴P（ ， ），F（ ， ） ∵PF∥CO，∴ 当 PF=CO 时，以 O、C、P、F 为定点的四边形为平行四边形 ①当 时， ∴ ，解得： ， ， 即当 时，OCPF 为平行四边形. ②当 时， ∴ ，解得： ， （舍去） 即当 时，四边形 OCPF 为平行四边形. （3）点 P 的坐标为（ ， ）或（ ， ） ①当 时，点 P 在 CD 上方且∠PCF=45°， 作 PM⊥CD 于 M，CN⊥PF 于 N，则： △PMF∽△CNF，从而 ，∴PM=CM=2CF， ∴PF= FM= CF= = = 又∵PF= ，∴ ， 解得： ， （舍去），∴P 的坐标为（ ， ） ②当 时，点 P 在 CD 下方且∠FCP=45°，作 PM⊥CD 于 M，CN⊥PF 于 N，则： △PMF∽△CNF，从而 ，∴FM= ∵∠MCP=45°，∴CM=MP= ，∴FC=FM+MC= 2 2 7 3 32 c b c = = + + 2 7 2 c b = = 2 7 22y x x= − + + m m 2 7 22m m− + + m 1 22 m + 0 3m< < 2 27 12 ( 2) 32 2PF m m m m m= − + + − + = − + 2 3 2m m− + = 1 1m = 2 2m = 1 2m = 或 3m ≥ 2 21 7( 2) ( 2) 32 2PF m m m m m= + − − + + = − 2 3 2m m− = 1 3 17 2m += 2 3 17 2m −= 3 17 2m += 1 2 7 2 23 6 13 18 0 3m< < 21 2 PM CN m MF FN m = = = 5 5 55 2 CN× 5 2 CN 5 2 m 2 3m m− + 2 53 2m m m− + = 1 1 2m = 2 0m = 1 2 7 2 3m > 21 2 MP CN m FM FN m = = = 5 5 FP 2 5 5 FP 3 5 5 FP 又∵FC= = ， ∴有 ， 又∵ ，∴ 解得： ， （舍去） ∴P 的坐标为（ ， ） 5 2 CN 5 2 m 3 5 5 5 2FP m= 5 6FP m= 2 21 7( 2) ( 2) 32 2FP m m m m m= + − − + + = − 25 36 m m m= − 1 23 6m = 2 0m = 23 6 13 18