中考数学专题训练一旋转变换 浙教版

中考数学专题训练一旋转变换 浙教版

旋转变换 一、选择题（共13小题）‎ ‎1．（天津）如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（　　）‎ A．130° B．150° C．160° D．170°‎ ‎2．（哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是（　　）‎ A．32° B．64° C．77° D．87°‎ ‎3．（德州）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　）‎ A．35° B．40° C．50° D．65°‎ ‎4．（巴彦淖尔）如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BE=CF，连接CE、DF，将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置，则旋转角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎5．（济宁）将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（邵阳）如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（　　）‎ A．2015π B．3019.5π C．3018π D．3024π ‎7．（枣庄）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB‎1C1D1，边B‎1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（　　）‎ A． B． C． D．﹣1‎ ‎8．（2013•桂林）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（广州）将图中所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是（　　）‎ A. B． C． D．‎ ‎10．（抚顺）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=3，则△AEC的面积为（　　）‎ A．3 B．‎1.5 ‎C．2 D．‎ ‎11．（贺州）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（　　）‎ A．34° B．36° C．38° D．40°‎ ‎12．（曲靖）如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（　　）‎ A．15° B．20° C．25° D．30°‎ ‎13．（青海）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形的斜边上，AC与DM，DN分别交于点E，F，把△DEF绕点D旋转到一定位置，使得DE=DF，则∠BDN的度数是（　　）‎ A．105° B．115° C．120° D．135°‎ ‎　‎ 二、填空题（共14小题）‎ ‎14．（玉林）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：OA=1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC=　　　　　　．‎ ‎15．（吉林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=‎5cm，BC=‎12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为　　　　　　cm．‎ ‎16．（大庆）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，将其放入平面直角坐标系，使A点与原点重合，AB在x轴上，△ABC沿x轴顺时针无滑动的滚动，点A再次落在x轴时停止滚动，则点A经过的路线与x轴围成图形的面积为　　　　　　．‎ ‎17．（福州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是　　　　　　．‎ ‎18．（青岛）如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A，B的坐标分别为（1，1），（﹣1，1），把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45°得正方形A′B′C′D′，则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分所形成的正八边形的边长为　　　　　　．‎ ‎19．（湘潭）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE=　　　　　　．‎ ‎20．（绵阳）如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为　　　　　　．‎ ‎21．（沈阳）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，则AK=　　　　　　．‎ ‎22．（扬州）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF=　　　　　　．‎ ‎23．（重庆）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10．连接BD，∠DBC的角平分线BE交DC于点E，现把△BCE绕点B逆时针旋转，记旋转后的△BCE为△BC′E′．当射线BE′和射线BC′都与线段AD相交时，设交点分别为F，G．若△BFD为等腰三角形，则线段DG长为　　　　　　．‎ ‎24．（梧州）如图，在△ABC中，∠A=70°，AC=BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△A′BC′，点A′恰好落在AC上，连接CC′，则∠ACC′=　　　　　　．‎ ‎25．（钦州）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，则旋转过程中形成的阴影部分的面积为　　　　　　．‎ ‎26．（宁德）如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得△ADE，则∠BAD=　　　　　　度．‎ ‎27．（镇江）如图，将等边△OAB绕O点按逆时针方向旋转150°，得到△OA′B′（点A′，B′分别是点A，B的对应点），则∠1=　　　　　　°．‎ ‎　‎ 三、解答题（共3小题）‎ ‎28．（日照）如图，已知，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，将△ECF绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN，连接AM，BN．‎ ‎（1）求证：AM=BN；‎ ‎（2）当MA∥CN时，试求旋转角α的余弦值．‎ ‎29．（湖北）如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．‎ ‎（1）求证：BE=CF；‎ ‎（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．‎ ‎30．（雅安）如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE=CE，连接DE．‎ ‎（1）求证：△BDE≌△BCE；‎ ‎（2）试判断四边形ABED的形状，并说明理由．‎ ‎　‎ 浙江省衢州市2016年中考数学（浙教版）专题训练（一）：旋转变换 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共13小题）‎ ‎1．（天津）如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（　　）‎ A．130° B．150° C．160° D．170°‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，‎ ‎∴∠ABC=60°，∠DCB=120°，‎ ‎∵∠ADA′=50°，‎ ‎∴∠A′DC=10°，‎ ‎∴∠DA′B=130°，‎ ‎∵AE⊥BC于点E，‎ ‎∴∠BAE=30°，‎ ‎∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，‎ ‎∴∠BA′E′=∠BAE=30°，‎ ‎∴∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=160°．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．（哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是（　　）‎ A．32° B．64° C．77° D．87°‎ ‎【解答】解：由旋转的性质可知，AC=AC′，‎ ‎∵∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A=45°．‎ ‎∵∠CC′B′=32°，‎ ‎∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°，‎ ‎∵∠B=∠C′B′A，‎ ‎∴∠B=77°，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．（德州）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　）‎ A．35° B．40° C．50° D．65°‎ ‎【解答】解：∵CC′∥AB，‎ ‎∴∠ACC′=∠CAB=65°，‎ ‎∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，‎ ‎∴AC=AC′，‎ ‎∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，‎ ‎∴∠CAC′=∠BAB′=50°．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．（巴彦淖尔）如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BE=CF，连接CE、DF，将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置，则旋转角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【解答】解：∵正方形ABCD，O为正方形的中心，‎ ‎∴OD=OC，OD⊥OC，‎ ‎∴∠DOC=90°，‎ 由题意得到D对应点为C，连接OC，OD，∠DOC即为旋转角，‎ 则将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置，旋转角为90°，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．（济宁）将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵点D为斜边AB的中点，‎ ‎∴CD=AD=DB，‎ ‎∴∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，‎ ‎∵∠EDF=90°，‎ ‎∴∠CPD=60°，‎ ‎∴∠MPD=∠NCD，‎ ‎∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），‎ ‎∴∠PDM=∠CDN=α，‎ ‎∴△PDM∽△CDN，‎ ‎∴=，‎ 在Rt△PCD中，∵tan∠PCD=tan30°=，‎ ‎∴=tan30°=．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．（邵阳）如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（　　）‎ A．2015π B．3019.5π C．3018π D．3024π ‎【解答】解：转动一次A的路线长是：，‎ 转动第二次的路线长是：，‎ 转动第三次的路线长是：，‎ 转动第四次的路线长是：0，‎ 转动五次A的路线长是：，‎ 以此类推，每四次循环，‎ 故顶点A转动四次经过的路线长为： +2π=6π，‎ ‎2015÷4=503余3‎ 顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．（枣庄）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB‎1C1D1，边B‎1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（　　）‎ A． B． C． D．﹣1‎ ‎【解答】解：连接AC1，‎ ‎∵四边形AB‎1C1D1是正方形，‎ ‎∴∠C1AB1=×90°=45°=∠AC1B1，‎ ‎∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB‎1C1D1，‎ ‎∴∠B1AB=45°，‎ ‎∴∠DAB1=90°﹣45°=45°，‎ ‎∴AC1过D点，即A、D、C1三点共线，‎ ‎∵正方形ABCD的边长是1，‎ ‎∴四边形AB‎1C1D1的边长是1，‎ 在Rt△C1D‎1A中，由勾股定理得：AC1==，‎ 则DC1=﹣1，‎ ‎∵∠AC1B1=45°，∠C1DO=90°，‎ ‎∴∠C1OD=45°=∠DC1O，‎ ‎∴DC1=OD=﹣1，‎ ‎∴S△ADO=×OD•AD=，‎ ‎∴四边形AB1OD的面积是=2×=﹣1，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（2013•桂林）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；‎ B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；‎ C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；‎ D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（广州）将图中所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是（　　）‎ A. B． C． D．‎ ‎【解答】解：将图中所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．（抚顺）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=3，则△AEC的面积为（　　）‎ A．3 B．‎1.5 ‎C．2 D．‎ ‎【解答】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD=AC′=AC，‎ ‎∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，‎ ‎∴∠DAD′=60°，‎ ‎∴∠DAE=30°，‎ ‎∴∠EAC=∠ACD=30°，‎ ‎∴AE=CE，‎ 在Rt△ADE中，设AE=EC=x，则有DE=DC﹣EC=AB﹣EC=3﹣x，AD=×3=，‎ 根据勾股定理得：x2=（3﹣x）2+（）2，‎ 解得：x=2，‎ ‎∴EC=2，‎ 则S△AEC=EC•AD=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．（贺州）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（　　）‎ A．34° B．36° C．38° D．40°‎ ‎【解答】解：由题意得，∠AOD=31°，∠BOC=31°，又∠AOC=100°，‎ ‎∴∠DOB=100°﹣31°﹣31°=38°．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．（曲靖）如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（　　）‎ A．15° B．20° C．25° D．30°‎ ‎【解答】解：∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，‎ ‎∴∠AOF=90°+40°=130°，OA=OF，‎ ‎∴∠OFA=（180°﹣130°）÷2=25°．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎13．（青海）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形的斜边上，AC与DM，DN分别交于点E，F，把△DEF绕点D旋转到一定位置，使得DE=DF，则∠BDN的度数是（　　）‎ A．105° B．115° C．120° D．135°‎ ‎【解答】解：∵DE=DF，∠EDF=30°，‎ ‎∴∠DFC=（180°﹣∠EDF）=75°，‎ ‎∵∠C=45°，‎ ‎∴∠BDN=∠DFC+∠C=75°+45°=120°，‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题（共14小题）‎ ‎14．（玉林）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：OA=1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC=　105°　．‎ ‎【解答】解：连接OQ，‎ ‎∵AC=BC，∠ACB=90°，‎ ‎∴∠BAC=∠B=45°，‎ 由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，‎ ‎∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO，‎ ‎∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°，‎ ‎∴∠OQC=45°，‎ ‎∵BO：OA=1：，‎ 设BO=1，OA=，‎ ‎∴AQ=1，则tan∠AQO==，‎ ‎∴∠AQO=60°，‎ ‎∴∠AQC=105°．‎ ‎　‎ ‎15．（吉林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=‎5cm，BC=‎12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为　‎42　cm．‎ ‎【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，‎ ‎∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，‎ ‎∴BD=BC=‎12cm，‎ ‎∴△BCD为等边三角形，‎ ‎∴CD=BC=CD=‎12cm，‎ 在Rt△ACB中，AB==13，‎ ‎△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm），‎ 故答案为：42．‎ ‎　‎ ‎16．（大庆）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，将其放入平面直角坐标系，使A点与原点重合，AB在x轴上，△ABC沿x轴顺时针无滑动的滚动，点A再次落在x轴时停止滚动，则点A经过的路线与x轴围成图形的面积为　π+　．‎ ‎【解答】解：∵∠C=90°，AC=BC=1，‎ ‎∴AB==；‎ 根据题意得：△ABC绕点B顺时针旋转135°，BC落在x轴上；△ABC再绕点C顺时针旋转90°，AC落在x轴上，停止滚动；‎ ‎∴点A的运动轨迹是：先绕点B旋转135°，再绕点C旋转90°；如图所示：‎ ‎∴点A经过的路线与x轴围成的图形是：‎ 一个圆心角为135°，半径为的扇形，加上△ABC，再加上圆心角是90°，半径是1的扇形；‎ ‎∴点A经过的路线与x轴围成图形的面积 ‎=+×1×1+=π+；‎ 故答案为：π+．‎ ‎　‎ ‎17．（福州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是　+1　．‎ ‎【解答】解：如图，连接AM，‎ 由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，‎ ‎∴△ACM为等边三角形，‎ ‎∴AM=CM，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°；‎ ‎∵∠ABC=90°，AB=BC=，‎ ‎∴AC=2=CM=2，‎ ‎∵AB=BC，CM=AM，‎ ‎∴BM垂直平分AC，‎ ‎∴BO=AC=1，OM=CM•sin60°=，‎ ‎∴BM=BO+OM=1+，‎ 故答案为：1+．‎ ‎　‎ ‎18．（青岛）如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A，B的坐标分别为（1，1），（﹣1，1），把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45°得正方形A′B′C′D′，则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分所形成的正八边形的边长为　2﹣2　．‎ ‎【解答】解：如图，由题意得：‎ 正方形ABCD的边长为2，‎ ‎∴该正方形的对角线长为2，‎ ‎∴OA′=；而OM=1，‎ ‎∴A′M=﹣1；‎ 由题意得：∠MA′N=45°，∠A′MN=90°，‎ ‎∴∠MNA′=45°，‎ ‎∴MN=A′M=；‎ 由勾股定理得：A′N=2﹣；‎ 同理可求D′M′=2﹣，‎ ‎∴NM'=2﹣（4﹣2）=2﹣2，‎ ‎∴正八边形的边长为2﹣2．‎ ‎　‎ ‎19．（湘潭）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE=　3　．‎ ‎【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，‎ ‎∴∠BAE=60°，AB=AE，‎ ‎∴△BAE是等边三角形，‎ ‎∴BE=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎20．（绵阳）如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为　3　．‎ ‎【解答】解：∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴AB=AC，∠BAC=60°，‎ ‎∵△ABD绕A点逆时针旋转得△ACE，‎ ‎∴AD=AE=5，∠DAE=∠BAC=60°，CE=BD=6，‎ ‎∴△ADE为等边三角形，‎ ‎∴DE=AD=5，‎ 过E点作EH⊥CD于H，如图，设DH=x，则CH=4﹣x，‎ 在Rt△DHE中，EH2=52﹣x2，‎ 在Rt△CHE中，EH2=62﹣（4﹣x）2，‎ ‎∴52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，解得x=，‎ ‎∴EH==，‎ 在Rt△EDH中，tan∠HDE===3，‎ 即∠CDE的正切值为3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎21．（沈阳）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，则AK=　2﹣3　．‎ ‎【解答】解：连接BH，如图所示：‎ ‎∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，‎ ‎∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，‎ 由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，‎ ‎∴∠ABE=60°，‎ 在Rt△ABH和Rt△EBH中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），‎ ‎∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，‎ ‎∴AH=AB•tan∠ABH=×=1，‎ ‎∴EH=1，‎ ‎∴FH=﹣1，‎ 在Rt△FKH中，∠FKH=30°，‎ ‎∴KH=2FH=2（﹣1），‎ ‎∴AK=KH﹣AH=2（﹣1）﹣1=2﹣3；‎ 故答案为：2﹣3．‎ ‎　‎ ‎22．（扬州）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF=　5　．‎ ‎【解答】解：作FG⊥AC，‎ 根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，‎ ‎∵点F是DE的中点，‎ ‎∴FG∥CD ‎∴GF=CD=AC=3‎ EG=EC=BC=2‎ ‎∵AC=6，EC=BC=4‎ ‎∴AE=2‎ ‎∴AG=4‎ 根据勾股定理，AF=5．‎ ‎　‎ ‎23．（重庆）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10．连接BD，∠DBC的角平分线BE交DC于点E，现把△BCE绕点B逆时针旋转，记旋转后的△BCE为△BC′E′．当射线BE′和射线BC′都与线段AD相交时，设交点分别为F，G．若△BFD为等腰三角形，则线段DG长为　　．‎ ‎【解答】解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得 BD===14，‎ 在Rt△ABF中，由勾股定理，得：‎ BF2=（4）2+（10﹣BF）2，‎ 解得BF=，‎ AF=10﹣=．‎ 过G作GH∥BF，交BD于H，‎ ‎∴∠FBD=∠GHD，∠BGH=∠FBG，‎ ‎∵FB=FD，‎ ‎∴∠FBD=∠FDB，‎ ‎∴∠FDB=∠GHD，‎ ‎∴GH=GD，‎ ‎∵∠FBG=∠EBC=∠DBC=∠ADB=∠FBD，‎ 又∵∠FBG=∠BGH，∠FBG=∠GBH，‎ ‎∴BH=GH，‎ 设DG=GH=BH=x，则FG=FD﹣GD=﹣x，HD=14﹣x，‎ ‎∵GH∥FB，‎ ‎∴，即，‎ 解得x=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎24．（梧州）如图，在△ABC中，∠A=70°，AC=BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△A′BC′，点A′恰好落在AC上，连接CC′，则∠ACC′=　110°　．‎ ‎【解答】解：∵∠A=70°，AC=BC，‎ ‎∴∠BCA=40°，‎ 根据旋转的性质，AB=BA′，BC=BC′，‎ ‎∴∠α=180°﹣2×70°=40°，‎ ‎∵∠∠CBC′=∠α=40°，‎ ‎∴∠BCC′=70°，‎ ‎∴∠ACC′=∠ACB+∠BCC′=110°；‎ 故答案为：110°．‎ ‎　‎ ‎25．（钦州）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，则旋转过程中形成的阴影部分的面积为　　．‎ ‎【解答】解：将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，‎ 所以S△DOC=S△AOB，‎ 可得：旋转过程中形成的阴影部分的面积=S扇形AOC+S△DOC﹣S△AOB=S扇形AOC=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎26．（宁德）如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得△ADE，则∠BAD=　60　度．‎ ‎【解答】解：∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得△ADE，‎ ‎∴∠BAD=60度．‎ 故答案为：60．‎ ‎　‎ ‎27．（镇江）如图，将等边△OAB绕O点按逆时针方向旋转150°，得到△OA′B′（点A′，B′分别是点A，B的对应点），则∠1=　150　°．‎ ‎【解答】解：∵等边△OAB绕点O按逆时针旋转了150°，得到△OA′B′，‎ ‎∴∠AOA′=150°，‎ ‎∵∠A′OB′=60°，‎ ‎∴∠1=360°﹣∠AOA′﹣∠A′OB′=360°﹣150°﹣60°=150°，‎ 故答案为：150．‎ ‎　‎ 三、解答题（共3小题）‎ ‎28．（日照）如图，已知，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，将△ECF绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN，连接AM，BN．‎ ‎（1）求证：AM=BN；‎ ‎（2）当MA∥CN时，试求旋转角α的余弦值．‎ ‎【解答】解：（1）∵CA=CB，∠ACB=90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，‎ ‎∴CE=CF，‎ 根据旋转的性质，CM=CE=CN=CF，∠ACM=∠BCN=α，‎ 在△AMC和△BNC中，‎ ‎，‎ ‎∴△AMC≌△BNC，‎ ‎∴AM=BN；‎ ‎（2）∵MA∥CN，‎ ‎∴∠ACN=∠CAM，‎ ‎∵∠ACN+∠ACM=90°，‎ ‎∴∠CAM+∠ACM=90°，‎ ‎∴∠AMC=90°，‎ ‎∴cosα===．‎ ‎　‎ ‎29．（湖北）如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．‎ ‎（1）求证：BE=CF；‎ ‎（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，‎ ‎∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，‎ ‎∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴AE=AF，‎ ‎∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，‎ ‎∴BE=CF；‎ ‎（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，‎ ‎∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，‎ ‎∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，‎ ‎∴∠AEB=∠ABE=45°，‎ ‎∴△ABE为等腰直角三角形，‎ ‎∴BE=AC=，‎ ‎∴BD=BE﹣DE=﹣1．‎ ‎　‎ ‎30．（雅安）如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE=CE，连接DE．‎ ‎（1）求证：△BDE≌△BCE；‎ ‎（2）试判断四边形ABED的形状，并说明理由．‎ ‎【解答】（1）证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，‎ ‎∴DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，‎ ‎∵AB⊥EC，‎ ‎∴∠ABC=90°，‎ ‎∴∠DBE=∠CBE=30°，‎ 在△BDE和△BCE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△BDE≌△BCE；‎ ‎（2）四边形ABED为菱形；‎ 由（1）得△BDE≌△BCE，‎ ‎∵△BAD是由△BEC旋转而得，‎ ‎∴△BAD≌△BEC，‎ ‎∴BA=BE，AD=EC=ED，‎ 又∵BE=CE，‎ ‎∴四边形ABED为菱形．‎ ‎　‎