中考数学专题训练一旋转变换 浙教版

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中考数学专题训练一旋转变换 浙教版

旋转变换 一、选择题(共13小题)‎ ‎1.(天津)如图,已知▱ABCD中,AE⊥BC于点E,以点B为中心,取旋转角等于∠ABC,把△BAE顺时针旋转,得到△BA′E′,连接DA′.若∠ADC=60°,∠ADA′=50°,则∠DA′E′的大小为(  )‎ A.130° B.150° C.160° D.170°‎ ‎2.(哈尔滨)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′(点B的对应点是点B′,点C的对应点是点C′),连接CC′.若∠CC′B′=32°,则∠B的大小是(  )‎ A.32° B.64° C.77° D.87°‎ ‎3.(德州)如图,在△ABC中,∠CAB=65°,将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置,使CC′∥AB,则旋转角的度数为(  )‎ A.35° B.40° C.50° D.65°‎ ‎4.(巴彦淖尔)如图,E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,且BE=CF,连接CE、DF,将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置,则旋转角为(  )‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ ‎5.(济宁)将一副三角尺(在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,在Rt△EDF中,∠EDF=90°,∠E=45°)如图摆放,点D为AB的中点,DE交AC于点P,DF经过点C,将△EDF绕点D顺时针方向旋转α(0°<α<60°),DE′交AC于点M,DF′交BC于点N,则的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.(邵阳)如图,在矩形ABCD中,已知AB=4,BC=3,矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置,再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置,…,以此类推,这样连续旋转2015次后,顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是(  )‎ A.2015π B.3019.5π C.3018π D.3024π ‎7.(枣庄)如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB‎1C1D1,边B‎1C1与CD交于点O,则四边形AB1OD的面积是(  )‎ A. B. C. D.﹣1‎ ‎8.(2013•桂林)下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.(广州)将图中所示的图案以圆心为中心,旋转180°后得到的图案是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.(抚顺)如图,将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置,此时AC的中点恰好与D点重合,AB′交CD于点E.若AB=3,则△AEC的面积为(  )‎ A.3 B.‎1.5 ‎C.2 D.‎ ‎11.(贺州)如图,△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形,若点D恰好落在AB上,且∠AOC的度数为100°,则∠DOB的度数是(  )‎ A.34° B.36° C.38° D.40°‎ ‎12.(曲靖)如图,正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF,连接AF,则∠OFA的度数是(  )‎ A.15° B.20° C.25° D.30°‎ ‎13.(青海)一副三角板叠在一起如图放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形的斜边上,AC与DM,DN分别交于点E,F,把△DEF绕点D旋转到一定位置,使得DE=DF,则∠BDN的度数是(  )‎ A.105° B.115° C.120° D.135°‎ ‎ ‎ 二、填空题(共14小题)‎ ‎14.(玉林)如图,等腰直角△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点O分斜边AB为BO:OA=1:,将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置,则∠AQC=      .‎ ‎15.(吉林)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=‎5cm,BC=‎12cm,将△ABC绕点B顺时针旋转60°,得到△BDE,连接DC交AB于点F,则△ACF与△BDF的周长之和为      cm.‎ ‎16.(大庆)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=1,将其放入平面直角坐标系,使A点与原点重合,AB在x轴上,△ABC沿x轴顺时针无滑动的滚动,点A再次落在x轴时停止滚动,则点A经过的路线与x轴围成图形的面积为      .‎ ‎17.(福州)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=,将△ABC绕点C逆时针旋转60°,得到△MNC,连接BM,则BM的长是      .‎ ‎18.(青岛)如图,平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心,顶点A,B的坐标分别为(1,1),(﹣1,1),把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45°得正方形A′B′C′D′,则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分所形成的正八边形的边长为      .‎ ‎19.(湘潭)如图,将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED,若线段AB=3,则BE=      .‎ ‎20.(绵阳)如图,在等边△ABC内有一点D,AD=5,BD=6,CD=4,将△ABD绕A点逆时针旋转,使AB与AC重合,点D旋转至点E,则∠CDE的正切值为      .‎ ‎21.(沈阳)如图,正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG,EF与AD相交于点H,延长DA交GF于点K.若正方形ABCD边长为,则AK=      .‎ ‎22.(扬州)如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC.若点F是DE的中点,连接AF,则AF=      .‎ ‎23.(重庆)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=10.连接BD,∠DBC的角平分线BE交DC于点E,现把△BCE绕点B逆时针旋转,记旋转后的△BCE为△BC′E′.当射线BE′和射线BC′都与线段AD相交时,设交点分别为F,G.若△BFD为等腰三角形,则线段DG长为      .‎ ‎24.(梧州)如图,在△ABC中,∠A=70°,AC=BC,以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度,得到△A′BC′,点A′恰好落在AC上,连接CC′,则∠ACC′=      .‎ ‎25.(钦州)如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD,则旋转过程中形成的阴影部分的面积为      .‎ ‎26.(宁德)如图,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得△ADE,则∠BAD=      度.‎ ‎27.(镇江)如图,将等边△OAB绕O点按逆时针方向旋转150°,得到△OA′B′(点A′,B′分别是点A,B的对应点),则∠1=      °.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共3小题)‎ ‎28.(日照)如图,已知,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,E,F分别是CA,CB边的三等分点,将△ECF绕点C逆时针旋转α角(0°<α<90°),得到△MCN,连接AM,BN.‎ ‎(1)求证:AM=BN;‎ ‎(2)当MA∥CN时,试求旋转角α的余弦值.‎ ‎29.(湖北)如图,△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,连接BE、CF相交于点D.‎ ‎(1)求证:BE=CF;‎ ‎(2)当四边形ACDE为菱形时,求BD的长.‎ ‎30.(雅安)如图,△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得,且AB⊥BC,BE=CE,连接DE.‎ ‎(1)求证:△BDE≌△BCE;‎ ‎(2)试判断四边形ABED的形状,并说明理由.‎ ‎ ‎ 浙江省衢州市2016年中考数学(浙教版)专题训练(一):旋转变换 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共13小题)‎ ‎1.(天津)如图,已知▱ABCD中,AE⊥BC于点E,以点B为中心,取旋转角等于∠ABC,把△BAE顺时针旋转,得到△BA′E′,连接DA′.若∠ADC=60°,∠ADA′=50°,则∠DA′E′的大小为(  )‎ A.130° B.150° C.160° D.170°‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∠ADC=60°,‎ ‎∴∠ABC=60°,∠DCB=120°,‎ ‎∵∠ADA′=50°,‎ ‎∴∠A′DC=10°,‎ ‎∴∠DA′B=130°,‎ ‎∵AE⊥BC于点E,‎ ‎∴∠BAE=30°,‎ ‎∵△BAE顺时针旋转,得到△BA′E′,‎ ‎∴∠BA′E′=∠BAE=30°,‎ ‎∴∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=160°.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎2.(哈尔滨)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′(点B的对应点是点B′,点C的对应点是点C′),连接CC′.若∠CC′B′=32°,则∠B的大小是(  )‎ A.32° B.64° C.77° D.87°‎ ‎【解答】解:由旋转的性质可知,AC=AC′,‎ ‎∵∠CAC′=90°,可知△CAC′为等腰直角三角形,则∠CC′A=45°.‎ ‎∵∠CC′B′=32°,‎ ‎∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°,‎ ‎∵∠B=∠C′B′A,‎ ‎∴∠B=77°,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎3.(德州)如图,在△ABC中,∠CAB=65°,将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置,使CC′∥AB,则旋转角的度数为(  )‎ A.35° B.40° C.50° D.65°‎ ‎【解答】解:∵CC′∥AB,‎ ‎∴∠ACC′=∠CAB=65°,‎ ‎∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′,‎ ‎∴AC=AC′,‎ ‎∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°,‎ ‎∴∠CAC′=∠BAB′=50°.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎4.(巴彦淖尔)如图,E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,且BE=CF,连接CE、DF,将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置,则旋转角为(  )‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ ‎【解答】解:∵正方形ABCD,O为正方形的中心,‎ ‎∴OD=OC,OD⊥OC,‎ ‎∴∠DOC=90°,‎ 由题意得到D对应点为C,连接OC,OD,∠DOC即为旋转角,‎ 则将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置,旋转角为90°,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎5.(济宁)将一副三角尺(在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,在Rt△EDF中,∠EDF=90°,∠E=45°)如图摆放,点D为AB的中点,DE交AC于点P,DF经过点C,将△EDF绕点D顺时针方向旋转α(0°<α<60°),DE′交AC于点M,DF′交BC于点N,则的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:∵点D为斜边AB的中点,‎ ‎∴CD=AD=DB,‎ ‎∴∠ACD=∠A=30°,∠BCD=∠B=60°,‎ ‎∵∠EDF=90°,‎ ‎∴∠CPD=60°,‎ ‎∴∠MPD=∠NCD,‎ ‎∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α(0°<α<60°),‎ ‎∴∠PDM=∠CDN=α,‎ ‎∴△PDM∽△CDN,‎ ‎∴=,‎ 在Rt△PCD中,∵tan∠PCD=tan30°=,‎ ‎∴=tan30°=.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎6.(邵阳)如图,在矩形ABCD中,已知AB=4,BC=3,矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置,再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置,…,以此类推,这样连续旋转2015次后,顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是(  )‎ A.2015π B.3019.5π C.3018π D.3024π ‎【解答】解:转动一次A的路线长是:,‎ 转动第二次的路线长是:,‎ 转动第三次的路线长是:,‎ 转动第四次的路线长是:0,‎ 转动五次A的路线长是:,‎ 以此类推,每四次循环,‎ 故顶点A转动四次经过的路线长为: +2π=6π,‎ ‎2015÷4=503余3‎ 顶点A转动四次经过的路线长为:6π×504=3024π.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎7.(枣庄)如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB‎1C1D1,边B‎1C1与CD交于点O,则四边形AB1OD的面积是(  )‎ A. B. C. D.﹣1‎ ‎【解答】解:连接AC1,‎ ‎∵四边形AB‎1C1D1是正方形,‎ ‎∴∠C1AB1=×90°=45°=∠AC1B1,‎ ‎∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB‎1C1D1,‎ ‎∴∠B1AB=45°,‎ ‎∴∠DAB1=90°﹣45°=45°,‎ ‎∴AC1过D点,即A、D、C1三点共线,‎ ‎∵正方形ABCD的边长是1,‎ ‎∴四边形AB‎1C1D1的边长是1,‎ 在Rt△C1D‎1A中,由勾股定理得:AC1==,‎ 则DC1=﹣1,‎ ‎∵∠AC1B1=45°,∠C1DO=90°,‎ ‎∴∠C1OD=45°=∠DC1O,‎ ‎∴DC1=OD=﹣1,‎ ‎∴S△ADO=×OD•AD=,‎ ‎∴四边形AB1OD的面积是=2×=﹣1,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎8.(2013•桂林)下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;‎ B、是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意;‎ C、是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;‎ D、不是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎9.(广州)将图中所示的图案以圆心为中心,旋转180°后得到的图案是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:将图中所示的图案以圆心为中心,旋转180°后得到的图案是.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎10.(抚顺)如图,将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置,此时AC的中点恰好与D点重合,AB′交CD于点E.若AB=3,则△AEC的面积为(  )‎ A.3 B.‎1.5 ‎C.2 D.‎ ‎【解答】解:∵旋转后AC的中点恰好与D点重合,即AD=AC′=AC,‎ ‎∴在Rt△ACD中,∠ACD=30°,即∠DAC=60°,‎ ‎∴∠DAD′=60°,‎ ‎∴∠DAE=30°,‎ ‎∴∠EAC=∠ACD=30°,‎ ‎∴AE=CE,‎ 在Rt△ADE中,设AE=EC=x,则有DE=DC﹣EC=AB﹣EC=3﹣x,AD=×3=,‎ 根据勾股定理得:x2=(3﹣x)2+()2,‎ 解得:x=2,‎ ‎∴EC=2,‎ 则S△AEC=EC•AD=,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎11.(贺州)如图,△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形,若点D恰好落在AB上,且∠AOC的度数为100°,则∠DOB的度数是(  )‎ A.34° B.36° C.38° D.40°‎ ‎【解答】解:由题意得,∠AOD=31°,∠BOC=31°,又∠AOC=100°,‎ ‎∴∠DOB=100°﹣31°﹣31°=38°.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎12.(曲靖)如图,正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF,连接AF,则∠OFA的度数是(  )‎ A.15° B.20° C.25° D.30°‎ ‎【解答】解:∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF,‎ ‎∴∠AOF=90°+40°=130°,OA=OF,‎ ‎∴∠OFA=(180°﹣130°)÷2=25°.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎13.(青海)一副三角板叠在一起如图放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形的斜边上,AC与DM,DN分别交于点E,F,把△DEF绕点D旋转到一定位置,使得DE=DF,则∠BDN的度数是(  )‎ A.105° B.115° C.120° D.135°‎ ‎【解答】解:∵DE=DF,∠EDF=30°,‎ ‎∴∠DFC=(180°﹣∠EDF)=75°,‎ ‎∵∠C=45°,‎ ‎∴∠BDN=∠DFC+∠C=75°+45°=120°,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共14小题)‎ ‎14.(玉林)如图,等腰直角△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点O分斜边AB为BO:OA=1:,将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置,则∠AQC= 105° .‎ ‎【解答】解:连接OQ,‎ ‎∵AC=BC,∠ACB=90°,‎ ‎∴∠BAC=∠B=45°,‎ 由旋转的性质可知:△AQC≌△BOC,‎ ‎∴AQ=BO,CQ=CO,∠QAC=∠B=45°,∠ACQ=∠BCO,‎ ‎∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°,∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°,‎ ‎∴∠OQC=45°,‎ ‎∵BO:OA=1:,‎ 设BO=1,OA=,‎ ‎∴AQ=1,则tan∠AQO==,‎ ‎∴∠AQO=60°,‎ ‎∴∠AQC=105°.‎ ‎ ‎ ‎15.(吉林)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=‎5cm,BC=‎12cm,将△ABC绕点B顺时针旋转60°,得到△BDE,连接DC交AB于点F,则△ACF与△BDF的周长之和为 ‎42 cm.‎ ‎【解答】解:∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°,得到△BDE,‎ ‎∴△ABC≌△BDE,∠CBD=60°,‎ ‎∴BD=BC=‎12cm,‎ ‎∴△BCD为等边三角形,‎ ‎∴CD=BC=CD=‎12cm,‎ 在Rt△ACB中,AB==13,‎ ‎△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42(cm),‎ 故答案为:42.‎ ‎ ‎ ‎16.(大庆)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=1,将其放入平面直角坐标系,使A点与原点重合,AB在x轴上,△ABC沿x轴顺时针无滑动的滚动,点A再次落在x轴时停止滚动,则点A经过的路线与x轴围成图形的面积为 π+ .‎ ‎【解答】解:∵∠C=90°,AC=BC=1,‎ ‎∴AB==;‎ 根据题意得:△ABC绕点B顺时针旋转135°,BC落在x轴上;△ABC再绕点C顺时针旋转90°,AC落在x轴上,停止滚动;‎ ‎∴点A的运动轨迹是:先绕点B旋转135°,再绕点C旋转90°;如图所示:‎ ‎∴点A经过的路线与x轴围成的图形是:‎ 一个圆心角为135°,半径为的扇形,加上△ABC,再加上圆心角是90°,半径是1的扇形;‎ ‎∴点A经过的路线与x轴围成图形的面积 ‎=+×1×1+=π+;‎ 故答案为:π+.‎ ‎ ‎ ‎17.(福州)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=,将△ABC绕点C逆时针旋转60°,得到△MNC,连接BM,则BM的长是 +1 .‎ ‎【解答】解:如图,连接AM,‎ 由题意得:CA=CM,∠ACM=60°,‎ ‎∴△ACM为等边三角形,‎ ‎∴AM=CM,∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°;‎ ‎∵∠ABC=90°,AB=BC=,‎ ‎∴AC=2=CM=2,‎ ‎∵AB=BC,CM=AM,‎ ‎∴BM垂直平分AC,‎ ‎∴BO=AC=1,OM=CM•sin60°=,‎ ‎∴BM=BO+OM=1+,‎ 故答案为:1+.‎ ‎ ‎ ‎18.(青岛)如图,平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心,顶点A,B的坐标分别为(1,1),(﹣1,1),把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45°得正方形A′B′C′D′,则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分所形成的正八边形的边长为 2﹣2 .‎ ‎【解答】解:如图,由题意得:‎ 正方形ABCD的边长为2,‎ ‎∴该正方形的对角线长为2,‎ ‎∴OA′=;而OM=1,‎ ‎∴A′M=﹣1;‎ 由题意得:∠MA′N=45°,∠A′MN=90°,‎ ‎∴∠MNA′=45°,‎ ‎∴MN=A′M=;‎ 由勾股定理得:A′N=2﹣;‎ 同理可求D′M′=2﹣,‎ ‎∴NM'=2﹣(4﹣2)=2﹣2,‎ ‎∴正八边形的边长为2﹣2.‎ ‎ ‎ ‎19.(湘潭)如图,将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED,若线段AB=3,则BE= 3 .‎ ‎【解答】解:∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED,‎ ‎∴∠BAE=60°,AB=AE,‎ ‎∴△BAE是等边三角形,‎ ‎∴BE=3.‎ 故答案为:3.‎ ‎ ‎ ‎20.(绵阳)如图,在等边△ABC内有一点D,AD=5,BD=6,CD=4,将△ABD绕A点逆时针旋转,使AB与AC重合,点D旋转至点E,则∠CDE的正切值为 3 .‎ ‎【解答】解:∵△ABC为等边三角形,‎ ‎∴AB=AC,∠BAC=60°,‎ ‎∵△ABD绕A点逆时针旋转得△ACE,‎ ‎∴AD=AE=5,∠DAE=∠BAC=60°,CE=BD=6,‎ ‎∴△ADE为等边三角形,‎ ‎∴DE=AD=5,‎ 过E点作EH⊥CD于H,如图,设DH=x,则CH=4﹣x,‎ 在Rt△DHE中,EH2=52﹣x2,‎ 在Rt△CHE中,EH2=62﹣(4﹣x)2,‎ ‎∴52﹣x2=62﹣(4﹣x)2,解得x=,‎ ‎∴EH==,‎ 在Rt△EDH中,tan∠HDE===3,‎ 即∠CDE的正切值为3.‎ 故答案为:3.‎ ‎ ‎ ‎21.(沈阳)如图,正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG,EF与AD相交于点H,延长DA交GF于点K.若正方形ABCD边长为,则AK= 2﹣3 .‎ ‎【解答】解:连接BH,如图所示:‎ ‎∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形,‎ ‎∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°,‎ 由旋转的性质得:AB=EB,∠CBE=30°,‎ ‎∴∠ABE=60°,‎ 在Rt△ABH和Rt△EBH中,‎ ‎,‎ ‎∴Rt△ABH≌△Rt△EBH(HL),‎ ‎∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°,AH=EH,‎ ‎∴AH=AB•tan∠ABH=×=1,‎ ‎∴EH=1,‎ ‎∴FH=﹣1,‎ 在Rt△FKH中,∠FKH=30°,‎ ‎∴KH=2FH=2(﹣1),‎ ‎∴AK=KH﹣AH=2(﹣1)﹣1=2﹣3;‎ 故答案为:2﹣3.‎ ‎ ‎ ‎22.(扬州)如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC.若点F是DE的中点,连接AF,则AF= 5 .‎ ‎【解答】解:作FG⊥AC,‎ 根据旋转的性质,EC=BC=4,DC=AC=6,∠ACD=∠ACB=90°,‎ ‎∵点F是DE的中点,‎ ‎∴FG∥CD ‎∴GF=CD=AC=3‎ EG=EC=BC=2‎ ‎∵AC=6,EC=BC=4‎ ‎∴AE=2‎ ‎∴AG=4‎ 根据勾股定理,AF=5.‎ ‎ ‎ ‎23.(重庆)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=10.连接BD,∠DBC的角平分线BE交DC于点E,现把△BCE绕点B逆时针旋转,记旋转后的△BCE为△BC′E′.当射线BE′和射线BC′都与线段AD相交时,设交点分别为F,G.若△BFD为等腰三角形,则线段DG长为  .‎ ‎【解答】解:在Rt△ABD中,由勾股定理,得 BD===14,‎ 在Rt△ABF中,由勾股定理,得:‎ BF2=(4)2+(10﹣BF)2,‎ 解得BF=,‎ AF=10﹣=.‎ 过G作GH∥BF,交BD于H,‎ ‎∴∠FBD=∠GHD,∠BGH=∠FBG,‎ ‎∵FB=FD,‎ ‎∴∠FBD=∠FDB,‎ ‎∴∠FDB=∠GHD,‎ ‎∴GH=GD,‎ ‎∵∠FBG=∠EBC=∠DBC=∠ADB=∠FBD,‎ 又∵∠FBG=∠BGH,∠FBG=∠GBH,‎ ‎∴BH=GH,‎ 设DG=GH=BH=x,则FG=FD﹣GD=﹣x,HD=14﹣x,‎ ‎∵GH∥FB,‎ ‎∴,即,‎ 解得x=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎24.(梧州)如图,在△ABC中,∠A=70°,AC=BC,以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度,得到△A′BC′,点A′恰好落在AC上,连接CC′,则∠ACC′= 110° .‎ ‎【解答】解:∵∠A=70°,AC=BC,‎ ‎∴∠BCA=40°,‎ 根据旋转的性质,AB=BA′,BC=BC′,‎ ‎∴∠α=180°﹣2×70°=40°,‎ ‎∵∠∠CBC′=∠α=40°,‎ ‎∴∠BCC′=70°,‎ ‎∴∠ACC′=∠ACB+∠BCC′=110°;‎ 故答案为:110°.‎ ‎ ‎ ‎25.(钦州)如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD,则旋转过程中形成的阴影部分的面积为  .‎ ‎【解答】解:将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD,‎ 所以S△DOC=S△AOB,‎ 可得:旋转过程中形成的阴影部分的面积=S扇形AOC+S△DOC﹣S△AOB=S扇形AOC=,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎26.(宁德)如图,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得△ADE,则∠BAD= 60 度.‎ ‎【解答】解:∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得△ADE,‎ ‎∴∠BAD=60度.‎ 故答案为:60.‎ ‎ ‎ ‎27.(镇江)如图,将等边△OAB绕O点按逆时针方向旋转150°,得到△OA′B′(点A′,B′分别是点A,B的对应点),则∠1= 150 °.‎ ‎【解答】解:∵等边△OAB绕点O按逆时针旋转了150°,得到△OA′B′,‎ ‎∴∠AOA′=150°,‎ ‎∵∠A′OB′=60°,‎ ‎∴∠1=360°﹣∠AOA′﹣∠A′OB′=360°﹣150°﹣60°=150°,‎ 故答案为:150.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共3小题)‎ ‎28.(日照)如图,已知,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,E,F分别是CA,CB边的三等分点,将△ECF绕点C逆时针旋转α角(0°<α<90°),得到△MCN,连接AM,BN.‎ ‎(1)求证:AM=BN;‎ ‎(2)当MA∥CN时,试求旋转角α的余弦值.‎ ‎【解答】解:(1)∵CA=CB,∠ACB=90°,E,F分别是CA,CB边的三等分点,‎ ‎∴CE=CF,‎ 根据旋转的性质,CM=CE=CN=CF,∠ACM=∠BCN=α,‎ 在△AMC和△BNC中,‎ ‎,‎ ‎∴△AMC≌△BNC,‎ ‎∴AM=BN;‎ ‎(2)∵MA∥CN,‎ ‎∴∠ACN=∠CAM,‎ ‎∵∠ACN+∠ACM=90°,‎ ‎∴∠CAM+∠ACM=90°,‎ ‎∴∠AMC=90°,‎ ‎∴cosα===.‎ ‎ ‎ ‎29.(湖北)如图,△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,连接BE、CF相交于点D.‎ ‎(1)求证:BE=CF;‎ ‎(2)当四边形ACDE为菱形时,求BD的长.‎ ‎【解答】(1)证明:∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,‎ ‎∴AE=AB,AF=AC,∠EAF=∠BAC,‎ ‎∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF,即∠EAB=∠FAC,‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴AE=AF,‎ ‎∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到,‎ ‎∴BE=CF;‎ ‎(2)解:∵四边形ACDE为菱形,AB=AC=1,‎ ‎∴DE=AE=AC=AB=1,AC∥DE,‎ ‎∴∠AEB=∠ABE,∠ABE=∠BAC=45°,‎ ‎∴∠AEB=∠ABE=45°,‎ ‎∴△ABE为等腰直角三角形,‎ ‎∴BE=AC=,‎ ‎∴BD=BE﹣DE=﹣1.‎ ‎ ‎ ‎30.(雅安)如图,△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得,且AB⊥BC,BE=CE,连接DE.‎ ‎(1)求证:△BDE≌△BCE;‎ ‎(2)试判断四边形ABED的形状,并说明理由.‎ ‎【解答】(1)证明:∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得,‎ ‎∴DB=CB,∠ABD=∠EBC,∠ABE=60°,‎ ‎∵AB⊥EC,‎ ‎∴∠ABC=90°,‎ ‎∴∠DBE=∠CBE=30°,‎ 在△BDE和△BCE中,‎ ‎∵,‎ ‎∴△BDE≌△BCE;‎ ‎(2)四边形ABED为菱形;‎ 由(1)得△BDE≌△BCE,‎ ‎∵△BAD是由△BEC旋转而得,‎ ‎∴△BAD≌△BEC,‎ ‎∴BA=BE,AD=EC=ED,‎ 又∵BE=CE,‎ ‎∴四边形ABED为菱形.‎ ‎ ‎
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