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文档介绍
中考数学一模试卷含解析44
2016年湖南省长沙市麓山国际实验学校中考数学一模试卷 一、选择题(每小题3分,共36分) 1.在实数:3.14159,,1.010010001…,,π,中,无理数的( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料,同时还是导电性最好的材料,其理论厚度仅0.000 000 000 34米,将这个数用科学记数法表示为( ) A.0.34×10﹣9 B.3.4×10﹣9 C.3.4×10﹣10 D.3.4×10﹣11 3.已知三角形的两边长分别为3cm和8cm,则此三角形的第三边的长可能是( ) A.4cm B.5cm C.6cm D.13cm 4.已知a、b为两个连续整数,且a<﹣<b,则a+b=( ) A.4 B.5 C.6 D.8 5.如图,在正五边形ABCDE中,∠ACD=( ) A.30° B.36° C.40° D.72° 6.下列说法不正确的是( ) A.了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查 B.若甲组数据的方差S甲2=0.31,乙组数据的方差S乙2=0.25,则乙组数据比甲组数据稳定 C.“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖 D.“抛一枚正方体骰子,朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的频率稳定在附近 7.下列各式中,运算正确的是( ) A.a6÷a3=a2 B.(a3)2=a5 C.2+3=5 D.÷= 8.某市测得一周PM2.5的日均值(单位:)如下:50,40,75,50,37,50,40,这组数据的中位数和众数分别是( ) A.50和50 B.50和40 C.40和50 D.40和40 9.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB,AC于点D,E,△BCE的周长是8,AB﹣BC=2,则△ABC的周长是( ) A.13 B.12 C.11 D.10 10.在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+2与反比例函数y=的图象有唯一公共点,若直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象有2个公共点,则b的取值范围是( ) A.b>2 B.﹣2<b<2 C.b>2或b<﹣2 D.b<﹣2 11.轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上,则C处与灯塔A的距离是( )海里. A.25 B.25 C.50 D.25 12.甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程中,甲、乙两车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示.则下列结论: ①A,B两城相距300千米; ②乙车比甲车晚出发1小时,却早到1小时; ③乙车出发后2.5小时追上甲车; ④当甲、乙两车相距50千米时,t=或. 其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题(每小题3分,共18分) 13.分解因式:a4﹣16a2= . 14.已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3,则实数k的值为 . 15.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=20°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于P,连接AP并延长交BC于点D,则∠ADB= . 16.如图,△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,且△ABC的面积等于△DEF面积的,则AB:DE= . 17.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,点B经过的路径为,则图中阴影部分的面积是 . 18.在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,A、B、C三点的坐标分别为A(2,0),B(4,0),C(0,5),点D在第一象限内,且∠ADB=45°.线段CD的长的最小值为 . 三、解答题(19-20题每题6分,21-22题每题8分,23-24题每题9分,25-26题每题10分,共66分) 19.计算:﹣2sin30°﹣(﹣)2﹣(﹣π)0﹣. 20.解不等式组:,并将其解集在数轴上表示出来. 21.有A,B两个黑布袋,A布袋中有两个完全相同的小球,分别标有数字1和2.B 布袋中有三个完全相同的小球,分别标有数字﹣1,﹣2和﹣3.小明从A布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为x,再从B布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为y,这样就确定点Q的一个坐标为(x,y). (1)用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标; (2)求点Q落在直线y=﹣x﹣1上的概率. 22.如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交AB于点D,交BC于点E. (1)求证:BE=CE; (2)若BD=2,BE=3,求AC的长. 23.某商家预测一种应季衬衫能畅销市场,就用13200元购进了一批这种衬衫,面市后果然供不应求,商家又用28800元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进量的2倍,但单价贵了10元. (1)该商家购进的第一批衬衫是多少件? (2)若两批衬衫按相同的标价销售,最后剩下50件按八折优惠卖出,如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%(不考虑其他因素),那么每件衬衫的标价至少是多少元? 24.如图,正方形ABCD边长为6,菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上,连接CF. (1)求证:∠HEA=∠CGF; (2)当AH=DG=2时,求证:菱形EFGH为正方形; (3)设AH=x,DG=2x,△FCG的面积为y,试求y的最大值. 25.如图①,将▱ABCD置于直角坐标系中,其中BC边在x轴上(B在C的左边),点D坐标为(0,4),直线MN:y=x﹣6沿着x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移,设在平移过程中该直线被▱ABCD截得的线段长度为m,平移时间为t,m与t的函数图象如图②所示. (1)填空:点C的坐标为 ;在平移过程中,该直线先经过B、D中的哪一点? ;(填“B”或“D”) (2)点B的坐标为 ,n= ,a= ; (3)在平移过程中,求该直线扫过▱ABCD的面积y与t的函数关系式. 26.已知二次函数图象的顶点坐标为A(2,0),且与y轴交于点(0,1),B点坐标为(2,2),点C为抛物线上一动点,以C为圆心,CB为半径的圆交x轴于M,N两点(M在N的左侧). (1)求此二次函数的表达式; (2)当点C在抛物线上运动时,弦MN的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不发生变化,求出弦MN的长; (3)当△ABM与△ABN相似时,求出M点的坐标. 2016年湖南省长沙市麓山国际实验学校中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题3分,共36分) 1.在实数:3.14159,,1.010010001…,,π,中,无理数的( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【考点】无理数. 【分析】可化为4,根据无理数的定义即可得到无理数为1.010010001…,π. 【解答】解:∵=4, ∴无理数有:1.010010001…,π. 故选B. 2.石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料,同时还是导电性最好的材料,其理论厚度仅0.000 000 000 34米,将这个数用科学记数法表示为( ) A.0.34×10﹣9 B.3.4×10﹣9 C.3.4×10﹣10 D.3.4×10﹣11 【考点】科学记数法—表示较小的数. 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定. 【解答】解:0.000 000 000 34=3.4×10﹣10; 故选C. 3.已知三角形的两边长分别为3cm和8cm,则此三角形的第三边的长可能是( ) A.4cm B.5cm C.6cm D.13cm 【考点】三角形三边关系. 【分析】已知三角形的两边长分别为3cm和8cm,根据在三角形中任意两边之和>第三边,任意两边之差<第三边;即可求第三边长的范围. 【解答】解:设第三边长为x,则由三角形三边关系定理得8﹣3<x<8+3,即5<x<11. 因此,本题的第三边应满足5<x<11,把各项代入不等式符合的即为答案. 4,5,13都不符合不等式5<x<11,只有6符合不等式,故答案为6cm.故选C. 4.已知a、b为两个连续整数,且a<﹣<b,则a+b=( ) A.4 B.5 C.6 D.8 【考点】估算无理数的大小. 【分析】先估算出与的取值范围,再求出a,b的值,进而可得出结论. 【解答】解:∵16<20<25, ∴4<<5. ∵4<5<9, ∴2<<3, ∴﹣3<﹣<﹣2, ∴4﹣3<﹣<5﹣2,即1<﹣<3, ∵a、b为两个整数, ∴a=2,b=3, ∴a+b=5. 故选:B. 5.如图,在正五边形ABCDE中,∠ACD=( ) A.30° B.36° C.40° D.72° 【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;多边形内角与外角. 【分析】根据正多边形的性质求出AB=BC=AE=DE,∠EAB=∠B=∠ACD=∠CDE=∠E,根据多边形内角和定理求出∠B=∠BCD=108°,根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠BAC=∠BCA=36°,代入∠ACD=∠BCD﹣∠BCA求出即可. 【解答】解:∵五边形ABCDE是正五边形, ∴AB=BC=AE=DE,∠EAB=∠B=∠ACD=∠CDE=∠E, ∴∠B=∠BCD==108°, ∴∠BAC=∠BCA==36°, ∴∠ACD=∠BCD﹣∠BCA=108°﹣36°=72°, 故选D. 6.下列说法不正确的是( ) A.了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查 B.若甲组数据的方差S甲2=0.31,乙组数据的方差S乙2=0.25,则乙组数据比甲组数据稳定 C.“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖 D.“抛一枚正方体骰子,朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的频率稳定在附近 【考点】利用频率估计概率;全面调查与抽样调查;方差. 【分析】根据调查的定义、方差的定义、概率的定义、用频率估计概率解答. 【解答】解:A、电视机使用寿命的调查具有破坏性,适合抽样调查,故本选项正确; B、方差越小越稳定,故本选项正确; C、中奖概率为1%,意味着可能性为1%,并不一定中奖,故本选项错误; D、随着实验次数的增加,频率会稳定在概率附近,故本选项正确. 故选C. 7.下列各式中,运算正确的是( ) A.a6÷a3=a2 B.(a3)2=a5 C.2+3=5 D.÷= 【考点】二次根式的加减法;实数的运算;幂的乘方与积的乘方;同底数幂的除法. 【分析】利用同底数幂的除法、幂的乘方、二次根式的加法和二次根式的除法法则计算. 【解答】解:A、a6÷a3=a3,故不对; B、(a3)2=a6,故不对; C、2和3不是同类二次根式,因而不能合并; D、符合二次根式的除法法则,正确. 故选D. 8.某市测得一周PM2.5的日均值(单位:)如下:50,40,75,50,37,50,40,这组数据的中位数和众数分别是( ) A.50和50 B.50和40 C.40和50 D.40和40 【考点】众数;中位数. 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个. 【解答】解:从小到大排列此数据为:37、40、40、50、50、50、75,数据50出现了三次最多,所以50为众数; 50处在第4位是中位数. 故选:A. 9.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB,AC于点D,E,△BCE的周长是8,AB﹣BC=2,则△ABC的周长是( ) A.13 B.12 C.11 D.10 【考点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质. 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE,根据三角形周长求出BE+CE的值,求出AB,即可得出答案. 【解答】解:∵DE是AB的垂直平分线, ∴AE=BE, ∵△BCE的周长为8, ∴AB+BC=8, ∵AB﹣BC=2, ∴AB=5,BC=3, ∵AB=AC, ∴AC=9, ∴△ABC的周长是:AC+AB+BC=,5+5+3=13. 故选A. 10.在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+2与反比例函数y=的图象有唯一公共点,若直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象有2个公共点,则b的取值范围是( ) A.b>2 B.﹣2<b<2 C.b>2或b<﹣2 D.b<﹣2 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】联立两函数解析式消去y可得x2﹣bx+1=0,由直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象有2个公共点,得到方程x2﹣bx+1=0有两个不相等的实数根,根据根的判别式可得结果. 【解答】解:解方程组得:x2﹣bx+1=0, ∵直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象有2个公共点, ∴方程x2﹣bx+1=0有两个不相等的实数根, ∴△=b2﹣4>0, ∴b>2,或b<﹣2, 故选C. 11.轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上,则C处与灯塔A的距离是( )海里. A.25 B.25 C.50 D.25 【考点】等腰直角三角形;方向角. 【分析】根据题中所给信息,求出∠BCA=90°,再求出∠CBA=45°,从而得到△ABC为等腰直角三角形,然后根据解直角三角形的知识解答. 【解答】解:根据题意, ∠1=∠2=30°, ∵∠ACD=60°, ∴∠ACB=30°+60°=90°, ∴∠CBA=75°﹣30°=45°, ∴△ABC为等腰直角三角形, ∵BC=50×0.5=25, ∴AC=BC=25(海里). 故选D. 12.甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程中,甲、乙两车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示.则下列结论: ①A,B两城相距300千米; ②乙车比甲车晚出发1小时,却早到1小时; ③乙车出发后2.5小时追上甲车; ④当甲、乙两车相距50千米时,t=或. 其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【考点】一次函数的应用. 【分析】观察图象可判断①②,由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式,可求得两函数图象的交点,可判断③,再令两函数解析式的差为50,可求得t,可判断④,可得出答案. 【解答】解: 由图象可知A、B两城市之间的距离为300km,甲行驶的时间为5小时,而乙是在甲出发1小时后出发的,且用时3小时,即比甲早到1小时, ∴①②都正确; 设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt, 把(5,300)代入可求得k=60, ∴y甲=60t, 设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt+n, 把(1,0)和(4,300)代入可得,解得, ∴y乙=100t﹣100, 令y甲=y乙可得:60t=100t﹣100,解得t=2.5, 即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5, 此时乙出发时间为1.5小时,即乙车出发1.5小时后追上甲车, ∴③不正确; 令|y甲﹣y乙|=50,可得|60t﹣100t+100|=50,即|100﹣40t|=50, 当100﹣40t=50时,可解得t=, 当100﹣40t=﹣50时,可解得t=, 又当t=时,y甲=50,此时乙还没出发, 当t=时,乙到达B城,y甲=250; 综上可知当t的值为或或或t=时,两车相距50千米, ∴④不正确; 综上可知正确的有①②共两个, 故选B. 二、填空题(每小题3分,共18分) 13.分解因式:a4﹣16a2= a2(a+4)(a﹣4) . 【考点】因式分解-运用公式法. 【分析】先提取公因式a2,再对余下的多项式利用平方差公式继续因式分解. 【解答】解:a4﹣16a2, =a2(a2﹣16), =a2(a+4)(a﹣4). 故答案为:a2(a+4)(a﹣4). 14.已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3,则实数k的值为 1 . 【考点】一元二次方程的解. 【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解. 【解答】解:∵x=3是方程的根,由一元二次方程的根的定义,可得32﹣3k﹣6=0,解此方程得到k=1. 15.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=20°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于P,连接AP并延长交BC于点D,则∠ADB= 125° . 【考点】作图—基本作图. 【分析】根据角平分线的作法可得AD平分∠CAB,再根据三角形内角和定理可得∠ADB的度数. 【解答】解:由题意可得:AD平分∠CAB, ∵∠C=90°,∠B=20°, ∴∠CAB=70°, ∴∠CAD=∠BAD=35°, ∴∠ADB=180°﹣20°﹣35°=125°. 故答案为:125°. 16.如图,△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,且△ABC的面积等于△DEF面积的,则AB:DE= 2:3 . 【考点】位似变换. 【分析】由△ABC经过位似变换得到△DEF,点O是位似中心,根据位似图形的性质,即可得AB∥DE,即可求得△ABC的面积:△DEF面积=,得到AB:DE═2:3. 【解答】解:∵△ABC与△DEF位似,位似中心为点O, ∴△ABC∽△DEF, ∴△ABC的面积:△DEF面积=()2=, ∴AB:DE=2:3, 故答案为:2:3. 17.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,点B经过的路径为,则图中阴影部分的面积是 . 【考点】扇形面积的计算;勾股定理;旋转的性质. 【分析】先根据勾股定理得到AB=,再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD,由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB,于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD 【解答】解:∵∠ACB=90°,AC=BC=1, ∴AB=, ∴S扇形ABD==. 又∴Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE, ∴Rt△ADE≌Rt△ACB, ∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD=. 故答案为:. 18.在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,A、B、C三点的坐标分别为A(2,0),B(4,0),C(0,5),点D在第一象限内,且∠ADB=45°.线段CD的长的最小值为 5﹣ . 【考点】点与圆的位置关系;等腰直角三角形;圆周角定理. 【分析】设圆心为P,连结PA、PB、PC,PE⊥AB于E,求出半径和PC的长度,判出点D只有在CP上时CD最短,CD=CP﹣DP求解即可. 【解答】解:如图,设圆心为P,连结PA、PB、PC,PE⊥AB于E, ∵A(2,0)、B(4,0), ∴E(3,0) 又∠ADB=45°, ∴∠APB=90°(圆心角所对的角等于圆周角的二倍), ∴PE=1,PA=PE=, ∴P(3,1), ∵C(0,5), ∴PC==5, 又∵PD=PA=, ∴只有点D在线段PC上时,CD最短(点D在别的位置时构成△CDP) ∴CD最小值为:5﹣. 故答案为:5﹣. 三、解答题(19-20题每题6分,21-22题每题8分,23-24题每题9分,25-26题每题10分,共66分) 19.计算:﹣2sin30°﹣(﹣)2﹣(﹣π)0﹣. 【考点】实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值. 【分析】sin30°=, =,(﹣π)0=1, =2,依次代入计算即可. 【解答】解:﹣2sin30°﹣(﹣)2﹣(﹣π)0﹣, =﹣2×﹣﹣1﹣2, =﹣1﹣﹣3, =﹣4. 20.解不等式组:,并将其解集在数轴上表示出来. 【考点】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集. 【分析】先解不等式组中的每一个不等式,再把不等式的解集表示在数轴上,即可.要注意不等式解集中的>和≤的表示方法. 【解答】解:由得, 不等式组的解集为﹣5<x≤2. 解集在数轴上表示得: 21.有A,B两个黑布袋,A布袋中有两个完全相同的小球,分别标有数字1和2.B 布袋中有三个完全相同的小球,分别标有数字﹣1,﹣2和﹣3.小明从A布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为x,再从B布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为y,这样就确定点Q的一个坐标为(x,y). (1)用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标; (2)求点Q落在直线y=﹣x﹣1上的概率. 【考点】列表法与树状图法;一次函数图象上点的坐标特征. 【分析】(1)首先根据题意列出表格,然后由表格即可求得所有等可能的结果; (2)根据(1)可求得点Q落在直线y=﹣x﹣1上的情况,再利用概率公式即可求得答案. 【解答】解:(1)列表得: 1 2 ﹣1 (1,﹣1) (2,﹣1) ﹣2 (1,﹣2) (2,﹣2) ﹣3 (1,﹣3) (2,﹣3) 则共有6种等可能情况; (2)∵点Q落在直线y=﹣x﹣1上的有2种, ∴P(点Q在直线y=﹣x﹣1上)==. 22.如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交AB于点D,交BC于点E. (1)求证:BE=CE; (2)若BD=2,BE=3,求AC的长. 【考点】相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;圆周角定理. 【分析】(1)连结AE,如图,根据圆周角定理,由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°,然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE; (2)连结DE,如图,证明△BED∽△BAC,然后利用相似比可计算出AB的长,从而得到AC的长. 【解答】(1)证明:连结AE,如图, ∵AC为⊙O的直径, ∴∠AEC=90°, ∴AE⊥BC, 而AB=AC, ∴BE=CE; (2)连结DE,如图, ∵BE=CE=3, ∴BC=6, ∵∠BED=∠BAC, 而∠DBE=∠CBA, ∴△BED∽△BAC, ∴=,即=, ∴BA=9, ∴AC=BA=9. 23.某商家预测一种应季衬衫能畅销市场,就用13200元购进了一批这种衬衫,面市后果然供不应求,商家又用28800元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进量的2倍,但单价贵了10元. (1)该商家购进的第一批衬衫是多少件? (2)若两批衬衫按相同的标价销售,最后剩下50件按八折优惠卖出,如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%(不考虑其他因素),那么每件衬衫的标价至少是多少元? 【考点】分式方程的应用;一元一次不等式的应用. 【分析】(1)可设该商家购进的第一批衬衫是x件,则购进第二批这种衬衫是2x件,根据第二批这种衬衫单价贵了10元,列出方程求解即可; (2)设每件衬衫的标价y元,求出利润表达式,然后列不等式解答. 【解答】解:(1)设该商家购进的第一批衬衫是x件,则购进第二批这种衬衫是2x件,依题意有 +10=, 解得x=120, 经检验,x=120是原方程的解,且符合题意. 答:该商家购进的第一批衬衫是120件. (2)3x=3×120=360, 设每件衬衫的标价y元,依题意有 y+50×0.8y≥×(1+25%), 解得y≥150. 答:每件衬衫的标价至少是150元. 24.如图,正方形ABCD边长为6,菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上,连接CF. (1)求证:∠HEA=∠CGF; (2)当AH=DG=2时,求证:菱形EFGH为正方形; (3)设AH=x,DG=2x,△FCG的面积为y,试求y的最大值. 【考点】四边形综合题. 【分析】(1)过F作FM⊥CD,垂足为M,连接GE,由AB与CD平行,利用两直线平行内错角相等得到一对角相等,再由GE为菱形的对角线,利用菱形的性质得到一对内错角相等,利用等式的性质即可得证; (2)由于四边形ABCD为正方形,四边形HEFG为菱形,那么∠D=∠A=90°,HG=HE,而AH=DG=2,易证△AHE≌△DGH,从而有∠DHG=∠HEA,等量代换可得∠AHE+∠DHG=90°,易证四边形HEFG为正方形; (3)欲求△FCG的面积,由已知得CG的长易求,只需求出GC边的高,通过证明△AHE≌△MFG可得. 【解答】(1)证明:过F作FM⊥CD,垂足为M,连接GE, ∵CD∥AB, ∴∠AEG=∠MGE, ∵GF∥HE, ∴∠HEG=∠FGE, ∴∠AEH=∠FGM; (2)证明:在△HDG和△AEH中, ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠D=∠A=90°, ∵四边形EFGH是菱形, ∴HG=HE, 在Rt△HDG和△AEH中, , ∴Rt△HDG≌△AEH(HL), ∴∠DHG=∠AEH, ∴∠DHG+∠AHE=90° ∴∠GHE=90°, ∴菱形EFGH为正方形; (3)解:过F作FM⊥CD于M, 在△AHE与△MFG中,, ∴△AHE≌△MFG, ∴MF=AH=x, ∵DG=2x, ∴CG=6﹣2x, ∴y=CG•FM=•x•(6﹣2x)=﹣(x﹣)2+, ∵a=﹣1<0,∴当x=时,y最大=. 25.如图①,将▱ABCD置于直角坐标系中,其中BC边在x轴上(B在C的左边),点D坐标为(0,4),直线MN:y=x﹣6沿着x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移,设在平移过程中该直线被▱ABCD截得的线段长度为m,平移时间为t,m与t的函数图象如图②所示. (1)填空:点C的坐标为 (3,0) ;在平移过程中,该直线先经过B、D中的哪一点? B ;(填“B”或“D”) (2)点B的坐标为 (﹣2,0) ,n= 4 ,a= ; (3)在平移过程中,求该直线扫过▱ABCD的面积y与t的函数关系式. 【考点】几何变换综合题. 【分析】(1)根据直线解析式求出点M、N的坐标,再根据图2判断出CM的长,然后求出OC,从而得到点C的坐标,根据被截线段在一段时间内长度不变可以判断出先经过点B后经过点D; (2)根据图2求出BM=10,再求出OB,然后写出点B的坐标,利用勾股定理列式求出CD,再求出BC的长度,从而得到BC=CD,判断出▱ABCD是菱形,再求出MN⊥CD,根据菱形的性质可知n=DO,根据向左平移横坐标减表示出平移后的直线解析式,把点D的坐标代入函数解析式求出t的值即为a; (3)分三种情况分段讨论即可. 【解答】解:(1)令y=0,则x﹣6=0,解得x=8, 令x=0,则y=﹣6, ∴点M(8,0),N(0,﹣6) ∴OM=8,ON=6, 由图2可知5秒后直线经过点C, ∴CM=5,OC=OM﹣CM=8﹣5=3, ∴C(3,0), ∵10秒~a秒被截线段长度不变, ∴先经过点B; 故填:(3,0);B (2)由图2可知BM=10, ∴OB=BM﹣OM=10﹣8=2, ∴B(﹣2,0), 在Rt△OCD中,由勾股定理得,CD==5, ∴BC=CD=5, ∴▱ABCD是菱形, ∵, ∴MN⊥CD, ∴n=DO=4 ∵设直线MN向x轴负方向平移的速度为每秒1个单位的长度, 平移后的直线解析式为y= (x+t)﹣6, 把点D(0,4)代入得,(0+t)﹣6=4, 解得t=, ∴a=; 故答案为:(1)(3,0),B;(2)(﹣2,0),4,; (3)当0≤t≤5时,y=0; 当5<t≤10,如图1,该直线与BC、CD分别交于F、E,FC=t﹣5, ∵直线CD的解析式为:y=﹣x+4, ∴EF⊥CD, ∴△CEF∽△COD, ∴, ∴, ∴EF=,CE=, ∴y=××==t2﹣t+6, 当10<t≤,如图2,直线与AB、CD分别交于G、E,与射线CB交于F,FB=t﹣10, ∵△BGF∽△COD, ∴ ∴FG=,BG=, y=S△CEF﹣S△BGF=﹣=(10t﹣75)=t﹣18, 当时,如图3,BG=,AG=5﹣, ∵△EAG∽△DCO, ∵=, ∴DG=×(5﹣), ∴y=20﹣(5﹣)××(5﹣)=t2﹣t﹣, 当t≥时y=20. 综上所述: y=. 26.已知二次函数图象的顶点坐标为A(2,0),且与y轴交于点(0,1),B点坐标为(2,2),点C为抛物线上一动点,以C为圆心,CB为半径的圆交x轴于M,N两点(M在N的左侧). (1)求此二次函数的表达式; (2)当点C在抛物线上运动时,弦MN的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不发生变化,求出弦MN的长; (3)当△ABM与△ABN相似时,求出M点的坐标. 【考点】二次函数综合题. 【分析】(1)设抛物线的表达式为y=a(x﹣2)2,然后将(0,1)代入可求得a的值,从而可求得二次函数的表达式; (2)过点C作CH⊥x轴,垂足为H,连接BC、CN,由勾股定理可知HC2=CN2﹣CH2=BC2﹣CH2,依据两点间的距离公式可求得HN=2,结合垂径定理可求得MN的长; (3)分为点C与点A重合,点C在点A的左侧,点C在点A的右侧三种情况画出图形,然后依据相似三角形的对应边成比例可求得AM的距离,从而可求得点M的坐标. 【解答】解:(1)设抛物线的表达式为y=a(x﹣2)2. ∵将(0,1)代入得:4a=1,解得a=, ∴抛物线的解析式为y=(x﹣2)2. (2)MN的长不发生变化. 理由:如图1所示,过点C作CH⊥x轴,垂足为H,连接BC、CN. 设点C的坐标为(a,). ∵CH⊥MN, ∴MH=HN. ∵HN2=CN2﹣CH2=CB2﹣CH2, ∴HN2=[2﹣]2+(a﹣2)2﹣[]2=4. ∴HN=2. ∴MN=4. ∴MN不发生变化. (3)如图2所示: ①当点C与点A重合时. ∵MN经过点C, ∴MN为圆C的直径. ∴MC=2. ∵点C(2,0), ∴M(0,0). ②如图3所示: ∵△ABM∽△ANB, ∴,即AB2=AM•AN. 设AM=a,则4=a(a+4),解得:a1=﹣2+2,a2=﹣2﹣2(舍去), 又∵点A(2,0), ∴2+(﹣2+2)=2. ∴点M的坐标为(2,0). 如图4所示: ∵△ABN∽△AMB, ∴AB2=AN•AM. 设AM=a,则4=a(a﹣4),解得:a1=2+2,a2=2﹣2(舍去). 又∵点A(2,0), ∴2﹣(2+2)=﹣2. ∴点M的坐标为(﹣2,0).查看更多