中考数学一模试卷含解析44

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中考数学一模试卷含解析44

‎2016年湖南省长沙市麓山国际实验学校中考数学一模试卷 一、选择题(每小题3分,共36分)‎ ‎1.在实数:3.14159,,1.010010001…,,π,中,无理数的(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎2.石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料,同时还是导电性最好的材料,其理论厚度仅0.000 000 000 34米,将这个数用科学记数法表示为(  )‎ A.0.34×10﹣9 B.3.4×10﹣9 C.3.4×10﹣10 D.3.4×10﹣11‎ ‎3.已知三角形的两边长分别为3cm和8cm,则此三角形的第三边的长可能是(  )‎ A.4cm B.5cm C.6cm D.13cm ‎4.已知a、b为两个连续整数,且a<﹣<b,则a+b=(  )‎ A.4 B.5 C.6 D.8‎ ‎5.如图,在正五边形ABCDE中,∠ACD=(  )‎ A.30° B.36° C.40° D.72°‎ ‎6.下列说法不正确的是(  )‎ A.了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查 B.若甲组数据的方差S甲2=0.31,乙组数据的方差S乙2=0.25,则乙组数据比甲组数据稳定 C.“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖 D.“抛一枚正方体骰子,朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的频率稳定在附近 ‎7.下列各式中,运算正确的是(  )‎ A.a6÷a3=a2 B.(a3)2=a5 C.2+3=5 D.÷=‎ ‎8.某市测得一周PM2.5的日均值(单位:)如下:50,40,75,50,37,50,40,这组数据的中位数和众数分别是(  )‎ A.50和50 B.50和40 C.40和50 D.40和40‎ ‎9.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB,AC于点D,E,△BCE的周长是8,AB﹣BC=2,则△ABC的周长是(  )‎ A.13 B.12 C.11 D.10‎ ‎10.在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+2与反比例函数y=的图象有唯一公共点,若直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象有2个公共点,则b的取值范围是(  )‎ A.b>2 B.﹣2<b<2 C.b>2或b<﹣2 D.b<﹣2‎ ‎11.轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上,则C处与灯塔A的距离是(  )海里.‎ A.25 B.25 C.50 D.25‎ ‎12.甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程中,甲、乙两车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示.则下列结论:‎ ‎①A,B两城相距300千米;‎ ‎②乙车比甲车晚出发1小时,却早到1小时;‎ ‎③乙车出发后2.5小时追上甲车;‎ ‎④当甲、乙两车相距50千米时,t=或.‎ 其中正确的结论有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎ ‎ 二、填空题(每小题3分,共18分)‎ ‎13.分解因式:a4﹣16a2=      .‎ ‎14.已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3,则实数k的值为      .‎ ‎15.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=20°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于P,连接AP并延长交BC于点D,则∠ADB=      .‎ ‎16.如图,△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,且△ABC的面积等于△DEF面积的,则AB:DE=      .‎ ‎17.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,点B经过的路径为,则图中阴影部分的面积是      .‎ ‎18.在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,A、B、C三点的坐标分别为A(2,0),B(4,0),C(0,5),点D在第一象限内,且∠ADB=45°.线段CD的长的最小值为      .‎ ‎ ‎ 三、解答题(19-20题每题6分,21-22题每题8分,23-24题每题9分,25-26题每题10分,共66分)‎ ‎19.计算:﹣2sin30°﹣(﹣)2﹣(﹣π)0﹣.‎ ‎20.解不等式组:,并将其解集在数轴上表示出来.‎ ‎21.有A,B两个黑布袋,A布袋中有两个完全相同的小球,分别标有数字1和2.B 布袋中有三个完全相同的小球,分别标有数字﹣1,﹣2和﹣3.小明从A布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为x,再从B布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为y,这样就确定点Q的一个坐标为(x,y).‎ ‎(1)用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标;‎ ‎(2)求点Q落在直线y=﹣x﹣1上的概率.‎ ‎22.如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交AB于点D,交BC于点E.‎ ‎(1)求证:BE=CE;‎ ‎(2)若BD=2,BE=3,求AC的长.‎ ‎23.某商家预测一种应季衬衫能畅销市场,就用13200元购进了一批这种衬衫,面市后果然供不应求,商家又用28800元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进量的2倍,但单价贵了10元.‎ ‎(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件?‎ ‎(2)若两批衬衫按相同的标价销售,最后剩下50件按八折优惠卖出,如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%(不考虑其他因素),那么每件衬衫的标价至少是多少元?‎ ‎24.如图,正方形ABCD边长为6,菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上,连接CF.‎ ‎(1)求证:∠HEA=∠CGF;‎ ‎(2)当AH=DG=2时,求证:菱形EFGH为正方形;‎ ‎(3)设AH=x,DG=2x,△FCG的面积为y,试求y的最大值.‎ ‎25.如图①,将▱ABCD置于直角坐标系中,其中BC边在x轴上(B在C的左边),点D坐标为(0,4),直线MN:y=x﹣6沿着x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移,设在平移过程中该直线被▱ABCD截得的线段长度为m,平移时间为t,m与t的函数图象如图②所示.‎ ‎(1)填空:点C的坐标为      ;在平移过程中,该直线先经过B、D中的哪一点?      ;(填“B”或“D”)‎ ‎(2)点B的坐标为      ,n=      ,a=      ;‎ ‎(3)在平移过程中,求该直线扫过▱ABCD的面积y与t的函数关系式.‎ ‎26.已知二次函数图象的顶点坐标为A(2,0),且与y轴交于点(0,1),B点坐标为(2,2),点C为抛物线上一动点,以C为圆心,CB为半径的圆交x轴于M,N两点(M在N的左侧).‎ ‎(1)求此二次函数的表达式;‎ ‎(2)当点C在抛物线上运动时,弦MN的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不发生变化,求出弦MN的长;‎ ‎(3)当△ABM与△ABN相似时,求出M点的坐标.‎ ‎ ‎ ‎2016年湖南省长沙市麓山国际实验学校中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(每小题3分,共36分)‎ ‎1.在实数:3.14159,,1.010010001…,,π,中,无理数的(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【考点】无理数.‎ ‎【分析】可化为4,根据无理数的定义即可得到无理数为1.010010001…,π.‎ ‎【解答】解:∵=4,‎ ‎∴无理数有:1.010010001…,π.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎2.石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料,同时还是导电性最好的材料,其理论厚度仅0.000 000 000 34米,将这个数用科学记数法表示为(  )‎ A.0.34×10﹣9 B.3.4×10﹣9 C.3.4×10﹣10 D.3.4×10﹣11‎ ‎【考点】科学记数法—表示较小的数.‎ ‎【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.‎ ‎【解答】解:0.000 000 000 34=3.4×10﹣10;‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎3.已知三角形的两边长分别为3cm和8cm,则此三角形的第三边的长可能是(  )‎ A.4cm B.5cm C.6cm D.13cm ‎【考点】三角形三边关系.‎ ‎【分析】已知三角形的两边长分别为3cm和8cm,根据在三角形中任意两边之和>第三边,任意两边之差<第三边;即可求第三边长的范围.‎ ‎【解答】解:设第三边长为x,则由三角形三边关系定理得8﹣3<x<8+3,即5<x<11.‎ 因此,本题的第三边应满足5<x<11,把各项代入不等式符合的即为答案.‎ ‎4,5,13都不符合不等式5<x<11,只有6符合不等式,故答案为6cm.故选C.‎ ‎ ‎ ‎4.已知a、b为两个连续整数,且a<﹣<b,则a+b=(  )‎ A.4 B.5 C.6 D.8‎ ‎【考点】估算无理数的大小.‎ ‎【分析】先估算出与的取值范围,再求出a,b的值,进而可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵16<20<25,‎ ‎∴4<<5.‎ ‎∵4<5<9,‎ ‎∴2<<3,‎ ‎∴﹣3<﹣<﹣2,‎ ‎∴4﹣3<﹣<5﹣2,即1<﹣<3,‎ ‎∵a、b为两个整数,‎ ‎∴a=2,b=3,‎ ‎∴a+b=5.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎5.如图,在正五边形ABCDE中,∠ACD=(  )‎ A.30° B.36° C.40° D.72°‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;多边形内角与外角.‎ ‎【分析】根据正多边形的性质求出AB=BC=AE=DE,∠EAB=∠B=∠ACD=∠CDE=∠E,根据多边形内角和定理求出∠B=∠BCD=108°,根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠BAC=∠BCA=36°,代入∠ACD=∠BCD﹣∠BCA求出即可.‎ ‎【解答】解:∵五边形ABCDE是正五边形,‎ ‎∴AB=BC=AE=DE,∠EAB=∠B=∠ACD=∠CDE=∠E,‎ ‎∴∠B=∠BCD==108°,‎ ‎∴∠BAC=∠BCA==36°,‎ ‎∴∠ACD=∠BCD﹣∠BCA=108°﹣36°=72°,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎6.下列说法不正确的是(  )‎ A.了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查 B.若甲组数据的方差S甲2=0.31,乙组数据的方差S乙2=0.25,则乙组数据比甲组数据稳定 C.“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖 D.“抛一枚正方体骰子,朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的频率稳定在附近 ‎【考点】利用频率估计概率;全面调查与抽样调查;方差.‎ ‎【分析】根据调查的定义、方差的定义、概率的定义、用频率估计概率解答.‎ ‎【解答】解:A、电视机使用寿命的调查具有破坏性,适合抽样调查,故本选项正确;‎ B、方差越小越稳定,故本选项正确;‎ C、中奖概率为1%,意味着可能性为1%,并不一定中奖,故本选项错误;‎ D、随着实验次数的增加,频率会稳定在概率附近,故本选项正确.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎7.下列各式中,运算正确的是(  )‎ A.a6÷a3=a2 B.(a3)2=a5 C.2+3=5 D.÷=‎ ‎【考点】二次根式的加减法;实数的运算;幂的乘方与积的乘方;同底数幂的除法.‎ ‎【分析】利用同底数幂的除法、幂的乘方、二次根式的加法和二次根式的除法法则计算.‎ ‎【解答】解:A、a6÷a3=a3,故不对;‎ B、(a3)2=a6,故不对;‎ C、2和3不是同类二次根式,因而不能合并;‎ D、符合二次根式的除法法则,正确.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎8.某市测得一周PM2.5的日均值(单位:)如下:50,40,75,50,37,50,40,这组数据的中位数和众数分别是(  )‎ A.50和50 B.50和40 C.40和50 D.40和40‎ ‎【考点】众数;中位数.‎ ‎【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个.‎ ‎【解答】解:从小到大排列此数据为:37、40、40、50、50、50、75,数据50出现了三次最多,所以50为众数;‎ ‎50处在第4位是中位数.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎9.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB,AC于点D,E,△BCE的周长是8,AB﹣BC=2,则△ABC的周长是(  )‎ A.13 B.12 C.11 D.10‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质.‎ ‎【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE,根据三角形周长求出BE+CE的值,求出AB,即可得出答案.‎ ‎【解答】解:∵DE是AB的垂直平分线,‎ ‎∴AE=BE,‎ ‎∵△BCE的周长为8,‎ ‎∴AB+BC=8,‎ ‎∵AB﹣BC=2,‎ ‎∴AB=5,BC=3,‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴AC=9,‎ ‎∴△ABC的周长是:AC+AB+BC=,5+5+3=13.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎10.在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+2与反比例函数y=的图象有唯一公共点,若直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象有2个公共点,则b的取值范围是(  )‎ A.b>2 B.﹣2<b<2 C.b>2或b<﹣2 D.b<﹣2‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.‎ ‎【分析】联立两函数解析式消去y可得x2﹣bx+1=0,由直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象有2个公共点,得到方程x2﹣bx+1=0有两个不相等的实数根,根据根的判别式可得结果.‎ ‎【解答】解:解方程组得:x2﹣bx+1=0,‎ ‎∵直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象有2个公共点,‎ ‎∴方程x2﹣bx+1=0有两个不相等的实数根,‎ ‎∴△=b2﹣4>0,‎ ‎∴b>2,或b<﹣2,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎11.轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上,则C处与灯塔A的距离是(  )海里.‎ A.25 B.25 C.50 D.25‎ ‎【考点】等腰直角三角形;方向角.‎ ‎【分析】根据题中所给信息,求出∠BCA=90°,再求出∠CBA=45°,从而得到△ABC为等腰直角三角形,然后根据解直角三角形的知识解答.‎ ‎【解答】解:根据题意,‎ ‎∠1=∠2=30°,‎ ‎∵∠ACD=60°,‎ ‎∴∠ACB=30°+60°=90°,‎ ‎∴∠CBA=75°﹣30°=45°,‎ ‎∴△ABC为等腰直角三角形,‎ ‎∵BC=50×0.5=25,‎ ‎∴AC=BC=25(海里).‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎12.甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程中,甲、乙两车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示.则下列结论:‎ ‎①A,B两城相距300千米;‎ ‎②乙车比甲车晚出发1小时,却早到1小时;‎ ‎③乙车出发后2.5小时追上甲车;‎ ‎④当甲、乙两车相距50千米时,t=或.‎ 其中正确的结论有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【考点】一次函数的应用.‎ ‎【分析】观察图象可判断①②,由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式,可求得两函数图象的交点,可判断③,再令两函数解析式的差为50,可求得t,可判断④,可得出答案.‎ ‎【解答】解:‎ 由图象可知A、B两城市之间的距离为300km,甲行驶的时间为5小时,而乙是在甲出发1小时后出发的,且用时3小时,即比甲早到1小时,‎ ‎∴①②都正确;‎ 设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt,‎ 把(5,300)代入可求得k=60,‎ ‎∴y甲=60t,‎ 设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt+n,‎ 把(1,0)和(4,300)代入可得,解得,‎ ‎∴y乙=100t﹣100,‎ 令y甲=y乙可得:60t=100t﹣100,解得t=2.5,‎ 即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5,‎ 此时乙出发时间为1.5小时,即乙车出发1.5小时后追上甲车,‎ ‎∴③不正确;‎ 令|y甲﹣y乙|=50,可得|60t﹣100t+100|=50,即|100﹣40t|=50,‎ 当100﹣40t=50时,可解得t=,‎ 当100﹣40t=﹣50时,可解得t=,‎ 又当t=时,y甲=50,此时乙还没出发,‎ 当t=时,乙到达B城,y甲=250;‎ 综上可知当t的值为或或或t=时,两车相距50千米,‎ ‎∴④不正确;‎ 综上可知正确的有①②共两个,‎ 故选B.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每小题3分,共18分)‎ ‎13.分解因式:a4﹣16a2= a2(a+4)(a﹣4) .‎ ‎【考点】因式分解-运用公式法.‎ ‎【分析】先提取公因式a2,再对余下的多项式利用平方差公式继续因式分解.‎ ‎【解答】解:a4﹣16a2,‎ ‎=a2(a2﹣16),‎ ‎=a2(a+4)(a﹣4).‎ 故答案为:a2(a+4)(a﹣4).‎ ‎ ‎ ‎14.已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3,则实数k的值为 1 .‎ ‎【考点】一元二次方程的解.‎ ‎【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解.‎ ‎【解答】解:∵x=3是方程的根,由一元二次方程的根的定义,可得32﹣3k﹣6=0,解此方程得到k=1.‎ ‎ ‎ ‎15.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=20°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于P,连接AP并延长交BC于点D,则∠ADB= 125° .‎ ‎【考点】作图—基本作图.‎ ‎【分析】根据角平分线的作法可得AD平分∠CAB,再根据三角形内角和定理可得∠ADB的度数.‎ ‎【解答】解:由题意可得:AD平分∠CAB,‎ ‎∵∠C=90°,∠B=20°,‎ ‎∴∠CAB=70°,‎ ‎∴∠CAD=∠BAD=35°,‎ ‎∴∠ADB=180°﹣20°﹣35°=125°.‎ 故答案为:125°.‎ ‎ ‎ ‎16.如图,△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,且△ABC的面积等于△DEF面积的,则AB:DE= 2:3 .‎ ‎【考点】位似变换.‎ ‎【分析】由△ABC经过位似变换得到△DEF,点O是位似中心,根据位似图形的性质,即可得AB∥DE,即可求得△ABC的面积:△DEF面积=,得到AB:DE═2:3.‎ ‎【解答】解:∵△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,‎ ‎∴△ABC∽△DEF,‎ ‎∴△ABC的面积:△DEF面积=()2=,‎ ‎∴AB:DE=2:3,‎ 故答案为:2:3.‎ ‎ ‎ ‎17.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,点B经过的路径为,则图中阴影部分的面积是  .‎ ‎【考点】扇形面积的计算;勾股定理;旋转的性质.‎ ‎【分析】先根据勾股定理得到AB=,再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD,由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB,于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD ‎【解答】解:∵∠ACB=90°,AC=BC=1,‎ ‎∴AB=,‎ ‎∴S扇形ABD==.‎ 又∴Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,‎ ‎∴Rt△ADE≌Rt△ACB,‎ ‎∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎18.在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,A、B、C三点的坐标分别为A(2,0),B(4,0),C(0,5),点D在第一象限内,且∠ADB=45°.线段CD的长的最小值为 5﹣ .‎ ‎【考点】点与圆的位置关系;等腰直角三角形;圆周角定理.‎ ‎【分析】设圆心为P,连结PA、PB、PC,PE⊥AB于E,求出半径和PC的长度,判出点D只有在CP上时CD最短,CD=CP﹣DP求解即可.‎ ‎【解答】解:如图,设圆心为P,连结PA、PB、PC,PE⊥AB于E,‎ ‎∵A(2,0)、B(4,0),‎ ‎∴E(3,0)‎ 又∠ADB=45°,‎ ‎∴∠APB=90°(圆心角所对的角等于圆周角的二倍),‎ ‎∴PE=1,PA=PE=,‎ ‎∴P(3,1),‎ ‎∵C(0,5),‎ ‎∴PC==5,‎ 又∵PD=PA=,‎ ‎∴只有点D在线段PC上时,CD最短(点D在别的位置时构成△CDP)‎ ‎∴CD最小值为:5﹣.‎ 故答案为:5﹣.‎ ‎ ‎ 三、解答题(19-20题每题6分,21-22题每题8分,23-24题每题9分,25-26题每题10分,共66分)‎ ‎19.计算:﹣2sin30°﹣(﹣)2﹣(﹣π)0﹣.‎ ‎【考点】实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值.‎ ‎【分析】sin30°=, =,(﹣π)0=1, =2,依次代入计算即可.‎ ‎【解答】解:﹣2sin30°﹣(﹣)2﹣(﹣π)0﹣,‎ ‎=﹣2×﹣﹣1﹣2,‎ ‎=﹣1﹣﹣3,‎ ‎=﹣4.‎ ‎ ‎ ‎20.解不等式组:,并将其解集在数轴上表示出来.‎ ‎【考点】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集.‎ ‎【分析】先解不等式组中的每一个不等式,再把不等式的解集表示在数轴上,即可.要注意不等式解集中的>和≤的表示方法.‎ ‎【解答】解:由得,‎ 不等式组的解集为﹣5<x≤2.‎ 解集在数轴上表示得:‎ ‎ ‎ ‎21.有A,B两个黑布袋,A布袋中有两个完全相同的小球,分别标有数字1和2.B 布袋中有三个完全相同的小球,分别标有数字﹣1,﹣2和﹣3.小明从A布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为x,再从B布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为y,这样就确定点Q的一个坐标为(x,y).‎ ‎(1)用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标;‎ ‎(2)求点Q落在直线y=﹣x﹣1上的概率.‎ ‎【考点】列表法与树状图法;一次函数图象上点的坐标特征.‎ ‎【分析】(1)首先根据题意列出表格,然后由表格即可求得所有等可能的结果;‎ ‎(2)根据(1)可求得点Q落在直线y=﹣x﹣1上的情况,再利用概率公式即可求得答案.‎ ‎【解答】解:(1)列表得:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎﹣1‎ ‎(1,﹣1)‎ ‎(2,﹣1)‎ ‎﹣2‎ ‎(1,﹣2)‎ ‎(2,﹣2)‎ ‎﹣3‎ ‎(1,﹣3)‎ ‎(2,﹣3)‎ 则共有6种等可能情况;‎ ‎(2)∵点Q落在直线y=﹣x﹣1上的有2种,‎ ‎∴P(点Q在直线y=﹣x﹣1上)==.‎ ‎ ‎ ‎22.如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交AB于点D,交BC于点E.‎ ‎(1)求证:BE=CE;‎ ‎(2)若BD=2,BE=3,求AC的长.‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;圆周角定理.‎ ‎【分析】(1)连结AE,如图,根据圆周角定理,由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°,然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE;‎ ‎(2)连结DE,如图,证明△BED∽△BAC,然后利用相似比可计算出AB的长,从而得到AC的长.‎ ‎【解答】(1)证明:连结AE,如图,‎ ‎∵AC为⊙O的直径,‎ ‎∴∠AEC=90°,‎ ‎∴AE⊥BC,‎ 而AB=AC,‎ ‎∴BE=CE;‎ ‎(2)连结DE,如图,‎ ‎∵BE=CE=3,‎ ‎∴BC=6,‎ ‎∵∠BED=∠BAC,‎ 而∠DBE=∠CBA,‎ ‎∴△BED∽△BAC,‎ ‎∴=,即=,‎ ‎∴BA=9,‎ ‎∴AC=BA=9.‎ ‎ ‎ ‎23.某商家预测一种应季衬衫能畅销市场,就用13200元购进了一批这种衬衫,面市后果然供不应求,商家又用28800元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进量的2倍,但单价贵了10元.‎ ‎(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件?‎ ‎(2)若两批衬衫按相同的标价销售,最后剩下50件按八折优惠卖出,如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%(不考虑其他因素),那么每件衬衫的标价至少是多少元?‎ ‎【考点】分式方程的应用;一元一次不等式的应用.‎ ‎【分析】(1)可设该商家购进的第一批衬衫是x件,则购进第二批这种衬衫是2x件,根据第二批这种衬衫单价贵了10元,列出方程求解即可;‎ ‎(2)设每件衬衫的标价y元,求出利润表达式,然后列不等式解答.‎ ‎【解答】解:(1)设该商家购进的第一批衬衫是x件,则购进第二批这种衬衫是2x件,依题意有 ‎+10=,‎ 解得x=120,‎ 经检验,x=120是原方程的解,且符合题意.‎ 答:该商家购进的第一批衬衫是120件.‎ ‎(2)3x=3×120=360,‎ 设每件衬衫的标价y元,依题意有 y+50×0.8y≥×(1+25%),‎ 解得y≥150.‎ 答:每件衬衫的标价至少是150元.‎ ‎ ‎ ‎24.如图,正方形ABCD边长为6,菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上,连接CF.‎ ‎(1)求证:∠HEA=∠CGF;‎ ‎(2)当AH=DG=2时,求证:菱形EFGH为正方形;‎ ‎(3)设AH=x,DG=2x,△FCG的面积为y,试求y的最大值.‎ ‎【考点】四边形综合题.‎ ‎【分析】(1)过F作FM⊥CD,垂足为M,连接GE,由AB与CD平行,利用两直线平行内错角相等得到一对角相等,再由GE为菱形的对角线,利用菱形的性质得到一对内错角相等,利用等式的性质即可得证;‎ ‎(2)由于四边形ABCD为正方形,四边形HEFG为菱形,那么∠D=∠A=90°,HG=HE,而AH=DG=2,易证△AHE≌△DGH,从而有∠DHG=∠HEA,等量代换可得∠AHE+∠DHG=90°,易证四边形HEFG为正方形;‎ ‎(3)欲求△FCG的面积,由已知得CG的长易求,只需求出GC边的高,通过证明△AHE≌△MFG可得.‎ ‎【解答】(1)证明:过F作FM⊥CD,垂足为M,连接GE,‎ ‎∵CD∥AB,‎ ‎∴∠AEG=∠MGE,‎ ‎∵GF∥HE,‎ ‎∴∠HEG=∠FGE,‎ ‎∴∠AEH=∠FGM;‎ ‎(2)证明:在△HDG和△AEH中,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠D=∠A=90°,‎ ‎∵四边形EFGH是菱形,‎ ‎∴HG=HE,‎ 在Rt△HDG和△AEH中,‎ ‎,‎ ‎∴Rt△HDG≌△AEH(HL),‎ ‎∴∠DHG=∠AEH,‎ ‎∴∠DHG+∠AHE=90°‎ ‎∴∠GHE=90°,‎ ‎∴菱形EFGH为正方形;‎ ‎(3)解:过F作FM⊥CD于M,‎ 在△AHE与△MFG中,,‎ ‎∴△AHE≌△MFG,‎ ‎∴MF=AH=x,‎ ‎∵DG=2x,‎ ‎∴CG=6﹣2x,‎ ‎∴y=CG•FM=•x•(6﹣2x)=﹣(x﹣)2+,‎ ‎∵a=﹣1<0,∴当x=时,y最大=.‎ ‎ ‎ ‎25.如图①,将▱ABCD置于直角坐标系中,其中BC边在x轴上(B在C的左边),点D坐标为(0,4),直线MN:y=x﹣6沿着x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移,设在平移过程中该直线被▱ABCD截得的线段长度为m,平移时间为t,m与t的函数图象如图②所示.‎ ‎(1)填空:点C的坐标为 (3,0) ;在平移过程中,该直线先经过B、D中的哪一点? B ;(填“B”或“D”)‎ ‎(2)点B的坐标为 (﹣2,0) ,n= 4 ,a=  ;‎ ‎(3)在平移过程中,求该直线扫过▱ABCD的面积y与t的函数关系式.‎ ‎【考点】几何变换综合题.‎ ‎【分析】(1)根据直线解析式求出点M、N的坐标,再根据图2判断出CM的长,然后求出OC,从而得到点C的坐标,根据被截线段在一段时间内长度不变可以判断出先经过点B后经过点D;‎ ‎(2)根据图2求出BM=10,再求出OB,然后写出点B的坐标,利用勾股定理列式求出CD,再求出BC的长度,从而得到BC=CD,判断出▱ABCD是菱形,再求出MN⊥CD,根据菱形的性质可知n=DO,根据向左平移横坐标减表示出平移后的直线解析式,把点D的坐标代入函数解析式求出t的值即为a;‎ ‎(3)分三种情况分段讨论即可.‎ ‎【解答】解:(1)令y=0,则x﹣6=0,解得x=8,‎ 令x=0,则y=﹣6,‎ ‎∴点M(8,0),N(0,﹣6)‎ ‎∴OM=8,ON=6,‎ 由图2可知5秒后直线经过点C,‎ ‎∴CM=5,OC=OM﹣CM=8﹣5=3,‎ ‎∴C(3,0),‎ ‎∵10秒~a秒被截线段长度不变,‎ ‎∴先经过点B;‎ 故填:(3,0);B ‎(2)由图2可知BM=10,‎ ‎∴OB=BM﹣OM=10﹣8=2,‎ ‎∴B(﹣2,0),‎ 在Rt△OCD中,由勾股定理得,CD==5,‎ ‎∴BC=CD=5,‎ ‎∴▱ABCD是菱形,‎ ‎∵,‎ ‎∴MN⊥CD,‎ ‎∴n=DO=4‎ ‎∵设直线MN向x轴负方向平移的速度为每秒1个单位的长度,‎ 平移后的直线解析式为y= (x+t)﹣6,‎ 把点D(0,4)代入得,(0+t)﹣6=4,‎ 解得t=,‎ ‎∴a=;‎ 故答案为:(1)(3,0),B;(2)(﹣2,0),4,;‎ ‎(3)当0≤t≤5时,y=0;‎ 当5<t≤10,如图1,该直线与BC、CD分别交于F、E,FC=t﹣5,‎ ‎∵直线CD的解析式为:y=﹣x+4,‎ ‎∴EF⊥CD,‎ ‎∴△CEF∽△COD,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴EF=,CE=,‎ ‎∴y=××==t2﹣t+6,‎ 当10<t≤,如图2,直线与AB、CD分别交于G、E,与射线CB交于F,FB=t﹣10,‎ ‎∵△BGF∽△COD,‎ ‎∴‎ ‎∴FG=,BG=,‎ y=S△CEF﹣S△BGF=﹣=(10t﹣75)=t﹣18,‎ 当时,如图3,BG=,AG=5﹣,‎ ‎∵△EAG∽△DCO,‎ ‎∵=,‎ ‎∴DG=×(5﹣),‎ ‎∴y=20﹣(5﹣)××(5﹣)=t2﹣t﹣,‎ 当t≥时y=20.‎ 综上所述:‎ y=.‎ ‎ ‎ ‎26.已知二次函数图象的顶点坐标为A(2,0),且与y轴交于点(0,1),B点坐标为(2,2),点C为抛物线上一动点,以C为圆心,CB为半径的圆交x轴于M,N两点(M在N的左侧).‎ ‎(1)求此二次函数的表达式;‎ ‎(2)当点C在抛物线上运动时,弦MN的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不发生变化,求出弦MN的长;‎ ‎(3)当△ABM与△ABN相似时,求出M点的坐标.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)设抛物线的表达式为y=a(x﹣2)2,然后将(0,1)代入可求得a的值,从而可求得二次函数的表达式;‎ ‎(2)过点C作CH⊥x轴,垂足为H,连接BC、CN,由勾股定理可知HC2=CN2﹣CH2=BC2﹣CH2,依据两点间的距离公式可求得HN=2,结合垂径定理可求得MN的长;‎ ‎(3)分为点C与点A重合,点C在点A的左侧,点C在点A的右侧三种情况画出图形,然后依据相似三角形的对应边成比例可求得AM的距离,从而可求得点M的坐标.‎ ‎【解答】解:(1)设抛物线的表达式为y=a(x﹣2)2.‎ ‎∵将(0,1)代入得:4a=1,解得a=,‎ ‎∴抛物线的解析式为y=(x﹣2)2.‎ ‎(2)MN的长不发生变化.‎ 理由:如图1所示,过点C作CH⊥x轴,垂足为H,连接BC、CN.‎ 设点C的坐标为(a,).‎ ‎∵CH⊥MN,‎ ‎∴MH=HN.‎ ‎∵HN2=CN2﹣CH2=CB2﹣CH2,‎ ‎∴HN2=[2﹣]2+(a﹣2)2﹣[]2=4.‎ ‎∴HN=2.‎ ‎∴MN=4.‎ ‎∴MN不发生变化.‎ ‎(3)如图2所示:‎ ‎①当点C与点A重合时.‎ ‎∵MN经过点C,‎ ‎∴MN为圆C的直径.‎ ‎∴MC=2.‎ ‎∵点C(2,0),‎ ‎∴M(0,0).‎ ‎②如图3所示:‎ ‎∵△ABM∽△ANB,‎ ‎∴,即AB2=AM•AN.‎ 设AM=a,则4=a(a+4),解得:a1=﹣2+2,a2=﹣2﹣2(舍去),‎ 又∵点A(2,0),‎ ‎∴2+(﹣2+2)=2.‎ ‎∴点M的坐标为(2,0).‎ 如图4所示:‎ ‎∵△ABN∽△AMB,‎ ‎∴AB2=AN•AM.‎ 设AM=a,则4=a(a﹣4),解得:a1=2+2,a2=2﹣2(舍去).‎ 又∵点A(2,0),‎ ‎∴2﹣(2+2)=﹣2.‎ ‎∴点M的坐标为(﹣2,0).‎
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