真题北京市中考数学试卷含答案解析Word版

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‎2017年北京市高级中等学校招生考试 数学试卷 一、选择题（本题共30分，每小题3分）‎ ‎1.如图所示，点P到直线l的距离是（    ）.‎ 第1题图 A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 ‎ C．线段PC的长度 D．线段 PD的长度 ‎2.若代数式有意义，则实数x的取值范围是（    ）.‎ ‎ A.x＝0 B.x＝4 C.x≠0 D.x≠4‎ 第3题图 ‎3. 右图是某个几何题的展开图，该几何体是（ ）.‎ A． 三棱柱 B． 圆锥 C．四棱柱 D． 圆柱 ‎4. 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（    ）.‎ 第4题图 ‎ ‎ A.a>－4          B.bd>0      C. ∣a∣>∣b∣        D.b＋c>0‎ ‎5.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）.‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎6.若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ）‎ A． 6 B． 12 C. 16 D．18‎ ‎7. 如果a2＋2a－1＝0，那么代数式(a－)·的值是（    ）.‎ A． －3 B． －1 C. 1 D．3‎ ‎8.下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况.‎ ‎2011－2016年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图 ‎（以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》）‎ 根据统计图提供的信息，下列推理不合理的是（ ）‎ A．与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长 ‎ 第8题图 B．2011－2016年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长 ‎ C. 2011－2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200亿美元 ‎ D．2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多 ‎9.小苏和小林在右图所示的跑道上进行4×50米折返跑.在整个过程中，跑步者距起跑线的距离（单位：）与跑步时间（单位：）的对应关系如下图所示.下列叙述正确的是（ ）‎ 第9题图 A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点 ‎ B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度 ‎ C. 小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程 D．小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇2次 ‎10. 下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果.‎ 第10题图 下面有三个推断：‎ ① 当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；‎ ② 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；‎ ③ 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620.‎ 其中合理的是（ ）‎ A．① B．② C. ①② D．①③‎ 二、填空题（本题共18分，每题3分）‎ ‎11. 写出一个比3大且比4小的无理数：______________．‎ ‎12. 某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为元，足球的单价为元，依题意，可列方程组为____________．‎ ‎13.如图，在△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点.若S△CMN＝1 ，则S四边形ABNM＝_________.‎ ‎14.如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点， ＝.若∠CAB＝40°，则∠CAD＝___________．‎ 第15题图 第14题图 第13题图 ‎15.如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一中由△OCD得到△AOB的过程：_________．‎ ‎16.下图是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程 已知： Rt△ABC，∠C＝90°，求作Rt△ABC的外接圆.‎ 第16题图 作法：如图．‎ ‎（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；‎ ‎（2）作直线 PQ，交AB于点O； （3）以 O为圆心， OA为半径作⊙O. ⊙O即为所求作的圆.‎ 请回答：该尺规作图的依据是 ．‎ 三、解答题 （本题共72分，第17题－26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. 计算:4cos30°＋（1－）0－＋∣－2∣‎ ‎18. 解不等式组： ‎19.如图，在△ABC中， AB＝AC，∠A＝36°， BD平分∠ABC交AC于点D.‎ 求证：.‎ 第20题图 第19题图 ‎20. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.，‎ ‎（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）‎ 请根据上图完成这个推论的证明过程．‎ 证明：S矩形NFGD＝S△ADC－（S△ANF＋S△FGC），S矩形EBMF＝S△ABC－（__________＋__________）．‎ 易知，，_____________＝______________，______________＝_____________． ‎ 可得：S矩形NFGD＝S矩形EBMF ‎21.关于x的一元二次方程x2－（k＋3）x＋2k＋2＝0.‎ ‎（1）求证：方程总有两个实数根；‎ ‎（2）若方程有一根小于1，求的取值范围. ‎ ‎22. 如图，在四边形 ABCD中， BD为一条对角线， ‎ AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为 AD的中点，连接 BE.‎ 第22题图 ‎（1）求证：四边形BCDE为菱形；‎ ‎（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长.‎ ‎23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝(x＞0)的图像与直线y＝x－2交于点 A(3，m).‎ ‎（1）求k、m的值；‎ ‎（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，‎ 交直线y＝x－2于点M，过点P作平行于y轴的直线，‎ 交函数y＝ (x＞0)的图像于点N.‎ ‎①当n＝1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；‎ 第23题图 ‎②若PN≥PM，结合函数的图像，直接写出n的取值范围.‎ ‎24.如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，‎ 过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线 交CE的延长线于点D.‎ ‎（1）求证：DB＝DE； ‎ ‎（2）若AB＝12，BD＝5，求⊙O的半径.‎ 第24题图 ‎ ‎ ‎25.某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整.‎ 收集数据 从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下：‎ 甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 ‎ ‎ 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77‎ 乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83‎ ‎ 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40‎ 整理、描述数据 按如下分数段整理、描述这两组样本数据：‎ 成绩 人数 部门 ‎40≤x≤40‎ ‎50≤x≤59‎ ‎60≤x≤69‎ ‎70≤x≤79‎ ‎80≤x≤89‎ ‎90≤x≤100‎ 甲 ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎11‎ ‎7‎ ‎1‎ 乙 ‎（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70－－79分为生产技能良好，60－－69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）‎ 分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：‎ 部门 平均数 中位数 众数 甲 ‎78.3‎ ‎77.5‎ ‎75‎ 乙 ‎78‎ ‎80.5‎ ‎81‎ 得出结论：‎ ‎.估计乙部门生产技能优秀的员工人数为____________；‎ ‎.可以推断出_____________部门员工的生产技能水平较高，理由为_____________.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）‎ ‎26.如图，P是AB所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，连接MB，过点作PN⊥MB于点N.已知AB＝6cm，设A、P两点间的距离为xcm，P、N两点间的距离为ycm.（当点P与点A或点B重合时，y的值为0）‎ 小东根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．‎ 下面是小东的探究过程，请补充完整：‎ ‎（1）通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表：‎ x/cm ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y/cm ‎0‎ ‎2.0‎ ‎2.3‎ ‎2.1‎ ‎0.9‎ 第26题图 ‎0‎ ‎（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）‎ ‎（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.‎ ‎（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PAN为等腰三角形时， AP的长度约为 ‎____________cm.‎ ‎27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.‎ ‎（1）求直线BC的表达式；‎ ‎（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2）与直线BC交于点N（x3，y3），若，x1 ＜x2 ＜x3结合函数的图象，求 x1 ＋x2 ＋x3的取值范围.‎ ‎28.在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.‎ ‎（1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）.‎ ‎（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.‎ 第28题图 ‎29．在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．‎ ‎（1）当⊙O的半径为2时，‎ ‎①在点P1（，0），P2（，），P3(，0)中，⊙O的关联点是_______________．‎ ‎②点P在直线y＝－x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．‎ ‎（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y＝－x＋1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐 答案部分 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ B D A C A B C A D B ‎11． π（答案不唯一）.‎ ‎12． .‎ ‎13．3.‎ ‎14．25°.‎ ‎15．将△COD绕点C顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度得到△AOB（答案不 唯一）.‎ ‎16．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线；垂直平分线的定义；90°的圆周角所对弦为直径.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.（答案不唯一）‎ ‎17．3.‎ ‎18．x<2.‎ ‎19.证明：∵AB＝AC， ∠A＝36°，‎ ‎∴∠ABC＝∠C＝(180°－∠A)＝ ×(180°－36°)＝72°，‎ 又∵BD平分∠ABC， ‎ ‎∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝×72°＝36°， ∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°， ‎ ‎∴∠C＝∠BDC， ∠A＝AB ‎∴AD＝BD＝BC.‎ ‎20.【答案】 S△AEF，S△CFM；S△ANF，S△AEF；S△FGC，S△CFM.‎ ‎21. (1) 证明：∵△＝［－（k＋3）］2－4(2k＋2)＝k2－2k＋1＝(k＋1)2≥0，‎ ‎ ∴方程总有两个实数根.‎ ‎ （2）解：∵x2－（k＋3）x＋2k＋2＝(x－2)(x－k－1)＝0，‎ ‎ ∴x1＝2，x2＝k＋1，‎ ‎ ∵方程总有一根小于1，‎ ‎ ∴k＋1＜1，‎ ‎ ∴k＜0.‎ ‎ 即k的取值范围为：k＜0.‎ ‎22.（1）证明：∵E为AD中点，AD＝2BC，‎ ‎∴BC＝ED， ∵AD∥BC， ‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∵AD＝2BE， ∠ABD＝90°，AE＝DE∴BE＝ED， ‎ ‎∴四边形ABCD是菱形.‎ ‎（2）解：∵AD∥BC，AC平分∠BAD ‎ ‎∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，‎ ‎∴BA＝BC＝1， ∵AD＝2BC＝2，‎ ‎∴sin∠ADB＝，∠ADB＝30°， ‎ ‎∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°.在RT△ACD中，AD＝2，CD＝1，AC＝ ‎ ‎23. (1) 解：∵函数 y＝（x>0）的图象与直线y＝x－2交于点A(3，m) ‎ ‎∴m＝3－2＝1，把A（3，1）代入y＝ 得，k＝3×1＝3.即k的值为3，m的值为1.‎ ‎ （2）解：①当n＝1时，P（1，1），令y＝1，代入y＝x－2，x－2＝1，x＝3，M（3，1），PM＝2.‎ ‎②∵P（n，n），点P在直线y＝x上，过点P作平行于x轴的直线，交y＝x－2于点M，M（n＋2，n），‎ ‎ ∴PM＝2，由题意知PN≥PM，即PM＞2，‎ ‎ ∴0＜n≤1或n≥3. ‎ ‎24.（1）证明：∵DC⊥OA， ‎ ‎∴∠1＋∠3＝90°， ‎ ‎∵BD为切线，‎ ‎∴OB⊥BD， ‎ ‎∴∠2＋∠5＝90°， ‎ ‎∵OA＝OB， ‎ ‎∴∠1＝∠2，‎ ‎∵∠3＝∠4，‎ ‎∴∠4＝∠5，在△DEB中， ∠4＝∠5，‎ ‎∴DE＝DB.‎ ‎（2）解：作DF⊥AB于F，连接OE，‎ ‎ ∵DB＝DE，‎ ‎ ∴EF＝BE＝3，在Rt△DEF中，EF＝3，DE＝BD＝5，EF＝3，‎ ‎ ∴DF＝＝4‎ ‎ ∴sin∠DEF＝＝，‎ ‎ ∴∠AOE＝∠DEF，‎ ‎ ∴在Rt△AOE中，sin∠AOE＝＝，‎ ‎ ∵AE＝6，‎ ‎ ∴AO＝.‎ ‎25. a.240‎ b.答案不唯一，言之有理即可．‎ 可以推断出甲部门员工的生产技能水平较高，理由如下：‎ ‎①甲部门生产技能测试中，测试成绩的平均数较高，表示甲部门生产技能水平较高；‎ ‎②甲部门生产技能测试中，没有生产技能不合格的员工．‎ 可以推断出乙部门员工的生产技能水平较高，理由如下：‎ ‎①乙部门生产技能测试中，测试成绩的中位数较高，表示乙部门生产技能水平优秀的员工较多；‎ ‎②乙部门生产技能测试中，测试成绩的众数较高，表示乙部门生产技能水平较高．‎ 考点：众数，中位数.‎ ‎26. （1）1.6‎ ‎（2）‎ ‎（3）2.2（答案不唯一）‎ ‎27.（1）解：由抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），令y＝0，解得x＝1或x＝3，‎ ‎ ∴点A，B的坐标分别为（1，0），（3，0），‎ ‎ ∵抛物线y＝x2－4x＋3与y轴交于点C，令x＝0，解得y＝3，‎ ‎ ∴点C的坐标为（0，3）.‎ ‎ 设直线BC的表达式为y＝kx＋b，‎ ‎ ∴，解得，‎ ‎ ∴直线BC的表达式为：y＝－x＋3‎ ‎ （2）解：由y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为（2，－1），对称轴为直线x＝2， ‎ ‎∵ y1＝y2，‎ ‎∴x1＋x2＝4.令y＝－1，y＝－x＋3，x＝4. ‎ ‎∵ x1＜x2＜x3，‎ ‎∴3

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