中考数学复习专题四函数与图像一

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中考数学复习专题四函数与图像一

专题四 函数与图像(一)‎ 知识归纳 基本定义:在一个变化过程中,数值发生变化的量称为变量,数值始终保持不变的量称为常量.‎ ‎  变量:变化的量 常量:不变的量 ‎ 一、一次函数 基本概念:一般地,在一个变化过程中,有两个变量X和Y,并且对于x每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说X是自变量,y是x的函数。表示为y=Kx+b(其中b为任意常数,k不等于0),当b=0时称y为x的正比例函数,正比例函数是一次函数中的特殊情况。可表示为y=kx ‎ 即,当b=0时,y是x的正比例函数。即:y=kx (k为常量,但K≠0)正比例函数图像经过原点。‎ 定义域:自变量的取值范围,自变量的取值应使函数有意义;要与实际相符合。 ‎ ‎ 函数性质 ‎ 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k即:y=kx+b(k≠0)‎ ‎ 2.当x=0时,b为函数在y轴上的,坐标为(0,b).‎ ‎ 3.当b=0时(即 y=kx),一次函数图像变为正比例函数,正比例函数是特殊的一次函数.‎ ‎ 4.函数图像性质:当k相同,且b不相等,图像平行;当k不同,且b相等,图像相交 ‎  图像性质 ‎1.性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b(k≠0)。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像都是过原点。‎ ‎2.函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。‎ ‎3.k,b与函数图像所在象限:y=kx时(即b等于0,y与x成正比)‎ ‎  当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;‎ ‎  当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。‎ ‎  y=kx+b时:‎ ‎  当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一,二,三象限。‎ ‎  当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一,三,四象限。‎ ‎  当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一,二,四象限。‎ ‎  当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二,三,四象限。‎ ‎  当b>0时,直线必通过一、二象限;当b<0时,直线必通过三、四象限。‎ ‎  特别地,当b=0时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。‎ ‎  4、特殊位置关系 ‎  当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中K值(即一次项系数)相等 ‎  当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1) ‎ 二:反比例函数 反比例函数概念: 一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数。 因为y=k/x是一个分式,所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=kx-1.‎ ① k ≠ 0; ②一般情况下,自变量 x 的取值范围是 x ≠ 0 的一切实数③函数 y 的取值范围也是一切非零实数 .‎ 反比例函数图象 反比例函数的图象是一组双曲线, 曲线越来越接近X和Y轴但不会相交(K≠0)。‎ 反比例函数性质 ‎  1.当k>0时,图象分别位于第一、三象限;当k<0时,图象分别位于第二、四象限。   2.当k>0时.在同一个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,在同一个象限,y随x的增大而增大。k>0时,‎ 函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时,函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。‎ ‎  3、 定义域为x≠0;值域为y≠0。   4、.因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交。    5、 在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2则S1=S2=|K|  6、. 反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴 y=x y=-x(即第一三,二四象限角平分线),对称中心是坐标原点。  7、若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点(m、n同号),那么A B两点关于原点对称。   8、.反比例函数y=k/x的渐近线:x轴与y轴。‎ ‎9、.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.‎ 三:二次函数 ‎1. 二次函数的一般形式:y=ax2+bx+c.(a≠0)‎ ‎2. 二次函数的几个概念:二次函数的图象是抛物线,也叫抛物线y=ax2+bx+c;抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界,一半图象上坡另一半图象下坡;其中c叫二次函数在y轴上的截距, 即二次函数图象必过(0,c)点.‎ ‎3. y=ax2 (a≠0)的特性:当y=ax2+bx+c (a≠0)中的b=0且c=0时二次函数为y=ax2 (a≠0);‎ 这个二次函数是一个特殊的二次函数,有下列特性:(1)图象关于y轴对称;(2)顶点(0,0); ‎ ‎4.求二次函数的解析式:已知二次函数图象上三点的坐标,可设解析式y=ax2+bx+c,并把这三点的坐标代入,解关于a、b、c的三元一次方程组,求出a、b、c的值, 从而求出解析式-------待定系数法.‎ ‎5.二次函数的顶点式: y=a(x-h)2+k (a≠0); 由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标(h, k),对称轴方程 x=h 和函数的最值 y最值= k.‎ ‎6.求二次函数的解析式:已知二次函数的顶点坐标(h,k)和图象上的另一点的坐标,可设解析式为y=a(x -h)2+ k,再代入另一点的坐标求a,从而求出解析式.‎ ‎7. 二次函数图象的平行移动:二次函数一般应先化为顶点式,然后才好判断图象的平行移动;y=a(x-h)2+k的图象平行移动时,改变的是h, k的值, a值不变,具体规律如下:‎ k值增大 <=> 图象向上平移; k值减小 <=> 图象向下平移;‎ ‎(x-h)值增大 <=> 图象向左平移; (x-h)值减小 <=> 图象向右平移.‎ ‎8. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象及几个重要点的公式: ‎ ‎9. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中,a、b、c与Δ的符号与图象的关系:‎ ‎(1) a>0 <=> 抛物线开口向上; a<0 <=> 抛物线开口向下;‎ ‎(2) c>0 <=> 抛物线从原点上方通过; c=0 <=> 抛物线从原点通过;c<0 <=> 抛物线从原点下方通过;‎ ‎(3) a, b异号 <=> 对称轴在y轴的右侧; a, b同号 <=> 对称轴在y轴的左侧;b=0 <=> 对称轴是y轴;‎ ‎(4) b2-4ac>0 <=> 抛物线与x轴有两个交点; b2-4ac =0 <=> 抛物线与x轴有一个交点(即相切);‎ b2-4ac<0 <=> 抛物线与x轴无交点.‎ ‎10.二次函数图象的对称性:已知二次函数图象上的点与对称轴,可利用图象的对称性求出已知点的对称点,这个对称点也一定在图象上.‎ 函数与图像专题练习 一、选择题(每小题4分,共52分)‎ ‎1.一次函数y=3x-1的图象不经过( )。‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.某闭合电路中,电源电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例.如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象,则用电阻R表示电流I的函数解析式为( )。‎ ‎ A.I= B.I=- C.I= D.I= ‎3.函数和函数y=x的图象在同一平面直角坐标系内的交点个数是( )。‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 ‎4.设A(x1,y1)、B(x2,y2)是反比例函数y=图象上的两点,若x1y1>0 D. y1>y2>0‎ ‎5.已知方程组 的解为,则函数y=2x+3与y= x+的交点坐标为( )。‎ ‎ A.(l,5) B.(-1,1) C.(l,2)D.(4,l)‎ ‎6.反比例函数的图象在二、四象限,则k的取值范围是( )。‎ A.K≤3 B.K≥‎-3 C.K>3 D.K<-3.‎ ‎7.当k<0时,反比例函数y=和一次函数y=kx+2的图象大致是图中的( )。‎ ‎8.如图,正比例函数y=x和y=mx的图象与反比例函数y= 的图象分别交于第一象限内的A、C两点,过A、C分别向x轴作垂线,垂足分别为B、D.若直角三角形AOB与直角三角形COD的面积分别为S1、S2,则S1与S2的关系为( )。‎ A.S1>S2 B. S1=S2 C. S10)交x轴A,B两点,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为(-1,0).(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;‎ ‎ (2)过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P,你能判断四边形ABCP是什么四边形?并证明你的结论;‎ ‎(3)连接CA与抛物线的对称轴交于点D,当∠APD=∠ACP时,求抛物线的解析式.‎ ‎4.(2010广东广州,21,12分)已知抛物线y=-x2+2x+2.‎ ‎(1)该抛物线的对称轴是 ,顶点坐标 ;‎ ‎(2)选取适当的数据填入下表,并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象;‎ x ‎…‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎…‎ ‎(3)若该抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)的横坐标满足x1>x2>1,试比较y1与y2的大小.‎ ‎5.(2010广东广州,23,12分)已知反比例函数y=(m为常数)的图象经过点A(-1,6).‎ ‎(1)求m的值;‎ ‎(2)如图9,过点A作直线AC与函数y=的图象交于点B,与x轴交于点C,且AB=2BC,‎ 求点C的坐标.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎1、【解答】(1)设B(x,0),则A(x0,),其中0>0,m>0.‎ ‎ 在Rt△ABO中,AB=,OB=x0.‎ ‎ 则S△ABO =·x0·=3,即m=6.‎ ‎ 所以一次函数的解析式为y=x+6;反比例函数的解析式为y=.‎ ‎ (2)由得x2+6x-6=0,‎ ‎ 解得x1=-3+,x2=-3-.‎ ‎ ∴A(-3+,3+),D(-3-,3-).‎ ‎ 由反比例函数的定义可知,对反比例函数图像上任意一点P(x,y),有 ‎ y=.即xy=6. ∴S△DEO =│xDyD│=3,即S△DEO =S△ABO.‎ ‎ (3)由A(-3+,3+)和D(-3-,3-)可得AO=4,DO=4,即AO=DO.‎ ‎ 由图可知∠AOD>90°,∴△AOD为钝角等腰三角形.‎ ‎ 3、【解答】(1)解方程x2-6x+5=0, 解 得x1=5,x2=1. ‎ ‎ 由m
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