中考数学解直角三角形押轴题专练

中考数学解直角三角形押轴题专练

解直角三角形的押轴题解析汇编一 ‎ 解直角三角形 一、选择题 ‎1. （2011贵州毕节,14,3分）如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为，若楔子沿水平方向前移‎8cm(如箭头所示)，则木桩上升了( )‎ P A B C P A B C A、 B、 C、 D、‎ ‎【解题思路】设木桩与AB 的交点为E,过E作EH⊥BC,垂足为H,‎ 在Rt△BEH中，tan∠B=,‎ ‎【答案】A ‎【点评】本题考查解直角三角形的知识在实际中的应用，在解题时，要从实际问题中构建直角三角形的模型，再运用三角函数知识解决。难度中等。‎ ‎2.（2011湖北黄石，7，3分）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为‎3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图(3)．则三角板的最大边的长为 A．‎3cm B．‎5cm C．cm D．cm ‎ ‎【解题思路】过点A作AD垂直纸带下边沿于点D, 因为∠ACD=30°,所以AC=2AD=‎6cm,所以等腰直角三角板的最大边的长为cm．‎ ‎【答案】D ‎【点评】本题以学生身边的三角板和纸带为背景，把锐角三角函数融合在内，图是学生熟知的，符合学生的生活常识和认知基础，使学生身边的实际问题与数学问题发生一种自然的联系，同时考查了学生从图形中获取信息的能力，体现了数学与学生生活息息相关的基本理念．构造直角三角形，用好30°，求出AC长是解题的关键．难度中等．‎ ‎3. （2011年湖北省武汉市3分）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距离O点‎240米.如果火车行驶时，周围‎200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为  A.12秒.  B.16秒.  C.20秒.  D.24秒.‎ 分析：求出点A到ON的距离，也就是台风中心到A处的最短距离，找出A处受影响的起点和终点，计算之间的距离，得出受影响的时间．‎ 答案：B 点评：本题以受台风影响或噪音等影响为背景考查解直角三角形、勾股定理等知识点是常见的题目，关键是理解点A到直线ON的距离就是台风中心到点A的最短距离．‎ ‎4. （2011湖北荆州，8，3分）在中，,AB=4，AC=2，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解题思路】如图，作CD⊥AB于D，则,在中,AC=2可得AD=1，CD=,所以BD=5，在中，,所以 ‎【答案】D ‎【点评】解决本题的关键是通过添加辅助线把锐角三角形转化为直角三角形，再正确运用三角函数的有关知识解决.‎ ‎5.‎ ‎10．（2011四川绵阳10，3）周末，身高都为‎1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处测得她看塔顶的仰角β为30°．她们又测出A、B两点的距离为‎30米．假设她们的眼睛离头顶都为‎10cm，则可计算出塔高约为(结果精确到0.01，参考数据：＝1.414，＝1.732) （ ）‎ A．‎36.21米 B．‎37.71米 C．‎40.98米 D．‎‎42.48米 ‎【解题思路】如下图，AB＝EF＝‎30米，CD＝‎1.5米，∠GDE＝90°，∠DEG＝45°，∠DFG＝30°．设DG＝x米，在Rt△DGF中，tan∠DFG＝，即tan30°＝＝，∴DF＝x．在Rt△DGE中，∵∠GDE＝90°，∠DEG＝45°，∴DE＝DG＝x．根据题意，得x－x＝30，解得x＝≈40.98．∴CG＝40.98+1.5＝42.48(米)．‎ ‎【答案】D ‎【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，分别在两个直角三角形中，设出未知数，由锐角三角函数把与已知线段在同一条直线上的两条未知线段表示出来，然后构建方程，解方程即可求出未知线段的长．‎ ‎1. （2011湖北黄石，7，3分）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为‎3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图(3)．则三角板的最大边的长为 A．‎3cm B．‎5cm C．cm D．cm ‎ ‎【解题思路】过点A作AD垂直纸带下边沿于点D, 因为∠ACD=30°,所以 AC=2AD=‎6cm,所以等腰直角三角板的最大边的长为cm．‎ ‎【答案】D ‎【点评】本题以学生身边的三角板和纸带为背景，把锐角三角函数融合在内，图是学生熟知的，符合学生的生活常识和认知基础，使学生身边的实际问题与数学问题发生一种自然的联系，同时考查了学生从图形中获取信息的能力，体现了数学与学生生活息息相关的基本理念．构造直角三角形，用好30°，求出AC长是解题的关键．难度中等．‎ 二、填空题 ‎1. （2011甘肃兰州，17，4分）某水库大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1：，坝外斜坡的坡度i=1:1，则两个坡角的和为 .‎ ‎【解题思路】依题意先作出图形，如下图所示，坝内斜坡的坡度 ，即为DE与AE的比，坝外斜坡的坡度i=1：1，即为CF与BF的比，进而可分别求出两个坡角．‎ 如图所示，‎ ‎ ∵ED：AE=1：，∴∠A=30°．‎ ‎∵CF：BF=1：1，∴∠B=45°．‎ ‎∴∠A+∠B=30°+45°=75°．‎ ‎【答案】75°  ．‎ ‎【点评】本题属于解直角三角形的应用——坡度坡角问题，知道一些特殊角的边长之间的比例，会求解简单的直角三角形．难度较小.‎ ‎2. （2011湖北襄阳，14，3分）在207国道襄阳段改造工程中，需沿AC方向开山修路（如图3所示），为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝‎1000m，∠D＝50°，为了使开挖点E在直线AC上，那么DE＝_____________m（供选用的三角函数值：sin50°＝0.7660，cos50°＝0.6428，tan50°＝1.192）‎ ‎【解题思路】本题就是在Rt△BDE中，已知斜边BD＝‎1000m，∠D＝50°，求∠D的邻边DE．由cos∠D＝得DE＝1000•cos50°＝1000×0.6428＝642.8（米）．‎ ‎【答案】642.8．‎ ‎【点评】本题是解直角三角形应用题，直接由教材中的练习题改编而成，解答关键是阅读题意，从中建立恰当的解直角三角形模型．难度较小．‎ ‎3.‎ ‎16．（2011内蒙古乌兰察布，16，4分）某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A 射出的光线AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为 8和 10，大灯A与地面离地面的距离为lm则该车大灯照亮地面的宽度BC是 m .（不考虑其它因素）‎ ‎【解题思路】过点A作AD⊥MN于D，则BC=BD-CD,而BD、CD分别在直角三角形ABD、ACD中求出：，则BC=BD-CD=‎ ‎【答案】．‎ ‎【点评】本题主要考查了直角三角形的边角关系及其应用，解决本题的关键是构造直角三角形，考查了考查考生应用知识解决问题的能力.难度中等. ‎ 三、解答题 ‎1. （2011安徽，19，10分）如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地面‎1500m高度C处的飞机，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长.（取1.73）‎ ‎【解题思路】在Rt△COA中，由条件可求出OA的长；而在Rt△COB中，由条件可求出OB的长，最后由AB=OB-OA.解决问题.‎ 第19题图 ‎【答案】解：在Rt△COA中，∠OCA=90°- 60°= 30°，，‎ ‎∴OA ，‎ 在Rt△COB中，∠OCB=∠CBO=∠DCB=45°，‎ ‎∴OB=OC=1500，∴AB=(m).‎ 答：隧道AB的长约为‎635m.‎ ‎【点评】这是一道三角函数应用题，利用特殊角的三角函数值通过计算而不需要列方程就可以解决问题，但应注意结果的精确要求.难度较小.‎ ‎2. （2011安徽芜湖，18，8分）‎ 如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点的仰角为，再沿着的方向后退‎20m至处，测得古塔顶端点的仰角为.求该古塔BD的高度(,结果保留一位小数).‎ ‎【解题思路】在Rt△BCD和Rt△ABD中，利用已知条件，根据三角函数知识都不能直接求出BD长，因此应考虑用BD长的代数式表示出相关量，列方程来求解.‎ ‎【答案】解：根据题意可知: ‎ 在中,由得. ‎ 在中,由.得 又∵,∴.∴(m).‎ 答：该古塔的高度约为‎27.3m. ‎ ‎【点评】本题是一道常规的三角函数应用题，主要考查利用三角函数相关知识解决实际问题的能力，而特殊角的三角函数值往往是考查的重点.本题不能直接通过计算求解，需要列方程求解.难度中等.‎ ‎3. (2011广东广州，23， 12分)（12分）已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C(1,3)在反比例函数y=的图象上，且sin∠BAC=。‎ ‎（1）求k的值和边AC的长；（2）求点B的坐标。‎ ‎【解题思路】（1）求k的值，可以根据点C(1,3)在反比例函数y=的图象上，把点C(1,3)的坐标代入y=中可以计算出k的值。根据点C(1,3)，可以得点C到x 轴的距离为3，作CD⊥AB于点D，可以得到Rt△ACD，所以CD＝3。在Rt△ACD中，已知一直角边和一锐角的正弦，可以解直角三角形，计算出边AC的长。‎ ‎（2）由于仅已知点C的坐标，AB位置未定，有两种可能，一种是点A在点B的左侧，另一种可能是点A在点B的右侧，故应该分类讨论。解直角三角形ACD，可以计算出AD的长度。求点B的坐标,可以先计算出线段OB的长度，根据OB=AB-OA，OA=AD-OD计算。‎ ‎【答案】解：(1)∵点A（1,3）在反比例函数的图像上 ‎ ∴ ‎ 作CD⊥AB于点D，所以CD＝3‎ 在Rt△ACD中，sin∠BAC=，∴ ，解得 AC=5‎ ‎(2) 在Rt△ACD中，‎ ‎ cos∠BAC=‎ 如图1，在Rt△ACD中，cos∠BAC=，‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ‎ ‎∴ 点B的坐标为 如图2，∴ ‎ ‎ ‎ ‎∴ 点B的坐标为 ‎【点评】本题考查了数学中解直角三角形的知识，而且把三角形放在了平面直角坐标系中。根据图形位置关系的不确定性，需要对点A的位置分类讨论：一种是点A在点B的左侧，另一种可能是点A在点B的右侧。第一步属于较基础题目，面向大多数同学，难度较低。第二步，由于涉及到分类讨论，学生或许由于思考问题不全面而出现失误，难度较大，具有一定的挑战性． ‎ ‎4. （广东省，17，7分）如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路. 现新修一条路AC到公路l. 小明测量出∠ACD=30º，∠ABD=45º，BC=‎50m. 请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到‎0.1m；参考数据：，）.‎ B C l D A ‎【解题思路】由题意可知AD=DB，在Rt△ACD中，把DC、AD作为直角边，解这个直角三角形。‎ ‎【答案】因为在R t△ABD中，∠ABD=45º，所以AD=DB，设AD=，在R t△ACD中，°==，=≈68.3‎ ‎【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考查直角三角形的边角关系及其应用，难度一般不会很大，本题主要考查考生应用知识解决问题的能力，很容易入手，容易出错的地方是近似值的取舍，难度中等．‎ ‎5. （2011广东省，19，7分）如图，直角梯形纸片ABCD中，AD//BC，∠A=90º，∠C=30º．折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8．‎ ‎（1）求∠BDF的度数；‎ ‎（2）求AB的长．‎ B C E D A F ‎【解题思路】（1）由折叠纸片可知∠BDF=∠CBF易知∠CBF=∠C=30º，所以在△BCD中可知∠BDF=90º；（2）在R t△BFD中可求出BD=4，在R t△BAD中就可以求出AB。‎ ‎【答案】 （1）根据折叠纸片可知∠BDF=∠CBF，因为BF=CF=8，所以∠CBF=∠C=30º，‎ 所以∠BDF=180º-30º-60º=90º；‎ ‎（2）在R t△BFD中，cos30°=,所以 因为AD//BC，所以∠BDC=∠BDA 在R t△BAD中,sin60°=，所以AB=BD×sin60°=6.‎ ‎【点评】本题主要考查解直角三角形相关内容，解题关键是对正、余弦函数表达式的正确使用．通过梯形将两个直角三角形整合在一起是本题的特点，难度中等．‎ ‎6. （2011贵州安顺，21，8分）一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行‎40米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈）‎ ‎【解题思路】根据题意，结合图形，求河的宽度可过点C作CDAB于D，线段CD 的长度即为要求的值，设CD=x，则BD = x，AD =40+x，tan=，则，解得x = 60。‎ ‎【答案】过点C作CDAB于D ，‎ D 由题意，，设CD = BD = x米，则AD =AB+BD =（40+x）米，在Rt中，tan=，则，解得x = 60（米）．‎ ‎【点评】本题主要考查锐角三角函数，已知量与待求边分别是直角三角形的两条直角边所以用切，做此类题的关键在于熟练的运用锐角三角函数来表示直角三角形的各边，最易出错的地方弄混边角之间的关系。难度较小。‎ ‎7. （2011湖北黄石，22，8分）东方山是鄂东南地区的佛教胜地，月亮山是黄荆山脉第二 高峰，山顶上有黄石电视塔．据黄石地理资料记载：东方山海拔‎453.20米，月亮山海拔442.00‎ 米，一飞机从东方山到月亮山方向水平飞行，在东方山山顶D的正上方A处测得月亮山山 顶C的俯角为α，在月亮山山顶C的正上方B处测得东方山山顶D处的俯角为β，如图 ‎（7）．已知tanα=0.15987，tanβ=0. 15847，若飞机的飞行速度为‎180米/秒，则该飞机从A 到B处需多少时间？(精确到0.1秒)‎ 图（7）‎ 月亮山 东方山 A B C D β α ‎【解题思路】由题意，得东方山和月亮山的海拔高度差为453.20－442.00=‎11.20米，可用α、β和AB的代数式表示BC、AD长，从而得出关于AB的方程，求出AB长．‎ ‎【答案】解：在△中，，‎ 在△中, ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故到所需的时间为（秒）‎ 答：飞机从到处需44.4秒．‎ ‎【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考查直角三角形的边角关系及其应用，难度不大，本题主要考查考生应用知识解决问题的能力，很容易入手，容易出错的地方是近似值的取舍，属于简单题．‎ ‎8. （2011湖北鄂州，21，8分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比 ‎（指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．且AB=‎20 m．身高为‎1.7 m的小明站在大堤A点，测得高压电线杆端点D的仰角为30°．已知地面CB宽‎30 m，求高压电线杆CD的高 度（结果保留三个有效数字，1.732）.‎ D C N M A B ‎ 第21题图 D C N M A B ‎ 第21题图 ‎【解题思路】如图：延长MA交CB于点E. CD=DN+CN=DN+ME.在中，背水坡AB的坡比可知，得。又AB=‎20 m，所以AE= ×20=‎10m,BE=20×= m所以NC=ME=MA=AE=1.7+10=‎11.7m，中，∠AMN=30°，MN=CE=CB+BE=(30+)m，DN= ，所以旗杆高度CD=DN+CN=DN+ME=11.7+= ≈‎‎36.0m ‎【答案】 ≈36.0‎ ‎【点评】此题首先将CD分成两部分DN和CN，再将坡度概念转化成解直角三角形的知识，‎ 利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，运用线段间的关系即可求出相关线段的长。 难度中等。‎ ‎9. （2011广东河源，13,6分）‎ 某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量东江宽度的活动。如图2，他们在河东岸边的A点测得河西岸边的标志物B在它的正西方向，然后从A点出发沿河岸向正北方向行进‎200米到点C处，测得B在点C的南偏西60° 的方向上，他们测得东江的宽度是多少米？（结果保留整数，参考数据： ）‎ C A B ‎【解题思路】根据题意构造Rt△ABC,利用正切an∠CAB=求解。‎ ‎【答案】在Rt△ABC中，∵ tan∠CAB=,∴tan600=,∴AB=200×≈200×1.732≈346（米）‎ ‎【点评】主要考查直角三角形的边角关系及其应用，容易出错的地方是近似值的取舍，难度较小。.‎ ‎10. （2011广东清远，21，6分）如图6，小明以‎3米/秒的速度从山脚A点爬到山顶B点，已知点B到山脚的垂直距离BC为‎24米，且山坡坡角的度数为，问小明从山脚爬上山顶需要多少时间？（结果精确到0.1）（参考数据：）‎ ‎【解题思路】在Rt△ABC中，,得,代入求值，即可求出AB的 值，已知速度为‎3米/秒，即可求出时间。‎ ‎【答案】解：在Rt△ABC中，,得 则小明从山脚爬上山顶需要多少时间为：.答：小明从山脚爬上山顶需要17秒的时间 ‎【点评】本题考查了直角三角形中，三角函数的应用。难度中等。‎ ‎11. （2011广东珠海，16，7分）如图，在鱼塘两侧有两棵树A、B，小华要测量此两棵树之间的距离。他在距离A树‎30米的C处测得∠ACB=300，又在B处测得∠ABC=1200。求两树之间的距离。（结果精确到‎0.1米）(参考数据：≈1.414, ≈1.732)‎ ‎ ‎ ‎【解题思路】知道两角和一角的对边，根据正弦定理和三角函数可直接求出另一角的对边。‎ ‎【答案】解：，即，‎ 得AB=10×÷=≈5.8．‎ 答：两树之间的距离约‎5.8米。‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理和三角函数的运用。中等难度。‎ ‎12. （2011江西南昌，23，8分）图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形．当点O到BC（或DE）的距离大于或等于⊙O的半径时（⊙O是桶口所在圆，半径为OA），提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格，现在用金属材料做了一个水桶提手（如图丙A-B-C-D-E-F，C-D是弧CD，其余是线段），O是AF的中点，桶口直径AF=‎34cm，AB=FE=‎5cm,∠ABC=∠FED=149°．请通过计算判断这个水桶提手是否合格．‎ ‎（参考数据：≈17.72，tan73.6°≈3.40，sin75.4°≈0.97．）‎ ‎【解题思路】水桶提手是否合格主要是看点O到线段BC（或DE）的距离是否大于或等于⊙O的半径，所以过点O做线段BC的垂线，如图所示，构造成直角三角形，通过计算可以求出OG的长度，再与半径OA比较就可以检验是否合格．‎ ‎【答案】解：连结OB，过点O作OG⊥BC于点G.在Rt△ABO中，‎ AB=5，AO=17，∴tan∠ABO=,‎ ‎∴∠ABO=73.6°,‎ ‎∴∠GBO=∠ABC-∠ABO=149°-73.6°=75.4°‎ 又∵OB=≈17.72，‎ ‎∴在Rt△OBG中，OG=OB×sin∠GBO=17.72×0.97≈17.19＞17.‎ ‎∴水桶提手合格. ‎ ‎【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一,‎ 主要考查直角三角形的边角关系及其应用,难度一般不会很大,本题通过生活中的水桶这个实际问题要求学生能建立几何模型，解决实际生活中的数学问题，主要考查学生应用知识解决问题的能力,容易出错的地方是近似值的取舍. 同时，通过本题，可以充分看出命题人细心观察生活，用心感悟熟悉的能力．数学其实应更多的关注生活，要让数学更多的回归生活！‎ ‎19．（2011年河南，19，9分）如图所示，中原福塔(河南广播电视塔)是世界第—高钢塔．小明所在的课外活动小组在距地面‎268米高的室外观光层的点D处，测得地面上点B的俯角α为45°，点D到AO的距离DG为‎10米；从地面上的点B沿BO方向走‎50米到达点C处，测得塔尖A的仰角β为60°。请你根据以上数据计算塔高AO，并求出计算结果与实际塔高‎388米之间的误差．(参考数据：≈1.732，≈1.414.结果精确到‎0.1米)‎ ‎【解题思路】先根据DE∥BO，α=45°可判断出△DBF是等腰直角三角形，进而可得出BF的值，再根据四边形DFOG是矩形可求出FO与CO的值，在Rt△ACO中利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出AO的长，进而可得出其误差.‎ ‎【解】 ∵DE∥BO，α＝45°，‎ ‎∴∠DBF＝α＝45°.‎ ‎∴Rt△DBF中，BF＝DF＝268.‎ ‎∵BC＝50，‎ ‎∴CF＝BF－BC＝268－50＝218.‎ 由题意知四边形DFOG是矩形，‎ ‎∴FO＝DG＝10.‎ ‎∴CO＝CF+FO＝218+10＝228.‎ 在Rt△ACO中，β＝60°，‎ ‎∴AO＝CO·tan60°≈228×1.732＝394.896‎ ‎∴误差为394.896－388＝6.896≈6.9（米）.‎ 即计算结果与实际高度的误差约为6.9米.‎ ‎【点评】本题考查的是解直角三角形的应用:仰角俯角问题.涉及到的知识点为：等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值.熟知以上知识是解答此题的关键．应用解直角三角形的知识解决实际问题的应用题常与特殊的四边形、圆、相似等知识相结合，要注意仔细分析题意，把握知识点的内在联系.平时一定要注意培养分析问题、解决问题的能力.‎ 图7‎ A B C E F ‎20．（2011辽宁大连，20，12分）如图7，某建筑物BC上有一旗杆AB，小明在与BC相距‎12m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°，小明的观测点与地面的距离EF为‎1.6m．‎ ‎⑴求建筑物BC的高度；‎ ‎⑵求旗杆AB的高度．‎ ‎（结果精确到‎0.1m．参考数据：≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）‎ ‎【解题思路】在Rt△BED中BD=ED，再加上小明的身高，就可以求楼高，‎ 在Rt△AED中，利用三角函数求出AD，再减去BD，就可以得到旗杆 高度AB了．‎ ‎【答案】解：⑴过E作ED⊥ＡＣ于Ｄ，在Rt△BED中，∠BED＝45°,‎ DE=12∴BD=12，∴BC=BD+DC=12+1.6=13.6‎ ‎⑵在Rt△AED中, ∠AED=52°，DE=12，∴tan∠AED=，‎ ‎∴‎ ‎∴AB=AC-BC=15.4-12=3.4‎ ‎【点评】本题是解直角三角形的一个应用，常见的图形有两种，一是套着的（此题就是套着的），一是背靠背的，都比较典型。难度中等。‎ ‎22．（2011四川眉山，22，8分）在一次数学课外活动中，一位同学在教学楼的点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为30°，测得旗杆底部C的俯角为60°，已知点A距地面的高AD为‎15cm．求旗杆的高度．‎ ‎【解题思路】过A作AE⊥BC，构造两个直角三角形，然后利用解直角三角形的知识解答．‎ ‎【答案】过A作AE⊥BC，垂足为E，由题意可知，四边形ADCE为矩形，‎ ‎∴EC=AD=15，‎ 在Rt△AEC中，tan∠EAC=，‎ ‎∴AE=（米），‎ 在Rt△AEB中，tan∠BAE=，‎ ‎∴BE=AE•tan∠EAB=•tan30°=5（米），‎ ‎∴BC=CE+BE=20（米）．‎ 故旗杆高度为‎20米．‎ ‎【点评】此题考查了解直角三角形的知识，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．难度中等．‎ ． （2011四川内江，20，10分）放风筝是大家喜欢的一种运动．星期天的上午小明在大洲广场上放风筝．他在A处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上，风筝固定在D处．此时风筝线AD与水平线的夹角是30°．为了便于观察，小明迅速向前移动边收线到达了离A处‎7米得B处，此时风筝线BD与水平线的夹角是45°．已知点A、B、C在一条直线上，∠ACD=90°，请你求出此时小明收回的风筝线的长度是多少．（本题中风筝线均视为线段，≈1.414，≈1.732，结果精确地‎1米）‎ ‎ ‎ ‎【思路分析】在两个直角三角形中分别用DC表示出BC、AC，根据AB=7，AB+BC=AC列关于DC的方程求解DC，再通过解两个直角三角形求解AD、BD，二者差即收回风筝线长度．‎ ‎【答案】解：在Rt△DBC中，∠DBC=45°，∴BC=DC；‎ 在在Rt△DAC中，∠DAC=30°，∴AC= DC．‎ ‎∴AB=7，AB+BC=AC ‎∴7+DC= DC，‎ ‎∴DC≈9.6（米）．‎ ‎∴BD= DC≈13.6（米），AD=2 DC=19.2（米）．‎ ‎∴AD-BD≈6（米），‎ 即小明收回的风筝线的长度是6米．‎ ‎【点评】在含有多个直角三角形的题目中，如果有能解的直角三角形则选用恰当的三角函数求出有关的量，为解其他直角三角形提供条件；如果所有直角三角形均不能直接解，则用含有未知数的式子表示有关的量运用方程思想来解答．‎ ‎2. （2011湖北黄石，22，8分）东方山是鄂东南地区的佛教胜地，月亮山是黄荆山脉第二 高峰，山顶上有黄石电视塔．据黄石地理资料记载：东方山海拔‎453.20米，月亮山海拔442.00‎ 米，一飞机从东方山到月亮山方向水平飞行，在东方山山顶D的正上方A处测得月亮山山 顶C的俯角为α，在月亮山山顶C的正上方B处测得东方山山顶D处的俯角为β，如图 ‎（7）．已知tanα=0.15987，tanβ=0. 15847，若飞机的飞行速度为‎180米/秒，则该飞机从A 到B处需多少时间？(精确到0.1秒)‎ 图（7）‎ 月亮山 东方山 A B C D β α ‎【解题思路】由题意，得东方山和月亮山的海拔高度差为453.20－442.00=‎11.20米，可用α、β和AB的代数式表示BC、AD长，从而得出关于AB的方程，求出AB长．‎ ‎【答案】解：在△中，，‎ 在△中, ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故到所需的时间为（秒）‎ 答：飞机从到处需44.4秒．‎ ‎【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考查直角三角形的边角关系及其应用，难度不大，本题主要考查考生应用知识解决问题的能力，很容易入手，容易出错的地方是近似值的取舍，属于简单题．‎ ‎3. （2011年湖北省武汉市3分）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距离O点‎240米.如果火车行驶时，周围‎200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为  A.12秒.  B.16秒.  C.20秒.  D.24秒.‎ 分析：求出点A到ON的距离，也就是台风中心到A处的最短距离，找出A处 受影响的起点和终点，计算之间的距离，得出受影响的时间．‎ 答案：B 点评：本题以受台风影响或噪音等影响为背景考查解直角三角形、勾股定理等知识点是常见的题目，关键是理解点A到直线ON的距离就是台风中心到点A的最短距离．‎ ‎4. （2011湖北荆州，8，3分）在中，,AB=4，AC=2，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解题思路】如图，作CD⊥AB于D，则,在中,AC=2可得AD=1，CD=,所以BD=5，在中，,所以 ‎【答案】D ‎【点评】解决本题的关键是通过添加辅助线把锐角三角形转化为直角三角形，再正确运用三角函数的有关知识解决.‎ ‎5. （2011湖北鄂州，21，8分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比 ‎（指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．且AB=‎20 m．身高为‎1.7 m的小明站在大堤A点，测得高压电线杆端点D的仰角为30°．已知地面CB宽‎30 m，求高压电线杆CD的高 度（结果保留三个有效数字，1.732）.‎ D C N M A B ‎ 第21题图 D C N M A B ‎ 第21题图 ‎【解题思路】如图：延长MA交CB于点E. CD=DN+CN=DN+ME.在中，背水坡AB 的坡比可知，得。又AB=‎20 m，所以AE= ×20=‎10m,BE=20×= m所以NC=ME=MA=AE=1.7+10=‎11.7m，中，∠AMN=30°，MN=CE=CB+BE=(30+)m，DN= ，所以旗杆高度CD=DN+CN=DN+ME=11.7+= ≈‎‎36.0m ‎【答案】 ≈36.0‎ ‎【点评】此题首先将CD分成两部分DN和CN，再将坡度概念转化成解直角三角形的知识，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，运用线段间的关系即可求出相关线段的长。 难度中等。‎ ‎6. （2011湖北襄阳，14，3分）在207国道襄阳段改造工程中，需沿AC方向开山修路（如图3所示），为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝‎1000m，∠D＝50°，为了使开挖点E在直线AC上，那么DE＝_____________m（供选用的三角函数值：sin50°＝0.7660，cos50°＝0.6428，tan50°＝1.192）‎ ‎【解题思路】本题就是在Rt△BDE中，已知斜边BD＝‎1000m，∠D＝50°，求∠D的邻边DE．由cos∠D＝得DE＝1000•cos50°＝1000×0.6428＝642.8（米）．‎ ‎【答案】642.8．‎ ‎【点评】本题是解直角三角形应用题，直接由教材中的练习题改编而成，解答关键是阅读题意，从中建立恰当的解直角三角形模型．难度较小．‎ ‎7. （2011广东清远，21，6分）如图6，小明以‎3米/秒的速度从山脚A点爬到山顶B点，已知点B到山脚的垂直距离BC为‎24米，且山坡坡角的度数为，问小明从山脚爬上山顶需要多少时间？（结果精确到0.1）（参考数据：）‎ ‎【解题思路】在Rt△ABC中，,得,代入求值，即可求出AB的 值，已知速度为‎3米/秒，即可求出时间。‎ ‎【答案】解：在Rt△ABC中，,得 则小明从山脚爬上山顶需要多少时间为：.答：小明从山脚爬上山顶需要17秒的时间 ‎【点评】本题考查了直角三角形中，三角函数的应用。难度中等。‎ ‎8. （2011广东珠海，16，7分）如图，在鱼塘两侧有两棵树A、B，小华要测量此两棵树之间的距离。他在距离A树‎30米的C处测得∠ACB=300，又在B处测得∠ABC=1200。求两树之间的距离。（结果精确到‎0.1米）(参考数据：≈1.414, ≈1.732)‎ ‎ ‎ ‎【解题思路】知道两角和一角的对边，根据正弦定理和三角函数可直接求出另一角的对边。‎ ‎【答案】解：，即，‎ 得AB=10×÷=≈5.8．‎ 答：两树之间的距离约‎5.8米。‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理和三角函数的运用。中等难度。‎ ‎9. （2011江西南昌，23，8分）图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形．当点O到BC（或DE）的距离大于或等于⊙O的半径时（⊙O是桶口所在圆，半径为OA），提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格，现在用金属材料做了一个水桶提手（如图丙A-B-C-D-E-F，C-D是弧CD，其余是线段），O是AF的中点，桶口直径AF=‎34cm，AB=FE=‎5cm,∠ABC=∠FED=149°．请通过计算判断这个水桶提手是否合格．‎ ‎（参考数据：≈17.72，tan73.6°≈3.40，sin75.4°≈0.97．）‎ ‎【解题思路】水桶提手是否合格主要是看点O到线段BC（或DE）的距离是否大于或等于⊙O的半径，所以过点O做线段BC的垂线，如图所示，构造成直角三角形，通过计算可以求出OG的长度，再与半径OA比较就可以检验是否合格．‎ ‎【答案】解：连结OB，过点O作OG⊥BC于点G.在Rt△ABO中，‎ AB=5，AO=17，∴tan∠ABO=,‎ ‎∴∠ABO=73.6°,‎ ‎∴∠GBO=∠ABC-∠ABO=149°-73.6°=75.4°‎ 又∵OB=≈17.72，‎ ‎∴在Rt△OBG中，OG=OB×sin∠GBO=17.72×0.97≈17.19＞17.‎ ‎∴水桶提手合格. ‎ ‎【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一,主要考查直角三角形的边角关系及其应用,难度一般不会很大,本题通过生活中的水桶这个实际问题要求学生能建立几何模型，解决实际生活中的数学问题，主要考查学生应用知识解决问题的能力,容易出错的地方是近似值的取舍. 同时，通过本题，可以充分看出命题人细心观察生活，用心感悟熟悉的能力．数学其实应更多的关注生活，要让数学更多的回归生活！‎ ‎19．（2011年四川省南充市，19，8分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，⊿BCE沿BE折叠为⊿BFE,点F落在AD上。(1)求证：⊿ABF∽⊿DFE;‎ ‎(2)若sin∠DFE=,求tan∠EBC的值.‎ ‎【解题思路】本题中由折叠易得角的关系，利用三角形的外角或内角和均可得出角相等的结论。由两对等角则可证明两三角形相似。由两三角形相似可进一步得出边的关系。再利用三角函数与直角三角形的边的关系求解。‎ ‎【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形 ‎∴‎ ‎∵△BCE沿BE折叠为△BFE ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎△ABF∽△DFE ‎ ‎(2)解在Rt△DEF中，‎ ‎∴设 ‎∵△BCE沿BE折叠为△BFE ‎∴,‎ 又由（1）△ABF∽△DFE ‎∴‎ ‎∴‎ ‎【点评】结合图形变换三角函数等知识考查相似图形的判定与性质。由图形折叠可得全等形，进而得到边角的相等关系。三角形相似的判定思路：条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两边的比相等；条件中若有两边的比相等，可找夹角相等或找第三边的比等于前两组边的比。‎ ‎26．（2011四川广安，26，9分）某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图7所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8. ‎8m．在阳光下某一时刻测得‎1米的标杆影长为‎0.8m，树影落在斜坡上的部分CD= ‎3.2m．已知斜坡CD的坡比i=1：，求树高AB。（结果保留整数，参考数据：1.7）‎ ‎_‎ D ‎_‎ C ‎_‎ B ‎_‎ A i=1：‎ 图7‎ ‎【解题思路】化特殊为一般，利用转化的思想进行解题 ‎【答案】解：如图，延长BD与AC的延长线交于点E，过点D作DHAE于H ‎∵CD=3.2 ∴DH=1.6 CH=‎ ‎∵ ∴HE=1.28‎ ‎∵ ∴AB=16‎ ‎_‎ D ‎_‎ C ‎_‎ B ‎_‎ A i=1：‎ ‎_‎ H ‎_‎ E ‎【点评】本题属应用题，主要考察了坡度比及相似三角形的应用 ‎18．（2011四川乐山，18，9分）如图（10），在直角△ABC中，∠C=90，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数。‎ ‎【解题思路】：根据角平分线性质、线段垂直平分线的意义及直角三角形的锐角互余可得：∠BAC=2∠B,即3∠B=900，求得∠B的度数。‎ ‎【答案】解：∵∠CAB的平分线AD交BC于D（已知）∴∠CAD=∠DAB(‎ 角平分线的定义)；‎ 又∵DE垂直平分AB（已知）∴DA=DB,∠B=∠DAB, 又∵∠C=90，∴∠B+∠CAD+∠DAB=900，‎ 即3∠B=900，∴∠B=300.‎ ‎【点评】此题属于解直角三角形的问题，利用角平分线性质、线段垂直平分线的意义，正确分析图形，明确本题中角的关系，根据直角三角形中两锐角互余列式计算。本题难度中等。‎ ‎18．（2011湖南省益阳，18，8）如图8,AE是位于公路边的电线杆，为了使拉线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD，用于E A D B C 图8‎ 撑起拉线．已知公路的宽AB为‎8米，电线杆AE的高为‎12米，水泥撑杆BD高为‎6米，拉线CD与水平线AC的夹角为67.4°．求拉线CDE的总长L（A、B、C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）．‎ ‎(参考数据:sin67.4°≈ ,cos67.4°≈ ,tan67.4°≈)‎ ‎【解题思路】应用锐角三角函数和勾股定理解问题，本题转化为求拉线的周长，需要分别计算出各边长．‎ ‎【答案】解：⑴在Rt中，，‎ ‎（m）. ‎ ‎， ‎ ‎，，， ‎ ‎（m）. ‎ ‎（m） ‎ ‎【点评】在直角三角形中经常用的是三角函数和勾股定理，根据角和边的关系可以有三角函数构成联系，三边之间可以有勾股定理来联系．灵活应用锐角三角函数和勾股定理解决实际问题是一个热点问题．‎ ‎（2011江苏泰州，23，8分）一幢房屋的侧面外墙壁的形状如图所示，它由等腰三角形OCD和矩形ABCD组成，∠OCD=25°，外墙壁上用涂料涂成颜色相同的条纹，其中一块的形状是四边形EFGH，测得FG∥EH，GH=2.6m，∠FGB=65°。‎ ‎（1）求证：GF⊥OC；‎ ‎（2）求EF的长（结果精确到0.1m）。‎ ‎（参考数据：sin25°=cos65°≈0.42，cos25°=sin65°≈0.91）‎ M ‎【解题思路】（1）在四边形BCFG中，∠FGB、∠B、∠FCB都可以知道或者求出，根据四边形内角和等于360度，从而求得∠CFG的度数；‎ ‎（2）因为EH∥FG，所以HE⊥OC，于是作FM∥HG交AE于M，构造出直角三角形EFM，设法求出一个∠EFM和FM的长，问题可解。‎ ‎【答案】解：（1）正方形ABCD中，因为∠B=∠BCD=90°，∠FGB=65°，∠FCD=25°，所以∠GFC=90°，∴GF⊥OC。‎ ‎（2）作FM∥HG交AE于M，∵HE∥FG，∴四边形AGFM为平行四边形。‎ ‎∴MF=HG=2.6m.又因为FM∥HG，正方形ABCD中DC∥AB，∴FM∥DC，所以∠EFM=∠OCD=25°.‎ 由（1）得GF⊥OC，易得∠HEC=90°。‎ 在Rt△MEF中，cos∠EFM=‎ ‎∴EF=cos25°×2.6≈0.91×2.6=2.366≈2.4m。‎ ‎【点评】本题以生活题材为背景，设计了一道关于锐角三角函数的综合题，主要考查了锐角三角函数的计算，四边形的内角和、等腰三角形的性质、平行的性质等。情境新颖、语言简洁，一改以往这类问题阅读量大的特点。解题的关键是如何把复杂图形转化成简单图形，以前常见的辅助线的添法。难度中等。‎ ‎（2011江苏盐城，24，10分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为‎40cm，灯罩BC长为‎30cm，底座厚度为‎2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°. 使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？‎ ‎（结果精确到‎0.1cm，参考数据：≈1.732）‎ ‎【解题思路】过点B作BF⊥CD于F，作BG⊥AD于G，在Rt△BCF求得线段CF的长，在Rt△ABG求得线段BG的长，所以CE = CF+FD+DE = CF+BG+DE．‎ ‎【答案】解：过点B作BF⊥CD于F，作BG⊥AD于G. ‎ 在Rt△BCF中，∠CBF=30°，∴CF=BC·sin30°= 30× =15. ‎ 在Rt△ABG中，∠BAG=60°，∴BG=AB·sin60°= 40× = 20. ‎ ‎∴CE=CF+FD+DE=15+20+2=17+20≈51.64≈51.6 cm. ‎ 答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是‎51.6cm.‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的知识．利用解直角三角形相关知识求解非规则图形时，往往通过作垂线将非规则图形分解或拼凑成几个规则图形（矩形、直角三角形等）的和或差．难度中等．‎ ‎（2011江苏连云港，24，10分）如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏东49°方向，B位于南偏西41°方向．‎ ‎24.5°‎ ‎49°‎ ‎41°‎ 北 东 南 西 ‎（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；‎ ‎（2）求A，B间的距离．（参考数据cos41°＝0.75）‎ ‎【解题思路】对于（1），根据给出的3个角的度数，计算∠PBQ与∠BPQ是否相等进行判别；对于（2），可知三角形AQB是直角三角形，考虑用勾股定理来求出AB。‎ ‎【答案】解：（1）相等 ‎ 由图易知，∠QPB＝65.5°，∠PQB＝49°，∠AQP＝41°，‎ ‎∴∠PBQ＝180°－65.5°－49°＝65.5°．∴∠PBQ＝∠BPQ．‎ ‎∴BQ＝PQ ‎（2）由（1）得，BQ＝PQ＝1200 m．‎ 在Rt△APQ中，AQ＝＝＝1600（m）．‎ 又∵∠AQB＝∠AQP＋∠PQB＝90°，‎ ‎∴Rt△AQB中，AB＝＝＝2000（m）．‎ 答：A，B间的距离是2000 m．‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的判定及性质，角度的计算、三角函数及勾股定理等知识点，对计算能力的要求也有个提高，是道综合性好题。‎ ‎（2011江苏省淮安市，23， 10分）(本题满分10分)‎ ‎ 题23-l图为平地上一幢建筑物与铁塔图，题23—2图为其示意图．建筑物AB与铁塔CD都垂直于地面，BD=‎30m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为60°．求铁塔CD的高度．‎ ‎【解题思路】过点A作AE⊥CD于E，如图，则四边形ABDE是正方形，得AE=BD=DE=30m，在Rt⊿ACE中，tan∠CAE=,所以CE=30×tan60°=15m，故CD=（30+15）m。‎ ‎【答案】过点A作AE⊥CD于E，∵∠DAE=45°，且AB、ED都与BD垂直，∴四边形ABDE是正方形，得AE=BD=DE=30m，在Rt⊿ACE中，tan∠CAE=,所以CE=30×tan60°=15m，故CD=（30+15）m。‎ ‎【点评】本例考查解直角三角形的应用，解题的关键的建立合适的直角三角形，难度中等。‎ ‎（2010年江苏省宿迁市，23，10）（本题满分10分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了‎100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是‎1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取＝1.732，结果精确到‎1m）‎ ‎【解题思路】把生活中的实际问题转化成解直角三角形的数学问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形解题．‎ ‎【答案】解：设CE＝x m，则由题意可知BE＝x m，AE＝(x＋100) m．‎ ‎（第23题）‎ ‎ 在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan30°＝‎ ‎∴，3x＝(x＋100)‎ 解得x＝50＋50＝136.6‎ ‎∴CD＝CE＋ED＝(136.6＋1.5)＝138.1≈138(m)‎ 答：该建筑物的高度约为138m．‎ ‎【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用．测量类问题涉及仰角和俯角的知识，属于解直角三角形中已知一边和一锐角的类型，无斜边时，应用正切建立方程求解．有一定的难度．‎ ‎（2011江苏扬州，25，10分）（本题满分10分）如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心O,支架CD与水平面AE垂直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=76厘米，∠CED=60°；‎ ‎（1）求垂直支架CD的长度；（结果保留根号）‎ ‎（2）求水箱半径OD的长度，（结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.41，≈1.73）‎ ‎【解题思路】（1）因为DE、∠CED=60°，所以利用Rt△DCE中边角关系即可求解CD．（2）求解的思路和（1）类似，求OD的长度还是转化到利用Rt△ACO中边角关系．‎ ‎【答案】解：（1）在Rt△CDE中，∠CED=60°，DE=‎76cm，‎ ‎∴CD=DE·sin60°=38cm．‎ ‎（2）设OD=OB=xcm，‎ 在Rt△AOC中，∠A=30°，‎ ‎∴OA=2OC，即150+x=2(x+38)，解得x=150－76≈18.5，‎ ‎∴水箱半径OD的长度为‎18.5cm．‎ ‎【点评】本题（1）（2）问都是利用解直角三角形（或含30°的特殊直角三角形）的知识，解决简单的实际问题，充分地体现了解直角三角形的工具性．‎ ‎（2011 江苏苏州，25，8分）如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面上，点H、B、C在同一知直线上，且PH⊥HC.‎ ‎(1)山坡坡角（即∠ABC）的度数等于 度；‎ ‎(2)求A、B两点的距离（结果精确到‎0.1米，参考数据：≈1.732）‎ ‎【解题思路】根据坡度1：可得出∠ABC=30°，从而得 ‎∠ABP=90°，利用∠HPB=30°的余弦可得出PB=，根据∠APB=45°‎ 可得AB=PB=.‎ ‎【解答】（1）证明：30， ‎ ‎ （2）由题意得：∠PBH=60°，∠APB=45°‎ ‎∵∠ABC=30° ∴∠ABP=90°‎ 在Rt△PHB中，PB=.‎ 在Rt△PBA中，AB=PB=≈34.6‎ 答：A、B两点间的距离约34.6米.‎ ‎【点评】本题用到了俯角和坡角，只有知道它们所含的意义才能够解答题，本题解了两个直角三角形，这两个直角三角形是通过PB联系起来的，因此求出PB成为本题的关键.‎ ‎（2011江苏无锡，24,9分）(本题满分9分)如图，一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，在航线AB的正下方有两个山头C、D．飞机在A处时，测得山头C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了‎6千米到B处时，往后测得山头C的俯角为30°，而山头D恰好在飞机的正下方．求山头C、D之间的距离．‎ ‎【解题思路】由已知得俯角得，△ABC也是30°的直角三角形，显然本题重点是解直角三角形，CD的长也要放在Rt△中解决，所以需要过点C作CE⊥BD于E.分别在四个直角三角形中求解.‎ ‎【答案】解：如图，过点C作CE⊥BD于E. 在Rt△ABD中，∵AB＝‎6千米，∠BAD＝30°，∴tan30°＝ ‎ ‎ ∴BD＝AB×tan30°＝6×＝2 .∵∠BAC＝60°∠ABC＝30°∴∠ACB＝90°‎ ‎∴sin60°＝ ∴BC＝AB×sin60°＝6×＝3‎ 在Rt△BCE中，∠BCE＝ABC＝30° ∴ BE＝ BC＝ ∵ cos30°＝‎ CE＝BC×cos30°＝3×＝ ∴DE＝BD－BE＝2－＝‎ 在Rt△CED中，由勾股定理得，CD＝＝＝（千米）‎ 答：山头C、D之间的距离是千米.‎ A B C D ‎【点评】本题重点考查解直角三角形、勾股定理的运用.首先了解俯角的定义，利用直角三角形的正弦函数、余弦函数、正切函数求边、角，还有30°的直角三角形的性质的运用.关键是作辅助线，构造直角三角形.难度中等.‎ ‎24.（2011湖南长沙，24，9分）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道是由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成.已知天桥高度BC=‎4.8米，引桥水平跨度AC=‎8米.‎ ‎（1）求水平平台DE的长度；‎ ‎（2）若与地面垂直的平台立柱MN的高度为‎3米，求两段楼梯AD与BE的长度之比.‎ ‎（参考数据：取sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75）‎ A D E B C M N ‎37°‎ ‎【解题思路】问题（1）通过延长BE交AC于F，‎ 图形构造成平行四边形AFED和Rt△BFC，得 出DE=AF，解Rt△BFC求出FC长，根据线段 和差问题得到解决；问题（2）延长DE交BC于 G，通过△BCF∽△BGM的对应边成比例达到解决楼梯AD与BE的长度之比.‎ ‎【答案】解：（1）延长线段BE，与AC相交于点F，如图所示.‎ ‎∵AD∥BF，DE∥AC，‎ A D E B C M N ‎37°‎ F G ‎∴四边形AFED是平行四边形.‎ ‎∴DE=AF，∠BFC=∠A=37°.‎ 在Rt△BCF中，tan∠BFC=，‎ ‎∴CF===6.4（米）.‎ ‎∴DE=AF=AC-CF=8-6.4=1.6（米）.‎ 答：水平平台DE的长度为‎1.6米.‎ ‎（2）延长线段DE，交BC于点G.‎ ‎∵DG∥AC，∴∠BGM=∠C=90°.‎ ‎∴四边形MNCG是矩形，∴CG=MN=3（米）.‎ ‎∵BC=‎4.8米，所以BG=BC-CG=1.8（米）.‎ ‎∵DG∥AC，∴△BEG∽△BFC.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 而AD=EF，故.‎ ‎【点评】本问题考查了平行四边形判定与性质、矩形判定与性质、锐角三角函数解直角三角形、相似三角形判定与性质等知识.问题情景题材取自生活现实中人行天桥的测量，题目情景具有公平性，有利于学生展示自己学习成就.体现新课程标准“数学来源于生活，又服务于生活”，这样学生运用所学知识解决身边现实问题.难度中等.‎ ‎21．（2011湖北随州，21，8分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比（指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．且AB=‎20 m．身高为‎1.7 m的小明站在大堤A点，测得高压电线杆端点D的仰角为30°．已知地面CB宽‎30 m，求高压电线杆CD的高度（结果保留三个有效数字，1.732）.‎ C D N M A B ‎ 第21题图 ‎【思路分析】由i的值求得大堤的高度h，以及点A到点B的水平距离a，从而求得MN的长度，由仰角求得DN的高度，从而由DN，AM，h求得高度CD．‎ ‎【答案】解：设大堤的高度h，以及点A到点B的水平距离a，∵，‎ ‎∴坡AB与水平的角度为30°，‎ ‎∴=sin30°，即得h==‎10m，‎ ‎=cos30°，即得a= AB=‎103m，‎ ‎∴MN=BC+a=（30+10）m，‎ ‎∵测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°，‎ ‎∴=tan30°，解得：DN=10+10≈27.32（m），‎ ‎∴CD=DN+AM+h=27.32+1.7+10=39.02≈39.0（m）．‎ 答：髙压电线杆CD的髙度约为39.0米．‎ ‎【点评】本题考查了直角三角形在坡度上的应用，由由i的值求得大堤的高度和点A到点B 的水平距离，求得MN，由仰角求得DN高度，进而求得总高度．难度较小.‎