中考数学专题复习——反比例函数稍难题精选

中考数学专题复习——反比例函数稍难题精选

‎2015中考数学专题复习——反比例函数（稍难题精选）‎ ‎1、（2014•江苏盐城,第8题3分）如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是（　A　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎2、（2014•广西贺州，第10题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（　B　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎3、(2014年天津市，第9 题3分)已知反比例函数y=，当1＜x＜2时，y的取值范围是（　C　）A． 0＜y＜5 B． 1＜y＜‎2 ‎‎ ‎C． 5＜y＜10 D． y＞10‎ ‎4、（ 2014•广西玉林市、防城港市，第18题3分）如图，OABC是平行四边形，对角线OB在轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y=和y=的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：‎ ‎①=；‎ ‎②阴影部分面积是（k1+k2）；‎ ‎③当∠AOC=90°时，|k1|=|k2|；‎ ‎④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．‎ 其中正确的结论是　①④　（把所有正确的结论的序号都填上）．‎ ‎5、（2014山东济南，第21题，3分）如图，和都是等腰直角三角形，,反比例函数在第一象限的图象经过点B，若，则的值为________.‎ D C A Ｏ x y B 第21题图 ‎6、（2014•山东聊城，第17题，3分）如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1，A2，A3，A4，…，An分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数y=的图象相交于点P1，P2，P3，P4，…Pn作P2B1⊥A1P1，P3B2⊥A2P2，P4B3⊥A3P3，…，PnBn﹣1⊥An﹣1Pn﹣1，垂足分别为B1，B2，B3，B4，…，Bn﹣1，连接P1P2，P2P3，P3P4，…，Pn﹣1Pn，得到一组Rt△P1B1P2，Rt△P2B2P3，Rt△P3B3P4，…，Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn，则Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn的面积为　．　．‎ ‎7、（2014•武汉，第15题3分）如图，若双曲线y=与边长为5的等边△AOB的边OA，AB分别相交于C，D两点，且OC=3BD，则实数k的值为 ．‎ ‎8、（2014•孝感，第17题3分）如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD=9，则S△OBD的值为　6　．‎ ‎9、（2014•山东淄博,第16题4分）关于x的反比例函数y=的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程（a﹣1）x2﹣x+=0的根的情况是　没有实数根　．‎ ‎10、（2014•浙江湖州，第15题4分）如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为　　．‎ 分析：设OC=a，根据点D在反比例函数图象上表示出CD，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AC，然后根据中点的定义表示出点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上表示出a、k的关系，然后用a表示出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答．‎ 解：设OC=a，∵点D在y=上，∴CD=，‎ ‎∵△OCD∽△ACO，∴=，∴AC==，∴点A（a，），‎ ‎∵点B是OA的中点，∴点B的坐标为（，），∵点B在反比例函数图象上，‎ ‎∴=，解得，a2=2k，∴点B的坐标为（，a），‎ 设直线OA的解析式为y=mx，则m•=a，解得m=2，所以，直线OA的解析式为y=2x．‎ 故答案为：y=2x．‎ ‎11、2014•四川泸州，第16题，3分）图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：‎ ‎①若k=4，则△OEF的面积为；‎ ‎②若，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；‎ ‎③满足题设的k的取值范围是0＜k≤12；‎ ‎④若DE•EG=，则k=1．‎ 其中正确的命题的序号是　②④　（写出所有正确命题的序号）．‎ ‎12、（2014•菏泽，第13题3分）如图，Rt△ABO中，∠AOB=90°，点A在第一象限、点B在第四象限，且AO：BO=1：，若点A（x0，y0）的坐标x0，y0满足y0=，则点B（x，y）的坐标x，y所满足的关系式为 y=﹣．‎ ‎13、2014•济宁，第14题3分）如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y=的图象上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为　2　．‎ ‎14、（ 2014•福建泉州，第26题14分）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．‎ ‎（1）求该反比例函数的关系式；‎ ‎（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；‎ ‎①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；‎ ‎②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．‎ 解：（1）设反比例函数的关系式y=．‎ ‎∵点P（2，1）在反比例函数y=的图象上，‎ ‎∴k=2×1=2．‎ ‎∴反比例函数的关系式y=．‎ ‎（2）①过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图1所示．‎ 当x=0时，y=0+3=3，‎ 则点B的坐标为（0，3）．OB=3．‎ 当y=0时，0=﹣x+3，解得x=3，‎ 则点A的坐标为（3，0），OA=3．‎ ‎∵点A关于y轴的对称点为A′，‎ ‎∴OA′=OA=3．‎ ‎∵PC⊥y轴，点P（2，1），‎ ‎∴OC=1，PC=2．‎ ‎∴BC=2．‎ ‎∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1，‎ ‎∴A′B=3，A′C=．‎ ‎∴△A′BC的周长为3++2．‎ ‎∵S△ABC=BC•A′O=A′B•CD，‎ ‎∴BC•A′O=A′B•CD．‎ ‎∴2×3=3×CD．‎ ‎∴CD=．‎ ‎∵CD⊥A′B，‎ ‎∴sin∠BA′C=‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎∴△A′BC的周长为3++2，sin∠BA′C的值为．‎ ‎②当1＜m＜2时，‎ 作经过点B、C且半径为m的⊙E，‎ 连接CE并延长，交⊙E于点P，连接BP，‎ 过点E作EG⊥OB，垂足为G，‎ 过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2①所示．‎ ‎∵CP是⊙E的直径，‎ ‎∴∠PBC=90°．‎ ‎∴sin∠BPC===．‎ ‎∵sin∠BMC=，‎ ‎∴∠BMC=∠BPC．‎ ‎∴点M在⊙E上．‎ ‎∵点M在x轴上 ‎∴点M是⊙E与x轴的交点．‎ ‎∵EG⊥BC，‎ ‎∴BG=GC=1．‎ ‎∴OG=2．‎ ‎∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，‎ ‎∴四边形OGEH是矩形．‎ ‎∴EH=OG=2，EG=OH．‎ ‎∵1＜m＜2，‎ ‎∴EH＞EC．‎ ‎∴⊙E与x轴相离．‎ ‎∴x轴上不存在点M，使得sin∠BMC=．‎ ‎②当m=2时，EH=EC．‎ ‎∴⊙E与x轴相切．‎ Ⅰ．切点在x轴的正半轴上时，如图2②所示．‎ ‎∴点M与点H重合．‎ ‎∵EG⊥OG，GC=1，EC=m，‎ ‎∴EG=‎ ‎=．‎ ‎∴OM=OH=EG=．‎ ‎∴点M的坐标为（，0）．‎ Ⅱ．切点在x轴的负半轴上时，‎ 同理可得：点M的坐标为（﹣，0）．‎ ‎③当m＞2时，EH＜EC．‎ ‎∴⊙E与x轴相交．‎ Ⅰ．交点在x轴的正半轴上时，‎ 设交点为M、M′，连接EM，如图2③所示．‎ ‎∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2，‎ ‎∴MH=‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎∵EH⊥MM′，‎ ‎∴MH=M′H．‎ ‎∴M′H═．‎ ‎∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m，‎ ‎∴EG=‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎∴OH=EG=．‎ ‎∴OM=OH﹣MH=﹣，‎ ‎∴OM′=OH+HM′=+，‎ ‎∴M（﹣，0）、M′（+，0）．‎ Ⅱ．交点在x轴的负半轴上时，‎ 同理可得：M（﹣+，0）、M′（﹣﹣，0）．‎ 综上所述：当1＜m＜2时，满足要求的点M不存在；‎ 当m=2时，满足要求的点M的坐标为（，0）和（﹣，0）；‎ 当m＞2时，满足要求的点M的坐标为（﹣，0）、（+，0）、（﹣+，0）、（﹣﹣，0）．‎ ‎15、（2014•浙江宁波，第22题10分）如图，点A、B分别在x，y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴于点C，AO=CD=2，AB=DA=，反比例函数y=（k＞0）的图象过CD的中点E．‎ ‎（1）求证：△AOB≌△DCA；‎ ‎（2）求k的值；‎ ‎（3）△BFG和△DCA关于某点成中心对称，其中点F在y轴上，是判断点G是否在反比例函数的图象上，并说明理由．‎ ‎（1）证明：∵点A、B分别在x，y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴，‎ ‎∴∠AOB=∠DCA=90°，‎ 在Rt△AOB和Rt△DCA中 ‎，‎ ‎∴Rt△AOB≌Rt△DCA；‎ ‎（2）解：在Rt△ACD中，CD=2，AD=，‎ ‎∴AC==1，‎ ‎∴OC=OA+AC=2+1=3，‎ ‎∴D点坐标为（3，2），‎ ‎∵点E为CD的中点，‎ ‎∴点E的坐标为（3，1），‎ ‎∴k=3×1=3；‎ ‎（3）解：点G是否在反比例函数的图象上．理由如下：‎ ‎∵△BFG和△DCA关于某点成中心对称，‎ ‎∴△BFG≌△DCA，‎ ‎∴FG=CA=1，BF=DC=2，∠BFG=∠DCA=90°，‎ 而OB=AC=1，‎ ‎∴OF=OB+BF=1+2=3，‎ ‎∴G点坐标为（1，3），‎ ‎∵1×3=3，‎ ‎∴G（1，3）在反比例函数y=的图象上．‎ ‎16、（2014山东济南，第26题，9分）（本小题满分9分）如图1，反比例函数的图象经过点A（，1），射线AB与反比例函数图象交与另一点B（1，），射线AC与轴交于点C，轴，垂足为D．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值及直线AC的解析式；‎ ‎（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线轴，与AC相交于N，连接CM，求面积的最大值． ‎ 第26题图1‎ A B C D O x y 第26题图2‎ A B C D O x y M N l ‎（1）由反比例函数的 图象经过点A（，1），得；‎ （2） 由反比例函数得 点B的坐标为（1，），于是有 ‎，，‎ AD=，则由可得CD=2，C点纵坐标是-1，直线AC的截距是-1，而且过点A（，1）则直线解析式为．‎ ‎（3）设点M的坐标为，‎ 则点N的坐标为，于是面积为 ‎，‎ 所以，当时，面积取得最大值．‎ ‎17、（2014•四川内江，第21题，9分）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．‎ ‎（1）求一次函数、反比例函数的解析式；‎ ‎（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．‎ 解：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），‎ ‎∴O为AB的中点，即OA=OB=4，‎ ‎∴P（4，2），B（4，0），‎ 将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y=kx+b得：，‎ 解得：k=，b=1，‎ ‎∴一次函数解析式为y=x+1，‎ 将P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式为y=；‎ ‎（2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如图所示，‎ 对于一次函数y=x+1，令x=0，得到y=1，即C（0，1），‎ ‎∴直线BC的斜率为=﹣，‎ 设过点P，且与BC平行的直线解析式为y﹣2=﹣（x﹣4），即y=，‎ 与反比例解析式联立得：，‎ 消去y得：=，‎ 整理得：x2﹣12x+32=0，即（x﹣4）（x﹣8）=0，‎ 解得：x=4（舍去）或x=8，‎ 当x=8时，y=1，‎ ‎∴D（8，1），‎ 此时PD==，BC==，即PD=BC，‎ ‎∵PD∥BC，‎ ‎∴四边形BCPD为平行四边形，‎ ‎∵PC==，即PC=BC，‎ ‎∴四边形BCPD为菱形，满足题意，‎ 则反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）．‎ ‎18、（2014•泰州，第26题，14分）平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1=（x＞0）与y2=﹣（x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为 a、b．‎ ‎（第1题图）‎ ‎（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；‎ ‎（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；‎ ‎（3）作边长为3的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数y1=（x＞0）的图象都有交点，请说明理由．‎ 解：（1）如图1，AB交y轴于P，‎ ‎∵AB∥x轴，‎ ‎∴S△OAC=×|4|=2，S△OBC=×|﹣4|=2，‎ ‎∴S△OAB=S△OAC+S△OBC=4；‎ ‎（2）∵A、B的横坐标分别为a、b，‎ ‎∴A、B的纵坐标分别为、﹣，‎ ‎∴OA2=a2+（）2，OB2=b2+（﹣）2，‎ ‎∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形，‎ ‎∴OA=OB，‎ ‎∴a2+（）2=b2+（﹣）2，‎ ‎∴a2﹣b2+（）2﹣（）2=0，‎ ‎∴a2﹣b2+=0，‎ ‎∴（a+b）（a﹣b）（1﹣）=0，‎ ‎∵a+b≠0，a＞0，b＜0，‎ ‎∴1﹣=0，‎ ‎∴ab=﹣4；‎ ‎（3）∵a≥4，‎ 而AC=3，‎ ‎∴直线CD在y轴的右侧，直线CD与函数y1=（x＞0）的图象一定有交点，‎ 设直线CD与函数y1=（x＞0）的图象交点为F，如图2，‎ ‎∵A点坐标为（a，），正方形ACDE的边长为3，‎ ‎∴C点坐标为（a﹣3，），‎ ‎∴F点的坐标为（a﹣3，），‎ ‎∴FC=﹣，‎ ‎∵3﹣FC=3﹣（﹣）=，‎ 而a≥4，‎ ‎∴3﹣FC≥0，即FC≤3，‎ ‎∵CD=3，‎ ‎∴点F在线段DC上，‎ 即对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数y1=（x＞0）的图象都有交点．‎ ‎19、（2013年潍坊市）设点和是反比例函数图象上的两个点，当＜＜时，＜，则一次函数的图象不经过的象限是（ ）.‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：A．‎ ‎20、（2013•南宁）如图，直线y=与双曲线y=（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y=向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y=（k＞0，x＞0）交于点B，若OA=3BC，则k的值为（　D　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎6‎ C．‎ D．‎ ‎21、（13年安徽省4分、9）图1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的是（ B ）‎ A、当x=3时，EC＜EM ‎ B、当y=9时，EC＞EM C、当x增大时，EC·CF的值增大。 ‎ D、当y增大时，BE·DF的值不变。‎ ‎22、（2013浙江省温州市，16，5分）如图，已知动点A在函数的图象上，轴于点B，轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC。直线DE分别交轴于点P，Q。当时，图中阴影部分的面积等于_______‎ ‎23、（2013•自贡）如图，在函数的图象上有点P1、P2、P3…、Pn、Pn+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3…、Pn、Pn+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、Sn，则S1=　4　，Sn=　　．（用含n的代数式表示）‎ ‎24、（2013•遵义）如图，已知直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A、B两点，点B的坐标为（﹣4，﹣2），C为双曲线y=（k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC的面积为6，则点C的坐标为　（2，4）　．‎ ‎25、（2013•宁波）如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为　（，）　．‎ ‎26、（2013•泸州）如图，点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），…，点Pn（xn，yn）在函数（x＞0）的图象上，△P1OA1，△P‎2A1A2，△P‎3A2A3，…，△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形，斜边OA1、A‎1A2、A‎2A3，…，An﹣1An都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P3的坐标是　（+，﹣）　；点Pn的坐标是　（+，﹣）　（用含n的式子表示）．‎ ‎27、(2013年武汉)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（－1，0），（0，2），C，D两点在反比例函数的图象上，则的值等于 -12 ．‎ ‎28、(2013浙江丽水)如图，点P是反比例函数图象上的点，PA垂直轴于点A（-1，0），点C的坐标为（1，0），PC交轴于点B，连结AB，已知AB=‎ ‎（1）的值是__________；‎ ‎（2）若M（，）是该反比例函数图象上的点，且满足∠MBA<∠ABC,则的取值范围是__________‎ ‎29、（2013年广州市）如图11，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2,2），反比例函数（x＞0，k≠0）的图像经过线段BC的中点D.‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）若点P(x,y)在该反比例函数的图像上运动（不与点D重合），过点P作PR⊥y轴于点R,作PQ⊥BC所在直线于点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S关于x的解析式并写出x的取值范围。‎ 解：（1）∵正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2，2），‎ ‎∴C（0，2），‎ ‎∵D是BC的中点，‎ ‎∴D（1，2），‎ ‎∵反比例函数（x＞0，k≠0）的图象经过点D，‎ ‎∴k=2；‎ ‎（2）当D在直线BC的上方时，即0＜x＜1，‎ 如图1，∵点P（x，y）在该反比例函数的图象上运动，‎ ‎∴y=，‎ ‎∴S四边形CQPR=CQ•PD=x•（﹣2）=2﹣2x（0＜x＜1），‎ 如图2，同理求出S四边形CQPR=CQ•PD=x•（2﹣）=2x﹣2（x＞1），‎ 综上S=．‎ ‎30、（2013•泸州）如图，已知函数y=x与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A．将y=x的图象向下平移6个单位后与双曲线y=交于点B，与x轴交于点C．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）若=2，求反比例函数的解析式．‎ 解：（1）∵y=x的图象向下平移6个单位后与双曲线y=交于点B，与x轴交于点C，‎ ‎∴直线BC的解析式为y=x﹣6，‎ 把y=0代入得x﹣6=0，解得x=，‎ ‎∴C点坐标为（，0）；‎ ‎（2）作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F点，如图，‎ ‎∵OA∥BC，‎ ‎∴∠AOB=∠BCF，‎ ‎∴Rt△OAE∽△RtCBF，‎ ‎∴===2，‎ 设A点坐标为（a，a），则OE=a，AE=a，‎ ‎∴CF=a，BF=a，‎ ‎∴OF=OC+CF=+a，‎ ‎∴B点坐标为（+a，a），‎ ‎∵点A与点B都在y=的图象上，‎ ‎∴a•a=（+a）•a，解得a=3，‎ ‎∴点A的坐标为（3，4），‎ 把A（3，4）代入y=得k=3×4=12，‎ ‎∴反比例函数的解析式为y=．‎ ‎31、（2013•湖州压轴题）如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y= （k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．‎ ‎（1）若OA=10，求反比例函数解析式；‎ ‎（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；‎ ‎（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）过点A作AH⊥OB于H，‎ ‎∵sin∠AOB=，OA=10，‎ ‎∴AH=8，OH=6，‎ ‎∴A点坐标为（6，8），根据题意得：‎ ‎8=，可得：k=48，‎ ‎∴反比例函数解析式：y=（x＞0）；‎ ‎（2）设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，‎ ‎∵sin∠AOB=，‎ ‎∴AH=a，OH=a，‎ ‎∴S△AOH=•aa=a2，‎ ‎∵S△AOF=12，‎ ‎∴S平行四边形AOBC=24，‎ ‎∵F为BC的中点，‎ ‎∴S△OBF=6，‎ ‎∵BF=a，∠FBM=∠AOB，‎ ‎∴FM=a，BM=a，‎ ‎∴S△BMF=BM•FM=a•a=a2，‎ ‎∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+a2，‎ ‎∵点A，F都在y=的图象上，‎ ‎∴S△AOH=k，‎ ‎∴a2=6+a2，‎ ‎∴a=，‎ ‎∴OA=，‎ ‎∴AH=，OH=2，‎ ‎∵S平行四边形AOBC=OB•AH=24，‎ ‎∴OB=AC=3，‎ ‎∴C（5， ）；‎ ‎（3）存在三种情况：‎ 当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，分别为：P1（， ），P2（﹣， ），‎ 当∠PAO=90°时，P3（， ），‎ 当∠POA=90°时，P4（﹣， ）．‎ ‎32、（2013•资阳）如图，已知直线l分别与x轴、y轴交于A，B两点，与双曲线y=（a≠0，x＞0）分别交于D、E两点．‎ ‎（1）若点D的坐标为（4，1），点E的坐标为（1，4）：‎ ‎①分别求出直线l与双曲线的解析式；‎ ‎②若将直线l向下平移m（m＞0）个单位，当m为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点？‎ ‎（2）假设点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点D为线段AB的n等分点，请直接写出b的值．‎ 解：（1）①把D（4，1）代入y=得a=1×4=4，‎ 所以反比例函数解析式为y=（x＞0）；‎ 设直线l的解析式为y=kx+t，‎ 把D（4，1），E（1，4）代入得，‎ 解得．‎ 所以直线l的解析式为y=﹣x+5；‎ ‎②直线l向下平移m（m＞0）个单位得到y=﹣x=5﹣m，‎ 当方程组只有一组解时，直线l与双曲线有且只有一个交点，‎ 化为关于x的方程得x2+（5﹣m）x+4=0，‎ ‎△=（m﹣5）2﹣4×4=0，解得m1=1，m2=9，‎ 而m=9时，解得x=﹣2，故舍去，‎ 所以当m=1时，直线l与双曲线有且只有一个交点；‎ ‎（2）作DF⊥x轴，如图，‎ ‎∵点D为线段AB的n等分点，‎ ‎∴DA：AB=1：n，‎ ‎∵DF∥OB，‎ ‎∴△ADF∽△ABO，‎ ‎∴==，即==，‎ ‎∴AF=，DF=，‎ ‎∴OF=a﹣，‎ ‎∴D点坐标为（a﹣，），‎ 把D（a﹣，）代入y=得（a﹣）•=a，‎ 解得b=．‎ ‎33、(2013山东省临沂市，12，3分）如图，若点M是x轴正半轴上的任意一点，过点M作PQ∥y轴，分别交函数（x＞0）和（x＞0）的图象于点P和Q，连接OP、OQ,则下列结论正确的是（ D ）‎ A.∠POQ不可能等于900 B. ‎ C.这两个函数的图象一定关于x轴对称 D. △POQ的面积是 ‎34、(2013湖北随州，10，4分) 如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点，交x轴的正半轴于C点，若AB:BC=(m-1):1（m>1），则△OAB的面积（用m表示）为（ B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎35、（2013安徽，21，12分）甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“慢200减‎100”‎的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；……，乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销。‎ ‎（1）若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？‎ ‎（2）若顾客在甲商场购买商品的总金额为x（400≤x＜600）元，优惠后得到商家的优惠率为p（p=），写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情况；‎ ‎（3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是x（200≤x＜400）元，你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由。‎ 解：（1）510－200=310（元）‎ ‎（2）；∴p随x的增大而减小；‎ ‎（3）购x元（200≤x＜400）在甲商场的优惠额是100元，乙商场的优惠额是x－0.6x=0.4x 当0.4x＜100，即200≤x＜250时，选甲商场优惠；‎ 当0.4x=100，即x=250时，选甲乙商场一样优惠；‎ 当0.4x＞100，即250＜x＜4000时，选乙商场优惠；‎ ‎36、（2012湖北武汉，15，3分）如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于x轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为________．‎ ‎37、（2012甘肃兰州，20，4分）如图，M为双曲线上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线于D、C两点，若直线与y轴交与点A，与x轴交与点B，则AD·BC的值为 。‎ 第20题图 ‎ ‎ ‎38、(2012江苏苏州，17，3分)如图，已知第一象限内的图象是反比例函数y=图象的一个分支，第二象限内的图象是反比例函数y=﹣图象的一个分支，在x轴的上方有一条平行于x轴的直线l与它们分别交于点A、B，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D．若四边形ABCD的周长为8且AB＜AC，则点A的坐标为　（，3）　．‎ ‎39、（2012年广西玉林市，25，10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E.（1）填空：双曲线的另一支在第 象限，k的取值范围是 ；‎ ‎（2）若点C的坐标为（2，2），当点E在什么位置时？阴影部分面积S最小？‎ ‎（3）若，，求双曲线的解析式.‎ 解：（1）三，k＞0；‎ ‎（2）∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，而点C的坐标标为（2，2），‎ ‎∴A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），把y=2代入得x= ；把x=2代入得y=，∴A点的坐标为（，2），E点的坐标为（2， ），‎ ‎∴=，‎ 当k-2=0，即k=2时，S阴影部分最小，最小值为；‎ ‎∴E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点，∴当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小；‎ ‎（3）设D点坐标为（a， ），∵，∴OD=DC，即D点为OC的中点，∴C 点坐标为（2a，），把y= 代入 得x= ，确定A点坐标为（，），∵，∴×=1，解得k=.‎ ‎40、、(2013年湖北荆州模拟6)如图，已知A、B是反比例函数（k>0，x>0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C．过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形OMPN的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（　▲　）‎ A B C D 答案：A ‎41、（2013浙江台州二模）15．如图，直线与双曲线（）交于点．将直线向右平移个单位后，与双曲线（）交于点，与轴交于点，若，则 ．‎ ‎（第1题）‎ O x y A B C ‎【答案】12 ‎ ‎42、（2013浙江台州二模）16．阅读材料，完成填空：‎ 在平面直角坐标系中，当函数的图像产生平移，则函数的解析式会产生有规律的变化；反之，我们可以通过分析不同解析式的变化规律，推想到相应的函数图像间彼此的位置和形状的关联。不妨约定，把函数图像先往左侧平移2个单位，再往上平移1各单位，则不同类型函数解析式的变化可举例如下：‎ y=3x2→y=3(x+2)2+1；y=3x3→y=3(x+2)3+1；y=3→y=3+1；y=3→y=3+1；y=→y=+1；……‎ ‎⑴若把函数y=+1图像再往 平移 个单位，所得函数图像的解析式为y= +1；‎ ‎⑵分析下列关于函数y= +1图像性质的描述：①图像关于（1，1）点中心对称；②图像必不经过第二象限；③图像与坐标轴共有2个交点；④当x＞0时，y随着x取值的变大而减小﹒其中正确的是： ﹒（填序号）‎ ‎【答案】⑴右、3，⑵①③﹒‎ ‎43、（2013年广西钦州市四模）如图7所示，点、、在轴上，且，分别过点、、作轴的平行线，与反比例函数的图象分别交于点、、，分别过点作轴的平行线，分别与轴交于点，连接，那么图中阴影部分的面积之和为___________.‎ 图7‎ 答案：　　　‎ ‎44、（2013沈阳一模）（12分）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1 至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间 满足的函数关系如下表：‎ ‎ 7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水 ‎ 的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：，该企业自身处理每吨污水的 ‎ 费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：；7至12月，污水厂处 ‎ 理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．‎ ‎ （1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；‎ ‎ （2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；‎ ‎ （3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时 ‎ 每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18 000元，请计算出a的整数值．‎ ‎ （参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）‎ 解：（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，‎ 则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系：。‎ 将（1，12000）代入得：k=1×12000=12000，‎ ‎∴（1≤x≤6，且x取整数）。‎ 根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，代入y2=ax2+c得：‎ ‎，解得：。‎ ‎∴y2=x2+10000（7≤x≤12，且x取整数）。‎ ‎（2）当1≤x≤6，且x取整数时：‎ ‎ ‎ ‎=﹣1000x2+10000x﹣3000=﹣1000（x﹣5）2+2200。‎ ‎∵a=﹣1000＜0， 1≤x≤6，∴当x=5时，W最大=22000（元）。‎ 当7≤x≤12时，且x取整数时：‎ W=2×（12000﹣y1）+1.5y2=2×（12000﹣x2﹣10000）+1.5（x2+10000）=﹣x2+1900。‎ ‎∵a=﹣＜0，对称轴为x=0，当7≤x≤12时，W随x的增大而减小，‎ ‎∴当x=7时，W最大=18975.5（元）。‎ ‎∵22000＞18975.5，‎ ‎∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元。‎ ‎（3）由题意得：12000（1+a%）×1.5×[1+（a﹣30）%]×（1﹣50%）=18000，‎ 设t=a%，整理得：10t2+17t﹣13=0，解得：。‎ ‎∵≈28.4，∴t1≈0.57，t2≈﹣2.27（舍去）。‎ ‎∴a≈57。‎ 答：a整数值是57.‎ ‎45、（2013郑州外国语预测卷）已知双曲线与直线相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线于点E，交BD于点C． ‎ ‎（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值．‎ ‎（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．‎ ‎（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．‎ 解：（1）∵D（－8，0），∴B点的横坐标为－8，代入中，得y=－2．‎ ‎∴B点坐标为（－8，－2）．而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）．‎ 从而． ‎ ‎（2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，‎ ‎∴，B（－‎2m，－），C（－‎2m，－n），E（－m，－n）． ‎ ‎ S矩形DCNO，S△DBO=，S△OEN =， ‎ ‎ ∴S四边形OBCE= S矩形DCNO－S△DBO－ S△OEN=k．∴． ‎ 由直线及双曲线，得A（4，1），B（－4，－1），‎ ‎∴C（－4，－2），M（2，2）． ‎ 设直线CM的解析式是，由C、M两点在这条直线上，得 ‎ 解得．‎ ‎∴直线CM的解析式是． ‎ ‎（3）如图，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1、M1．‎ ‎（第28题）‎ y O ‎·‎ A x B M ‎·‎ Q A1‎ P M1‎ 设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a．于是 ‎．‎ 同理， ‎ ‎∴．‎ ‎46、（2012浙江省义乌市）如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,点D为对角线OB的中点，点E(4,n)在边AB上,反比例函数 在第一象限内的图象经过点D、E,‎ O A B C F D G H y x E 且 .‎ ‎（1）求边AB的长；‎ ‎（2）求反比例函数的解析式和n的值；‎ ‎（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F,将矩 形折叠，使点O与点F重合,折痕分别与x、y轴正 半轴交于点H、G,求线段OG的长.‎ 解：（1）在Rt△BOA中 ∵OA=4 ‎ ‎∴AB=OA×tan∠BOA=2 ..……2分 ‎（2）∵点D为OB的中点，点B（4,2）∴点D（2,1） ‎ 又∵点D在 的图象上 ∴ ‎ ‎∴k=2 ∴ ‎ O A B C F D G H y x E 又∵点E在 图象上 ∴4n=2 ∴ n= ‎ ‎（3）设点F（a，2）∴‎2a=2 ∴CF=a=1 ‎ ‎ 连结FG，设OG=t，则OG=FG=t CG=2-t ‎ 在Rt△CGF中，GF2=CF2＋CG2 ‎ ‎∴t2=（2－t)2＋12 ‎ 解得t = ∴OG=t= . ‎ ‎47、(2012历下区一模) 正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y= （x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P‎3A2B2，顶点P3在反比例函数y= （x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为 ‎ ‎ ‎ 答案：（+1，﹣1）．‎ ‎48、如图，双曲线y=（x＞0）经过△OAB的顶点A和OB的中点C，AB∥x轴，点A的坐标为（2，3）．‎ ‎（1）确定k的值；（2分）‎ ‎（2）若点D（3，m）在双曲线上，求直线AD的解析式；（3分）‎ ‎（3）计算△OAB的面积．（3分）‎ ‎ ‎ 解：（1）将点A（2，3）代入解析式y=，得：k=6；‎ ‎（2）将D（3，m）代入反比例解析式y=，得：m==2，‎ ‎∴点D坐标为（3，2），‎ 设直线AD解析式为y=kx+b，‎ 将A（2，3）与D（3，2）代入得：，‎ 解得：k=﹣1，b=5，‎ 则直线AD解析式为y=﹣x+5；‎ ‎（3）过点C作CN⊥y轴，垂足为N，延长BA，交y轴于点M，‎ ‎∵AB∥x轴，‎ ‎∴BM⊥y轴，‎ ‎∴MB∥CN，‎ ‎∴△OCN∽△OBM，‎ ‎∵C为OB的中点，即=，‎ ‎∴=（）2，‎ ‎∵A，C都在双曲线y=上，‎ ‎∴S△OCN=S△AOM=3，‎ 由=，得到S△AOB=9，‎ 则△AOB面积为9．‎ ‎49、（2015桂花九义校模拟6）如图，一次函数的图象与反比例函数y1= – ( x<0）的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0).当x<–1时，一次函数值大于反比例函数的值，当x>–1时，一次函数值小于反比例函数值.‎ ‎（1）求一次函数的解析式；（4分）‎ ‎（2）设函数y2= (x>0)的图象与y1= – (x<0)的图象关于y轴对称.在y2= (x>0)的图象上取一点P（P点的横坐标大于2)，过P作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标.（4分）‎ ‎（3）在（2）的条件下，过原点O作直线交线段BQ于点M，若BM：MQ=4:5，在双曲线y2= (x>0)上，是否存在点P′，使点P′与点P关于直线OM对称？若存在，请直接写出点P′的坐标；若不存在，请说明理由.（2分）‎ 解：（1）∵x< –1时，一次函数值大于反比例函数值，当x>–1时，一次函数值小于反比例函数值. ∴A点的横坐标是–1，∴A（–1，3） ‎ ‎ 设一次函数解析式为y= kx+b，因直线过A、C ‎ 则 ，解之得： ，‎ ‎ ∴一次函数解析式为y= –x+2 ‎ ‎（2）∵y2 = (x>0)的图象与y1= – (x<0)的图象y轴对称， ‎ ‎∴y2 = (x>0) ‎ ‎ ∵B点是直线y= –x+2与y轴的交点，‎ ‎∴B (0，2) ‎ ‎ 设P（n， )，n>2 S四边形BCQP –S△BOC =2， ‎ ‎∴( 2+ )n– ´2´2 = 2，n = ， ∴P（，）‎ ‎（3）存在，P′（，）.‎ 提示：根据双曲线的对称性，点P关于直线y=x的对称点P′必在此双曲线上，因此，只需计算直线OM是否为第一、三象限的角平分线.过点M作MN⊥x轴于N，利用相似可得MN=ON=10/9.‎ ‎50、（2014•德阳）如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形的对称中心E，且与边BC交于点D．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；‎ ‎（2）若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线的解析式．‎ 解：（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标是（4，2），E是矩形ABCD的对称中心，‎ ‎∴点E的坐标为（2，1），‎ 代入反比例函数解析式得，=1，‎ 解得k=2，‎ ‎∴反比例函数解析式为y=，‎ ‎∵点D在边BC上，‎ ‎∴点D的纵坐标为2，‎ ‎∴y=2时，=2，‎ 解得x=1，‎ ‎∴点D的坐标为（1，2）；‎ ‎（2）如图，设直线与x轴的交点为F，‎ 矩形OABC的面积=4×2=8，‎ ‎∵矩形OABC的面积分成3：5的两部分，‎ ‎∴梯形OFDC的面积为×8=3，‎ 或×8=5，‎ ‎∵点D的坐标为（1，2），‎ ‎∴若（1+OF）×2=3，‎ 解得OF=2，‎ 此时点F的坐标为（2，0），‎ 若（1+OF）×2=5，‎ 解得OF=4，‎ 此时点F的坐标为（4，0），与点A重合，‎ 当D（1，2），F（2，0）时，，‎ 解得，‎ 此时，直线解析式为y=﹣2x+4，‎ 当D（1，2），F（4，0）时，，‎ 解得，‎ 此时，直线解析式为y=﹣x+，‎ 综上所述，直线的解析式为y=﹣2x+4或y=﹣x+．‎