2020年湖南省怀化市中考数学试卷(含解析）

2020年湖南省怀化市中考数学试卷(含解析）

‎2020年湖南省怀化市中考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）‎ ‎1．（3分）（2020•怀化）下列数中，是无理数的是（　　）‎ A．﹣3 B．0 C．‎1‎‎3‎ D．‎‎7‎ ‎2．（3分）（2020•怀化）下列运算正确的是（　　）‎ A．a2+a3＝a5 B．a6÷a2＝a4 ‎ C．（2ab）3＝6a3b3 D．a2•a3＝a6‎ ‎3．（3分）（2020•怀化）《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》是我国古典长篇小说四大名著．其中2016年光明日报出版社出版的《红楼梦》有350万字，则“350万”用科学记数法表示为（　　）‎ A．3.5×106 B．0.35×107 C．3.5×102 D．350×104‎ ‎4．（3分）（2020•怀化）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎5．（3分）（2020•怀化）如图，已知直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠α＝40°，则∠β的度数为（　　）‎ A．140° B．50° C．60° D．40°‎ ‎6．（3分）（2020•怀化）小明到某公司应聘，他想了解自己入职后的工资情况，他需要关注该公司所有员工工资的（　　）‎ A．众数 B．中位数 C．方差 D．平均数 ‎7．（3分）（2020•怀化）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（　　）‎ 第22页（共22页）‎ A．3 B．‎3‎‎2‎ C．2 D．6‎ ‎8．（3分）（2020•怀化）已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　）‎ A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k＝±4 D．k＝±2‎ ‎9．（3分）（2020•怀化）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（　　）‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎10．（3分）（2020•怀化）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2‎=‎k‎2‎x（x＞0）的图象如图所示、则当y1＞y2时，自变量x的取值范围为（　　）‎ A．x＜1 B．x＞3 C．0＜x＜1 D．1＜x＜3‎ 二、填空题（每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）‎ ‎11．（3分）（2020•怀化）代数式‎1‎x-1‎有意义，则x的取值范围是　 　．‎ ‎12．（3分）（2020•怀化）因式分解：x3﹣x＝　 　．‎ ‎13．（3分）（2020•怀化）某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为　 　分．‎ 第22页（共22页）‎ ‎14．（3分）（2020•怀化）如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝　 　°．‎ ‎15．（3分）（2020•怀化）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是　 　（结果保留π）．‎ ‎16．（3分）（2020•怀化）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y‎=‎‎3‎x（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则An的坐标为　 　．‎ 三、解答题（本大题共8小题，共86分）‎ ‎17．（2020•怀化）计算：‎8‎‎+‎2﹣2﹣2cos45°+|2‎-‎‎2‎|．‎ ‎18．（2020•怀化）先化简，再求值：（‎1‎x-1‎‎-‎‎1‎x+1‎）‎÷‎x+2‎x‎2‎‎-1‎，然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．‎ ‎19．（2020•怀化）为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：‎ 第22页（共22页）‎ ‎（1）本次被抽查的学生共有　 　名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为　 　度；‎ ‎（2）请你将条形统计图补全；‎ ‎（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？‎ ‎（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．‎ ‎20．（2020•怀化）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上，求古树CD的高度．（已知：‎2‎‎≈‎1.414，‎3‎‎≈‎1.732，结果保留整数）‎ ‎21．（2020•怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．‎ ‎（1）下面四边形是垂等四边形的是　 　；（填序号）‎ ‎①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 ‎（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．‎ ‎（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．‎ 第22页（共22页）‎ ‎22．（2020•怀化）某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．‎ ‎（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．‎ ‎（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．‎ ‎23．（2020•怀化）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD＝CA，且∠D＝30°．‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线．‎ ‎（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：CG2＝AE•BF．‎ ‎24．（2020•怀化）如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．‎ ‎（1）求点C及顶点M的坐标．‎ ‎（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．‎ ‎（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．‎ ‎（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O 第22页（共22页）‎ 为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 第22页（共22页）‎ ‎2020年湖南省怀化市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）‎ ‎1．（3分）（2020•怀化）下列数中，是无理数的是（　　）‎ A．﹣3 B．0 C．‎1‎‎3‎ D．‎‎7‎ ‎【解答】解：﹣3，0，‎1‎‎3‎是有理数，‎7‎是无理数．‎ 故选：D．‎ ‎2．（3分）（2020•怀化）下列运算正确的是（　　）‎ A．a2+a3＝a5 B．a6÷a2＝a4 ‎ C．（2ab）3＝6a3b3 D．a2•a3＝a6‎ ‎【解答】解：a2与a3不是同类项，不能合并，因此选项A计算错误，不符合题意；‎ a6÷a2＝a4，因此选项B计算正确，符合题意；‎ ‎（2ab）3＝8a3b3≠6a3b3，因此选项C计算错误，不符合题意；‎ a2•a3＝a5≠a6，因此选项D计算错误，不符合题意．‎ 故选：B．‎ ‎3．（3分）（2020•怀化）《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》是我国古典长篇小说四大名著．其中2016年光明日报出版社出版的《红楼梦》有350万字，则“350万”用科学记数法表示为（　　）‎ A．3.5×106 B．0.35×107 C．3.5×102 D．350×104‎ ‎【解答】解：350万＝350×104＝3.5×102×104＝3.5×106．‎ 故选：A．‎ ‎4．（3分）（2020•怀化）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【解答】解：设这个多边形的边数为n，‎ 根据题意得：180（n﹣2）＝1080，‎ 解得：n＝8．‎ 故选：C．‎ ‎5．（3分）（2020•怀化）如图，已知直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠α＝40°，则∠‎ 第22页（共22页）‎ β的度数为（　　）‎ A．140° B．50° C．60° D．40°‎ ‎【解答】解：∵∠α＝40°，‎ ‎∴∠1＝∠α＝40°，‎ ‎∵a∥b，‎ ‎∴∠β＝∠1＝40°．‎ 故选：D．‎ ‎6．（3分）（2020•怀化）小明到某公司应聘，他想了解自己入职后的工资情况，他需要关注该公司所有员工工资的（　　）‎ A．众数 B．中位数 C．方差 D．平均数 ‎【解答】解：根据题意，小明到某公司应聘，了解这家公司的员工的工资情况，就要全面的了解中间员工的工资水平，‎ 故最应该关注的数据是中位数，‎ 故选：B．‎ ‎7．（3分）（2020•怀化）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（　　）‎ A．3 B．‎3‎‎2‎ C．2 D．6‎ ‎【解答】解：∵∠B＝90°，‎ ‎∴DB⊥AB，‎ 第22页（共22页）‎ 又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，‎ ‎∴由角平分线的性质得DE＝BE＝3，‎ 故选：A．‎ ‎8．（3分）（2020•怀化）已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　）‎ A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k＝±4 D．k＝±2‎ ‎【解答】解：∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，‎ ‎∴△＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，‎ 解得：k＝±4．‎ 故选：C．‎ ‎9．（3分）（2020•怀化）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（　　）‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，‎ ‎∴AC＝BD，且OA＝OB＝OC＝OD，‎ ‎∴S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，‎ ‎∴矩形ABCD的面积为4S△ABO＝8，‎ 故选：C．‎ ‎10．（3分）（2020•怀化）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2‎=‎k‎2‎x（x＞0）的图象如图所示、则当y1＞y2时，自变量x的取值范围为（　　）‎ 第22页（共22页）‎ A．x＜1 B．x＞3 C．0＜x＜1 D．1＜x＜3‎ ‎【解答】解：由图象可得，‎ 当y1＞y2时，自变量x的取值范围为1＜x＜3，‎ 故选：D．‎ 二、填空题（每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）‎ ‎11．（3分）（2020•怀化）代数式‎1‎x-1‎有意义，则x的取值范围是　x＞1　．‎ ‎【解答】解：由题意得：x﹣1＞0，‎ 解得：x＞1，‎ 故答案为：x＞1．‎ ‎12．（3分）（2020•怀化）因式分解：x3﹣x＝　x（x+1）（x﹣1）　．‎ ‎【解答】解：原式＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），‎ 故答案为：x（x+1）（x﹣1）‎ ‎13．（3分）（2020•怀化）某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为　72　分．‎ ‎【解答】解：根据题意知，该名老师的综合成绩为80×60%+60×40%＝72（分）‎ 故答案为：72．‎ ‎14．（3分）（2020•怀化）如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝　130　°．‎ ‎【解答】证明：∵在△ADC和△ABC中 第22页（共22页）‎ AD=ABAC=ACCD=CB‎，‎ ‎∴△ABC≌△ADC（SSS），‎ ‎∴∠D＝∠B，‎ ‎∵∠B＝130°，‎ ‎∴∠D＝130°，‎ 故答案为：130．‎ ‎15．（3分）（2020•怀化）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是　24π　（结果保留π）．‎ ‎【解答】解：由三视图可知该几何体是圆柱体，其底面半径是4÷2＝2，高是6，‎ 圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高，‎ 且底面周长为：2π×2＝4π，‎ ‎∴这个圆柱的侧面积是4π×6＝24π．‎ 故答案为：24π．‎ ‎16．（3分）（2020•怀化）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y‎=‎‎3‎x（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则An的坐标为　（2n，0）　．‎ ‎【解答】解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∵△OA1B1为等边三角形，‎ ‎∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，‎ ‎∴B1C‎=‎‎3‎OC，‎ 设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，‎3‎t），‎ 把B1（t，‎3‎t）代入y‎=‎‎3‎x得t•‎3‎t‎=‎‎3‎，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），‎ ‎∴OA1＝2OC＝2，‎ ‎∴A1（2，0），‎ 设A1D的长度为m，同理得到B2D‎=‎‎3‎m，则B2的坐标表示为（2+m，‎3‎m），‎ 把B2（2+m，‎3‎m）代入y‎=‎‎3‎x得（2+m）‎×‎‎3‎m‎=‎‎3‎，解得m‎=‎2‎-‎1或m‎=-‎2‎-‎1（舍去），‎ ‎∴A1D‎=‎2‎-1‎，A1A2‎=2‎2‎-2‎，OA2‎=2+2‎2‎-2=2‎‎2‎，‎ ‎∴A2（‎2‎‎2‎，0）‎ 设A2E的长度为n，同理，B3E为‎3‎n，B3的坐标表示为（2‎2‎‎+‎n，‎3‎n），‎ 把B3（2‎2‎‎+‎n，‎3‎n）代入y‎=‎‎3‎x得（2‎2‎‎+‎n）•‎3‎n‎=‎‎3‎，‎ ‎∴A2E‎=‎3‎-‎‎2‎，A2A3‎=2‎3‎-2‎‎2‎，OA3‎=2‎2‎+2‎3‎-2‎2‎=2‎‎3‎，‎ ‎∴A3（‎2‎‎3‎，0），‎ 综上可得：An（‎2‎n，0），‎ 故答案为：‎(2n，0)‎．‎ 三、解答题（本大题共8小题，共86分）‎ ‎17．（2020•怀化）计算：‎8‎‎+‎2﹣2﹣2cos45°+|2‎-‎‎2‎|．‎ ‎【解答】解：原式‎=2‎2‎+‎1‎‎2‎‎2‎-2×‎2‎‎2‎+2-‎‎2‎ ‎=2‎2‎+‎1‎‎4‎-‎2‎+2-‎‎2‎‎ ‎ ‎=‎1‎‎4‎+2‎‎ ‎ 第22页（共22页）‎ ‎=‎‎9‎‎4‎‎．‎ ‎18．（2020•怀化）先化简，再求值：（‎1‎x-1‎‎-‎‎1‎x+1‎）‎÷‎x+2‎x‎2‎‎-1‎，然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．‎ ‎【解答】解：原式‎=[x+1‎‎(x-1)(x+1)‎-x-1‎‎(x-1)(x+1)‎]÷‎x+2‎‎(x-1)(x+1)‎ ‎=[x+1-x+1‎‎(x-1)(x+1)‎]×‎‎(x-1)(x+1)‎x+2‎‎ ‎ ‎=[‎2‎‎(x-1)(x+1)‎]×‎‎(x-1)(x+1)‎x+2‎‎ ‎ ‎=‎‎2‎x+2‎‎．‎ ‎∵x+1≠0且x﹣1≠0且x+2≠0，‎ ‎∴x≠﹣1且x≠1且x≠﹣2，‎ 当x＝0时，分母不为0，代入：‎ 原式‎=‎2‎‎0+2‎=1‎．‎ ‎19．（2020•怀化）为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：‎ ‎（1）本次被抽查的学生共有　50　名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为　72　度；‎ ‎（2）请你将条形统计图补全；‎ ‎（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？‎ ‎（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．‎ 第22页（共22页）‎ ‎【解答】解：（1）本次被抽查的学生共有：20÷40%＝50（名），‎ 扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为‎10‎‎50‎‎×360°=72°‎；‎ 故答案为：50，72；‎ ‎（2）B类人数是：50﹣10﹣8﹣20＝12（人），‎ 补全条形统计图如图所示：‎ ‎（3）‎8‎‎50‎‎×600=96‎名，‎ 答：估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有96名；‎ ‎（4）列表如下：‎ A B C D A ‎（A，A）‎ ‎（B，A）‎ ‎（C，A）‎ ‎（D，A）‎ B ‎（A，B）‎ ‎（B，B）‎ ‎（C，B）‎ ‎（D，B）‎ C ‎（A，C）‎ ‎（B，C）‎ ‎（C，C）‎ ‎（D，C）‎ D ‎（A，D）‎ ‎（B，D）‎ ‎（C，D）‎ ‎（D，D）‎ 由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有4种，‎ ‎∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率‎=‎4‎‎16‎=‎‎1‎‎4‎．‎ ‎20．（2020•怀化）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上，求古树CD的高度．（已知：‎2‎‎≈‎1.414，‎‎3‎‎≈‎ 第22页（共22页）‎ ‎1.732，结果保留整数）‎ ‎【解答】解：由题意可知，AB＝20，∠DAB＝30°，∠C＝90°，∠DBC＝45°，‎ ‎∵△BCD是等腰直角三角形，‎ ‎∴CB＝CD，‎ 设CD＝x，则BC＝x，AC＝20+x，‎ 在Rt△ACD中，‎ tan30°‎=CDCA=CDAB+CB=x‎20+x=‎‎3‎‎3‎，‎ 解得x＝10‎3‎‎+‎10≈10×1.732+10＝27.32≈27，‎ ‎∴CD＝27，‎ 答：CD的高度为27米．‎ ‎21．（2020•怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．‎ ‎（1）下面四边形是垂等四边形的是　④　；（填序号）‎ ‎①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 ‎（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．‎ ‎（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．‎ ‎【解答】解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；‎ ‎②矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形；‎ ‎③菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形；‎ 第22页（共22页）‎ ‎④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；‎ 故选：④；‎ ‎（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，‎ ‎∴AC∥DE，‎ 又∵AD∥BC，‎ ‎∴四边形ADEC是平行四边形，‎ ‎∴AC＝DE，‎ 又∵∠DBC＝45°，‎ ‎∴△BDE是等腰直角三角形，‎ ‎∴BD＝DE，‎ ‎∴BD＝AC，‎ 又∵BD⊥AC，‎ ‎∴四边形ABCD是垂等四边形；‎ ‎（3）如图，过点O作OE⊥BD，‎ ‎∵四边形ABCD是垂等四边形，‎ ‎∴AC＝BD，‎ 又∵垂等四边形的面积是24，‎ ‎∴‎1‎‎2‎AC•BD＝24，‎ 解得，AC＝BD＝4‎3‎，‎ 又∵∠BCD＝60°，‎ ‎∴∠DOE＝60°，‎ 设半径为r，根据垂径定理可得：‎ 在△ODE中，OD＝r，DE‎=2‎‎3‎，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∴r‎=DEsin60°‎=‎2‎‎3‎‎3‎‎2‎=‎4，‎ ‎∴⊙O的半径为4．‎ ‎22．（2020•怀化）某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．‎ ‎（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．‎ ‎（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得：y＝（2000﹣1600）x+（3000﹣2500）（20﹣x）＝﹣100x+10000，‎ ‎∴全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式为y＝﹣100x+10000；‎ ‎（2）由题意得：‎1600x+2500(20-x)≤39200‎‎400x+500(20-x)≥8500‎，‎ 解得12≤x≤15，‎ ‎∵x为正整数，‎ ‎∴x＝12、13、14、15，‎ 共有四种采购方案：‎ ‎①甲型电脑12台，乙型电脑8台，‎ ‎②甲型电脑13台，乙型电脑7台，‎ ‎③甲型电脑14台，乙型电脑6台，‎ ‎④甲型电脑15台，乙型电脑5台，‎ ‎∵y＝﹣100x+10000，且﹣100＜0，‎ ‎∴y随x的增大而减小，‎ ‎∴当x取最小值时，y有最大值，‎ 即x＝12时，y最大值＝﹣100×12+10000＝8800，‎ ‎∴采购甲型电脑12台，乙型电脑8台时商店获得最大利润，最大利润是8800元．‎ ‎23．（2020•怀化）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD＝CA，且∠D＝30°．‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线．‎ ‎（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB 第22页（共22页）‎ 的垂线，垂足为点G．求证：CG2＝AE•BF．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OC，如图所示，‎ ‎∵CA＝CD，且∠D＝30°，‎ ‎∴∠CAD＝∠D＝30°，‎ ‎∵OA＝OC，‎ ‎∴∠CAD＝∠ACO＝30°，‎ ‎∴∠COD＝∠CAD+∠ACO＝30°+30°＝60°，‎ ‎∴∠OCD＝180°﹣∠D﹣∠COD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ ‎∴CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）∵∠COB＝60°，且OC＝OB，‎ ‎∴△OCB为等边三角形，‎ ‎∴∠CBG＝60°，‎ 又∵CG⊥AD，‎ ‎∴∠CGB＝90°，‎ ‎∴∠GCB＝∠CGB﹣∠CBG＝30°，‎ 又∵∠GCD＝60°，‎ ‎∴CB是∠GCD的角平分线，‎ ‎∵BF⊥CD，BG⊥CG，‎ ‎∴BF＝BG，‎ 又∵BC＝BC，‎ ‎∴Rt△BCG≌Rt△BCF（HL），‎ ‎∴CF＝CG．‎ ‎∵∠D＝30°，AE⊥ED，∠E＝90°，‎ ‎∴∠EAD＝60°，‎ 第22页（共22页）‎ 又∵∠CAD＝30°，‎ ‎∴AC是∠EAG的角平分线，‎ ‎∵CE⊥AE，CG⊥AB，‎ ‎∴CE＝CG，‎ ‎∵∠E＝∠BFC＝90°，∠EAC＝30°＝∠BCF，‎ ‎∴△AEC∽△CFB，‎ ‎∴AECF‎=‎CEBF，即AE•BF＝CF•CE，‎ 又CE＝CG，CF＝CG，‎ ‎∴AE•BF＝CG2．‎ ‎24．（2020•怀化）如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．‎ ‎（1）求点C及顶点M的坐标．‎ ‎（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．‎ ‎（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．‎ ‎（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 第22页（共22页）‎ ‎【解答】解：（1）令y＝x2﹣2x﹣3中x＝0，此时y＝﹣3，‎ 故C点坐标为（0，﹣3），‎ 又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，‎ ‎∴抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣4）；‎ ‎（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN，CN，如图1所示：‎ 令y＝x2﹣2x﹣3＝0，‎ 解得：x＝3或x＝﹣1，‎ ‎∴B（3，0），A（﹣1，0），‎ 设直线BC的解析式为：y＝ax+b，‎ 代入C（0，﹣3），B（3，0）得：‎-3=b‎0=3a+b，‎ 解得a=1‎b=-3‎，‎ ‎∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，‎ 设N点坐标为（n，n2﹣2n﹣3），故Q点坐标为（n，n﹣3），其中0＜n＜3，‎ 则S‎△BCN‎=S‎△NQC+S‎△NQB=‎1‎‎2‎⋅QN⋅(xQ-xC)+‎1‎‎2‎⋅QN⋅(xB-xQ)=‎1‎‎2‎⋅QN⋅(xQ-xC+xB-xQ)=‎1‎‎2‎⋅QN⋅(xB-xC)‎，（其中xQ，xC，xB分别表示Q，C，B三点的横坐标），且QN＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n，xB﹣xC＝3，‎ 故S‎△BCN‎=‎1‎‎2‎⋅(-n‎2‎+3n)⋅3=-‎3‎‎2‎n‎2‎+‎9‎‎2‎n=-‎3‎‎2‎(n-‎3‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎‎27‎‎8‎，其中0＜n＜3，‎ 当n=‎‎3‎‎2‎时，S△BCN有最大值为‎27‎‎8‎，‎ 此时点N的坐标为（‎3‎‎2‎‎，-‎‎15‎‎4‎），‎ ‎（3）设D点坐标为（1，t），G点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），且B（3，0），C（0，﹣3）‎ 第22页（共22页）‎ 分情况讨论：‎ ‎①当DG为对角线时，则另一对角线是BC，由中点坐标公式可知：‎ 线段DG的中点坐标为‎(xD‎+‎xG‎2‎，yD‎+‎yG‎2‎)‎，即‎(‎1+m‎2‎，t+m‎2‎-2m-3‎‎2‎)‎，‎ 线段BC的中点坐标为‎(xB‎+‎xC‎2‎，yB‎+‎yC‎2‎)‎，即‎(‎3+0‎‎2‎，‎0-3‎‎2‎)‎，‎ 此时DG的中点与BC的中点为同一个点，‎ ‎∴‎1+m‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎t+m‎2‎-2m-3‎‎2‎‎=-‎‎3‎‎2‎，解得m=2‎t=0‎，‎ 经检验此时四边形DCGB为平行四边形，此时G坐标为（2，﹣3）；‎ ‎②当DB为对角线时，则另一对角线是GC，由中点坐标公式可知：‎ 线段DB的中点坐标为‎(xD‎+‎xB‎2‎，yD‎+‎yB‎2‎)‎，即‎(‎1+3‎‎2‎，t+0‎‎2‎)‎，‎ 线段GC的中点坐标为‎(xG‎+‎xC‎2‎，yG‎+‎yC‎2‎)‎，即‎(m+0‎‎2‎，m‎2‎‎-2m-3-3‎‎2‎)‎，‎ 此时DB的中点与GC的中点为同一个点，‎ ‎∴‎1+3‎‎2‎‎=‎m+0‎‎2‎t+0‎‎2‎‎=‎m‎2‎‎-2m-3-3‎‎2‎，解得m=4‎t=2‎，‎ 经检验此时四边形DCBG为平行四边形，此时G坐标为（4，5）；‎ ‎③当DC为对角线时，则另一对角线是GB，由中点坐标公式可知：‎ 线段DC的中点坐标为‎(xD‎+‎xC‎2‎，yD‎+‎yC‎2‎)‎，即‎(‎1+0‎‎2‎，t-3‎‎2‎)‎，‎ 线段GB的中点坐标为‎(xG‎+‎xB‎2‎，yG‎+‎yB‎2‎)‎，即‎(m+3‎‎2‎，m‎2‎‎-2m-3+0‎‎2‎)‎，‎ 此时DB的中点与GC的中点为同一个点，‎ ‎∴‎1+0‎‎2‎‎=‎m+3‎‎2‎t-3‎‎2‎‎=‎m‎2‎‎-2m-3+0‎‎2‎，解得m=-2‎t=8‎，‎ 经检验此时四边形DGCB为平行四边形，此时G坐标为（﹣2，1）；‎ 综上所述，G点坐标存在，为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，1）；‎ ‎（4）连接AC，OP，如图2所示：‎ 设MC的解析式为：y＝kx+m，‎ 第22页（共22页）‎ 代入C（0，﹣3），M（1，﹣4）得‎-3=m‎-4=k+m，‎ 解得k=-1‎m=-3‎ ‎∴MC的解析式为：y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，‎ ‎∴E点坐标为（﹣3，0），‎ ‎∴OE＝OB＝3，且OC⊥BE，‎ ‎∴CE＝CB，‎ ‎∴∠B＝∠E，‎ 设P（x，﹣x﹣3），‎ 又∵P点在线段EC上，‎ ‎∴﹣3＜x＜0，‎ 则EP=‎(x+3)‎‎2‎‎+‎‎(-x-3)‎‎2‎=‎2‎(x+3)‎，BC=‎3‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=3‎‎2‎，‎ 由题意知：△PEO相似△ABC，‎ 分情况讨论：‎ ‎①△PEO∽△CBA，∴EOBA‎=‎EPBC，∴‎3‎‎4‎‎=‎‎2‎‎(x+3)‎‎3‎‎2‎，‎ 解得x=-‎‎3‎‎4‎，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为‎(-‎3‎‎4‎，-‎9‎‎4‎)‎；‎ ‎②△PEO∽△ABC，∴EOBC‎=‎EPBA，∴‎3‎‎3‎‎2‎‎=‎‎2‎‎(x+3)‎‎4‎，‎ 解得x＝﹣1，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为（﹣1，﹣2）．‎ 综上所述，P点的坐标为‎(-‎3‎‎4‎，-‎9‎‎4‎)‎或（﹣1，﹣2）．‎ ‎ ‎ 第22页（共22页）‎